10用反比例函數(shù)解決問題

用反比例函數(shù)解決問題要點(diǎn)一、利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題1.基本思路：建立函數(shù)模型，即在實(shí)際問題中求得函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)解決問題.2.一般步驟如下：（1）審清題意，根據(jù)常量、變量之間的關(guān)系，設(shè)出函數(shù)解析式，待定的系數(shù)用字母表示.（2）由題目中的已知條件，列出方程，求出待定系數(shù).（3）寫出函數(shù)解析式，并注意解析式中變量的取值范圍.（4）利用函數(shù)解析式、函數(shù)的圖象和性質(zhì)等去解決問題.要點(diǎn)二、反比例函數(shù)在其他學(xué)科中的應(yīng)用當(dāng)圓柱體的體積一定時(shí)，圓柱的底面積是高的反比例函數(shù)；當(dāng)工程總量一定時(shí)，做工時(shí)間是做工速度的反比例函數(shù)；在使用杠桿時(shí)，如果阻力和阻力臂不變，則動(dòng)力是動(dòng)力臂的反比例函數(shù)；電壓一定，輸出功率是電路中電阻的反比例函數(shù).要點(diǎn)三、反比例函數(shù)中的最值問題理論：若，，則成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）例題：對于函數(shù)，當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)的值最??？最小值是多少？，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，由得：或（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的解，故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)y的值最小，最小值是2題型一:反比例函數(shù)實(shí)際問題與圖象1．已知矩形的面積為，它的長y與寬x之間的關(guān)系用圖象大致可表示為（

）A．

B．

C．

D．

2．當(dāng)溫度不變時(shí)，某氣球內(nèi)的氣壓與氣體體積成反比例函數(shù)關(guān)系（其圖象如圖所示），已知當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓時(shí)，氣球?qū)⒈?，為了安全起見，氣球?nèi)氣體體積V應(yīng)滿足的條件是（

）

不大于 B．大于 C．不小于 D．小于3．偉大的古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家阿基米德有句名言：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我可以撬動(dòng)地球！”這句名言道出了“標(biāo)桿原理”的意義和價(jià)值．“標(biāo)桿原理”在實(shí)際生產(chǎn)和生活中，有著廣泛的運(yùn)用．比如：小明用撬棍撬動(dòng)一塊大石頭，運(yùn)用的就是“標(biāo)桿原理”．已知阻力和阻力臂的函數(shù)圖像如圖，若小明想使動(dòng)力不超過，則動(dòng)力臂至少需要（）m．A．2 B．1 C．6 D．44．體育課上，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)進(jìn)行跑步訓(xùn)練，如圖用四個(gè)點(diǎn)分別描述四位同學(xué)的跑步時(shí)間y（分鐘）與平均跑步速度x（米/分鐘）的關(guān)系，其中描述甲、丙兩位同學(xué)的y與x之間關(guān)系的點(diǎn)恰好在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖像上，則在這次訓(xùn)練中跑的路程最多的是（

）

甲 B．乙 C．丙 D．丁5．某商家設(shè)計(jì)了一個(gè)水箱水位自動(dòng)報(bào)警儀，其電路圖如圖1所示，其中定值電阻，是一個(gè)壓敏電阻，用絕緣薄膜包好后放在一個(gè)硬質(zhì)凹形絕緣盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水壓的面積S為0.01，壓敏電阻的阻值隨所受液體壓力F的變化關(guān)系如圖2所示（水深h越深，壓力F越大），電源電壓保持6V不變，當(dāng)電路中的電流為0.3A時(shí)，報(bào)警器（電阻不計(jì)）開始報(bào)警，水的壓強(qiáng)隨深度變化的關(guān)系圖象如圖3所示（參考公式：，，）．則下列說法中不正確的是（

）A．當(dāng)水箱未裝水（）時(shí)，壓強(qiáng)p為0kPaB．當(dāng)報(bào)警器剛好開始報(bào)警時(shí)，水箱受到的壓力F為40NC．當(dāng)報(bào)警器剛好開始報(bào)警時(shí)，水箱中水的深度h是0.8mD．若想使水深1m時(shí)報(bào)警，應(yīng)使定值電阻的阻值為題型二:利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題1．如圖是某種電子理療設(shè)備工作原理的示意圖,其開始工作時(shí)的溫度是，然后按照一次函數(shù)關(guān)系一直增加到，這樣有利于打通病灶部位的血液循環(huán)，在此溫度下再沿反比例函數(shù)關(guān)系緩慢下降至，然后在此基礎(chǔ)上又沿著一次函數(shù)關(guān)系一直將溫度升至，再在此溫度下沿著反比例函數(shù)關(guān)系緩慢下降至，如此循環(huán)下去．（1）的值為；（2）如果在分鐘內(nèi)溫度大于或等于時(shí)，治療效果最好，則維持這個(gè)溫度范圍的持續(xù)時(shí)間為分鐘．2．心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，一節(jié)課40分鐘中，學(xué)生的注意力隨教師講課的變化而變化.開始上課時(shí)，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，中間有一段時(shí)間學(xué)生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散.經(jīng)過實(shí)驗(yàn)分析可知，學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)隨時(shí)間（分鐘）的變化規(guī)律如圖所示（其中、分別為線段，為雙曲線的一部分）：(1)開始上課后第五分鐘時(shí)與第三十分鐘時(shí)相比較，何時(shí)學(xué)生的注意力更集中？(2)一道數(shù)學(xué)競賽題，需要講19分鐘，為了效果較好，要求學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)最低達(dá)到36，那么經(jīng)過適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目？請說明理由.3．某水果生產(chǎn)基地在氣溫較低時(shí)，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種水果，如圖是試驗(yàn)階段的某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉后，大棚內(nèi)的溫度與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系，其中線段表示恒溫系統(tǒng)開啟后階段，雙曲線的一部分表示恒溫系統(tǒng)關(guān)閉階段．請根據(jù)圖中信息解答下列問題：(1)這個(gè)恒溫系統(tǒng)設(shè)定的恒定溫度為多少；(2)求全天的溫度與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)若大棚內(nèi)的溫度低于不利于新品種水果的生長，問這天內(nèi)，相對有利于水果生長的時(shí)間共多少小時(shí)？4．心理學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，在一節(jié)分鐘的課中，學(xué)生的注意力隨學(xué)習(xí)時(shí)間的變化而變化．開始學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，中間有一段時(shí)間學(xué)生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散．經(jīng)過實(shí)驗(yàn)分析可知，學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)隨時(shí)間(分鐘)的變化規(guī)律如下圖所示(其中分別為線段，為雙曲線的一部分)．

(1)求注意力指標(biāo)數(shù)與時(shí)間(分鐘)之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)開始學(xué)習(xí)后第分鐘時(shí)與第分鐘時(shí)相比較，何時(shí)學(xué)生的注意力更集中？(3)某些數(shù)學(xué)內(nèi)容的課堂學(xué)習(xí)大致可分為三個(gè)環(huán)節(jié)：即“教師引導(dǎo)，回顧舊知；自主探索，合作交流；總結(jié)歸納，鞏固提高”，其中“教師引導(dǎo)，回顧舊知”環(huán)節(jié)分鐘；重點(diǎn)環(huán)節(jié)“自主探索，合作交流”這一過程一般需要分鐘才能完成，為了確保效果，要求學(xué)習(xí)時(shí)的注意力指標(biāo)數(shù)不低于，請問：這樣的課堂學(xué)習(xí)安排是否合理？并說明理由．5．如圖所示，小明家飲水機(jī)中原有水的溫度是，開機(jī)通電后，飲水機(jī)自動(dòng)開始加熱，此過程中水溫（）與開機(jī)時(shí)間（分）滿足一次函數(shù)關(guān)系．當(dāng)加熱到時(shí)自動(dòng)停止加熱，隨后水溫開始下降，此過程中水溫（）與開機(jī)時(shí)間（分）成反比例關(guān)系．當(dāng)水溫降至?xí)r，飲水機(jī)又自動(dòng)開始加熱……，不斷重復(fù)上述程序．根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：

(1)當(dāng)時(shí)，求水溫（）與開機(jī)時(shí)間（分）的函數(shù)關(guān)系式；(2)求圖中的值；(3)有一天，小明在上午（水溫），開機(jī)通電后去上學(xué)，放學(xué)回到家時(shí)，飲水機(jī)內(nèi)水的溫度為多少？并求：在這段時(shí)間里，水溫共有幾次達(dá)到？6．據(jù)醫(yī)學(xué)研究，使用某種抗生素可治療心肌炎，某一患者按規(guī)定劑量服用這種抗生素，已知?jiǎng)偡迷摽股睾?，血液中的含藥量y（微克）與服用的時(shí)間x成正比例藥物濃度達(dá)到最高后，血液中的含藥量y（微克）與服用的時(shí)間x成反比例，根據(jù)圖中所提供的信息，回答下列問題：

(1)抗生素服用_______小時(shí)時(shí)，血液中藥物濃度最大，每毫升血液的含藥量有____微克；(2)根據(jù)圖象求出藥物濃度達(dá)到最高值之后，y與x之間的函數(shù)解析式及定義域；(3)求出該患者服用該藥物10小時(shí)時(shí)每毫升血液的含藥量y．題型三：最值問題1．閱讀與思考下面是小米同學(xué)的數(shù)學(xué)筆記，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．如果，，那么，即，得，即是的最小值，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．例題：當(dāng)時(shí)，求的最小值．解：令，，由，得，∴，故當(dāng)時(shí)，有最小值2．任務(wù)：(1)填空：已知，只有當(dāng)______時(shí)，有最小值，最小值為______．(2)如圖，P為雙曲線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)C，軸于點(diǎn)D，求的最小值．2．【操作發(fā)現(xiàn)】由得，；如果兩個(gè)正數(shù)a，b，即，，則有下面的不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)．例如：已知，求式子的最小值．解：令，，則由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)式子有最小值，最小值為4．(1)【問題解決】請根據(jù)上面材料回答下列問題：已知，當(dāng)為多少時(shí)，代數(shù)式的最小值為；(2)【靈活運(yùn)用】當(dāng)時(shí)，求的最小值；(3)【學(xué)以致用】如圖，民民同學(xué)想做一個(gè)菱形風(fēng)箏，現(xiàn)在有一根長的竹竿，他準(zhǔn)備把它截成兩段做成風(fēng)箏的龍骨即菱形的對角線，，請你幫他設(shè)計(jì)一下，當(dāng)為多少時(shí)菱形的面積最大，最大值為（直接寫出結(jié)果）．3．由得，；如果兩個(gè)正數(shù)a，b，即，則有下面的不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)．例如：已知，求式子的最小值．解：令，則由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，式子有最小值，最小值為4．請根據(jù)上面材料回答下列問題：(1)當(dāng)，式子x+的最小值為；(2)當(dāng)，代數(shù)式最大值為多少？并求出此時(shí)x的值；(3)用籬笆圍一個(gè)面積為32平方米的長方形花園，使這個(gè)長方形花園的一邊靠墻（墻長20米），問這個(gè)長方形的長、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？4．閱讀材料：①對于任意實(shí)數(shù)a和b，都有，∴，得到，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．②任意一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)都可寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式.即：如果a≥0，則．如：等．例：①用配方法求代數(shù)式的最小值．②已知，求證：.①解：由題意得：，∵，且當(dāng)時(shí)，，∴，∴當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的最小值為：；②證明：∵，∴∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．請解答下列問題：某園藝公司準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形花圃，其中一邊靠墻（墻足夠長），另外三邊用籬笆圍成（如圖所示）.設(shè)垂直于墻的一邊長為x米.(1)若所用的籬笆長為36米，那么：①當(dāng)花圃的面積為144平方米時(shí)，垂直于墻的一邊的長為多少米？②設(shè)花圃的面積為S米，求當(dāng)垂直于墻的一邊的長為多少米時(shí)，這個(gè)花圃的面積最大？并求出這個(gè)最大面積；(2)若要圍成面積為200平方米的花圃，需要用的籬笆最少是多少米？題型四：反比例函數(shù)綜合運(yùn)用1．如圖是4個(gè)臺(tái)階的示意圖，每個(gè)臺(tái)階的高和寬分別是1和2，每個(gè)臺(tái)階凸出的角的頂點(diǎn)記作（m為1～4的整數(shù)），函數(shù)的圖象為曲線L，若曲線L使得，這些點(diǎn)分布在它的兩側(cè)，每側(cè)各2個(gè)點(diǎn)，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．如圖，矩形對角線的交點(diǎn)為，點(diǎn)在軸的正半軸上，平分，的面積為．若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，則的值為．3．如圖，已知點(diǎn)和點(diǎn)是直線與雙曲線的交點(diǎn)，的面積為．

(1)求的值；(2)設(shè)，是反比例函數(shù)在同一象限上任意不重合的兩點(diǎn)，，，判斷，的大小，并說明理由．4．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)試確定此反比例函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．判斷點(diǎn)是否在此反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由；(3)已知點(diǎn)也在此反比例函數(shù)的圖象上（其中），過點(diǎn)作軸的垂線，交軸于點(diǎn)．若線段上存在一點(diǎn)，使得的面積是，設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求的值．5．如圖，矩形ABCD的兩邊AD，AB的長分別為3，8，邊BC落在x軸上，E是DC的中點(diǎn)，連接AE，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，與AB交于點(diǎn)F．(1)求AE的長；(2)若，求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(3)在（2）的條件下，連接矩形ABCD兩對邊AD與BC的中點(diǎn)M，N，設(shè)線段MN與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)P，將線段MN沿x軸向右平移n個(gè)單位，若，直接寫出n的取值范圍．課后練習(xí)1．已知蓄電池的電壓為定值，使用某蓄電池時(shí)，電流I(單位：A)與電阻R(單位：)是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示，則當(dāng)電阻為時(shí)，電流為(

)

A． B． C． D．2．如圖1是一個(gè)亮度可調(diào)節(jié)的臺(tái)燈，其燈光亮度的改變，可以通過調(diào)節(jié)總電阻控制電流的變化來實(shí)現(xiàn)．如圖2是該臺(tái)燈的電流．與電阻成反比例函數(shù)的圖象，該圖象經(jīng)過點(diǎn)．根據(jù)圖象可知，下列說法正確的是（）

A．當(dāng)時(shí)，B．I與R的函數(shù)關(guān)系式是C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，I的取值范圍是3．某蔬菜生產(chǎn)基地在氣溫較低時(shí)，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種蔬菜．圖是試驗(yàn)階段的某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉后，大棚內(nèi)的溫度與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系，其中線段、表示恒溫系統(tǒng)開啟階段，雙曲線的一部分表示恒溫系統(tǒng)關(guān)閉階段．請根據(jù)圖中信息解答下列問題：

(1)求這天的溫度y與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若大棚內(nèi)的溫度低于時(shí)，蔬菜會(huì)受到傷害．問這天內(nèi)，恒溫系統(tǒng)最多可以關(guān)閉多少小時(shí)，才能使蔬菜避免受到傷害？4．心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，一節(jié)課分鐘中，學(xué)生的注意力隨教師講課的變化而變化：開始上課時(shí)，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，中間有一段時(shí)間學(xué)生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散．經(jīng)過實(shí)驗(yàn)分析可知，學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)y隨時(shí)間x（分鐘）的變化規(guī)律如圖所示（其中分別為線段，軸，為雙曲線的一部分），其中段的關(guān)系式為．(1)點(diǎn)B坐標(biāo)為_______；(2)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求出段雙曲線的表達(dá)式；(3)一道數(shù)學(xué)競賽題，需要講分鐘，為了效果較好，要求學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)最低達(dá)到，那么經(jīng)過適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目?5．為確保身體健康，自來水最好燒開（加熱到）后再飲用．某款家用飲水機(jī)，具有加熱、保溫等功能．現(xiàn)將的自來水加入到飲水機(jī)中，先加熱到．此后停止加熱，水溫開始下降，達(dá)到設(shè)置的飲用溫度后開始保溫．比如事先設(shè)置飲用溫度為，則水溫下降到后不再改變，此時(shí)可以正常飲用．整個(gè)過程中，水溫與通電時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．(1)水溫從加熱到，需要______；請直接寫出加熱過程中水溫與通電時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式：______；(2)觀察判斷：在水溫下降過程中，與的函數(shù)關(guān)系是______函數(shù)，并嘗試求該函數(shù)的解析式；(3)已知沖泡奶粉的最佳溫度在左右，某家庭為了給嬰兒沖泡奶粉，將飲用溫度設(shè)置為．現(xiàn)將的自來水加入到飲水機(jī)中，此后開始正常加熱．則從加入自來水開始，需要等待多長時(shí)間才可以接水沖泡奶粉？6．如圖是8個(gè)臺(tái)階的示意圖，每個(gè)臺(tái)階的高和寬分別是1和2，每個(gè)臺(tái)階凸出的角的頂點(diǎn)記作（為的整數(shù)）函數(shù)的圖像為曲線，若曲線使得這些點(diǎn)分布在它的兩側(cè)，每側(cè)各4個(gè)點(diǎn)，則的取值范圍是（