高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(新教材新高考)專題6.4正弦定理、余弦定理的應(yīng)用專題練習(xí)（學(xué)生版+解析）

專題6.4正弦定理、余弦定理的應(yīng)用練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·江西省萬載中學(xué)高一期末（理））在中，已知，則的形狀一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰或直角三角形2．（2021·江西省萬載中學(xué)高一期末（理））在中，已知，則的形狀一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰或直角三角形3．（2021·遼寧高三其他模擬）英國數(shù)學(xué)家約翰?康威在數(shù)學(xué)上的成就是全面性的，其中“康威圓定理”是他引以為傲的研究成果之一．定理的內(nèi)容是：三角形ABC的三條邊長分別為a，b，c，分別延長三邊兩端，使其距離等于對邊的長度，如圖所示，所得六點仍在一個圓上，這個圓被稱為康威圓．現(xiàn)有一邊長為2的正三角形，則該三角形生成的康威圓的面積是（）A． B． C． D．4．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高三其他模擬（理））某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度：在處（點在水平地面的下方，為與水平地面的交點）進行該儀器的垂直彈射，水平地面上兩個觀察點，兩地相距100米，，其中到的距離比到的距離遠40米．地測得該儀器在處的俯角為，地測得最高點的仰角為，則該儀器的垂直彈射高度為（）A．210米 B．米 C．米 D．420米5．（2021·山東省青島第一中學(xué)高一期中）如圖所示，為測量山高選擇A和另一座山的山頂為測量觀測點，從A點測得點的仰角點的仰角以及從點測得，若山高米，則山高等于（）A．米 B．米C．米 D．米6．（2021·四川成都市·成都七中高一期中）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西勻速行駛，在公路北側(cè)遠處一座高900米的山頂D的測得點A的在東偏南方向上過一分鐘后測得點B處在山頂?shù)氐臇|偏南方向上，俯角為，則該車的行駛速度為（）A．15米/秒 B．15米/秒C．20米/秒 D．20米/秒7．（2021·山西臨汾市·高三其他模擬（文））說起延安革命紀(jì)念地景區(qū)，可謂是家喻戶曉，它由寶塔山、棗園革命舊址、楊家?guī)X革命舊址、中共中央西北局舊址、延安革命紀(jì)念館組成.尤其寶塔山，它可是圣地延安的標(biāo)志，也是中國革命的搖籃，見證了中國革命的進程，在中國老百姓的心中具有重要地位.如圖，寶塔山的坡度比為（坡度比即坡面的垂直高度和水平寬度的比），在山坡處測得，從處沿山坡往上前進到達處，在山坡處測得，則寶塔的高為（）A． B． C． D．8.（2021·浙江高一期末）在中，，若，則的最大值是____________．9．（湖北高考真題））如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°10．（寧夏高考真題）為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請設(shè)計一個方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；②用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·四川自貢市·高三三模（文））如圖，在山腳A處測得山頂P的仰角為α，沿傾角為β的斜坡向上走b米到B處，在B處測得山頂P的仰角為γ（A、B、P、Q共面）則山高P等于（）米．A．B．C．D．2.（2021·黑龍江哈爾濱市第六中學(xué)校高三月考（理））在如圖所示四邊形中，，，，，，則四邊形的面積為________.3．（2021·合肥一六八中學(xué)高三其他模擬（文））南宋數(shù)學(xué)家秦九韶著有《數(shù)書九章》，創(chuàng)造了“大衍求一術(shù)”，被稱為“中國剩余定理”．他所論的“正負開方術(shù)”，被稱為“秦九韶程序”．世界各國從小學(xué)、中學(xué)到大學(xué)的數(shù)學(xué)課程，幾乎都接觸到他的定理、定律和解題原則．科學(xué)史家稱秦九韶：“他那個民族、他那個時代，并且確實也是所有時代最偉大的數(shù)學(xué)家之一”．在《數(shù)書九章》中提出“三斜求積術(shù)”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上：以小斜冪乘大斜幫，減上，余四約之，為實：一為從隅，開平方得積可用公式（其中a，b，c，S為三角形的三邊和面積）表示．在中，a，b，c分別為角A、B、C所對的邊，若，且則面積的最大值為______．4．（2021·河南高二月考（文））為測量山高.選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從A點測得N點的仰角，C點的仰角以及，從C點測得.已知山高米.則所求山高為___________米.5．（2021·齊齊哈爾市第八中學(xué)校高一期中）在中，已知且.（1）試確定的形狀；（2）求的取值范圍.6．（2021·重慶市長壽中學(xué)校高三其他模擬）如圖四邊形中，，，，、，.（1）求；（2）求面積的最大值.從①且為銳角；②；③這三個條件中任選一個補充在上面的問題中并作答7．（2021·全國高一專題練習(xí)）如圖，為了檢測某工業(yè)區(qū)的空氣質(zhì)量，在點A處設(shè)立一個空氣監(jiān)測中心（大小忽略不計），在其正東方向點B處安裝一套監(jiān)測設(shè)備．為了使監(jiān)測數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確，在點C和點D處，再分別安裝一套監(jiān)測設(shè)備，且滿足，，設(shè)．（1）當(dāng)，求四邊形的面積；（2）當(dāng)為何值時，線段最長．8．（2021·江蘇高一月考）緝私船在A處測出某走私船在方位角為(航向)，距離為10海里的C處，并測得走私船正沿方位角的方向以9海里/時的速度沿直線方向航行逃往相距27海里的陸地D處，緝私船立即以v海里/時的速度沿直線方向前去截獲.(方位角：從某點的指北方向線起，依順時針方向到目標(biāo)方向線之間的水平夾角)（1）若，求緝私船航行的方位角正弦值和截獲走私船所需的時間；（2）緝私船是否有兩種不同的航向均恰能成功截獲走私船？若能，求v的取值范圍，若不能請說明理由.9．（2021·廣東汕頭市·高三二模）隨著人們生活水平的不斷提高，人們對餐飲服務(wù)行業(yè)的要求也越來越高，由于工作繁忙無法抽出時間來享受美食，這樣網(wǎng)上外賣訂餐應(yīng)運而生.現(xiàn)有美團外賣送餐員小李在A地接到兩份外賣單，他須分別到B地?D地取餐，再將兩份外賣一起送到C地，運餐過程不返回A地.A，B，C，D各地的示意圖如圖所示，，，，，，假設(shè)小李到達B?D兩地時都可以馬上取餐(取餐時間忽略不計)，送餐過程一路暢通.若小李送餐騎行的平均速度為每小時20千米，請你幫小李設(shè)計出所有送餐路徑(如：)，并計算各種送餐路徑的路程，然后選擇一條最快送達的送餐路徑，并計算出最短送餐時間為多少分鐘.(各數(shù)值保留3位小數(shù))(參考數(shù)據(jù)：，)10．（2021·江蘇揚州市·揚州中學(xué)高三其他模擬）如圖，某生態(tài)農(nóng)莊內(nèi)有一直角梯形區(qū)域，，，百米，百米．該區(qū)域內(nèi)原有道路，現(xiàn)新修一條直道（寬度忽略不計），點在道路上（異于，兩點），，．（1）用表示直道的長度；（2）計劃在區(qū)域內(nèi)種植觀賞植物，在區(qū)域內(nèi)種植經(jīng)濟作物．已知種植觀賞植物的成本為每平方百米2萬元，種植經(jīng)濟作物的成本為每平方百米1萬元，新建道路的成本為每百米1萬元，求以上三項費用總和的最小值．練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題（理））已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（）A． B． C． D．2.（2021·全國高考真題（理））2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A，C兩點到水平面的高度差約為（）（）A．346 B．373 C．446 D．4733.（2021·全國高考真題（理））魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（）A．表高 B．表高C．表距 D．表距4.（2021·浙江高考真題）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長分別是3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則___________.5．（2021·北京高考真題）已知在中，，．（1）求的大??；（2）在下列三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，并求出邊上的中線的長度．①；②周長為；③面積為；6.（上海高考真題）如圖，三地有直道相通，千米，千米，千米.現(xiàn)甲、乙兩警員同時從地出發(fā)勻速前往地，經(jīng)過小時，他們之間的距離為（單位：千米）.甲的路線是，速度為5千米/小時，乙的路線是，速度為8千米/小時.乙到達地后原地等待.設(shè)時乙到達地.（1）求與的值；（2）已知警員的對講機的有效通話距離是3千米.當(dāng)時，求的表達式，并判斷在上得最大值是否超過3？說明理由.專題6.4正弦定理、余弦定理的應(yīng)用練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·江西省萬載中學(xué)高一期末（理））在中，已知，則的形狀一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰或直角三角形【答案】B【解析】先通過“邊化角”，再通過輔助角公式，即可求出答案.【詳解】解：由正弦定理得，整理得：即，又因為,所以,所以，移項得：,所以三角形一定為直角三角形.故選：B2．（2021·江西省萬載中學(xué)高一期末（理））在中，已知，則的形狀一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰或直角三角形【答案】B【解析】先通過“邊化角”，再通過輔助角公式，即可求出答案.【詳解】解：由正弦定理得，整理得：即，又因為,所以,所以，移項得：,所以三角形一定為直角三角形.故選：B3．（2021·遼寧高三其他模擬）英國數(shù)學(xué)家約翰?康威在數(shù)學(xué)上的成就是全面性的，其中“康威圓定理”是他引以為傲的研究成果之一．定理的內(nèi)容是：三角形ABC的三條邊長分別為a，b，c，分別延長三邊兩端，使其距離等于對邊的長度，如圖所示，所得六點仍在一個圓上，這個圓被稱為康威圓．現(xiàn)有一邊長為2的正三角形，則該三角形生成的康威圓的面積是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由“康威圓定理”可知的康威圓圓心即為三角形內(nèi)切圓的圓心，正三角形內(nèi)切圓的圓心即為中心，據(jù)此可得圓的半徑，進一步可求其面積.【詳解】康威圓的圓心即為三角形內(nèi)切圓的圓心，正三角形內(nèi)切圓的圓心即為中心，所以其康威圓半徑為，故面積為．故選:C.4．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高三其他模擬（理））某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度：在處（點在水平地面的下方，為與水平地面的交點）進行該儀器的垂直彈射，水平地面上兩個觀察點，兩地相距100米，，其中到的距離比到的距離遠40米．地測得該儀器在處的俯角為，地測得最高點的仰角為，則該儀器的垂直彈射高度為（）A．210米 B．米 C．米 D．420米【答案】C【解析】在中利用余弦定理求出，進而在中可求出，再在中求出，即可得解．【詳解】設(shè)，所以，在中，，，所以，，即，．在中，，所以，又在中，，所以，因此．故答案為：C．5．（2021·山東省青島第一中學(xué)高一期中）如圖所示，為測量山高選擇A和另一座山的山頂為測量觀測點，從A點測得點的仰角點的仰角以及從點測得，若山高米，則山高等于（）A．米 B．米C．米 D．米【答案】A【解析】在中，可求得AC，根據(jù)正弦定理，在中，可求得AM，在中，即可求得答案.【詳解】因為在中，，，所以，在中，，由正弦定理得：，即，所以，在中，，所以（米）故選：A6．（2021·四川成都市·成都七中高一期中）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西勻速行駛，在公路北側(cè)遠處一座高900米的山頂D的測得點A的在東偏南方向上過一分鐘后測得點B處在山頂?shù)氐臇|偏南方向上，俯角為，則該車的行駛速度為（）A．15米/秒 B．15米/秒C．20米/秒 D．20米/秒【答案】A【解析】根據(jù)題意可得，再除以時間即可得解.【詳解】根據(jù)題意，由B處在山頂俯角為，所以，由A東偏南，B東偏南，所以，所以為等腰三角形，所以，由，所以速度為米/秒，故選：A7．（2021·山西臨汾市·高三其他模擬（文））說起延安革命紀(jì)念地景區(qū)，可謂是家喻戶曉，它由寶塔山、棗園革命舊址、楊家?guī)X革命舊址、中共中央西北局舊址、延安革命紀(jì)念館組成.尤其寶塔山，它可是圣地延安的標(biāo)志，也是中國革命的搖籃，見證了中國革命的進程，在中國老百姓的心中具有重要地位.如圖，寶塔山的坡度比為（坡度比即坡面的垂直高度和水平寬度的比），在山坡處測得，從處沿山坡往上前進到達處，在山坡處測得，則寶塔的高為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得，在中利用正弦定理可求得.【詳解】由題可知，，則，，設(shè)坡角為，則由題可得，則可求得，在中，，由正弦定理可得，即，解得，故寶塔的高為44m.故選：A.8.（2021·浙江高一期末）在中，，若，則的最大值是____________．【答案】【解析】由，結(jié)合向量數(shù)量積的定義及余弦定理可得，進而可求得，而要求的最大值，只要求解的最小值即可【詳解】解：因為，所以，由余弦定理得，得，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時取得最小值，根據(jù)余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減可知，此時角取得最大值為，所以的最大值是，故答案為：9．（湖北高考真題））如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°【答案】100【解析】由題設(shè)可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因為,所以,應(yīng)填1006.10．（寧夏高考真題）為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請設(shè)計一個方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；②用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟.【答案】見解析【解析】要求長度，需要測量的數(shù)據(jù)有：A點到M，N點的俯角α1①需要測量的數(shù)據(jù)有：A點到M，N點的俯角α1B點到M，N的俯角α2,β2；A，②第一步：計算AM.由正弦定理AM=d第二步：計算AN.由正弦定理AN=d第三步：計算MN.由余弦定理MN=練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·四川自貢市·高三三模（文））如圖，在山腳A處測得山頂P的仰角為α，沿傾角為β的斜坡向上走b米到B處，在B處測得山頂P的仰角為γ（A、B、P、Q共面）則山高P等于（）米．A．B．C．D．【答案】A【解析】已知仰角為，的傾斜角，在處測得山頂?shù)难鼋菫?，用正弦定理可計算出高?【詳解】由題意可知，，，分別在，中，，，所以，又，在中，由正弦定理可得，即，，在中，.故選：A.2.（2021·黑龍江哈爾濱市第六中學(xué)校高三月考（理））在如圖所示四邊形中，，，，，，則四邊形的面積為________.【答案】【解析】由已知條件可得，，，應(yīng)用三角形面積公式求，，即可求四邊形的面積.【詳解】由題意，知：，且，，∴，，∴四邊形的面積.故答案為：3．（2021·合肥一六八中學(xué)高三其他模擬（文））南宋數(shù)學(xué)家秦九韶著有《數(shù)書九章》，創(chuàng)造了“大衍求一術(shù)”，被稱為“中國剩余定理”．他所論的“正負開方術(shù)”，被稱為“秦九韶程序”．世界各國從小學(xué)、中學(xué)到大學(xué)的數(shù)學(xué)課程，幾乎都接觸到他的定理、定律和解題原則．科學(xué)史家稱秦九韶：“他那個民族、他那個時代，并且確實也是所有時代最偉大的數(shù)學(xué)家之一”．在《數(shù)書九章》中提出“三斜求積術(shù)”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上：以小斜冪乘大斜幫，減上，余四約之，為實：一為從隅，開平方得積可用公式（其中a，b，c，S為三角形的三邊和面積）表示．在中，a，b，c分別為角A、B、C所對的邊，若，且則面積的最大值為______．【答案】【解析】利用余弦定理化簡已知條件得到的關(guān)系式，將的關(guān)系式代入所給的面積公式中，將面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)形式，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸求解出面積的最大值即可.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以當(dāng)時，有最大值為，故答案為：.4．（2021·河南高二月考（文））為測量山高.選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從A點測得N點的仰角，C點的仰角以及，從C點測得.已知山高米.則所求山高為___________米.【答案】【解析】在中可求得，再在利用正弦定理可求出，即可求得山高.【詳解】由題，在中，，，在中，，，則，由正弦定理可得，即，解得，又在中，，，所以所求山高為米.故答案為：.5．（2021·齊齊哈爾市第八中學(xué)校高一期中）在中，已知且.（1）試確定的形狀；（2）求的取值范圍.【答案】（1）直角三角形；（2）.【解析】（1）根據(jù)正弦定理化簡整理得到即可判斷三角形的形狀；（2）由正弦定理將表示成，接著根據(jù)三角函數(shù)的知識求解取值范圍即可.【詳解】解：（1）由正弦定理得：，所以①因為，所以所以，②把②代入①得所以是直角三角形（2）由（1）知，所以所以.根據(jù)正弦定理得因為，所以即的取值范圍是.6．（2021·重慶市長壽中學(xué)校高三其他模擬）如圖四邊形中，，，，、，.（1）求；（2）求面積的最大值.從①且為銳角；②；③這三個條件中任選一個補充在上面的問題中并作答【答案】（1）條件選擇見解析，；（2）.【解析】（1）選①：利用三角形的面積公式求出，結(jié)合為銳角求出的值，利用余弦定理求出，再利用正弦定理可求得的長；選②：利用余弦定理計算得出的值，結(jié)合的取值范圍可求得的值，利用余弦定理求出，再利用正弦定理可求得的長；選③：求出，利用余弦定理計算得出的值，結(jié)合的取值范圍可求得的值，再利用正弦定理可求得的長；（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，利用三角形的面積公式可得結(jié)果.【詳解】（1）選①，，是銳角，，由余弦定理可得，則，，則是四邊形的外接圓直徑，是的外接圓直徑，；選②：，，，由余弦定理可得，則，，則是四邊形的外接圓直徑，是的外接圓直徑，；選③：，由余弦定理可得，，，，則是四邊形的外接圓直徑，是的外接圓直徑，；（2）由（1），，在中，由余弦定理可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.因此，.7．（2021·全國高一專題練習(xí)）如圖，為了檢測某工業(yè)區(qū)的空氣質(zhì)量，在點A處設(shè)立一個空氣監(jiān)測中心（大小忽略不計），在其正東方向點B處安裝一套監(jiān)測設(shè)備．為了使監(jiān)測數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確，在點C和點D處，再分別安裝一套監(jiān)測設(shè)備，且滿足，，設(shè)．（1）當(dāng)，求四邊形的面積；（2）當(dāng)為何值時，線段最長．【答案】（1）；（2）時，最長為.【解析】（1）利用余弦定理求出，即得解；（2）先求出，設(shè),，，利用余弦定理求出即得解.【詳解】（1）在△中，由余弦定理得所以.所以四邊形的面積.（2）由題得所以，設(shè),，所以，所以所以，因為，所以時，最長為.8．（2021·江蘇高一月考）緝私船在A處測出某走私船在方位角為(航向)，距離為10海里的C處，并測得走私船正沿方位角的方向以9海里/時的速度沿直線方向航行逃往相距27海里的陸地D處，緝私船立即以v海里/時的速度沿直線方向前去截獲.(方位角：從某點的指北方向線起，依順時針方向到目標(biāo)方向線之間的水平夾角)（1）若，求緝私船航行的方位角正弦值和截獲走私船所需的時間；（2）緝私船是否有兩種不同的航向均恰能成功截獲走私船？若能，求v的取值范圍，若不能請說明理由.【答案】（1），；（2）能，．【解析】（1）在中，由正弦定理得緝私船航行的方位角正弦值；在中，由余弦定理建立方程，即可求出截獲走私船所需的時間；（2）由（1）知，利用換元法得到關(guān)于的方程在必有兩不同的實根，即可求解．【詳解】（1）設(shè)緝私船在B處截獲走私船，所需的時間為，依題意，得，在中，由正弦定理得，，方位角為，，在中，由余弦定理得，，當(dāng)時，，解得（負值已舍），即截獲走私船所需時間為．（2）由（1）知，，即，因為走私船距離陸地27海里以9海里/時的速度航行，所以要能截獲需在3小時之內(nèi)，令，若緝私船有兩種不同的航向均能成功截獲走私船，則關(guān)于的方程在必有兩不同的實根，則解得，9．（2021·廣東汕頭市·高三二模）隨著人們生活水平的不斷提高，人們對餐飲服務(wù)行業(yè)的要求也越來越高，由于工作繁忙無法抽出時間來享受美食，這樣網(wǎng)上外賣訂餐應(yīng)運而生.現(xiàn)有美團外賣送餐員小李在A地接到兩份外賣單，他須分別到B地?D地取餐，再將兩份外賣一起送到C地，運餐過程不返回A地.A，B，C，D各地的示意圖如圖所示，，，，，，假設(shè)小李到達B?D兩地時都可以馬上取餐(取餐時間忽略不計)，送餐過程一路暢通.若小李送餐騎行的平均速度為每小時20千米，請你幫小李設(shè)計出所有送餐路徑(如：)，并計算各種送餐路徑的路程，然后選擇一條最快送達的送餐路徑，并計算出最短送餐時間為多少分鐘.(各數(shù)值保留3位小數(shù))(參考數(shù)據(jù)：，)【答案】答案見解析【解析】根據(jù)正弦定理先求解出的值，再根據(jù)余弦定理求解出的值，然后分析每條送餐路徑的路程并確定出最短送餐路徑對應(yīng)的送餐時間.【詳解】解：在中，由正弦定理可知：，即：，解得：，由，即：，解得：，(由余弦定理可得，解得或者，)在中，由余弦定理可知：即，解得或(舍)；①若送餐路徑為：，則總路程=②若送餐路徑為：，則總路程=③若送餐路徑為：，則總路程=④若送餐路徑為：，則總路程=所以最短送餐路徑為，此路徑的送餐時間為：(分鐘).10．（2021·江蘇揚州市·揚州中學(xué)高三其他模擬）如圖，某生態(tài)農(nóng)莊內(nèi)有一直角梯形區(qū)域，，，百米，百米．該區(qū)域內(nèi)原有道路，現(xiàn)新修一條直道（寬度忽略不計），點在道路上（異于，兩點），，．（1）用表示直道的長度；（2）計劃在區(qū)域內(nèi)種植觀賞植物，在區(qū)域內(nèi)種植經(jīng)濟作物．已知種植觀賞植物的成本為每平方百米2萬元，種植經(jīng)濟作物的成本為每平方百米1萬元，新建道路的成本為每百米1萬元，求以上三項費用總和的最小值．【答案】（1），；（2）萬元．【解析】（1）根據(jù)解三角形和正弦定理可得，，（2）分別求出，，可得，設(shè)三項費用之和為，可得，，利用導(dǎo)數(shù)求出最值.【詳解】解：（1）過點作，垂足為，在中，∵，，，∴，在中，∵，，，∴，∴，∵，∴，在中，由正弦定理可得，∴，，（2）在中，由正弦定理可得，∴，∴，又∴，設(shè)三項費用之和為，則，，∴，令，解得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴，即三項費用總和的最小值為萬元．練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題（理））已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A2.（2021·全國高考真題（理））2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A，C兩點到水平面的高度差約為（）（）A．346 B．373 C．446 D．473【答案】B【解析】通過做輔助線，將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個三角形中，借助正弦定理，求得，進而得到答案．【詳解】過作，過作，故，由題，易知為等腰直角三角形，所以．所以．因為，所以在中，由正弦定理得：，而，所以，所以．