一元二次方程（教學設計）-九年級數(shù)學上冊同步備課系列

21.1一元二次方程教學設計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教版《義務教育教科書?數(shù)學》九年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第二十一章“一元二次方程”21.1一元二次方程，內(nèi)容包括：一元二次方程的概念及其一般式。2.內(nèi)容解析一元二次方程的概念，與得出一元一次方程的概念過程類似，教材先給出計算滿足條件的正方形面積、計算滿足條件的參賽隊數(shù)等實際問題，用方程的思想建立數(shù)學模型，通過觀察方程的特點，歸納、總結(jié)得到一元二次方程的概念。根據(jù)一元二次方程的概念，教材給出其一般形式為：ax2+bx+c=0（a≠0），其中二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為：a、b、c，需注意二次項系數(shù)不能為0的原因及系數(shù)前的符號問題?；谝陨戏治觯_定本節(jié)課的教學重點為：通過一元一次方程的概念，類比得出一元二次方程的概念。二、目標和目標解析1.目標1）通過一元一次方程的概念，探索歸納一元二次方程的概念，提高學生類比、歸納、總結(jié)的能力；

2）掌握一元二次方程的一般形式，正確識別一般形式中的二次項及其系數(shù)、一次項及其系數(shù)、常數(shù)項。2.目標解析通過7年級上冊的學習，我們已經(jīng)掌握了一元一次方程的概念，一元一次方程的特點為：只含有一個未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1(次)，且方程兩邊都是等式。本節(jié)課我們根據(jù)實際問題列方程，用方程的思想建立數(shù)學模型，觀察化簡后的方程與一元一次方程的結(jié)構有相似的地方，它們都只含有一個未知數(shù)（元），且方程兩邊都是等式，但未知數(shù)的次數(shù)是2(次)。由此學生通過觀察，根據(jù)一元一次方程的概念嘗試類比，歸納總結(jié)得出一元二次方程的概念。在探索的過程中，提高學生類比、歸納、總結(jié)的能力。一元二次方程的一般形式有兩個易錯點：1）忽略二次項系數(shù)≠02）判斷二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項需考慮符號問題。當二次項系數(shù)a≠0時，方程為ax2+bx+c=0（一元二次方程）。當二次項系數(shù)a=0時，方程為bx+c=0（一元一次方程）。達成目標（1）的標志是：能正確判斷一元二次方程。達成目標（2）的標志是：將方程化為一般形式，并準確判斷其二次項及其系數(shù)、一次項及其系數(shù)、常數(shù)項。三、教學問題診斷分析一元二次方程的概念是在學生學習一元一次方程、二元一次方程的基礎上學習的，它既是對一元一次方程知識的鞏固和拓展，也是后面學習一元二次方程，二次函數(shù)的基礎。因此掌握好本節(jié)課的內(nèi)容能夠加深學生對一元二次方程的理解，并且將為學生今后學習二次函數(shù)打下堅實的基礎。通過本節(jié)課的學習，嘗試總結(jié)歸納一元一次方程與一元二次方程的相同點與不同點，加深學習理解與記憶。學生通過課堂學習能掌握一元二次方程的概念及一般式，但是在實際應用過程中還是會遇到問題。問題1：判斷二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項時可能會錯誤。錯誤原因：對運算符號和性質(zhì)符號理解不清。問題2：根據(jù)一元一次方程和一元二次方程的定義，計算滿足條件未知數(shù)的值。錯誤原因：一元二次方程遺漏二次項系數(shù)不能為0的前提條件。（參見例4）基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點為：1）一元一次方程與一元二次方程的相同點與不同點；2）正確識別一般形式中的二次項及其系數(shù)、一次項及其系數(shù)、常數(shù)項。四、教學過程設計（一）復習舊知，引入新課一元一次方程的概念：只含有_______未知數(shù)（元），未知數(shù)最高次數(shù)是_____，等號兩邊都是________，這樣的方程叫一元一次方程。一元一次方程的一般形式：___________________________________。答案：一個；1；整式；ax+b=01．下列方程中，是一元一次方程的是()A．x2?4x=3 B．C．x+2y=1 D．

xy?3=52．如果方程ax|a+1|+3＝0是關于x的一元一次方程，則a的值為_____答案：1.B2.-2師生活動：師生共同回顧一元一次方程的相關知識，從而引出本節(jié)課所學內(nèi)容?！驹O計意圖】通過問題引入課題，引起學生的探究欲望和學習興趣，激發(fā)學生的學習熱情。（二）新知探究【問題1】正方形桌面的面積是9m2，求它的邊長？師：根據(jù)題干信息列方程表示?！締栴}2】有一塊矩形鐵皮,長100㎝,寬50㎝,在它的四角各切去一個正方形,然后將四周突出部分折起,就能制作一個無蓋方盒,如果要制作的方盒的底面積為3600cm2【問題3】如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m。如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端滑動多少米？【問題4】要組織一次排球邀請賽,參賽的每兩隊之間都要比賽一場,根據(jù)場地和時間等條件,賽程計劃安排7天,每天安排4場比賽,比賽組織者應邀請多少個隊參加比賽?師生活動：學生思考，獨立完成?！驹O計意圖】利用現(xiàn)實生活中實例，讓學生通過觀察思考，感受列方程并化簡的過程，體會生活中處處有數(shù)學，引起學生的探究欲望和學習興趣，從而引出本節(jié)課所學內(nèi)容。追問1：觀察下列各方程有什么共同點？x2=9x2?75x+350=0x2＋12x-15＝0師生活動：教師引導學生共同歸納：①等號兩邊都是整式②只有一個未知數(shù)③未知數(shù)最高次數(shù)是2追問2：結(jié)合一元一次方程的概念，你發(fā)現(xiàn)了什么？師生活動：先由學生嘗試歸納總結(jié)，再由教師給出一元二次方程的概念：只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)最高次數(shù)是2，等號兩邊都是整式，這類方程應該叫一元二次方程。一元二次方程的一般形式為：追問3：為什么a≠0。師生活動：先由學生回答，老師幫助引導與完善，得到：如：a=0，則原方程為一元一次方程。追問4：根據(jù)一元一次方程的解的概念，嘗試總結(jié)一元二次方程的解的概念。師生活動：先由學生回答，老師幫助引導與完善，再由教師給出一元二次方程的解的概念：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根?！驹O計意圖】讓學生經(jīng)歷合作探究過程，通過觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納，結(jié)合一元一次方程的概念概括一元二次方程的概念，培養(yǎng)學生抽象概括的能力。（三）典例分析例1：判斷下列方程中,哪些是一元二次方程，若不是請說明原因?(1)x2+1

x-5=0(2)x3-3x+7=0(3)x2-2y+1=0(4)ax2+bx+c=0(5)4x2＋3x－2=(2x-1)答案：1）--5）均不是一元二次方程。師生活動：先讓學生以小組為單位積極討論，再由學生代表給出答案并說明原因，教師板演。針對訓練：1．下列方程中，一元二次方程有（）①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x2?1xA．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．根據(jù)下列問題,列出關于x的方程,并將其化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式:(1)一個長方形的寬比長少3,面積是75,求長方形的長x;(2)兩個連續(xù)偶數(shù)的積為168,求較大的偶數(shù)x;(3)一個直角三角形的兩條直角邊的長的和是20,面積是25,求其中一條直角邊的長x.師生活動：先由學生獨立思考，再由學生給出答案，教師板演?！驹O計意圖】通過練習使學生理解一元二次方程的概念，通過一元二次方程的特點準確判定一元二次方程。例2：將下列方程化為一般形式，并判斷二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項1）3x(x?1)=5(x+2)2）3答案：1）一般式為：3x2?8x?10=0，二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為：3、-8、-2)一般式為：3x2師生活動：先由學生獨立思考，再由學生口述解題過程，教師板演。這個過程中教師需強調(diào)判斷二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項時需帶上前面的符號。針對訓練：答案：師生活動：讓學生積極回答問題，調(diào)動課堂氣氛，提高學生學習興趣，教師板演?！驹O計意圖】掌握一元二次方程的一般形式，能夠快速準確判斷二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項。例3：若x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，則（）A．a(chǎn)+b+c＝1 B．a(chǎn)﹣b+c＝0 C．a(chǎn)+b+c＝0 D．a(chǎn)﹣b﹣c＝0師生活動：由學生代表給出答案，并說明原因。教師補充：因為x=1是原方程的解，將它帶入方程，方程兩邊相等，得a+b+c＝0，所以答案選C.針對訓練：1．若一元二次方程的二次項系數(shù)為1，常數(shù)項為0，它的一個根為2，則該方程為_______________．2.已知x＝n是關于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一個根，若mn2﹣4n+m＝6，求m的值．師生活動：先由學生獨立思考，再由學生給出答案，并說明解題方法，教師板演。【設計意圖】掌握一元二次方程解的概念。（四）知識歸納【問題】一元一次方程與一元二次方程有什么相同點與不同點？師生活動：教師引導學生歸納總結(jié)，加深學生理解?！驹O計意圖】通過歸納總結(jié)，加深學生理解一元一元一次方程與一元二次方程的相同點與不同點，在課堂上允許學生有不同的見解，積極鼓勵學生發(fā)言回答問題，調(diào)動學生學習數(shù)學的興趣。（五）當堂鞏固例4：關于x的方程（2a－4）x2－2x+a=0,1）在什么條件下此方程為一元二次方程？2）在什么條件下此方程為一元一次方程？答案：1）a≠22）a=2例5：a為何值時，方程a?1x答案：解：∵方程a?1x∴a?1≠0a+1=2∴a=?1師生活動：教師引導學生解題，加深理解二次項系數(shù)不能為0的原因。能力提高：1．已知關于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，問：（1）k為何值時，此方程是一元一次方程？（2）k為何值時，此方程是一元二次方程？并寫出這個一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項．答案：解：（1）∵2k+1x2+4kx+k?1=0∴2k+1=04k≠0，解得（2）∵2k+1x∴2k+1≠0即k≠∴這個一元二次方程的二次項系數(shù)為2k+1，一次項系數(shù)為4k，常數(shù)項為k-12．簡答題：（1）當m為何值時，關于x的方程m2（2）已知關于x的一元二次方程m2?1x（3）在第（2）題中，如果要使已知方程有一個根是l，那么m應該等于什么數(shù)？答案：解：（1）∵關于x的方程m2?1x∴m2?1≠0，解得：（2）∵關于x的一元二次方程m2∴將x=0代入m2?1x（3）∵關于x的一元二次方程m2∴將x=1代入m2?1x【設計意圖】通過練習，加深學生理解一元一元一次方程與一元二次方程的相同點與不同點。（六）感受中考1．（2022廣東14/23）若x=1是方程x2?2x+a=0的根，則a=2．（2022資陽市14/24）若a是一元二次方程x2+2x?3=0的一個根，則答案：1）12）6【設計意圖】通過對最近幾年的中考試題的訓練，使學生提前感受到中考考什么，進一步了解考點.（七）課堂小結(jié)本節(jié)課學習，你有哪些收獲和體會？還有什么疑惑？1.簡述一元二次方程的概念？2.說出一元二次方程的一般形式？為什么二次項系數(shù)不能為0？3.一元一次方程與一元二次方