2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.1第2課時(shí)旋轉(zhuǎn)體和簡(jiǎn)單組合體教學(xué)用書(shū)教案新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE第2課時(shí)旋轉(zhuǎn)體和簡(jiǎn)潔組合體素養(yǎng)目標(biāo)·定方向素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1．相識(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征.(直觀想象)2．相識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)潔組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)潔物體的結(jié)構(gòu).(直觀想象)1．利用柱、錐、臺(tái)之間的聯(lián)系來(lái)加強(qiáng)記憶，如棱柱、棱錐、棱臺(tái)為一類(lèi)，圓柱、圓錐、圓臺(tái)為一類(lèi)；或分成柱體、錐體、臺(tái)體三類(lèi)來(lái)分別相識(shí).只有對(duì)比才能把握實(shí)質(zhì)與區(qū)分.2．與平面幾何的有關(guān)概念、圖形和性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)類(lèi)比，逐步學(xué)會(huì)用類(lèi)比的思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.必備學(xué)問(wèn)·探新知學(xué)問(wèn)點(diǎn)1圓柱的結(jié)構(gòu)特征定義以__矩形__的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱有關(guān)概念旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的__軸__；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的__底面__；平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的__側(cè)面__；無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，__不垂直__于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線圖形表示法用表示它的軸的字母，即表示兩底面__圓心__的字母表示，上圖中的圓柱可記作圓柱__O′O__規(guī)定__圓柱__和__棱柱__統(tǒng)稱(chēng)為柱體[學(xué)問(wèn)解讀]圓柱的簡(jiǎn)潔性質(zhì)：(1)圓柱有多數(shù)條母線，它們相互平行且相等.(2)平行于底面的截面是與底面大小相同的圓，如圖①所示.(3)過(guò)軸的截面(軸截面)都是全等的矩形，如圖②所示.(4)過(guò)隨意兩條母線的截面是矩形，如圖③所示.學(xué)問(wèn)點(diǎn)2圓錐的結(jié)構(gòu)特征定義以__直角__三角形的一條__直角邊__所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐圖形有關(guān)概念如上圖所示，軸為_(kāi)_SO__，底面為_(kāi)_⊙O__，SA為母線.另外，S叫做圓錐的__頂點(diǎn)__，OA(或OB)叫做底面⊙O的__半徑__表示法圓錐用表示它的__軸__的字母表示，上圖中的圓錐可記作圓錐__SO__規(guī)定__棱錐__與__圓錐__統(tǒng)稱(chēng)為錐體[學(xué)問(wèn)解讀]圓錐的簡(jiǎn)潔性質(zhì)：(1)圓錐有多數(shù)條母線，它們有公共點(diǎn)即圓錐的頂點(diǎn)，且長(zhǎng)度相等.(2)平行于底面的截面都是圓，如圖①所示.(3)過(guò)軸的截面(軸截面)是全等的等腰三角形，如圖②所示.(4)過(guò)隨意兩條母線的截面是等腰三角形，如圖③所示.學(xué)問(wèn)點(diǎn)3圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征定義用平行于__圓錐__底面的平面去截圓錐，__底面__與__截面__之間的部分叫做圓臺(tái)圖形有關(guān)概念原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺(tái)的__下__底面和__上__底面.與圓柱和圓錐一樣，圓臺(tái)也有軸、__側(cè)面__、母線，如上圖所示，軸為_(kāi)_OO′__，AA′為母線表示法用表示軸的__字母__表示，上圖中的圓臺(tái)可記作圓臺(tái)__OO′__規(guī)定__圓臺(tái)__與__棱臺(tái)__統(tǒng)稱(chēng)為臺(tái)體[學(xué)問(wèn)解讀]圓臺(tái)的簡(jiǎn)潔性質(zhì)：(1)圓臺(tái)有多數(shù)條母線，且它們相等，延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn).(2)平行于底面的截面是圓，如圖①所示.(3)過(guò)軸的截面是全等的等腰梯形，如圖②所示.(4)過(guò)隨意兩條母線的截面是等腰梯形，如圖③所示.學(xué)問(wèn)點(diǎn)4球定義以半圓的__直徑__所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)__一周__形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球有關(guān)概念半圓的__圓心__叫做球的球心；半圓的__半徑__叫做球的半徑；半圓的__直徑__叫做球的直徑圖形表示法球常用表示__球心__的字母表示，如上圖中的球記作球__O__關(guān)鍵實(shí)力·攻重難題型探究題型一旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征典例1下列結(jié)論正確的是__④⑥⑧__.①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；④以等腰三角形的底邊上的高所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐；⑤球面上四個(gè)不同的點(diǎn)肯定不在同一平面內(nèi)；⑥球的半徑是球面上隨意一點(diǎn)和球心的連線段；⑦球面上隨意三點(diǎn)可能在一條直線上；⑧用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面.[分析]精確理解旋轉(zhuǎn)體的定義，在此基礎(chǔ)上駕馭各旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)，才能更好地把握它們的結(jié)構(gòu)特征，以作出精確的推斷.[解析]①以直角三角形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周才可以得到圓錐；②以直角梯形垂直于底邊的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周可得到圓臺(tái)；③它們的底面為圓面；④正確；作球的一個(gè)截面，在截面的圓周上隨意取四點(diǎn)，則這四點(diǎn)就在球面上，故⑤錯(cuò)誤；依據(jù)球的半徑定義可知⑥正確；球面上隨意三點(diǎn)肯定不共線，故⑦錯(cuò)誤；用一個(gè)平面去截球，肯定截得一個(gè)圓面，故⑧正確.[歸納提升]圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球都是常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)體，嫻熟駕馭它們結(jié)構(gòu)特征，弄清旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)是精確作圖解題的前提.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?下列結(jié)論：①隨意平面截圓柱，截面都是圓面；②圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上隨意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線；③在圓臺(tái)上、下兩底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線.其中正確的是(B)A．① B．②C．①② D．②③[解析]過(guò)兩母線的截面為矩形，有時(shí)斜的截面為橢圓，故①錯(cuò)；依據(jù)母線的定義和特點(diǎn)，③錯(cuò)誤；②正確，故選B．題型二簡(jiǎn)潔組合體的結(jié)構(gòu)特征典例2如圖，繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的旋轉(zhuǎn)體是由哪些簡(jiǎn)潔幾何體組成的？[解析]如圖所示，由一個(gè)圓錐O4O5，一個(gè)圓柱O3O4及一個(gè)圓臺(tái)O1O3中挖去圓錐O1O2組成的.[歸納提升]平面圖形繞某條直線旋轉(zhuǎn)時(shí)，要過(guò)有關(guān)頂點(diǎn)向軸作垂線，然后分析旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)和組成.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?已知AB是直角梯形ABCD中與底邊垂直的一腰，如右圖.分別以AB、BC、CD、DA為軸旋轉(zhuǎn)，試說(shuō)明所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征.[解析](1)以AB為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái).如下圖①所示.(2)以BC邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是一組合體：下部為圓柱，上部為圓錐.如圖②所示.(3)以CD邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體為一組合體：上部為圓錐，下部為圓臺(tái)，再挖去一個(gè)小圓錐.如圖③所示.(4)以AD邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的組合體：一個(gè)圓柱上部挖去一個(gè)圓錐.如圖④所示.題型三旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面綻開(kāi)問(wèn)題典例3一圓柱的底面半徑為eq\f(3,π)，母線長(zhǎng)為4，軸截面為ABCD，從點(diǎn)A拉一繩子沿圓柱側(cè)面到相對(duì)頂點(diǎn)C，求最短繩長(zhǎng).[分析]繩子沿圓柱側(cè)面由A到C且最短，故側(cè)面綻開(kāi)后為A、C兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng).[解析]沿BC剪開(kāi)，將圓柱體的側(cè)面的一半綻開(kāi)得到矩形BADC.則AD＝4，AB＝eq\f(3,π)·π＝3．∴AC＝eq\r(32＋42)＝5，即最短繩長(zhǎng)為5．[歸納提升]求多面體表面上兩點(diǎn)間的最短距離的思路將空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題，是解決立體幾何問(wèn)題基本的、常用的方法.立體圖形上兩點(diǎn)之間的最短距離問(wèn)題常通過(guò)把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，利用軸對(duì)稱(chēng)、平移或旋轉(zhuǎn)等幾何圖形的變換，運(yùn)用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來(lái)解決.詳細(xì)步驟如下：(1)將幾何體沿著某棱剪開(kāi)后綻開(kāi)，畫(huà)出其側(cè)面綻開(kāi)圖；(2)將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上的線段問(wèn)題；(3)結(jié)合已知條件求得結(jié)果.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?如圖所示，有一圓錐形糧堆，母線與底面圓的直徑構(gòu)成邊長(zhǎng)為6m的正三角形ABC，糧堆母線AC的中點(diǎn)P處有一只老鼠正在偷吃糧食.此時(shí)，小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處捕獲老鼠，求小貓所經(jīng)過(guò)的最短路程.(結(jié)果不取近似值)[解析]設(shè)底面圓的周長(zhǎng)為l.∵△ABC為正三角形，∴BC＝6，∴l(xiāng)＝2π×3＝6π，依據(jù)底面圓的周長(zhǎng)等于綻開(kāi)后扇形的弧長(zhǎng)，得：eq\f(nπ×6,180°)＝6π，故n＝180°，則∠B′AC＝90°，∴B′P＝eq\r(36＋9)＝3eq\r(5)(m)，∴小貓所經(jīng)過(guò)的最短路程是3eq\易錯(cuò)警示旋轉(zhuǎn)體的概念不清致誤典例4如圖所示，它們是不是棱錐、棱臺(tái)、圓柱、圓錐等幾何體？[錯(cuò)解]圖①是圓柱；圖②是圓錐.[錯(cuò)因分析]不能只依據(jù)概念的某一結(jié)論去推斷.推斷幾何體的形態(tài)時(shí)，要考慮周全，要滿(mǎn)意幾何體的全部特征.[正解]圖①不