專題07 相似三角形中的重要模型-手拉手模型（原卷版）

專題07相似三角形中的重要模型-手拉手模型相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。手拉手模型相似是手拉手模型當(dāng)中相對(duì)于手拉手全等模型較難的一種模型，在實(shí)際的應(yīng)用和解題當(dāng)中出現(xiàn)時(shí)，對(duì)于同學(xué)們來(lái)說(shuō)，都比較困難。而深入理解模型內(nèi)涵，靈活運(yùn)用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專題重點(diǎn)講解相似三角形的“手拉手”模型（旋轉(zhuǎn)模型）。手拉手相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；③第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個(gè)別線段，之后再重復(fù)第③步。模型1.“手拉手”模型(旋轉(zhuǎn)模型)【模型解讀與圖示】“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個(gè)三角形繞著它的項(xiàng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并放大或縮小(這個(gè)頂點(diǎn)不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個(gè)頂點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。1）手拉手相似模型（任意三角形）條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.2）手拉手相似模型（直角三角形）條件:如圖，，（即△COD∽△AOB）；結(jié)論：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.3）手拉手相似模型（等邊三角形與等腰直角三角形）條件:M為等邊三角形ABC和DEF的中點(diǎn)；結(jié)論：△BME∽△CMF；.條件:△ABC和ADE是等腰直角三角形；結(jié)論：△ABD∽△ACE.例1．（2022·山西·壽陽(yáng)縣九年級(jí)期末）問(wèn)題情境：如圖1所示，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DEBC，在圖1中將ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖2，然后將BD、CE分別延長(zhǎng)至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到圖3，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)猜想證明：若AB=AC，請(qǐng)?zhí)骄肯铝袛?shù)量關(guān)系：①在圖2中，BD與CE的數(shù)量關(guān)系是_________．②在圖3中，猜想∠MAN與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)拓展應(yīng)用：其他條件不變，若AB=AC，按上述操作方法，得到圖4，請(qǐng)你繼續(xù)探究：∠MAN與∠BAC的數(shù)量關(guān)系？AM與AN的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的猜想．例2．（2022?新鄉(xiāng)中考模擬）在△ABC中，CA＝CB＝m，在△AED中，DA＝DE＝m，請(qǐng)?zhí)剿鹘獯鹣铝袉?wèn)題．【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，若∠ACB＝∠ADE＝90°，點(diǎn)D，E分別在CA，AB上，則CD與BE的數(shù)量關(guān)系是，直線CD與BE的夾角為；【類比探究】（2）如圖2，若∠ACB＝∠ADE＝120°，將△AED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則CD與BE之間是否滿足（1）中的數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明理由．【拓展延伸】（3）在（1）的條件下，若m＝2，將△AED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)B，E，D三點(diǎn)共線．請(qǐng)直接寫出CD的長(zhǎng)．例3．（2022·山東·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為斜邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；【探究證明】如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一條直線上時(shí)，BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系，說(shuō)明理由；【拓展延伸】如圖3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，過(guò)點(diǎn)C作CA⊥BD于A．將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠CAE為（0°＜＜360°），當(dāng)C，D，E在同一條直線上時(shí)，畫出圖形，并求出線段BE的長(zhǎng)度．例4．（2022·山東·東營(yíng)市一模）【提出問(wèn)題】（1）如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN．【類比探究】（2）如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其它條件不變，（1）中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【拓展延伸】（3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．例5．（2022?長(zhǎng)垣市一模）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，∠CDE＝∠BAC＝α，CD＝ED，連接BE，EC．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖①，若α＝60°，則∠EBA＝，AD與EB的數(shù)量關(guān)系是；（2）類比探究：如圖②，當(dāng)α＝90°時(shí)，請(qǐng)寫出∠EBA的度數(shù)及AD與EB的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；（3）拓展應(yīng)用：如圖③，點(diǎn)E為正方形ABCD的邊AB上的三等分點(diǎn)，以DE為邊在DE上方作正方形DEFG，點(diǎn)O為正方形DEFG的中心，若OA＝，請(qǐng)直接寫出線段EF的長(zhǎng)度．例6.（2022·成都市·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一次小組合作探究課上，老師將兩個(gè)正方形按如圖所示的位置擺放（點(diǎn)E、A、D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)且．小組討論后，提出了下列三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解答：（1）將正方形繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖1），還能得到嗎？若能，請(qǐng)給出證明，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）把背景中的正方形分別改成菱形和菱形，將菱形繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖2），試問(wèn)當(dāng)與的大小滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，；（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形和矩形，且，，（如圖3），連接，．試求的值（用a，b表示）．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1.如圖，在△ABC與△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，連接BD、CE，若AC：BC＝3：4，則BD：CE為（）A．5：3 B．4：3 C．5：2 D．2：32.如圖，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB與DE交于點(diǎn)O，AB＝4，AC＝3，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，連接BD，BF，若點(diǎn)E是射線CB上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF=56A．①② B．③④ C．②③ D．②③④3、如圖，正方形的邊長(zhǎng)為8，線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，且，連接，以為邊作正方形，為邊的中點(diǎn)，當(dāng)線段的長(zhǎng)最小時(shí)，______．4．（2022?虹口區(qū)期中）如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．（1）求證：△ABC∽△ADE；（2）判斷△ABD與△ACE是否相似？并證明．5．（2023·浙江·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)P為線段CA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段PD，連接DB，DC．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，求證：PA＝DC；（2）如圖2，當(dāng)α＝120°時(shí)，猜想PA和DC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．（3）當(dāng)α＝120°時(shí)，若AB＝6，BP＝，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D到CP的距離．6．（2022·重慶·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）觀察猜想(1)如圖1，在等邊中，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接，以為邊作等邊，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是______．(2)類比探究：如圖2，在等邊中，點(diǎn)M是延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），（1）中其它條件不變，（1）中結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)拓展延伸:如圖3，在等腰中，，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接，以為邊作等腰，使頂角．連按．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．7．（2022·江蘇·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為斜邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；【探究證明】如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一條直線上時(shí)，BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系，說(shuō)明理由；【拓展延伸】如圖3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，過(guò)點(diǎn)C作CA⊥BD于A．將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠CAE為（0°＜＜360°），當(dāng)C，D，E在同一條直線上時(shí)，畫出圖形，并求出線段BE的長(zhǎng)度．8．（2022·山東·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，和是有公共頂點(diǎn)直角三角形，，點(diǎn)P為射線，的交點(diǎn)．（1）如圖1，若和是等腰直角三角形，求證：；（2）如圖2，若，問(wèn)：（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）在（1）的條件下，，，若把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)度9．（2023·廣東·深圳市九年級(jí)期中）（1）如圖1，Rt△ABC與Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，連接BD，CE．求證：．（2）如圖2，四邊形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，連接BC，BC、AC、CD之間有何數(shù)量關(guān)系？小明在完成本題中，如圖3，使用了“旋轉(zhuǎn)放縮”的技巧，即將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，并放大2倍，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)D．點(diǎn)C落點(diǎn)為點(diǎn)E，連接DE，請(qǐng)你根據(jù)以上思路直接寫出BC，AC，CD之間的關(guān)系．（3）拓展：如圖4，矩形ABCD，E為線段AD上一點(diǎn)，以CE為邊，在其右側(cè)作矩形CEFG，且，AB＝5，連接BE，BF．求BE+BF的最小值．10．（2023·綿陽(yáng)市·九年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)P是△ABC外一點(diǎn)，連接BP，將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD，連接BD，CD，AP．觀察猜想：（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，的值為，直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為°；類比探究：（2）如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)，求出的值及直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)；拓展應(yīng)用：（3）如圖3，當(dāng)α＝90°時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段FE的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)A，D，P三點(diǎn)在一條直線上，BD交PF于點(diǎn)G，CD交AB于點(diǎn)H.若CD＝2＋，求BD的長(zhǎng)．11．（2023·湖北·九年級(jí)專題練習(xí)）在和中，，，且，點(diǎn)E在的內(nèi)部，連接EC，EB，EA和BD，并且．【觀察猜想】（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________，線段EA，EB，EC的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________．【探究證明】（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；【拓展應(yīng)用】（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，若，請(qǐng)直接寫出的面積．12．（2023··廣西一模）如圖，和均為等腰直角三角形，．現(xiàn)將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．（1）如圖1，若三點(diǎn)共線，，求點(diǎn)B到直線的距離；（2）如圖2，連接，點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)，連接，求證：；（3）如圖3，若點(diǎn)G在線段上，且，在內(nèi)部有一點(diǎn)O，請(qǐng)直接寫出的最小值．13．（2022?南山區(qū)校級(jí)一模）（1）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖①，正方形AEFG的兩邊分別在正方形ABCD的邊AB和AD上，連接CF．填空：①線段CF與DG的數(shù)量關(guān)系為；②直線CF與DG所夾銳角的度數(shù)為．（2）【拓展探究】如圖②，將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)利用圖②進(jìn)行說(shuō)明．（3）【解決問(wèn)題】如圖③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝10，O為AC的中點(diǎn)．若點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，連接OE，則在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段OE長(zhǎng)的最小值為（直接寫出結(jié)果）．14、某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題作如下探究：（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在等邊中，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，連接，以為邊作等邊，連接CQ，BP與CQ的數(shù)量關(guān)系是________；（2）變式探究：如圖2，在等腰中，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，以為腰作等腰，使，，連接，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）解決問(wèn)題：如圖3，在正方形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，以為邊作正方形，是正方形的中心，連接．若正方形的邊長(zhǎng)為5，，求正方形的邊長(zhǎng)．15、如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，C，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一直線上，連接AF并延長(zhǎng)交邊CD于點(diǎn)M．（1）求證：△MFC∽△MCA；（2