考點17相似三角形（原卷版）

考點17相似三角形相似三角形是中考數(shù)學(xué)中非常重要的一個考點，也是難度最大的一個考點。它不僅可以作為簡單考點單獨考察，還經(jīng)常作為壓軸題的重要解題方法，和其他如函數(shù)、特殊四邊形、圓等問題一起考察。而且，在很多壓軸題中，雖然題面上沒有明確考察相似三角形的判定或性質(zhì)，但是經(jīng)常通過相似三角形的判定以及性質(zhì)來得到角相等或者邊長間的關(guān)系，也是動點問題中得到函數(shù)關(guān)系式的重要手段。需要考生在復(fù)習(xí)的時候給予加倍的重視！比例線段相似三角形的性質(zhì)相似三角形的判定考向一：比例線段比例的性質(zhì)1.基本性質(zhì)：；2.比例中項：，此時，c為a、b的比例中項；比例線段1.比例線段：在四條線段中，如果的比等于的比，那么這四條線段叫做成比例線段簡稱比例線段；2.黃金分割：把線段分成兩條線段，且使是的比例中項，叫做把線段黃金分割，點叫做線段的黃金分割點，其中≈0.618．3.平行線分線段成比例的基本性質(zhì)：如圖：AB∥CD∥EF1．若2a＝3b（a≠0，b≠0），則的值為（）A． B． C．1 D．2．已知線段a＝3，b＝12，則a，b的比例中項線段等于（）A．2 B．4 C．6 D．93．若點C是線段AB的黃金分割點，AC＞BC，AB＝8，則AC的長度為（）A． B． C．5 D．4．如圖，已知l1∥l2∥l3，AG＝2，OB＝1，CH＝3，DH＝4，則GO＝．5．如圖，已知直線l1∥l2∥l3，直線AB分別交三條平行線于點A、E、B，直線CD分別交三條平行線于點C、F、D，直線AB、CD相交于點O，若AE：EO：OB＝4：2：7，則下列式子①；②；③；④中，正確的個數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個考向二：相似三角形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例相似三角形的周長之比等于相似比相似三角形的面積之比等于相似比的平方相似三角形的對應(yīng)“三線”（高線、中線、角平分線）之比等于相似比相似三角形性質(zhì)的主要應(yīng)用方向：求角的度數(shù)求或證明比值關(guān)系證線段等積式求面積或面積比相似三角形的對應(yīng)邊成比例是求線段長度的重要方法，也是動點問題中得到函數(shù)關(guān)系式的重要手段1．如圖，△ABC中，點D在線段BC上，且△ABC∽△DBA，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．AB2＝BC?BDB．AB2＝AC?CDC．AB?AD＝BD?BCD．AB?AD＝AD?CD2．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝1：4．則它們的周長比為（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：13．若兩個相似三角形的面積之比為4：9，則它們對應(yīng)角的平分線之比為（）A． B． C． D．4．已知△ABC∽△DEF，且AC：DF＝2：3，BC與EF邊上的高分別記為h1和h2，則h1：h2等于．5．如圖，△ABC中，AB＝8，AC＝6，點E在AB上且AE＝3，點F在AC上，連接EF，若△AEF與△ABC相似，則AF＝．6．如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸和y軸上，點B的坐標(biāo)為（2，3），雙曲線y＝﹣（x＞0）的圖象經(jīng)過的中點D，且與AB交于點E，連接DE（1）求△BDE的面積（2）若點F是OC邊上一點，且△FBC∽△DEB，求點F坐標(biāo)．考向三：相似三角形的判定一．相似三角形的判定方法：判定方法1·平行∵DE∥BC∴△ABC∽△ADE判定方法2·“AA”∵∠A=∠A`，∠C=∠C`∴△ABC∽△A，B，C，判定方法3·“SAS”∵，∠B=∠B∴△ABC∽△A，B，C，判定方法4·“SSS”∵∴△ABC∽△A，B，C，二．判定三角形相似的思路：（1）有平行截線——用平行線的性質(zhì)，找等角（2）有一對等角，找（3）有兩邊對應(yīng)成比例，找夾角相等（4）直角三角形，找（5）等腰三角形，找1．如圖，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝6，AC＝9．將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A．B．C．D．2．下列四個三角形，與如圖的三角形相似的是（）A．B．C．D．3．如圖，點D在△ABC的邊AC上，添加下列條件后不能判定△ADB與△ABC相似的是（）A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C． D．4．如圖，點D是等腰Rt△ABC斜邊BC上的一個動點，以AD為邊作等腰Rt△ADE，斜邊AE交BC于F，則圖中相似三角形共有（）對．A．2 B．3 C．4 D．55．如圖所示，在銳角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，點D從點A出發(fā)以1cm/s的速度運動到點B停止，點E從點C出發(fā)以2cm/s的速度運動到點A停止，如果兩點同時開始運動，那么以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動時間為s．6．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm，動點M以1cm/s的速度從A點出發(fā)，沿AB向點B運動，同時動點N以2cm/s的速度從點D出發(fā)，沿DA向點A運動，設(shè)運動的時間為t秒（0＜t＜3）．（1）當(dāng)t為何值時，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的？（2）是否存在某一時刻t，使得以A、M、N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．考向四：相似三角形性質(zhì)與判定的綜合1．如圖，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD：BD＝5：3，CF＝6，則DE的長為（）A．8 B．10 C．12 D．142．如圖，將△ABC沿射線AC方向平移一定的距離，平移后的三角形記為△A′B′C′，邊A′B′剛好經(jīng)過邊BC的中點D，已知△ABC的面積為16，則陰影部分△A′DC的面積為（）A．8 B．6 C．5 D．43．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，點D是BC邊上的一個動點，點E在AC上，點D在運動過程中始終保持∠1＝∠B．當(dāng)EA＝ED時，則BD的長為（）A．2 B． C．3 D．4．如圖，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC，邊FG落在BC上．若AD⊥BC于點D，BC＝3，AD＝2，EF＝EH，則EH的長為．5．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，E為CD的中點，F(xiàn)為BC上一點，BF＜FC，且AF⊥FE．對角線AC與EF交于點G，則GC的長為．6．如圖，在△ABC中，D、E、F分別為AB、AC、BC上的點，DE∥BC，BF＝CF，AF分別交DE、CD于點G、H，且CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，有下面四個結(jié)論：①DG＝EG；②△AGD∽△ACF；③點H是AF的中點；④S△ABF＝9S△AGE．其中所有正確結(jié)論的序號是．7．如圖，在△ABC中，點D在BC上，，∠BAD＝∠CAE．（1）求證：∠ACB＝∠AED；（2）AF?FC＝FD?EF．8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，P是邊AD上的一個動點，連接BP，CP，過點B作射線，交線段CP的延長線于點E，交邊AD于點M，且使得∠ABE＝∠CBP．（1）若AP＝4，求證△ABP∽△DPC；（2）若AP＝3，求PM的長．9．如圖，M為線段AB中點，AE與BD交于點C，∠DME＝∠A＝∠B＝45°，且DM交AC于點F，ME交BC于點G．（1）求證：△AMF∽△BGM；（2）連接FG，若AB＝4，AF＝3，求FG的長．1．（2022?婁底）九年級融融陪同父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖（如實物圖）比較美觀，通過手繪（如圖）、測量、計算發(fā)現(xiàn)點E是AD的黃金分割點，即DE≈0.618AD．延長HF與AD相交于點G，則EG≈DE．（精確到0.001）2．（2022?廣安）下列說法正確的是（）A．對角線相等的四邊形是矩形 B．相似三角形的面積的比等于相似比 C．方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小 D．過一點有且只有一條直線與已知直線平行3．（2022?甘肅）若△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，則＝（）A． B． C． D．4．（2022?貴陽）如圖，在△ABC中，D是AB邊上的點，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，則△ADC與△ACB的周長比是（）A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：45．（2022?包頭）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個點均在格點上，AC與BD相交于點E，連接AB，CD，則△ABE與△CDE的周長比為（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：16．（2022?湘潭）在△ABC中（如圖），點D、E分別為AB、AC的中點，則S△ADE：S△ABC＝（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：47．（2022?徐州）如圖，若方格紙中每個小正方形的邊長均為1，則陰影部分的面積為（）A．5 B．6 C． D．8．（2022?阜新）如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊上一點，且AE＝2DE，BD與CE相交于點F，若△DEF的面積是3，則△BCF的面積是．9．（2022?淮安）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點D是AC邊上的一點，過點D作DF∥AB，交BC于點F，作∠BAC的平分線交DF于點E，連接BE．若△ABE的面積是2，則的值是．10．（2022?攀枝花）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別為BC、CD的中點，BF、DE相交于點G，過點E作EH∥CD，交BF于點H，則線段GH的長度是（）A． B．1 C． D．11．（2022?綏化）如圖，在矩形ABCD中，P是邊AD上的一個動點，連接BP，CP，過點B作射線，交線段CP的延長線于點E，交邊AD于點M，且使得∠ABE＝∠CBP，如果AB＝2，BC＝5，AP＝x，PM＝y(tǒng)，其中2＜x≤5．則下列結(jié)論中，正確的個數(shù)為（）（1）y與x的關(guān)系式為y＝x﹣；（2）當(dāng)AP＝4時，△ABP∽△DPC；（3）當(dāng)AP＝4時，tan∠EBP＝．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個12．（2022?嘉興）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點D，E．點B，C，D，E處的讀數(shù)分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長為．13．（2022?上海）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，D為AB中點，E在線段AC上，＝，則＝．14．（2022?甘肅）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝9cm，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于點G，若G是EF的中點，則BG的長為cm．15．（2022?鹽城）如圖，在△ABC與△A′B′C′中，點D、D′分別在邊BC、B′C′上，且△ACD∽△A′C′D′，若，則△ABD∽△A′B′D′．請從①＝；②＝；③∠BAD＝∠B′A′D′這3個選項中選擇一個作為條件（寫序號），并加以證明．16．（2022?寧波）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC上的點，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于點G，求證：DG＝EG．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在（1）的條件下，連結(jié)CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求的值．【拓展提高】（3）如圖3，在?ABCD中，∠ADC＝45°，AC與BD交于點O，E為AO上一點，EG∥BD交AD于點G，EF⊥EG交BC于點F．若∠EGF＝40°，F(xiàn)G平分∠EFC，F(xiàn)G＝10，求BF的長．1．（2022?鎮(zhèn)江）《九章算術(shù)》中記載，戰(zhàn)國時期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿．衡桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線．用該衡桿稱物，可以把被稱物與砝碼放在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個砝碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體．圖為銅衡桿的使用示意圖，此時被稱物重量是砝碼重量的倍．2．（2022?濰坊）秦兵馬俑的發(fā)現(xiàn)被譽為“世界第八大奇跡”，兵馬俑的眼睛到下巴的距離與頭頂?shù)较掳偷木嚯x之比約為，下列估算正確的是（）A．0＜＜ B．＜＜ C．＜＜1 D．＞13．（2022?陜西）在20世紀(jì)70年代，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所作EF將矩形窗框ABCD分為上下兩部分，其中E為邊AB的黃金分割點，即BE2＝AE?AB．已知AB為2米，則線段BE的長為米．4．（2022?臨沂）如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，則EC＝（）A． B． C． D．5．（2022?麗水）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段AB＝3，則線段BC的長是（）A． B．1 C． D．26．（2022?蘭州）已知△ABC∽△DEF，＝，若BC＝2，則EF＝（）A．4 B．6 C．8 D．167．（2022?賀州）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，則S△ADE：S△ABC的值是（）A． B． C． D．8．（2022?連云港）△ABC的三邊長分別為2，3，4，另有一個與它相似的三角形DEF，其最長邊為12，則△DEF的周長是（）A．54 B．36 C．27 D．219．（2022?邵陽）如圖，在△ABC中，點D在AB邊上，點E在AC邊上，請?zhí)砑右粋€條件，使△ADE∽△ABC．10．（2022?北京）如圖，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，＝，則AE的長為．11．（2022?東營）如圖，點D為△ABC邊AB上任一點，DE∥BC交AC于點E，連接BE、CD相交于點F，則下列等式中不成立的是（）A． B． C． D．12．（2022?臺灣）△ABC的邊上有D、E、F三點，各點位置如圖所示．若∠B＝∠FAC，BD＝AC，∠BDE＝∠C，則根據(jù)圖中標(biāo)示的長度，求四邊形ADEF與△ABC的面積比為何？（）A．1：3 B．1：4 C．2：5 D．3：813．（2022?金華）如圖是一張矩形紙片ABCD，點E為AD中點，點F在BC上，把該紙片沿EF折疊，點A，B的對應(yīng)點分別為A′，B′，A′E與BC相交于點G，B′A′的延長線過點C．若＝，則的值為（）A．2 B． C． D．14．（2022?遼寧）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，點P為斜邊AB上的一個動點（點P不與點A、B重合），過點P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分別為點D和點E，連接DE，PC交于點Q，連接AQ，當(dāng)△APQ為直角三角形時，AP的長是．15．（2022?東營）如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，對角線AC、BD相交于點O，點M，N分別是邊BC、CD上的動點，∠BAC＝∠MAN＝60°，連接MN、OM．以下四個結(jié)論正確的是（）①△AMN是等邊三角形；②MN的最小值是；③當(dāng)MN最小時S△CMN＝S菱形ABCD；④當(dāng)OM⊥BC時，OA2＝DN?AB．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④16．（2022?菏澤）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是邊AC上一點，且BE＝BC，過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點D，求證：△ADE∽△ABC．17．（2022?上海）如圖所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點E，F(xiàn)在線段BC上，點Q在線段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ?AB．求證：（1）∠CAE＝∠BAF；（2）CF?FQ＝AF?BQ．1．（2023?寧波模擬）若＝，則的值是（）A． B．﹣ C．﹣2 D．22．（2022?寶山區(qū)模擬）在比例尺為1：50的圖紙上，長度為10cm的線段實際長為（）A．50cm B．500cm C． D．3．（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，已知直線AB∥CD∥EF，且AE：EC＝2：3，BD＝15，則DF＝．4．（2023?深圳模擬）某品牌20寸的行李箱拉桿拉開后放置如圖所示，經(jīng)測量該行李箱從輪子底部到箱子上沿的高度AB與從輪子底部到拉桿頂部的高度CD之比是黃金比（約等于0.618）．已知CD＝80cm，則AB約是（）A．30cm B．49cm C．55cm D．129cm5．（2022?覃塘區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，D是AB邊的中點，點E在BC邊上，且，CD與AE交于點F，則的值為（）A． B． C． D．6．（2022?定遠(yuǎn)縣校級模擬）如圖，矩形ABCD被分成5個正方形和2個小矩形后形成一個中心對稱圖形，如果矩形BEFG∽矩形ABCD，那么的值為（）A． B． C． D．7．（2022?于洪區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，DE＝2，DF＝3，則BE的長是（）A．12 B．15 C． D．8．（2022?丹東模擬）已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'分別是它們的對應(yīng)高，若AD＝3，A'D'＝2，則△ABC與△A'B'C'的面積比是（）A．9：4 B．4：9 C．3：2 D．9：29．（2023?偃師市一模）如圖，已知∠1＝∠2，添加下列條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是（）A．＝ B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D．＝10．（2022?乳山市模擬）如圖，等邊△ABC的邊長為3，點D在邊AC上，AD＝，線段PQ在邊BA上運動，PQ＝，若△AQD與△BCP相似，則AQ的長是．11．（2022?無為市校級一模）下列格點三角形中，與已知格點△ABC相似的是（）A．B． C．D．12．（2022?中山市三模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，連接AC，以對角線AC為邊，按逆時針方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再連接AC1，以對角線AC1為邊，按逆時針方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2∽矩形ACC1B1，…，按照此規(guī)律作下去，則邊AC2022的長為（）A．B．C．D．13．（2022?平陰縣二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC、BD相交于點O，點E是OA的中點，連接BE并延長交AD于點F，已知S△AEF＝3，則下列結(jié)論：①＝；②S△BCE＝27；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD．其中一定正確的是（）A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②14．（2023?寧波模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，點E、F分別是邊AB，BC邊上的點（E、F不與端點重合），且EF∥AC．將△BEF沿直線EF折疊，點B的對應(yīng)點為點M，延長EM交AC于