概率論§1.4 條件概率及有關(guān)公式

§1.4條件概率及有關(guān)公式

在實(shí)際問題中，往往會(huì)遇到求一事件已經(jīng)發(fā)生的前提下，另一事件發(fā)生的概率。

設(shè)A、B是某隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且P(B)>0，則稱事件A在“事件B已發(fā)生”這一附加條件下的概率為:在事件B已發(fā)生的條件下事件A

的條件概率,簡稱為A在B之下的條件概率，記為P(A|B)

。由于附加了條件，P(A)與P(A|B)意義不同，一般情況下P(A|B)≠P(A).例1擲一顆均勻骰子，B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}.試求P(A|B)=？

由于已知事件B已經(jīng)發(fā)生，所以此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果只有3種，而事件A包含的基本事件只占其中一種，故有P(A|B)=1/3A={擲出2點(diǎn)}，解：擲一顆均勻骰子可能的結(jié)果有6種，且它們的出現(xiàn)是等可能的。P(A)=1/6擲骰子例2

設(shè)10張彩票中只有一張中獎(jiǎng)票,10人同時(shí)摸這10張,張三和李四各得一張。記

A:{張三中獎(jiǎng)}B:{李四中獎(jiǎng)}

由古典概率模型知:

現(xiàn)在假設(shè)李四先刮開彩票,那么李四是否中獎(jiǎng)的信息對(duì)計(jì)算張三中獎(jiǎng)的的可能性大小有沒有影響呢?顯然,如果李四中獎(jiǎng),那么張三就沒有機(jī)會(huì)中獎(jiǎng)

也就是說:在事件B發(fā)生的條件下,事件A發(fā)生的概率為0,記P(A|B)=0

反之，如果已知李四沒中獎(jiǎng),張三中獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)有多大?

也就是說:在事件B沒發(fā)生的條件下,事件A發(fā)生的概率為多少?基于古典概型的分析:

:n個(gè)樣本點(diǎn)B:m個(gè)樣本點(diǎn)AB:k個(gè)樣本點(diǎn)在B已發(fā)生的條件下,試驗(yàn)結(jié)果為m中的一個(gè),這時(shí)A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)AB中的某一樣本點(diǎn)發(fā)生,故相當(dāng)于“縮小了樣本空間”。條件概率的定義定義:設(shè)A、B為兩事件,其中P(B)>0,

則稱P(AB)/P(B)為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率，記為Ａ其中封閉曲線圍成的一切點(diǎn)的集合表示事件A設(shè)邊長為1個(gè)單位的正方形的面積表示樣本空間S把圖形的面積理解為相應(yīng)事件的概率

則P(A)=A的面積/S的面積幾何解釋分析：當(dāng)已知事件B發(fā)生的情況下，樣本空間由原來的S縮減為了B如果B發(fā)生，那么使得A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)樣本點(diǎn)屬于AB，因此P(A|B)應(yīng)為P(AB)在P(B)中的“比重”P(A|B)=AB的面積/B的面積

這就好象給了我們一個(gè)“情報(bào)”，使我們得以在某個(gè)縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題.條件概率的性質(zhì)(1)非負(fù)性:0≤P(A|B)≤1

(2)規(guī)范性:P(

|B)=1(3)可列可加性:若可列無限多個(gè)事Ak(k=1,2,…)

兩兩互斥,則有

P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)

P(A1A2|B)另有:例3設(shè)某廠生產(chǎn)的燈泡能使用1000小時(shí)以上的概率為0.9,能使用1500小時(shí)以上的概率為0.3,如果有一個(gè)燈泡已經(jīng)使用了1000小時(shí)沒有損壞,求它能使用1500小時(shí)以上的概率。

解:A:“燈泡能使用1000小時(shí)以上”

B:“燈泡能使用1500小時(shí)以上”

由已知:P(A)=0.9,P(B)=0.3又B

A

P(AB)=P(B)=0.3從而在事件A發(fā)生時(shí)事件B發(fā)生的概率為:例4

某人外出旅游兩天,需知道兩天的天氣情況,據(jù)預(yù)報(bào),第一天下雨的概率為0.6,第二天下雨的概率為0.3,兩天都下雨的概率為0.1，求第一天下雨時(shí),第二天不下雨的概率。解:

設(shè)A與B分別表示第一天與第二天下雨由題意：P(A)=0.6,P(B)=0.3,P(AB)=0.1條件概率與無條件概率之間的大小無確定關(guān)系需要注意的是:即P(A)與P(A|B)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它們是兩個(gè)不同的概念,在數(shù)值上一般也不同。例如：上例中而在例1擲骰子時(shí)乘法公式由條件概率得:

P(AB)=P(B)P(A|B)推廣到一般情形中:若n個(gè)事件A1,A2,…,An滿足件:P(A1A2…Ak)>0(k=1,2,…,n

1),

則：

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An

1)例5設(shè)袋中裝有a只紅球和b(b≥3)

只白球,從中連續(xù)取球四次,每次取一球，取后不放回，試求第四次才取到紅球的概率。解:設(shè)Ai

:“第i次取到白球”

(i=1,2,3,4）則:“第四次取到紅球”

:“第四次才取到紅球”

故由乘法公式可得:一場精彩的足球賽將要舉行,但5個(gè)球迷只搞到一張球票，但大家都想去。沒辦法，只好用抽簽的方法來確定球票的歸屬。

球票5張同樣的卡片只有一張上寫有“球票”，其余的是空白。將它們放在一起，洗勻，讓5個(gè)人依次抽取.請(qǐng)回答：先抽的人比后抽的人抽到球票的機(jī)會(huì)大嗎？后抽的人比先抽的人吃虧嗎？

“大家不必爭，你們一個(gè)一個(gè)按次序來，誰抽到‘入場券’的機(jī)會(huì)都一樣大。”到底誰說的對(duì)呢？讓我們用概率論的知識(shí)來計(jì)算一下，每個(gè)人抽到“入場券”的概率到底有多大?“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的人機(jī)會(huì)大。”

我們用Ai表示“第i個(gè)人抽到入場券”，

i＝1,2,3,4,5。顯然，P(A1)=1/5，P()＝4/5，第1個(gè)人抽到入場券的概率是1/5。也就是說，

則表示“第i個(gè)人未抽到入場券”，因?yàn)槿舻?個(gè)人抽到入場券時(shí)，第1個(gè)人肯定沒抽到。也就是要想第2個(gè)人抽到入場券，必須第1個(gè)人未抽到，由于由乘法公式，

得

計(jì)算可得：

P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5這就是有關(guān)抽簽順序問題的正確解答同理，第3個(gè)人要抽到“入場券”，必須第1、第2個(gè)人都沒有抽到。因此=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5，繼續(xù)做下去就會(huì)發(fā)現(xiàn)，每個(gè)人抽到“入場券”的概率都是1/5。抽簽不必爭先恐后。例6

某批產(chǎn)品中，甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品占60%，已知甲廠的產(chǎn)品的次品率為10%，從這批產(chǎn)品中隨意的抽取一件，求該產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的次品的概率。解:設(shè)A表示事件“產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的”，

B表示事件“產(chǎn)品是次品”由題設(shè)知P(AB)=P(A)P(B|A)=0.6×0.1=0.06根據(jù)乘法公式，有P(A)=0.6,P(B|A)=0.1全概率公式

人們?cè)谟?jì)算某一較復(fù)雜的事件的概率時(shí)，有時(shí)根據(jù)事件在不同情況、不同原因或不同途徑下發(fā)生的情況，從而將它分解成兩個(gè)或若干互不相容的部分的并，分別計(jì)算它們的概率，然后求和。引例

有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2個(gè)紅球3個(gè)白球，3號(hào)箱裝有3個(gè)紅球。某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率.123解：記Ai={球取自i號(hào)箱},

i=1,2,3;

B={取得紅球}即

B=A1B∪A2B∪A3B，

而且

A1B、A2B、A3B兩兩互斥B發(fā)生總是伴隨著A1，A2，A3

之一同時(shí)發(fā)生P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)運(yùn)用加法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)對(duì)求和中的每一項(xiàng)運(yùn)用乘法公式可得代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：P(B)=8/15將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式。全概率公式

設(shè)B1,B2,…,Bn是n個(gè)互不相容的事件,且P(Bi)>0(i=1,2,…,n)，如果事件A滿足條件：則B2A全概率公式

證明：因?yàn)橛杉僭O(shè)P(Bi)>0(i=1,2,…,n),且ABi∩ABj=F圖示化整為零各個(gè)擊破稱B1,B2,…,Bn為樣本空間的一個(gè)劃分，如果它們滿足(1)B1,B2,…,Bn兩兩互不相容

(2)

或稱B1,B2,…,Bn為完備事件組由全概率公式不難看出:“全部”概率P(A)可以分成許多“部分”概率P(ABi)之和。在較復(fù)雜情況下，直接計(jì)算P(A)不容易,但總可以適當(dāng)?shù)貥?gòu)造一組兩兩互斥的Bi，使A伴隨著某個(gè)Bi的出現(xiàn)而出現(xiàn)，且每個(gè)P(ABi)

較容易計(jì)算，可用它們的和計(jì)算P(A)。它的理論和實(shí)用意義在于:

我們把事件A看作某一過程的結(jié)果，把B1，B2，…,Bk，…看作該過程的若干個(gè)原因。

那么我們就可以用全概率公式計(jì)算事件A發(fā)生的概率，即求P(A)。全概率公式的使用

根據(jù)已知條件,每一原因發(fā)生的概率已知，即已知P(Bk)。

而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知,即已知P(A|Bk)。例1設(shè)有分別來自三個(gè)地區(qū)的10名、15名和25名考生的報(bào)名表，其中女生的報(bào)名表分別為3份、7份和5份。隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表，求抽出一份是女生表的概率。Bi={報(bào)名表是第i區(qū)}i＝1,2,3A={抽到的報(bào)名表是女生表}解：設(shè)P(A|B1)=3/10,P(A|B2)=7/15,P(A|B3)＝5/25P(Bi)=1/3(i=1,2,3)P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=29/90例2有三個(gè)形狀相同的罐，在第一個(gè)罐中有2個(gè)白球和1個(gè)黑球，在第二個(gè)罐中有3個(gè)白球和1個(gè)黑球，在第三個(gè)罐中有2個(gè)白球和2個(gè)黑球，現(xiàn)任取一罐，從中取出一球，試求取得白球的概率。解:A:“取到的是白球”Bi

:“球取自第i罐”(i=1,2,3)則B1,B2,B3是樣本空間的一個(gè)劃分

由全概率公式:這一類問題在實(shí)際中更為常見，它所求的是條件概率，即在已知某結(jié)果發(fā)生的條件下，求各原因發(fā)生可能性大小。實(shí)際中還有下面一類問題——已知結(jié)果求原因某人從任一箱中任意摸出一球,發(fā)現(xiàn)是紅球,問該球是取自1號(hào)箱的概率？或者問:該球取自哪個(gè)號(hào)碼的箱子的可能性大些?

123記

Ai={球取自i號(hào)箱},

i=1,2,3;

B={取得紅球}求P(A1|B)

運(yùn)用全概率公式計(jì)算P(B)將這里得到的公式一般化，就得到貝葉斯公式。運(yùn)用乘法公式貝葉斯公式設(shè)B1,B2,…,Bn

是n個(gè)互不相容的事件，事件且P(A)>0,

P(Bi)>0,(i=1,2,…,n),則貝葉斯公式分析:該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出。它是在觀察到事件A已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致A發(fā)生的每個(gè)原因的概率。

稱P(Bi)為先驗(yàn)概率，它是由以往的經(jīng)驗(yàn)得到的，它是事件

A

的原因。

稱P(Bi|A)為后驗(yàn)概率，它是得到了信息“A發(fā)生”，再對(duì)導(dǎo)致A出現(xiàn)的原因發(fā)生的可能性大小重新加以修正。全概率---由因求果貝葉斯----執(zhí)果求因例1某射擊小組共有20名射手，其中一級(jí)射手4人，二級(jí)射手8人，三級(jí)射手7人，四級(jí)射手1人，一、二、三、四級(jí)射手能通過選拔進(jìn)入比賽的概率分別0.9，0.7，0.5，0.2。現(xiàn)從該射擊小組任選一人，若此人已通過選拔進(jìn)入比賽，問此人是一級(jí)射手的概率是多少?解:A：“射手能通過選拔進(jìn)入比賽”Bi：“射手是i級(jí)射手”

(i=1,2,3,4)

顯然，B1、B2、B3、B4是樣本空間的一個(gè)劃分由已知:P(A|B1)=0.9,P(A|B2)=0.7,P(A|B3)=0.5,P(A|B4)=0.2由貝葉斯公式:“結(jié)果

原因”

例2某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對(duì)某種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對(duì)該種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.04?，F(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大?則

表示“抽查的人不患癌癥”解:設(shè)

C={抽查的人患有癌癥}，

A={試驗(yàn)結(jié)果是陽性}求P(C|A)已知:P(C)=0.005,P(A|C)=0.95,

由貝葉斯公式，得

代入數(shù)據(jù)，

計(jì)算可得P(C|A)=0.1066

現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義2.檢出陽性是否意味著一定患有癌癥?1.這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無意義？如果不做試驗(yàn),隨意抽查一人,他是患者的概率P(C)=0.005

已知患者陽性反應(yīng)的概率是0.95，若做了試驗(yàn)后得陽性反應(yīng)，則根據(jù)試驗(yàn)得來的信息，此人是患者的概