專題17 等腰三角形與直角三角形（分層精練）（解析版）

專題17等腰三角形與直角三角形（分層精練）1．（2022?永州）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，點D為邊AC的中點，BD＝2，則BC的長為（）A． B．2 C．2 D．4【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D為邊AC的中點，BD＝2，∴AC＝2BD＝4，∵∠C＝60°，∴∠A＝30°，∴BC＝AC＝2，故選：C．2．（2022?南充）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線交BC于點D，DE∥AB，交AC于點E，DF⊥AB于點F，DE＝5，DF＝3，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．BF＝1 B．DC＝3 C．AE＝5 D．AC＝9【答案】A【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，∵DE∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE，∵DE＝5，DF＝3，∴AE＝5，CD＝3，故選項B、C正確；∴CE＝＝4，∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故選項D正確；∵DE∥AB，∠DFB＝90°，∴∠EDF＝∠DFB＝90°，∴∠CDE+∠FDB＝90°，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠FDB，∵tan∠DEC＝，tan∠FDB＝，∴，解得BF＝，故選項A錯誤；故選：A．3．（2021?襄陽）我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深幾何．”（丈、尺是長度單位，1丈＝10尺）其大意為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面．水的深度是多少？則水深為（）A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺【答案】C【解答】解：設(shè)水深為h尺，則蘆葦長為（h+1）尺，根據(jù)勾股定理，得（h+1）2﹣h2＝（10÷2）2，解得h＝12，∴水深為12尺，故選：C．4．（2022?攀枝花）如圖1是第七屆國際數(shù)學教育大會（ICME）的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能夠組合得到如圖2所示的四邊形OABC．若OC＝，BC＝1，∠AOB＝30°，則OA的值為（）A． B． C． D．1【答案】A【解答】解：∵∠OBC＝90°，OC＝，BC＝1，∴OB＝＝＝2，∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，∴AB＝OB＝1，∴OA＝＝＝，故選：A．5．（2022?鄂爾多斯）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（）A．2 B．2 C．4 D．4+2【答案】C【解答】解：過點E作EH⊥OA于點H，如圖所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故選：C．6．（2022?宿遷）若等腰三角形的兩邊長分別是3cm和5cm，則這個等腰三角形的周長是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【答案】D【解答】解：當3cm是腰長時，3，3，5能組成三角形，當5cm是腰長時，5，5，3能夠組成三角形．則三角形的周長為11cm或13cm．故選：D．7．（2022?杭州）如圖，CD⊥AB于點D，已知∠ABC是鈍角，則（）A．線段CD是△ABC的AC邊上的高線 B．線段CD是△ABC的AB邊上的高線 C．線段AD是△ABC的BC邊上的高線 D．線段AD是△ABC的AC邊上的高線【答案】B【解答】解：A、線段CD是△ABC的AB邊上的高線，故本選項說法錯誤，不符合題意；B、線段CD是△ABC的AB邊上的高線，本選項說法正確，符合題意；C、線段AD不是△ABC的BC邊上高線，故本選項說法錯誤，不符合題意；D、線段AD不是△ABC的AC邊上高線，故本選項說法錯誤，不符合題意；故選：B．8．（2022?湖州）如圖，已知在銳角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，E是AD上一點，連結(jié)EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，則△EBC的面積是（）A．12 B．9 C．6 D．3【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，∴BD＝CD＝BC＝3，AD⊥BC，在Rt△EBD中，∠EBC＝45°，∴ED＝BD＝3，∴S△EBC＝BC?ED＝×6×3＝9，故選：B．9．（2022?永州）我國古代數(shù)學家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”，極富創(chuàng)新意識地給出了勾股定理的證明．如圖所示，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則AE＝．【答案】3【解答】解：∵大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根據(jù)題意，設(shè)AF＝DE＝CH＝BG＝x，則AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），∴x﹣1＝3，故答案為：3．10．（2022?黑龍江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【答案】3【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC?CD+AB?DE＝AC?BC，即×6?CD+×10?CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案為：3．11．（2021?婁底）如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一點，PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，若S△ABC＝1，則PE+PF＝．【答案】1【解答】解：如圖所示，連接AP，則S△ABC＝S△ACP+S△ABP，∵PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，∴S△ACP＝AC×PF，S△ABP＝AB×PE，又∵S△ABC＝1，AB＝AC＝2，∴1＝AC×PF+AB×PE，即1＝×2×PF+×2×PE，∴PE+PF＝1，故答案為：1．12．（2021?岳陽）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著，書中有下列問題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈．問戶高、廣各幾何？”其意思為：今有一門，高比寬多6尺8寸，門對角線距離恰好為1丈．問門高、寬各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如圖，設(shè)門高AB為x尺，根據(jù)題意，可列方程為．【答案】（x﹣6.8）2+x2＝102【解答】解：設(shè)門高AB為x尺，則門的寬為（x﹣6.8）尺，AC＝1丈＝10尺，依題意得：AB2+BC2＝AC2,即（x﹣6.8）2+x2＝102．故答案為：（x﹣6.8）2+x2＝102．13．（2021?杭州）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BD交AC邊于點D，AE⊥BC于點E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．（1）求證：AB＝BD；（2）若AE＝3，求△ABC的面積．【解答】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∵∠C＝45°，∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝75°，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝75°，∴∠BAC＝∠ADB，∴AB＝BD；（2）解：在Rt△ABE中，∠ABC＝60°，AE＝3，∴BE＝＝，在Rt△AEC中，∠C＝45°，AE＝3，∴EC＝＝3，∴BC＝3+，∴S△ABC＝BC×AE＝．14．（2022?青島）【圖形定義】有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形、例如：如圖①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分別是BC和B'C'邊上的高線，且AD＝A'D'、則△ABC和△A'B'C'是等高三角形．【性質(zhì)探究】如圖①，用S△ABC，S△A'B'C′分別表示△ABC和△A′B′C′的面積，則S△ABC＝BC?AD，S△A'B'C′＝B′C′?A′D′，∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性質(zhì)應(yīng)用】（1）如圖②，D是△ABC的邊BC上的一點．若BD＝3，DC＝4，則S△ABD：S△ADC＝；（2）如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，則S△BEC＝，S△CDE＝；（3）如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，則S△CDE＝．【解答】解：（1）∵BD＝3，DC＝4，∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4，故答案為：3：4；（2）∵BE：AB＝1：2，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2，∵S△ABC＝1，∴S△BEC＝；∵CD：BC＝1：3，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3，∴S△CDE＝S△BEC＝×＝；故答案為：，；（3）∵BE：AB＝1：m，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m，∵S△ABC＝a，∴S△BEC＝S△ABC＝；∵CD：BC＝1：n，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n，∴S△CDE＝S△BEC＝?＝，故答案為：．15．（2022?懷化）如圖，在等邊三角形ABC中，點M為AB邊上任意一點，延長BC至點N，使CN＝AM，連接MN交AC于點P，MH⊥AC于點H．（1）求證：MP＝NP；（2）若AB＝a，求線段PH的長（結(jié)果用含a的代數(shù)式表示）．【解答】（1）證明：過點M作MQ∥BC，交AC于點Q，如圖所示：在等邊△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵MQ∥BC，∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，∴△AMQ是等邊三角形，∴AM＝QM，∵AM＝CN，∴QM＝CN，在△QMP和△CNP中，，∴△QMP≌△CNP（AAS），∴MP＝NP；（2）解：∵△AMQ是等邊三角形，且MH⊥AC，∴AH＝HQ，∵△QMP≌△CNP，∴QP＝CP，∴PH＝HQ+QP＝AC，∵AB＝a，AB＝AC，∴PH＝a．16．（2022?張家界）如圖，點O是等邊三角形ABC內(nèi)一點，OA＝