數(shù)學(xué)學(xué)案：第三講一平行射影

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精一平行射影1．掌握正射影的概念，理解平行射影的概念，能確定平行射影的形狀．2．掌握橢圓的定義,知道橢圓是圓柱的一種截面．1．正射影（1）定義:給定一個(gè)平面α，從一點(diǎn)A作平面α的______,垂足為點(diǎn)A′.稱(chēng)_____為點(diǎn)A在平面α上的正射影．一個(gè)圖形上_____在平面α上的正射影所組成的____，稱(chēng)為這個(gè)圖形在平面α上的正射影．（2)圓面的正射影：一個(gè)圓所在的平面β與平面α平行,那么該圓在平面α上的正射影顯然是______，并且是和原來(lái)的圓相同的圓；如果圓所在的平面β與平面α不平行且不垂直時(shí)，從生活經(jīng)驗(yàn)我們知道，正射影的形狀發(fā)生了變化,就好像一個(gè)圓被壓扁了,我們稱(chēng)之____；如果圓所在的平面β與平面α垂直時(shí)，那么該圓在平面α上的正射影是______,其長(zhǎng)度等于圓的直徑．一個(gè)圖形在一個(gè)平面上的正射影與圖形和平面的位置關(guān)系有關(guān)，如一條直線(xiàn)，當(dāng)它和平面α垂直時(shí),它在平面α上的正射影是一個(gè)點(diǎn);當(dāng)它和平面α斜交時(shí)，它在平面α上的正射影是一條直線(xiàn)；它和平面α平行時(shí)，它在平面α上的正射影是一條與原直線(xiàn)平行的直線(xiàn)．【做一做1】△ABC在平面α上的正射影是()A．三角形B．直線(xiàn)C．線(xiàn)段D．三角形或線(xiàn)段2．平行射影定義:設(shè)直線(xiàn)l與平面α______(如圖),稱(chēng)直線(xiàn)l的方向?yàn)橥队胺较颍^(guò)點(diǎn)A作____于l的直線(xiàn)(稱(chēng)為投影線(xiàn)）必交α于一點(diǎn)A′,稱(chēng)____為A沿l的方向在平面α上的平行射影．一個(gè)圖形上______在平面α上的平行射影所組成的____,叫做這個(gè)圖形的平行射影．顯然,正射影是______的特例．平行射影的性質(zhì)：（1)直線(xiàn)的平行射影是直線(xiàn)或一個(gè)點(diǎn)，線(xiàn)段的平行射影是線(xiàn)段或一個(gè)點(diǎn)；（2）平行直線(xiàn)的平行射影是平行或重合的直線(xiàn)或兩個(gè)點(diǎn);(3）平行于投影面的線(xiàn)段，它的平行射影與這條線(xiàn)段平行且等長(zhǎng);（4）與投影面平行的平面圖形，它的平行射影與這個(gè)圖形全等；（5）在同一直線(xiàn)或平行直線(xiàn)上的兩條線(xiàn)段的平行射影(不是點(diǎn))的比等于這兩條線(xiàn)段的比．【做一做2】?jī)蓷l異面直線(xiàn)m和n在平面α上的平行射影是(）A．一條直線(xiàn)和直線(xiàn)外一個(gè)點(diǎn)B．兩條相交直線(xiàn)C．兩條平行直線(xiàn)D．以上都有可能3．橢圓（1）定義：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之____等于____的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．（2)抽象概括：用一個(gè)平面去截一個(gè)圓柱，當(dāng)平面與圓柱的兩個(gè)底面______時(shí),截面是一個(gè)圓；當(dāng)平面與圓柱的兩個(gè)底面______時(shí)，截面是一個(gè)橢圓（如圖）．【做一做3】平面上兩個(gè)定點(diǎn)A和B的距離為5,動(dòng)點(diǎn)P到A，B的距離之和為常數(shù)m，若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓，則m的取值范圍是（）A．(0，5)B．（5,＋∞）C．(0，＋∞）D．R答案：1．（1）垂線(xiàn)點(diǎn)A′各點(diǎn)圖形(2）一個(gè)圓橢圓一條線(xiàn)段【做一做1】D當(dāng)△ABC所在平面垂直于α?xí)r，△ABC在α上的正射影是一條線(xiàn)段，否則是三角形．2．相交平行點(diǎn)A′各點(diǎn)圖形平行射影【做一做2】D當(dāng)m和n中有一條直線(xiàn)與投影方向平行時(shí)，它們的平行射影是一個(gè)點(diǎn)和一條直線(xiàn);否則是兩條平行直線(xiàn)或相交直線(xiàn)．3．(1）和定長(zhǎng)(2)平行不平行【做一做3】B當(dāng)m＜5時(shí)，不表示任何圖形；當(dāng)m＝5時(shí)，軌跡是線(xiàn)段AB；當(dāng)m＞5時(shí)，軌跡是橢圓．1．平行射影與正射影的區(qū)別與聯(lián)系剖析：對(duì)于平行射影，取不同的投影方向，同一個(gè)圖形的平行射影所組成的圖形也有所不同,正射影就是平行射影中投影方向與平面垂直時(shí)的一種特殊情況．因而我們可以從兩個(gè)不同的角度加以考慮,并且要注意這二者的區(qū)別與聯(lián)系,從而才能完整、全面地看待問(wèn)題．例如，如下圖所示，直線(xiàn)l與平面α所成的角是45°，交點(diǎn)為A．在l上取不同于A的另一點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥α于C．則l在平面α上的正射影是直線(xiàn)AC．當(dāng)投影方向與l相同時(shí)，l在平面α上的平行射影是一個(gè)點(diǎn)，即點(diǎn)A，當(dāng)投影方向垂直于平面α?xí)r，l在平面α上的平行射影是直線(xiàn)AC，此時(shí)平行射影和正射影是相同的．2．點(diǎn)的射影與圖形的射影間的區(qū)別與聯(lián)系剖析：圖形是由點(diǎn)組成的集合，因而圖形的射影是被投影圖形上各點(diǎn)在平面α上的射影的集合，所以，要找到一個(gè)圖形的射影只需找到組成這個(gè)圖形的關(guān)鍵點(diǎn)的射影即可．一平行射影題型一對(duì)平行射影的理解【例題1】下列說(shuō)法正確的是（)A．正射影和平行射影是兩種截然不同的射影B．投影線(xiàn)與投影平面有且只有一個(gè)交點(diǎn)C．投影方向可以平行于投影平面D．一個(gè)圖形在某個(gè)平面上的平行射影是唯一的反思：圖形的平行射影與兩個(gè)因素有關(guān)：一個(gè)是投影方向，一個(gè)是投影平面．正確地理解平行射影的有關(guān)概念，是解決平行射影問(wèn)題的關(guān)鍵．題型二判斷平行射影的形狀【例題2】如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為正方體的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的正射影可能是____________．(要求：把可能的圖的序號(hào)都填上）反思：判斷平行射影的形狀時(shí)，常常先確定圖形中各頂點(diǎn)的射影，再依次連接各頂點(diǎn)的射影即可；同一圖形在平行平面上的平行射影是相同的．答案：【例題1】B正射影是平行射影的特例,本質(zhì)是相同的，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；投影線(xiàn)與投影平面只能相交，選項(xiàng)B是正確的，選項(xiàng)C是錯(cuò)誤的；一個(gè)圖形在一個(gè)平面上的平行射影與投影方向有關(guān)，方向改變了，就可能得到不同的平行射影，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．【例題2】（2)(3）對(duì)四邊形BFD1E在正方體的六個(gè)面上的正射影都要考慮到，并且對(duì)于圖形要考慮所有點(diǎn)的正射影，又知線(xiàn)段由兩個(gè)端點(diǎn)唯一確定,故考查四邊形BFD1E的射影，只需同時(shí)考查點(diǎn)B,F，D1，E在各個(gè)面上的正射影即可．四邊形BFD1E在平面ABB1A1,平面CDD1C1，平面ABCD和平面A1B1C1D1上的正射影均為(2)圖；四邊形BFD1E在平面ADD1A1和平面BCC1B1上的正射影均為(3）圖．1一個(gè)圖形的正射影是一條線(xiàn)段，這個(gè)圖形不可能是(）A．線(xiàn)段B．圓C．梯形D．長(zhǎng)方體2下列說(shuō)法正確的是(）A．平行射影是正射影B．正射影是平行射影C．同一個(gè)圖形的平行射影和正射影相同D．圓的平行射影不可能是圓3如圖,在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BB1，BC的中點(diǎn),則圖中陰影部分在平面ADD1A1上的正射影為下列各圖中的（）4梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在平面α內(nèi)，則它在平面α上的平行射影是________．5關(guān)于直角∠AOB在平面α內(nèi)的平行射影有如下判斷：①可能是0°的角；②可能是銳角;③可能是直角;④可能是鈍角；⑤可能是180°的角，其中正確判斷的序號(hào)是____________．答案：1．D當(dāng)線(xiàn)段、圓、梯形所在的平面與投影面垂直時(shí)，它們的正射影都是一條線(xiàn)段，很明顯長(zhǎng)方體的正射影不可能是一條線(xiàn)段．2．B正射影是平行射影的特例，則選項(xiàng)A不正確,選項(xiàng)B正確；對(duì)同一個(gè)圖形，當(dāng)投影線(xiàn)垂直于投影面時(shí)，其平行射影就是正射影,否則不相同，則選項(xiàng)C不正確；當(dāng)投影線(xiàn)垂直于投影面，且圓面平行于投影面時(shí)，圓的平行射影是圓，則選項(xiàng)D不正確．3．A點(diǎn)D在平面ADD1A1上的正射影是它本身；點(diǎn)M在平面ADD1A1上的正射影是AA1的中點(diǎn)；點(diǎn)N在平面ADD1A1上的正射影是AD的中點(diǎn)，則陰影部分在平面ADD1A1上的正射影為選項(xiàng)A中的圖形．4．一條線(xiàn)段或一個(gè)梯形如果梯形ABCD所在平面平行于投影方向，則梯形ABCD在平面α上的平行射影是一條線(xiàn)段．如果梯形ABCD所在平面不平行于投影方向，由于平行線(xiàn)的平行射