基于高階累積量的陣列校驗

哈爾濱工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文）哈爾濱工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文）畢業(yè)設(shè)計（論文）題目基于高階累積量的陣列校準(zhǔn)摘要陣列幅相誤差會嚴重影響MUSIC算法的測向性能；由于四階累積量的盲高斯性以及陣列擴展等優(yōu)良特性，近年來在陣列信號處理中得到了越來越多的應(yīng)用。為此基于均勻線陣,給出了基于最大非冗余四階累積量的陣列誤差校正算法。本文首先介紹了高階累積量的定義和性質(zhì)，特別指出了高階累積量對加性高斯(白色或有色)噪聲的盲性，這是利用它進行波達方向估計的理論優(yōu)勢；其次，介紹了陣列信號誤差模型和常見陣列誤差校正方法，重點針對常見的陣列幅相誤差問題，分別介紹基于協(xié)方差和高階累積量兩種陣列誤差的自校正方法，兩種方法都能將信源方位和陣列誤差參數(shù)進行聯(lián)合估計，文章中將對兩種方法的陣列誤差估計性能進行全面比較分析。關(guān)鍵詞：高階累積量；幅相誤差；陣列校準(zhǔn)；DOA估計；均勻線陣；AbstractTheamplitudeandphaseerrorsofanarraydegradeseverelytheperformanceoftheMUSICalgorithm,withtheadvantagesofblindnesstoGuassiannoiseandarrayextendingcapability,fourth-ordercumulanthasbeenwidelyappliedtoarraysignalprocessinginrecentyears.ThereforethisarticlepresentsanewcalibrationalgorithmbasedontheMaximalSetofNon-redundantcumulantsforamplitudeandphaseerrorsinuni-formlineararray.Firstly,thethesisintroducesthedefinitionsandtheattributesoftheHigher-OrderStatistics.Higher-OrderCumulantsareblindtoadditiveGanssiannoise(whiteorcolored)andthisisthetheoreticaladvantageofHigher-OrderCumulants.Secondly,theestablishedarraysignalerrormodelandseveralarraycalibrationalgorithmsarepresented.Importantly,astotheusualarrayerrorofarrayamplitudeandphase,wewillintroducetwokindsofalgorithmsseparatelybasedonusualMUSICandFOC-MUSICmethods.Thetwomethodscanbothgettheacuratesignaldirectionatthesametime.Lastly,thethesiswillmakeacomparionbetweenthetwomethods.Keywords:highordercumlants,arrayerrorsofamplitudeandphase,algorithm,doaestimation,lineararray目錄摘要 1Abstract 2第1章緒論 51.1課題背景及研究的目的和意義 51.2本文主要研究內(nèi)容 6第2章陣列幅相誤差校正技術(shù) 72.1信號模型的建立 72.2陣列誤差信號模型 92.3陣列誤差的影響 92.4陣列誤差校正常見方法 12第3章高階統(tǒng)計量 163.1隨機過程及其特征函數(shù) 163.1.1單個隨機變量的特征函數(shù) 163.1.2多維隨機變量的特征函數(shù) 163.2常用的高階統(tǒng)計量 173.2.1單個隨機變量和隨機變量序列的高階矩和高階累積量 173.2.2隨機過程的高階矩和高階累積量 183.2.3平穩(wěn)過程的高階矩和高階累積量 193.3高斯過程的高階矩和高階累積量 193.3.1高斯隨機變量和隨機變量序列的高階矩和高階累積量 193.3.2零均值的高斯隨機過程的高階矩和高階累積量 213.3.3高階矩和高階累積量 213.4高階累積量的性質(zhì)與特點 213.4.1高階矩和高階累積量 223.4.2高階累積量的優(yōu)勢 24第4章陣列幅相誤差校正技術(shù) 254.1陣列誤差的基本模型 254.2陣列誤差估計和校正的基于高階累積量的MUSIC方法 264.2.1基于最大非冗余累積量集的空間累量陣 264.2.2基于最大非冗余陣的MUSIC方法 284.2.3存在幅相誤差時基于的方向估計與陣列校正 284.2.4仿真分析 30結(jié)論 34參考文獻 35致謝 37第1章緒論1.1課題背景及研究的目的和意義陣列信號處理這個學(xué)科的產(chǎn)生可以追溯到20世紀60年代現(xiàn)代雷達領(lǐng)域自適應(yīng)干擾對消理論和技術(shù)的產(chǎn)生，是信號處理中一個年輕的分支，屬于現(xiàn)代信號處理的重要研究內(nèi)容之一，其應(yīng)用范圍十分廣泛，可用于雷達、聲納、通信、地震勘測、射電天文和醫(yī)用成像等眾多領(lǐng)域。陣列信號處理包括自適應(yīng)空域濾波（也稱為波束形成）和空間譜估計兩個主要研究方向，其主要目的是提取陣列所接收的信號及其特征信息（參數(shù)），同時抑制干擾和噪聲或不感興趣的信息。與自適應(yīng)空域濾波不同，空間譜估計側(cè)重于研究空間中多傳感器陣列所構(gòu)成的處理系統(tǒng)對感興趣的空間信號的多種參數(shù)進行準(zhǔn)確估計的能力，其主要目的是估計信號的空域參數(shù)或信源位置。對信源方向的估計稱為波達方向估計（或測向）。R.Schmidt在1986年提出的MUSIC(multiplesignalclassification)算法極大的提高了空間譜估計的性能，從而引起人們極大的興趣。隨后出現(xiàn)一大批基于子空間理論的空間譜估計算法，例如ESPRIT(estimationofsignalparametersviarotationinvariancetechniques)、root-MUSIC、WSF(weightedsubspacefitting)等。然而，這些經(jīng)典的超分辨測向算法以及波束形成算法大多都是以陣列流形精確已知為前提的，因而性能優(yōu)良。但是在實際工程應(yīng)用中，真實的陣列流形往往會隨著氣候、環(huán)境、位置以及器件本身等因素的變化而出現(xiàn)一定程度的偏差或擾動。此時，通常的超分辨測向算法及波束形成算法的性能會嚴重惡化，甚至失效。己經(jīng)有研究表明，利用精確己知的誤差參數(shù)，很多現(xiàn)有的算法都可以得到很好的性能。因此，陣列誤差的校正問題一直是陣列信號處理技術(shù)走向?qū)嵱没囊粋€瓶頸，成為近年來的一個研究熱點。高階統(tǒng)計量已經(jīng)廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代信號處理的各個領(lǐng)域。其中一個主要的原因是現(xiàn)代信號處理的很大一部分是基于非高斯信號的，在過去，由于缺乏分析工具，人們在實際處理過程中多假設(shè)為正態(tài)分布或叫高斯分布。其結(jié)果不是很令人滿意。近年來，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和進步，國內(nèi)外學(xué)術(shù)界已經(jīng)將注意力轉(zhuǎn)向非高斯信號的處理上來了。對高斯信號而言，只需二階統(tǒng)計量就能完全描述，而二階統(tǒng)計量只包含少量的幅度信息，不包括相位信息，因此對非最小相位系統(tǒng)的辨識而言，二階統(tǒng)計量便顯得無能為力；與傳統(tǒng)的信號處理不同，非高斯信號處理使用高階統(tǒng)計量作為主要分析工具，高階統(tǒng)計量含有十分豐富的信息，從而使得非因果、非最小相位、非線性系統(tǒng)的辨識成為可能，同時高階累積量能夠完全抑制高斯色噪聲。高階統(tǒng)計量分析在信號處理領(lǐng)域中的應(yīng)用在20世紀80年代達到高潮，從那以后一直是國內(nèi)外信號處理領(lǐng)域的熱點。經(jīng)過幾十年的發(fā)展，高階統(tǒng)計量已在雷達、聲納、通信、海洋學(xué)、電磁學(xué)等領(lǐng)域獲得了大量的應(yīng)用。國內(nèi)的高階累積量的研究始于20世紀80年代后期，但發(fā)展很快，已經(jīng)在信號處理、系統(tǒng)理論和時間序列分析的領(lǐng)域取得了很大的應(yīng)用。高階累積量能夠抑制高斯噪聲，將高階累積量應(yīng)用于陣列信號處理，特別是用于波達方向估計，國內(nèi)外已經(jīng)有了很長時間了，西安電子科技大學(xué)的保錚院士和他的學(xué)生一起，做了很多工作，還有像空軍雷達學(xué)院的王永良教授、吉林工業(yè)大學(xué)的劉若倫都在這方面作了不少工作?？傊?，波達方向估計有著十分廣泛的用途，而以高階統(tǒng)計量作為分析的數(shù)學(xué)工具能夠得到很好的結(jié)果，因此展開這方面的理論研究有很大的現(xiàn)實意義。1.2本文主要研究內(nèi)容本文首先介紹陣列側(cè)向系統(tǒng)誤差模型及其影響，主要研究基于高階累積量的陣列校正技術(shù)，全文的主要內(nèi)容安排如下：第一章綜述了陣列誤差校正的背景和研究意義，簡述了該領(lǐng)域目前國內(nèi)外的研究和發(fā)展現(xiàn)狀，其次對高階累積量在陣列信號處理方面的應(yīng)用和理論發(fā)展做介紹。第二章首先分析了陣列的信號模型，在研究了陣列模型的基礎(chǔ)之上介紹了超分辨的MUSIC方法，同時討論了存在幅相誤差時信號模型，并從理論上分析陣列誤差對其算法性能影響，給出了仿真結(jié)果。同時簡要介紹了一種幅相誤差的有源校正方法和幾種自校正方法。第三章首先介紹高階累積量的定義和性質(zhì)，其次是在陣列信號中的應(yīng)用，其對于陣列孔徑的擴展，如何構(gòu)造累積量陣列，以及進一步構(gòu)造最大非冗余累量陣。第四章是陣列誤差和高階累積量陣的集合。本章采用累積量矩陣用循環(huán)迭代的方法對有誤差的陣列進行校正。分析其誤差參數(shù)，同時也可得到對來波方向的估計。本章將對高階累積量和協(xié)方差的校準(zhǔn)方法進行比較，得出兩者的優(yōu)虐。最后是全文總結(jié)。第2章陣列幅相誤差校正技術(shù)在研究陣列信號處理的問題時，陣列信號模型的建立是首要討論的問題，它為信號處理技術(shù)提供了理論研究基礎(chǔ)。正如緒論中所言，基于陣列模型的建立，出現(xiàn)了波束形成算法、基于特征分解的超分辨參數(shù)估計等各種陣列信號處理方法。但無論是波束形成還是高分辨方法都受到陣列誤差的影響，性能有所下降。這就有必要來了解一下信號模型的建立情況。2.1信號模型的建立在建立信號模型時，我們假設(shè)陣列由N個全向性陣元構(gòu)成，陣列結(jié)構(gòu)形式任意，如圖2.1所示，設(shè)定坐標(biāo)系，則可知，在該坐標(biāo)系下各陣元的坐標(biāo)為（），（），……，（）。若以陣列的第一個陣元為參考陣元時，其位置為坐標(biāo)原點，即（）=（0,0）。若該陣列接收p個窄帶、獨立、遠場信號，假定第i個信號源波達方向與y軸的夾角為。噪聲均值零、方差為的高斯白噪聲，且各陣元上的噪聲、噪聲與信號之間不相關(guān)。圖2.1陣列示意圖則第k個陣元上t時刻接收到的數(shù)據(jù)為：（2-1）當(dāng)陣列無誤差時，陣列流形矢量（arraymanifold）為：（2-2）它依賴于陣列幾何結(jié)構(gòu)和波的傳播方向、波長等參數(shù)，稱為導(dǎo)向矢量（steeringvector）,為信號的波長。把（2-1）式寫為矩陣形式：（2-3）其中A稱為陣列的方向矩陣，是第i個窄帶信號的復(fù)包絡(luò)，T表示轉(zhuǎn)置，分別是第k個陣元接收到的數(shù)據(jù)和觀察噪聲，各自獨立，與信號不相關(guān)。因此，陣列的協(xié)方差矩陣為：（2-4）E[]表示求數(shù)學(xué)期望，H表示共軛轉(zhuǎn)置，信號功率是噪聲功率，I是階單位陣。而實際中，通過有限次快拍實現(xiàn)R的估計（2-5）其中L為快拍數(shù)，X(t)為陣列輸出端的t時刻的采樣。下面介紹常用的特殊結(jié)構(gòu)等距線陣：等距線陣就是將陣元均勻分布在一條直線上，相鄰的兩個陣元之間的間距為d，陣列示意圖如下：圖2.2N元均勻線陣示意圖因此等距線陣的陣列流形為：(2-6)方向矩陣，具有范德蒙結(jié)構(gòu)，這會給波達方向估計帶來方便。很多陣列結(jié)構(gòu)的方向矩陣可以轉(zhuǎn)化成這種范德蒙結(jié)構(gòu)形式求解。本文所做的研究也正是基于該陣列流形。2.2陣列誤差信號模型在陣列信號處理的研究中，基本都是以不存在誤差的陣列模型為研究基礎(chǔ)的，也就是理想的陣列模型，但在實際應(yīng)用中由于各種原因陣列接收信號不可能完全符合理想情況。下面我們就來建立存在陣列誤差的信號模型，為下下一步校正陣列信號誤差奠定理論基礎(chǔ)。陣列誤差來源大致上可以分為以下幾類：陣元幅度和相位誤差，包括各陣元性能吧不一致和通道間的幅頻和相頻特性不一致；同一接收通道的正交誤差；陣元間的互耦；噪聲引起的誤差；波束指向誤差；近場效應(yīng)引起的誤差及信號源的相關(guān)性引起的誤差等等。而許多系統(tǒng)誤差都可以歸結(jié)為陣列幅相誤差，如陣元位置誤差、陣元通道誤差等，這些因素對估計性能影響較大，因此我們討論的重點是陣列幅相誤差。在2.1節(jié)介紹了陣列無誤差條件下的陣列信號模型，下面將給出陣列存在幅相誤差時的信號模型，為進一步討論陣列誤差對信號處理方法的影響打下基礎(chǔ)：當(dāng)僅考慮陣元幅相誤差時，陣列的信號模型為：（2-8）其中為第k個陣元的幅度誤差，為第k個陣元的相位誤差。一般都以第一個陣元通道作為相位和增益的基準(zhǔn)，此時有。2.3陣列誤差的影響在上一節(jié)中我們已經(jīng)建立了有陣列誤差的信號模型，在此基礎(chǔ)上我們來研究一下陣列誤差對MUSIC高分辨算法的影響，正是因為陣列誤差存在使得高分辨算法性能惡化，我們才把陣列誤差校正作為陣列信號處理的一個重要研究內(nèi)容。MUSIC算法是一種最為經(jīng)典的超分辨信號參數(shù)估計方法，并且以其優(yōu)越的性能被廣泛地應(yīng)用于實際中。本節(jié)從理論上介紹了MUSIC算法原理、分析了陣列誤差對MUSIC算法性能的影響。在超分辨信號參數(shù)估計方法中，MUSIC算法是其中一種最為經(jīng)典的方法，該方法把線性空間的概念引入到波達方向估計中，將線性空間分為由信號導(dǎo)向矢量張成的信號子空間和其正交補空間即噪聲子空間。首先，對陣列的協(xié)方差矩陣R進行特征分解：（2-26）將特征值從大到小排列，p(信源個數(shù))個大特征值對應(yīng)的特征矢量張成的子空間，稱為信號子空間，它與陣列流形子空間相同。N-p個小特征值所對應(yīng)的特征矢量所張成的子空間稱為噪聲子空間。顯然。噪聲子空間的投影矩陣為,其中。因而，可以給出MUSIC算法的譜函數(shù)為（2-27）在上式所形成的空間譜中對波達方向進行搜索。由于信號子空間和噪聲子空間正交，所以當(dāng)為某一信源的波達方向時，它對應(yīng)的導(dǎo)向矢量向噪聲子空間的投影長度為零，理論上趨于無窮大，但在實際中得到的是噪聲子空間的估計，并不完全正交，此時譜函數(shù)將出現(xiàn)峰值。該算法的缺陷是要進行譜峰搜索，尤其在兩維波達方向（方位角和俯仰角）估計中，其運算量相當(dāng)大。陣元存在幅度和相位誤差時的信號模型如式(2-8)所示：由上式可知，陣列的實際導(dǎo)向矢量可以表示為，因此，其實際的協(xié)方差陣位：（2-28）但是，在實際中未知，在MUSIC譜函數(shù)式中，只能用理論導(dǎo)向矢量去做搜索，誤差的存在將導(dǎo)致理論導(dǎo)向矢量與噪聲子空間的正交性變差。1、幅度(增益)誤差對MUSIC算法的影響此時假設(shè)僅存在陣列增益誤差，因此由2.1節(jié)中所示，陣列接收信號向量的協(xié)方差矩陣為：為便于分析，假設(shè)只有一個信號源，且來自于方向。此時對做特征分解，則有一個大特征值和N-1個小特征值，其對應(yīng)的特征矢量分別是信號向量,因此有：（2-29a）（2-29b）如果不進行誤差校正，而直接采用理想條件下的導(dǎo)向矢量作MUSIC譜峰搜索，可得MUSIC譜為,其中為噪聲子空間，即，則此時有：（2-30）從式（2-30）可以得到，當(dāng)時取得最大值，但此時分母不再為零，因此陣元增益誤差的存在并不引起MUSIC譜中的譜峰位置相對于正確的波達方向產(chǎn)生偏移，其影響是降低了譜峰幅度。對于多源情形，雖然不同信源之間的互耦使分析變得復(fù)雜，但陣元幅度誤差的影響類似于單源情形，即MUSIC譜的譜峰位置不會因為幅度誤差的存在而改變。2、相位誤差對MUSIC算法的影響當(dāng)陣列模型中沒有陣列增益誤差，而只存在陣列相位誤差時，由2.2節(jié)可知，。因此此時的譜函數(shù)形式與只存在增益誤差的情形是一樣的，只不過Γ矩陣由幅度矩陣變?yōu)橄辔痪仃嚒Ｈ砸詥涡盘栐辞樾螢槔?，相位誤差的影響取決于：（2-31）從上式可以看到由于附加相位項的影響，其最大值通常并不對應(yīng)真實的信源方向。所以存在信道相位失配時，波達方向的估計是有偏移的。2.4陣列誤差校正常見方法在上一節(jié)中分析了可以看出陣列誤差對MUSIC算法的性能有影響，那么如何實現(xiàn)陣列誤差校正就是陣列信號處理中一個重要的研究內(nèi)容。早期的陣列校正是通過對陣列流形的直接離散測量、內(nèi)插、存儲來實現(xiàn)的，但該方法實現(xiàn)復(fù)雜度太大，而且實際效果也不理想。九十年代后，人們通過對陣列擾動進行建模，將陣列誤差校正逐漸轉(zhuǎn)化為一個參數(shù)估計問題。而參數(shù)類的校正方法通常可以分為有源校正和自校正。有源校正是指通過在空間放置方位已知的輔助信源來對陣列擾動參數(shù)進行估計，它要求已知校正源個數(shù)、方向等先驗知識，包括有源遠場校正、近場校正和使用饋源法校正。該方法的優(yōu)點是不增加算法的復(fù)雜度，理論上可以消除各種誤差的影響，但要求外置方位已知的輔助信源，增加了實現(xiàn)難度。在這里我們分別對有源校正和自校正做以介紹。有源陣列誤差校正對一雷達天線陣列，在某一固定方位處有一個校正用的信號源，在雷達天線轉(zhuǎn)動過程中間隔觀察M次，而每次觀察時雷達天線陣所轉(zhuǎn)過的角度卻是精確已知的。為此，我們可以假設(shè)天線不動，空間中有M個遠場窄帶信號源，在某一時刻只有一個信號源工作，只要知道第一個信號源的方向我們可以計算出M個信號源的方向。設(shè)陣列由個全向性陣元構(gòu)成，陣列結(jié)構(gòu)形式任意，存在陣列誤差時，真實的陣列導(dǎo)向矢量為：(2-8)其中是理想導(dǎo)向矢量。由于并不是只有幅相誤差，而是有其他陣列誤差影響的誤差矩陣，所以該矩陣并不像前文所述是一個對角陣，而是一個N×N的方陣。陣列接收到的數(shù)據(jù)為：則在分時工作的條件下，可以得到M個觀測數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣：其中：為第i個信號的功率，為噪聲的功率。式(3-11)右邊第一項為秩等于1的矩陣，對作特征分解，最大特征值所對應(yīng)的歸一化特征向量為，這時有：（2-34）我們很容易通過優(yōu)化如下函數(shù)得到Γ和Λ的最小二乘估計：（2-35）其中，（為歸一化的特征分解后最大特征值所對應(yīng)的特征向量），表示矩陣的Frobenius范數(shù)，表示來波方向且當(dāng)j時。最小化式(2-35)得到Γ的期望值（2-36）將式(2-36)代入式(2-35)得到優(yōu)化問題變?yōu)椋海?-37）其中表示方陣的跡。根據(jù)矩陣的相關(guān)原理我們可以將式(2-37)寫成如下形式：表示Schur-Hadamard積。(2-38)很容易看出式(2-38)的一個平凡解為c=0但這不是我們所要求的解。由于誤差校正源都是有限功率的，我們可以約束從而確定唯一的c。那么該問題就轉(zhuǎn)化為尋找最小特征值和特征向量的問題，如下表示：（2-39）將所求得的最小特征向量c即代入式(2-36)，就可以得到陣列誤差Γ。對于以上的參數(shù)估計問題，我們的測量量有2MN個，而有實數(shù)變量需要估計，所以當(dāng)([S]表示取大于或等于s的最小整數(shù)），陣列誤差估計性能惡化，不能正確估計陣列誤差。該方法較其他有源幅相誤差方法優(yōu)點在于：由于信號模型加入的誤差矩陣是一個方陣不限于其他方法中的對角陣，所以在誤差中考慮到陣元位置誤差和陣元互耦等情況。但由于該方法仍屬于有源方法所以它也有著其他有源方法共同不足，要已知信源的參數(shù)，這就增加了該方法實現(xiàn)的難度。下來我們介紹實現(xiàn)較簡單的自校正方法。陣列誤差自校正方法自校正方法通常將空間信源的方位與陣列的擾動參數(shù)根據(jù)某種優(yōu)化函數(shù)進行聯(lián)合估計，它對信號以及陣列無需更多的要求，主要是利用陣列結(jié)構(gòu)等先驗知識對接收數(shù)據(jù)進行處理，得到校正結(jié)果。這種校正方法不需要方位已知的輔助信源，實現(xiàn)代價較小。但參數(shù)聯(lián)合估計對應(yīng)的高維、多模、非線性優(yōu)化問題帶來了龐大的運算量，不利于實時處理，而且參數(shù)估計的全局收斂性也往往得不到保障。本文主要討論的就是這種自校正方法，下面我們給出一種經(jīng)典的幅相誤差自校正算法。我們還是以N個全向陣元組成的均勻線陣為例，與前面所述的陣列信號模型一致。陣列接受信號為（2-47）其中為第個陣元的幅度誤差，為第k個陣元的相位誤差。令，。一般都以第一個陣元通道作為相位和增益的基準(zhǔn)，此時有。迭代算法如下：初始化設(shè)置迭代次數(shù)k=0；初始化陣列幅相誤差這里設(shè)為即無陣列幅相誤差，各陣元幅相誤差系數(shù)為全為1；計算接受數(shù)據(jù)自相關(guān)矩陣，其中L是快拍數(shù)；計算噪聲子空間矩陣即由對進行特征值分解，得到小特征值對應(yīng)的特征矢量所組成的矩陣。Step1：DOA估計根據(jù)MUSIC算法原理，搜索得到M個譜峰，得到來波方向估計值；Step2：有了M個來波方向角度值下面優(yōu)化代價函數(shù)（2-48）其中，由于我們約束取。該問題就變?yōu)榫€性約束的二次規(guī)劃問題：（2-49）我們可以得到優(yōu)化問題的解為（2-50）這里計算幅相誤差矩陣（2-51）將計算好的帶入MUSIC算法中，搜索譜峰得到新的來波估計方向，帶入代價因子的計算（2-52）計算與否，若滿足則說明算法沒有收斂繼續(xù)循環(huán)迭代，若不滿足則說明算法已經(jīng)收斂，得到陣列幅相誤差。該方法的流程圖如下所示初始化初始化MUSIC算法估計DOA優(yōu)化代價函數(shù)計算幅相誤差MUSIC譜峰搜索計算代價函數(shù)計算結(jié)束結(jié)束

第3章高階統(tǒng)計量本章是全文的基礎(chǔ)，首先介紹隨機過程的一些基本概念，然后重點介紹特征函數(shù)，由特征函數(shù)引出高階統(tǒng)計量的基本概念。接著分析高階統(tǒng)計量的性質(zhì)及各種高階統(tǒng)計量之間的關(guān)系，其中，重點考慮高階矩和高階累積量之間的關(guān)系和高階累積量的性質(zhì)。最后重點介紹高階累積量的工程計算、計算誤差及其理論優(yōu)勢。3.1隨機過程及其特征函數(shù)定義1:設(shè)，T是實數(shù)集合，有窮或無窮、不可列或不可列均可，對于每一個為一隨機變量，其中w代表某概率空間中的元素，那么，即為隨機過程。通常簡記為。特別，當(dāng)T=N時，稱為隨機變量序列。特征函數(shù)是概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的非常重要的概念，由其發(fā)展起來的特征函數(shù)方法已經(jīng)成為了概率論與數(shù)理統(tǒng)計中重要的分析工具之一。3.1.1單個隨機變量的特征函數(shù)設(shè)X為隨機變量，其對應(yīng)的概率密度函數(shù)為P(x)，則其特征函數(shù)定義為:（3-1）由該式可以看出特征函數(shù)實質(zhì)上是概率密度函數(shù)的Fourier變換。概率密度函數(shù)的性質(zhì):1)由于，故特征函數(shù)的模在原點取最大值，即有:（3-2）2)由隨機變量的均值的定義:（3-3）則由(2-1)可得到特征函數(shù)的最常見的形式:（3-4）3.1.2多維隨機變量的特征函數(shù)首先定義兩個隨機變量的特征函數(shù)，設(shè)X和Y為兩個隨機變量，f(x,y)為其聯(lián)合概率密度，則其聯(lián)合特征函數(shù)定義為:（3-5）同樣有（3-6）更一般地，對于N維隨機矢量,其對應(yīng)的概率密度為,則定義其特征函數(shù)為:（3-7）3.2常用的高階統(tǒng)計量廣義來講，高階統(tǒng)計量應(yīng)該包括高階循環(huán)統(tǒng)計量和高階非循環(huán)統(tǒng)計量，包括高階矩、高階累積量、高階矩譜、高階累積量譜、高階循環(huán)矩、高階循環(huán)累積量、高階循環(huán)矩譜、高階循環(huán)累積量譜。但是，人們習(xí)慣上用高階統(tǒng)計量代替高階非循環(huán)統(tǒng)計量，即高階矩、高階累積量、高階矩譜和高階累積量譜。3.2.1單個隨機變量和隨機變量序列的高階矩和高階累積量為了討論方便，我們把隨機變量的特征函數(shù)的定義式(2-1)寫成Lapalace的形式：（3-8）對該式子求k階導(dǎo)數(shù)可得:（3-9）從而有（3-10）也即就是說:隨機變量x的特征函數(shù)的k階導(dǎo)數(shù)在原點的值等于x的k階原點矩:（3-11）故人們常把特征函數(shù)稱為隨機變量的矩生成函數(shù)，又叫第一特征函數(shù)，這說明已知了隨機變量的特征函數(shù)其各階原點矩是唯一確定的。反過來，如果已知了隨機變量的各階原點矩，可以通過下面的Taylor展開式確定其特征函數(shù):（3-12）而下式表示的函數(shù):（3-13）稱為隨機變量的累積量生成函數(shù)(又叫第二特征函數(shù))。有了上述的累積量生成函數(shù)，把隨機變量X的k階累積量氣定義為累積量生成函數(shù)的k階導(dǎo)數(shù)在原點的值，即:（3-14）類似地，已知了隨機變量的第二特征函數(shù)，其各階累積量是可以唯一確定的，反過來，當(dāng)各階累積量都已知的時候，可以通過下式唯一地確定:（3-15）先考察一階、二階累積量與一階、二階矩之間的關(guān)系，由:可得：（3-16）令s=0，結(jié)合，有：（3-17）即有：對于N維隨機矢量,對應(yīng)的特征函數(shù)為:，對其求偏導(dǎo)數(shù)可得：（3-19）令，得到隨機序列的階矩，即：（3-20）類似地，我們可以定義N維隨機矢量的階累積量（3-21）跟單個隨機變量的情況一樣，階矩和階累積量實際上分別是矩生成函數(shù)和累積量生成函數(shù)的Taylor展開式的次項的系數(shù)。特別地，取，就可以得到通常的N階矩和N階累積量，（3-22）3.2.2隨機過程的高階矩和高階累積量設(shè)是零均值的N階平穩(wěn)隨機過程，則其N階矩和N階累積量分為:（3-23）由平穩(wěn)隨機過程的性質(zhì)，零均值的N階平穩(wěn)隨機過程的N階矩和N階累積量與起始時間t無關(guān)，只與N-1個時間間隔有關(guān)，是含有N-1個變元的函數(shù)，零均值的N階平穩(wěn)隨機過程的N階矩和N階累積量實質(zhì)上是從平穩(wěn)隨機過程中挑選的N個隨機變量所得到的N階矩和N階累積量。3.2.3平穩(wěn)過程的高階矩和高階累積量對于N階平穩(wěn)隨機過程，假設(shè)其N階矩是絕對可求和的，即:（3-25）則其N階矩譜定義為其N階矩的N-1階Fuorier變換，即有:（3-26）類似地，假如N階累積量是絕對可求和的，即:（3-27）則其N階累積量譜定義為其N階累積量的N-1階Fourier變換即有（3-28）高階累積量譜是分析非高斯隨機過程的主要的數(shù)學(xué)工具，最常用的是三階譜和四階譜，三階譜又叫雙譜，四階譜又叫三譜。定義分別為:（3-29）（3-30）3.3高斯過程的高階矩和高階累積量高斯分布的隨機信號和隨機過程在信號處理領(lǐng)域起著十分重要的作用，下面推導(dǎo)高斯過程的高階矩和高階累積量。3.3.1高斯隨機變量和隨機變量序列的高階矩和高階累積量設(shè)X為高斯隨機變量，且滿足:,由特征函數(shù)的定義可求得其第一特征函數(shù)為:（3-31）第二特征函數(shù)為:（3-32）由N階矩和N階累積量的定義，其分別是和的Taylor級數(shù)展開式中的的系數(shù)。而第二特征函數(shù)是的二次函數(shù)，從而其三階及三階以上的導(dǎo)數(shù)恒為零。特別地，當(dāng)高斯變量為零均值的隨機變量時，即有:，由式（2-8）和（2-9）可得：而此時，高階矩為:N維隨機矢量，設(shè)其均值為，協(xié)方差矩陣為：,其中，，R是正定矩陣。如果N維隨機矢量是正態(tài)分布的，則其特征函數(shù)為:（3-33）則對應(yīng)的累積量生成函數(shù)為:（3-34）從而由階累積量的定義，可以得到N維高斯隨機矢量的各階累積量為:(1)=l，中只有一個為1，而其他的全為0，不妨設(shè)=1(2)=2，可以分為兩種情況，情況1:中有兩個為1，而其他全為0，不妨設(shè)，則：(3)，由于是自變量以的二次函數(shù)，所以關(guān)于自變量三次以及更高次的偏導(dǎo)數(shù)等于零，即有:3.3.2零均值的高斯隨機過程的高階矩和高階累積量設(shè)是零均值的高斯隨機過程，令,由隨機過程的高階矩和高階累積量的定義，有:由此式和C-M公式可得:高斯隨機過程的奇數(shù)階的高階矩為零，而偶數(shù)階的高階矩非零，即有:3.3.3高階矩和高階累積量高階累積量與高階矩之間存在確定的關(guān)系。對于均值為零的平穩(wěn)隨機序列X，經(jīng)常用到的累積量與矩之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下:（3-35）式中，而且，經(jīng)過歸納可得到以下一般的轉(zhuǎn)換關(guān)系式:（3-36）式子(2-34)通常被稱為累量—矩(CM)公式，式中I=(l，2，3，·，N)代表隨機矢量的“指示符”集合，是由指示符構(gòu)成的某種類型的子集，q表示將I劃分成的某種類型的子集的元素，顯然，根據(jù)劃分的不同類型，q應(yīng)取不同的值，其取值范圍為，N是隨機矢量的維數(shù)，則表示對所有類型的劃分求和。類似地，可得到以下的矩-累積量(M-C)公式:3.4高階累積量的性質(zhì)與特點3.4.1高階矩和高階累積量高階累積量之所以能夠迅速發(fā)展，主要是因為其具有下面一系列優(yōu)良的性質(zhì):1)是隨機變量，若為任意常數(shù)，則:2)累量成對稱性，即:其中是(l，2，·N)的任意不同的排列。3)變量對變元具有可加性，即:4)若C是任意常數(shù)，則有:5)隨機變量，彼此統(tǒng)計獨立，則:這是一條非常重要的性質(zhì)該等式表明兩個統(tǒng)計獨立的隨機過程之和的累積量等于各個隨機過程的累積量之和?？紤]到高斯過程的累積量恒為零，則有:如果一個非高斯信號是在與之相互獨立的加性高斯噪聲中進行觀測，則觀測的累積量等于非高斯信號的累積量，從而高階累積量的能夠完全抑制高斯噪聲。6)為任意隨機變量，由其元素可構(gòu)成互不相交的子集，且彼此統(tǒng)計獨立，則:為了簡化計算，而又不失一般性，通常假設(shè)時間序列是零均值的。于是，對于一個零均值的平穩(wěn)隨機序列{X(n)}而言，由M-C公式可以的下列關(guān)系式:（3-37）上述等式表明零均值平穩(wěn)隨機序列的二階累積量和三階累積量分別與其二階和三階矩相等，而三階以上的高累積量不等于其高階矩。在實際的信號處理中，我們無法得到真實的高階累積量。為了得到累積量的一致估計子，通常需要假設(shè)非高斯過程是2N絕對可求和的，即:（3-38）而且，X(i)=0，ori>N，N為樣本數(shù)?？梢宰C明，(3-38)只要對m=1，2，.，6成立，則按照(3-36)式，三階累積量的均方一致有效估計可以通過計算下式得到:（3-39）類似地，若(3-38)只要對m=1，2，·，8成立，則按照(3-37)式，四階累積量的均方一致有效估計可以通過計算下式得到:（3-40）其中，最后，介紹觀測序列X(n)的三階累積量漸進無偏估計量的計算步驟:Stepl：將N個樣本x(l)，x(2)，·，x(N)分成K段，每段M個樣本，并減去各自的均值，使得各段為零均值的隨機過程;step2：設(shè)第l段數(shù)據(jù)為，然后對各段按照下式計算其三階累積量的一致估計值:Step3:取各段三階累積量的平均值作為整個觀測的三階累積量，即:對于一個零均值平穩(wěn)隨機過程{X(n)}，{g(n)}是一個與{X(n)}具有相同的功率譜密度的高斯過程，則{x(n)}的高階累積量還可以定義為:該過程不僅顯示了平穩(wěn)隨機過程（X(n)）的高階相關(guān)程度，而且還提供了該過程偏離高斯過程的測度。顯然，若平穩(wěn)隨機過程（X(n)）本來就是高斯過程的話，其高于2階以上的累積量均為零。3.4.2高階累積量的優(yōu)勢高階累積量之所以能夠獲得如此大的發(fā)展，與它所具有的理論優(yōu)勢是密不可分的，其理論優(yōu)勢主要是通過與相關(guān)函數(shù)及其相關(guān)譜、高階矩的對比中體現(xiàn)出來的。1、高斯過程的三階以上的累積量全為零，非高斯過程則不全為零，這就為從高斯背景噪聲中提取非高斯信號創(chuàng)造了一條途徑;2、三階以上的高階普不但含有信號的幅度信息，而且還含有信號的相位信息，因此可用于辨識最小相位系統(tǒng);3、累積量還可檢測系統(tǒng)的非線性，是研究非線性系統(tǒng)的有力工具;4、盡管高階矩和高階矩譜也包含相位信息，但是，與高階累積量相比，還是有不少不足，這也是我們選擇用高階累積量而不用高階矩的原因;一方面，高階累積量能夠完全抑制高斯噪聲的影響，而高階矩不能，因為偶數(shù)的高階矩非零;另一方面，高階累積量滿足:兩個統(tǒng)計獨立的隨機過程之和的高階累積量等于各個隨機過程的累積量之和。這一性質(zhì)對處理受加性噪聲污染的觀測信號時候非常有用，而高階矩沒有這一條性質(zhì)。正是憑借這些優(yōu)勢，高階累積量目前的應(yīng)用范圍已經(jīng)涉及到通信、雷達、聲納、海洋學(xué)、天文學(xué)、電磁學(xué)、等離子體、結(jié)晶學(xué)、地球物理、生物醫(yī)學(xué)、故障診斷、振動分析、流體力學(xué)等眾多領(lǐng)域。我們深信它必將在更廣泛的領(lǐng)域中，帶來更多的突破。第4章陣列幅相誤差校正技術(shù)4.1陣列誤差的基本模型陣列誤差模型有很多種，為了與后面的分布式小衛(wèi)星系統(tǒng)相聯(lián)系，我們考慮如下的陣列誤差模型，設(shè)由M個陣元組成的陣列(不一定是線陣)，如圖4.1所示。K個信號源和M個陣元共面，傳感器陣元1位于坐標(biāo)系的原點，K個獨立窄帶信號源照射到陣列上，為到達參考陣元上的信號波形，與y-軸所成的角分別為,陣元熱噪聲為高斯白噪聲，第m個陣元的輸出為，陣列輸出的向量表達式為:（4-1）參數(shù)為第n信號源到達第m陣元所需要的傳播時間與到達參考陣元的傳播時間差，和是與第m個陣元相關(guān)的增益和延遲。正常情況下，應(yīng)有:，，正是由于才導(dǎo)致了陣列的幅相誤差，考慮到信號源信號的窄帶性有:圖4.1陣列結(jié)構(gòu)圖（4-2）寫成向量形式為：其中：,，當(dāng)沒有幅相誤差項時，以前的基于特征分解的方法能夠得到很好的結(jié)果，但是存在陣列誤差時，估計性能會受到很大的影響，甚至估計失敗。下面介紹兩種常見的處理這種問題的方法，這兩種方法在對陣列誤差進行估計的同時，也得到了信號源的波達方向估計。4.2陣列誤差估計和校正的基于高階累積量的MUSIC方法針對由上文描述的陣列誤差估計和校正問題，Porat和Fridlnader提出了一種類一MUSIC算法，他們構(gòu)造的空間四階累積量包含了所有的空間四階累積量元素，形成上與MUSIC算法相似。由于這種算法能幾乎完全抑制高斯噪聲，因此性能不錯，但是這算法利用的四階累積量陣包含了所有的累積量元素，其中含有大量的冗余元素，增加了計算量，于是吳恒和保錚等人提出了基于最大非冗余累量集的空間累量陣的方法，該方法可以經(jīng)過改進后用于后面的小衛(wèi)星分布式雷達方位向超分辨，下面詳細介紹該算法。4.2.1基于最大非冗余累積量集的空間累量陣定義四階累積量，其中的表示累積量算子，把這樣計算得到的個元素保存到一個的方陣中，對應(yīng)法則是使)對應(yīng)于中的第行、第列個元素。這樣得到矩陣就是Porat和Fridlnader構(gòu)造的最大空間四階累量矩陣，其向量形式為:（4-3）（4-4）其中，表示Kronnecker直積，由四階累積量的性質(zhì)可知:這樣構(gòu)造的矩陣中有大量的冗余元素。首先，和交換次序或和交換次序，cum的值不會變。其次，，與，交換次序cum的值共扼相等。針對上述的冗余元素，給出了下面的最大非冗余條件。命題1：當(dāng)，，，滿足:（4-5）時，他們對應(yīng)的四階累積量元素構(gòu)成了最大非冗余四階累積量集合，其元素個數(shù)為，而且這樣的集合可以通過下面方法構(gòu)造得到。定義:（4-6）（4-7）為的Hermitian矩陣。因此，主對角線以下的三角陣又去掉了共扼對稱冗余元素，成為了最大非冗余累量元素集。這樣就稱為基于最大非冗余累積量集的空間累量陣。命題2:信號源獨立時，由上述條件定義的空間累量陣具有如下形式:其中，（4-8）和都是階的矩陣?！け硎綡adamard乘積，實際就是兩矩陣對應(yīng)的元素相乘，同時B還可以寫成(4-31)(4-9)顯然有:當(dāng)K<M時候，B是列滿秩的，又故有。4.2.2基于最大非冗余陣的MUSIC方法對上述所得的空間累積量陣進行特征分解有:（4-10）可得到空間譜：（4-11）式中為)的酉矩陣，為空間累量陣對應(yīng)的陣列流形。4.2.3存在幅相誤差時基于的方向估計與陣列校正對于4.2節(jié)所述的陣列誤差模型，為了方便，不妨令(4-12)(3-13)下面介紹存在陣元幅相誤差的情況下，幅相誤差和波達方向的聯(lián)合估計算法。命題3:存在幅相誤差時，由(4-7)式定義的空間累積量陣具有下列形式:(4-14)其中，跟前面定義一樣，(4-15)(4-16)（4-17）為了估計出和的的估計值和，定義：顯然，如果能夠得到真實的和及其對應(yīng)的噪聲子空間，對于真實的和真實的波達方向角，顯然應(yīng)有:。但是，實際上我們只能得到和的估計值和，我們估計出和的估計值和。而該問題等價于下列的優(yōu)化問題:（4-18）（4-19）則有：（4-20）==其中，（4-21）從而上述的陣列誤差估計問題等價于：（4-22）類似于基于協(xié)方差的情形，上述問題可以利用迭代法分五步來求解:第一步:根據(jù)觀測計算，并計算特征分解，為的個零特征值對應(yīng)的特征矢量。第二步:設(shè)k=0；可以取為其名義增益和相位值或者是任意最新的校正信息;第三步:搜索空間譜函數(shù):（4-23）的N個峰值點對應(yīng)的N列適量為，選擇使得(4-23)式在給定和的情況下的值最小。第四步:將第三步估計所得的反代入(4-19)、(4-20)和(4-21)，最小化代價函數(shù)，估計出（4-24）其中，（4-25）第五步:根據(jù)求出，這樣求得的使得在給定的情況下，代價函數(shù)的值取到了最小。第六步:計算（4-26）如果，則，轉(zhuǎn)入第二步；如果，停止。該算法與前一節(jié)描述的基于協(xié)方差的陣列誤差估計和校正方法相比，優(yōu)點在于能夠抑制高斯噪聲，同時陣列也得到了擴展，從而能夠得到不錯的估計性能;但是該算法仍沒有克服“只能收斂到局部最優(yōu)點，但不一定能收斂到全局最優(yōu)點”的缺點，而且，在不加其他附加條件的情況下，該算法不能直接得到陣列誤差的估計值，只能得到陣列誤差的函數(shù)的估計值，而且，不能從中唯一地求出。但是在有些情況下，比如說分布式小衛(wèi)星的陣列誤差校正中，僅僅知道的估計值是不夠的，為了估計出誤差在三維坐標(biāo)中的每一維坐標(biāo)上的分量，需要求得的估計值。但是仔細觀察(4-15)、(4-16)和(4-17)，我們會不難發(fā)現(xiàn)，只要陣列滿足第一個陣列沒有幅相誤差，，我們就能從中估計出。4.2.4仿真分析仿真實驗1:考慮一個由8個各向同性的傳感器陣元組成的均勻線性陣列，陣元間距為半個波長，兩個獨立非高斯信號源分別從兩個方向入射到陣列上，陣元上的噪聲為高斯白噪聲，不考慮陣元的相位誤差，只考慮陣元的幅度誤差，陣元幅度誤差取定為實驗給定的一組值[1.0001.0231.2210.8930.9861.1071.0030.998]，快拍數(shù)為500，性噪比為snr=30，分別得到了下列幾個圖：圖1無誤差圖2有幅度誤差圖3校準(zhǔn)后陣元幅度誤差1.0001.0231.2210.8930.9861.1071.0030.998校準(zhǔn)后得1.0001.0211.2190.8930.9861.1061.0010.996仿真實驗2:不考慮陣元的幅度誤差，只考慮陣元的相位誤差，陣元幅度誤差取定為實驗給定的一組值[1.000exp(-j*pi/30)exp(j*pi/45)exp(-j*pi/10)exp(j*pi/30)exp(j*pi/30)exp(-j*pi/90)exp(-j*pi/60)]，快拍數(shù)為500，性噪比為snr=30，其它條件同實驗1，這時可以分別得到了下列幾個圖：圖4無相位誤差圖5有相位誤差圖6校準(zhǔn)后陣元相位誤差1.0000.9945+0.1045i0.9976-0.0698i0.9511+0.3090i0.9945-0.1045i0.9945-0.1045i0.9994+0.0349i0.9986+0.0523i校準(zhǔn)后得1.0000.9952+0.1070i0.9983-0.0672i0.9511+0.3136i0.9946-0.0993i0.9955-0.0963i0.9981+0.0436i0.9967+0.0615i仿真實驗3:同時考慮陣元幅度相位誤差，誤差取定為實驗給定的一組值[1.0001.023*exp(-j*pi/30)1.221*exp(j*pi/45)0.893*exp(-j*pi/10)0.986*exp(j*pi/30)1.107*exp(j*pi/30)1.003*exp(-j*pi/90)0.998*exp(-j*pi/60)]，快拍數(shù)為500，性噪比為snr=30，其它條件同上，得到了以下圖形：陣元幅相誤差1.0001.0174+0.1069i1.2180-0.0852i0.8493+0.2760i0.9806-0.1031i1.1009-0.1157i1.0024+0.0350i0.9966+0.0522i校準(zhǔn)后得1.0001.0197+0.1074i1.2217-0.0823i0.8512+0.2781i0.9880-0.0999i1.1133-0.1119i1.0149+0.0397i1.0135+0.0607i仿真實驗4:同時考慮陣元幅度相位誤差，誤差取定為實驗給定的一組值[1.0001.023*exp(-j*pi/30)1.221*exp(j*pi/45)0.893*exp(-j*pi/10)0.986*exp(j*pi/30)1.107*exp(j*pi/30)1.003*exp(-j*pi/90)0.998*exp(-j*pi/60)]，依次使已有陣元缺失，個數(shù)分別為1,5,6,7個，快拍數(shù)為500，性噪比為snr=30，其它條件同上，其校準(zhǔn)結(jié)果如下：仿真實驗5:同時考慮陣元幅度相位誤差，誤差取定為實驗給定的一組值[1.0001.023*exp(-j*pi/30)1.221*exp(j*pi/45)0.893*exp(-j*pi/10)0.986*exp(j*pi/30)1.107*exp(j*pi/30)1.003*exp(-j*pi/90)0.998*exp(-j*pi/60)]，快拍數(shù)為500，性噪比分別為40,35,30,25,20,15,10,5，其它條件同上，得到了以下圖形及表格：SNR/dB403530252015105實際平均幅度1.02891.02891.02891.02891.02891.02891.02891.0289校正后平均幅度1.03431.03401.03331.03421.03611.01841.03921.03440.00540.00510.00440.00540.00890.01050.01180.0268實際平均相位0.02840.02840.02840.02840.02840.02840.02840.0284校正后平均相位0.03180.03240.03240.03470.03490.03410.02280.02370.00340.00410.00410.00630.00700.00610.00870.0160結(jié)論高階統(tǒng)計理論與工具的飛速發(fā)展，為信號處理注入了新的活力，高階累積量作為近年發(fā)展最為迅速的高階統(tǒng)計量，已經(jīng)廣泛地用到了信號處理的各個領(lǐng)域。陣列信號處理作為信號處理的一個重要的分支，具有極其重要的理論意義和實際意義，已經(jīng)廣泛利用于雷達、聲納等重要的軍事領(lǐng)域。將高階統(tǒng)計量與陣列信號處理聯(lián)合起來研究，具有非常重要的意義，既發(fā)揮陣列信號處理的長處，又能發(fā)揮高階累積量的優(yōu)點。針對陣列信號處理的中非常重要的波達方向估計問題，主要考慮了基于觀測的特征分解的MUSIC方法，特征分解可以選擇基于觀測的協(xié)方差的特征分解，也可以選擇基于觀測的四階累積量的特征分