第8講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(原卷版+解析)

第8講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【題型精講】題型（一）三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1．（2021·湖北·高三月考）已知點(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，，且，則（）A．2 B． C．1 D．2．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，且，則等于（）A． B． C． D．3．（2021·河南·高三月考（理））已知，則（）A． B． C． D．4．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三期中（文））設(shè)，，則的值為（）A． B． C． D．5．（2021·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高三月考）若，則（）A． B． C． D．6．（2021·全國(guó)·高三月考）已知，則__________．題型（二）三角函數(shù)的圖象與解析式1．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三月考（理））已知的一段圖象如圖所示，則（）A．B．的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為C．的單調(diào)遞增區(qū)間是D．函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到的是一個(gè)奇函數(shù)的圖象2．（2021·安徽·高三開(kāi)學(xué)考試（理））如圖是函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，將的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度可得的圖象，則=（）A． B． C． D．3．（2021·全國(guó)全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)經(jīng)過(guò)變換可得，則下列變換正確的是（）A．先將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍B．先將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍C．先將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍D．先將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍題型（三）三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用1．（2021·北京十五中高三期中）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．的一個(gè)周期為B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位可以得到函數(shù)的圖象D．在上單調(diào)遞減2．（2021·天津·靜海一中高三月考）已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的有_______（1）的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)（2）在上單調(diào)遞減（3）的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)（4）的最大值為33．（2021·寧夏·平羅中學(xué)高三月考（理））已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，，給出以下說(shuō)法：①將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到的圖象；②的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)；③的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)；④在上單調(diào)遞減.其中所有正確說(shuō)法的編號(hào)是___________【課后精練】一、單選題1．（2021·全國(guó)·高三月考（理））玉雕在我國(guó)歷史悠久，擁有深厚的文化底蘊(yùn)，數(shù)千年來(lái)始終以其獨(dú)特的內(nèi)涵與魅力深深吸引著世人.玉雕壁畫(huà)是采用傳統(tǒng)的手工雕刻工藝，加工生產(chǎn)成的玉雕工藝畫(huà).某扇形玉雕壁畫(huà)尺寸（單位：）如圖所示，則該壁畫(huà)的扇面面積約為（）A． B． C． D．2．（2021·江西·新余市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））勒洛三角形是一種特殊三角形，指分別以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形．勒洛三角形的特點(diǎn)是：在任何方向上都有相同的寬度，即能在距離等于其圓弧半徑（等于正三角形的邊長(zhǎng)）的兩條平行線間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩直線都接觸．機(jī)械加工業(yè)上利用這個(gè)性質(zhì)，把鉆頭的橫截面做成勒洛三角形的形狀，就能在零件上鉆出正方形的孔來(lái)．如在勒洛三角形ABC內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，則該點(diǎn)位于正三角形ABC內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．3．（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）我國(guó)扇文化歷史悠久，其中折扇扇面是由兩個(gè)半徑不同的同心圓，按照一定的圓心角被剪而成，如圖所示，該扇面的圓心角為，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，則扇面的面積為（）A． B． C． D．4．（2021·江西柴?！じ呷驴迹ɡ恚┖瘮?shù)的圖象大致形狀為（）．A． B．C． D．5．（2021·全國(guó)·高三月考）已知函數(shù)圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離為，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有．將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則關(guān)于函數(shù)描述不正確的是（）A．最小正周期是 B．最大值是C．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)6．（2021·全國(guó)·高三月考（理））已知，且，則（）A． B． C． D．7．（2021·河南·高三月考（文））將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)在上的最小值為（）A． B． C． D．第8講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【題型精講】題型（一）三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1．（2021·湖北·高三月考）已知點(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，，且，則（）A．2 B． C．1 D．【答案】C【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在角的終邊上，所以.因?yàn)?，所以，所以，則，解得.故選：C.2．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，且，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，則有，而，于是得，解得，則，因此，，所以等于.故選：A3．（2021·河南·高三月考（理））已知，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，兩邊平方得，則，則.故選：B.4．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三期中（文））設(shè)，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，平方得到，，，，，而，；令，則，，，故選：．5．（2021·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高三月考）若，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可得：.故選：B.6．（2021·全國(guó)·高三月考）已知，則__________．【答案】6【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，所以．故答案為?應(yīng)用三角函數(shù)的概念和誘導(dǎo)公式的注意事項(xiàng)(1)當(dāng)角的終邊所在的位置不是唯一確定的時(shí)候要注意分情況解決,機(jī)械地使用三角函數(shù)的定義就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。(2)應(yīng)用誘導(dǎo)公式與同角關(guān)系開(kāi)方運(yùn)算時(shí),一定要注意三角函數(shù)的符號(hào);利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)要遵循一定的原則,如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡(jiǎn)等。題型（二）三角函數(shù)的圖象與解析式1．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三月考（理））已知的一段圖象如圖所示，則（）A．B．的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為C．的單調(diào)遞增區(qū)間是D．函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到的是一個(gè)奇函數(shù)的圖象【答案】C【詳解】解：由圖可知，，所以，解得，所以，又函數(shù)過(guò)點(diǎn)，即，所以，解得，因?yàn)椋?，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以函?shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)誤；令，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C正確；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：C2．（2021·安徽·高三開(kāi)學(xué)考試（理））如圖是函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，將的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度可得的圖象，則=（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由圖象可得，，∴，根據(jù)五點(diǎn)法作圖知，，∴，又，∴∴∴故選：D.3．（2021·全國(guó)全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)經(jīng)過(guò)變換可得，則下列變換正確的是（）A．先將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍B．先將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍C．先將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍D．先將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍【答案】D【詳解】因?yàn)?，，?duì)A項(xiàng)，先將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍得到，故錯(cuò)誤；對(duì)B項(xiàng)，先將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍得到，故錯(cuò)誤；對(duì)C項(xiàng)，先將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍得到，故錯(cuò)誤；對(duì)D項(xiàng)，先將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍得到，故正確，故選：D．1三角函數(shù)圖象變換的易錯(cuò)點(diǎn)在圖象變換中務(wù)必分清是先平移,還是先伸縮,變換只是相對(duì)于其中的自變量而言的,如果的系數(shù)不是1就要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位長(zhǎng)度和方向。2.由“圖”定“式”,找“對(duì)應(yīng)”的方法已知圖象求函數(shù)的解析式時(shí),常用的方法是待定系數(shù)法.由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求,,由函數(shù)的周期確定,確定常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)求解,其中一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口,可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置.題型（三）三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用1．（2021·北京十五中高三期中）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．的一個(gè)周期為B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位可以得到函數(shù)的圖象D．在上單調(diào)遞減【答案】D由題可得，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】∵，∴函數(shù)的最小正周期為，故A正確，當(dāng)時(shí)，，故B正確，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位可以得到函數(shù)，故C正確，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)先增后減，故D錯(cuò)誤.故選：D.2．（2021·天津·靜海一中高三月考）已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的有_______（1）的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)（2）在上單調(diào)遞減（3）的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)（4）的最大值為3【答案】（1）（3）（4）【詳解】由題設(shè)，，（1），故的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，正確；（2）上有，由正弦函數(shù)的性質(zhì)知：在上不單調(diào)，錯(cuò)誤；（3），故的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，正確；（4）由正弦函數(shù)的性質(zhì)知：的最大值為3，正確.故答案為：（1）（3）（4）3．（2021·寧夏·平羅中學(xué)高三月考（理））已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，，給出以下說(shuō)法：①將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到的圖象；②的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)；③的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)；④在上單調(diào)遞減.其中所有正確說(shuō)法的編號(hào)是___________【答案】①②③【詳解】令函數(shù)周期為T(mén)，觀察圖象得，即，則，又當(dāng)時(shí)，取得最大值，于是有，因，則有，所以，因，即g(x)的圖象可以由y=f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，①正確；由得函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，于是得直線x=1是g(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，②正確；由得，圖象的對(duì)稱(chēng)中心為，則點(diǎn)是圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，③正確；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，④錯(cuò)誤.故答案為：①②③提分技巧解與三角函數(shù)性質(zhì)有關(guān)問(wèn)題的注意點(diǎn)三角函數(shù)的性質(zhì)主要是指單調(diào)性、周期性、奇偶性和最值,解題時(shí)要注意以下兩點(diǎn):一是考查三角函數(shù)的性質(zhì)時(shí),首先要將函數(shù)化為的形式,再對(duì)比的性質(zhì)，即把看成一個(gè)整體處理，但是一定要保證,否則易出錯(cuò)，二是一定要結(jié)合圖象進(jìn)行分析.【課后精練】一、單選題1．（2021·全國(guó)·高三月考（理））玉雕在我國(guó)歷史悠久，擁有深厚的文化底蘊(yùn)，數(shù)千年來(lái)始終以其獨(dú)特的內(nèi)涵與魅力深深吸引著世人.玉雕壁畫(huà)是采用傳統(tǒng)的手工雕刻工藝，加工生產(chǎn)成的玉雕工藝畫(huà).某扇形玉雕壁畫(huà)尺寸（單位：）如圖所示，則該壁畫(huà)的扇面面積約為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，設(shè)，，由弧長(zhǎng)公式可得解得，，設(shè)扇形，扇形的面積分別為，則該壁畫(huà)的扇面面積約為.故選：.2．（2021·江西·新余市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））勒洛三角形是一種特殊三角形，指分別以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形．勒洛三角形的特點(diǎn)是：在任何方向上都有相同的寬度，即能在距離等于其圓弧半徑（等于正三角形的邊長(zhǎng)）的兩條平行線間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩直線都接觸．機(jī)械加工業(yè)上利用這個(gè)性質(zhì)，把鉆頭的橫截面做成勒洛三角形的形狀，就能在零件上鉆出正方形的孔來(lái)．如在勒洛三角形ABC內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，則該點(diǎn)位于正三角形ABC內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由題意可得正三角形的邊長(zhǎng)為半徑的三段圓弧組成的曲邊三角形的面積S曲＝S扇形CAB+2S拱＝22+2（S扇形﹣S△ABC）＝3﹣222＝2π﹣2，三角形ABC的面積S△ABC＝＝，所以由幾何概型的概率公式可得：所求概率＝＝，故選：A．3．（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）我國(guó)扇文化歷史悠久，其中折扇扇面是由兩個(gè)半徑不同的同心圓，按照一定的圓心角被剪而成，如圖所示，該扇面的圓心角為，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，則扇面的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意，則，，則，所以扇面的面積.故選：.4．（2021·江西柴?！じ呷驴迹ɡ恚┖瘮?shù)的圖象大致形狀為（）．A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：因?yàn)?，所以定義域?yàn)?，且，即為偶函?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故排除C、D；當(dāng)時(shí)，，，所以，故排除B；故選：A5．（2021·全國(guó)·高三月考）已知函數(shù)圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離為，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有．將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則關(guān)于函數(shù)描述不正確的是（）A．最小正周期是 B．最大值是C．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)【答案】C【詳解】由條件知，函數(shù)的最小正周