專題28新定義壓軸題-2023年北京中考真題模擬題分類匯編（原卷版）

專題28新定義壓軸題一．解答題（共38小題）1．（2022?北京）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，．對(duì)于點(diǎn)給出如下定義：將點(diǎn)向右或向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上或向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，稱點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．（1）如圖，點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上．若點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．①在圖中畫出點(diǎn)；②連接，交線段于點(diǎn)，求證：；（2）的半徑為1，是上一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，若為外一點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”，連接．當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出長(zhǎng)的最大值與最小值的差（用含的式子表示）．2．（2021?北京）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1．對(duì)于點(diǎn)和線段，給出如下定義：若將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到的弦，分別是，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱線段是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”．（1）如圖，點(diǎn)，，，，，，的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．在線段，，中，的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是；（2）是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)，其中．若是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求的值；（3）在中，，．若是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出的最小值和最大值，以及相應(yīng)的長(zhǎng)．3．（2020?北京）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，，為外兩點(diǎn)，．給出如下定義：平移線段，得到的弦，分別為點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），線段長(zhǎng)度的最小值稱為線段到的“平移距離”．（1）如圖，平移線段得到的長(zhǎng)度為1的弦和，則這兩條弦的位置關(guān)系是；在點(diǎn)，，，中，連接點(diǎn)與點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度等于線段到的“平移距離”；（2）若點(diǎn)，都在直線上，記線段到的“平移距離”為，求的最小值；（3）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，記線段到的“平移距離”為，直接寫出的取值范圍．4．（2019?北京）在中，，分別是兩邊的中點(diǎn)，如果上的所有點(diǎn)都在的內(nèi)部或邊上，則稱為的中內(nèi)?。纾瑘D1中是的一條中內(nèi)?。?）如圖2，在中，，，分別是，的中點(diǎn)，畫出的最長(zhǎng)的中內(nèi)弧，并直接寫出此時(shí)的長(zhǎng)；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，在中，，分別是，的中點(diǎn)．①若，求的中內(nèi)弧所在圓的圓心的縱坐標(biāo)的取值范圍；②若在中存在一條中內(nèi)弧，使得所在圓的圓心在的內(nèi)部或邊上，直接寫出的取值范圍．5．（2018?北京）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的圖形，，給出如下定義：為圖形上任意一點(diǎn)，為圖形上任意一點(diǎn)，如果，兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱這個(gè)最小值為圖形，間的“閉距離“，記作．已知點(diǎn)，，．（1）求（點(diǎn)，；（2）記函數(shù)的圖像為圖形．若，直接寫出的取值范圍；（3）的圓心為，半徑為1．若，直接寫出的取值范圍．6．（2022?海淀區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，，給出如下定義：當(dāng)點(diǎn)，滿足時(shí)，稱點(diǎn)是點(diǎn)的等和點(diǎn)．已知點(diǎn)．（1）在，，中，點(diǎn)的等和點(diǎn)有；（2）點(diǎn)在直線上，若點(diǎn)的等和點(diǎn)也是點(diǎn)的等和點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)和線段，對(duì)于所有滿足的點(diǎn)，線段上總存在線段上每個(gè)點(diǎn)的等和點(diǎn)．若的最小值為5，直接寫出的取值范圍．7．（2022?朝陽區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于直線，給出如下定義：若直線與某個(gè)圓相交，則兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離稱為直線關(guān)于該圓的“圓截距”．（1）如圖1，的半徑為1，當(dāng)，時(shí)，直接寫出直線關(guān)于的“圓截距”；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為，①如圖2，若的半徑為1，當(dāng)時(shí)，直線關(guān)于的“圓截距”小于，求的取值范圍；②如圖3，若的半徑為2，當(dāng)?shù)娜≈翟趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，直線關(guān)于的“圓截距”的最小值2，直接寫出的值．8．（2022?順義區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為2．對(duì)于直線和線段，給出如下定義：若將線段沿直線翻折可以得到的弦，分別是，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱線段是以直線為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”．例如：在圖1中，線段是以直線為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”．（1）如圖2，點(diǎn)，，，，，的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．在線段，，中，以直線為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”是；（2）是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)，若是以直線為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”，求的值；（3）如果經(jīng)過點(diǎn)的直線上存在以直線為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出這條直線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．9．（2022?通州區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：點(diǎn)為圖形上任意一點(diǎn)，將點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離與最小距離之差定義為圖形的“全距”，特別地，點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離與最小距離相等時(shí)，規(guī)定圖形的“全距”為0．（1）如圖，點(diǎn)，，，．①原點(diǎn)到線段上一點(diǎn)的最大距離為，最小距離為；②當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，且的“全距”為1，求的取值范圍；（2）已知，等邊的三個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為1的上．請(qǐng)直接寫出的“全距”的取值范圍．10．（2022?豐臺(tái)區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，為軸上一點(diǎn)，為平面上一點(diǎn)．給出如下定義：若在上存在一點(diǎn)，使得是等腰直角三角形，且，則稱點(diǎn)為的“等直點(diǎn)”，為的“等直三角形”．（1）如圖，點(diǎn)，，，的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．①當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)，，，中，的“等直點(diǎn)”是；②當(dāng)時(shí)，若是“等直三角形”，且點(diǎn)，都在第一象限，求的值．（2）若直線上存在的“等直點(diǎn)”，直接寫出的取值范圍．11．（2022?房山區(qū)一模）如圖1，與直線相離，過圓心作直線的垂線，垂足為，且交于，兩點(diǎn)在，之間）我們把點(diǎn)稱為關(guān)于直線的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，把的值稱為關(guān)于直線的“特征數(shù)”．（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，半徑為1的與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)，，，．①過點(diǎn)作垂直于軸的直線，則關(guān)于直線的“遠(yuǎn)點(diǎn)”是點(diǎn)（填“”，“”，“”或“”，關(guān)于直線的“特征數(shù)”為；②若直線的函數(shù)表達(dá)式為，求關(guān)于直線的“特征數(shù)”；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以為圓心，為半徑作．若與直線相離，點(diǎn)是關(guān)于直線的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，且關(guān)于直線的“特征數(shù)”是，直接寫出直線的函數(shù)解析式．12．（2022?平谷區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為，對(duì)于平面上任一點(diǎn)，我們定義：若在上存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)在內(nèi)，我們就稱點(diǎn)為的友好點(diǎn)．（1）如圖1，若為1．①已知點(diǎn)，，中，是的友好點(diǎn)的是；②若點(diǎn)為的友好點(diǎn)，求的取值范圍；（2）已知，，線段上所有的點(diǎn)都是的友好點(diǎn)，求取值范圍．13．（2022?北京一模）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的線段，給出如下定義：若存在使得，則稱為線段的“等冪三角形”，點(diǎn)稱為線段的“等冪點(diǎn)”．（1）已知．①在點(diǎn)，，，中，線段的“等冪點(diǎn)”是；②若存在等腰是線段的“等冪三角形”，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在直線上，記圖形為以點(diǎn)為圓心，2為半徑的位于軸上方的部分．若圖形上存在點(diǎn)，使得線段的“等冪三角形”為銳角三角形，直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．14．（2022?門頭溝區(qū)一模）我們規(guī)定：在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，點(diǎn)到點(diǎn)的距離是的整數(shù)倍，那么點(diǎn)就是點(diǎn)的倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，①如果點(diǎn)的2倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)在軸上，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是；②如果點(diǎn)是點(diǎn)的倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)，且滿足，，那么的最大值為；（2）如果點(diǎn)的坐標(biāo)為，且在函數(shù)的圖象上存在的2倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求的取值范圍．15．（2022?海淀區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于線段，直線和圖形給出如下定義：線段關(guān)于直線的對(duì)稱線段為，分別是，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）．若與“均在圖形內(nèi)部（包括邊界），則稱圖形為線段關(guān)于直線的“對(duì)稱封閉圖形”．（1）如圖，點(diǎn)．①已知圖形：半徑為1的，：以線段為邊的等邊三角形，：以為中心且邊長(zhǎng)為2的正方形，在，，中，線段關(guān)于軸的“對(duì)稱封閉圖形”是；②以為中心的正方形的邊長(zhǎng)為4，各邊與坐標(biāo)軸平行．若正方形是線段關(guān)于直線的“對(duì)稱封閉圖形”，求的取值范圍；（2）線段在由第四象限、原點(diǎn)、軸正半軸以及軸負(fù)半軸組成的區(qū)域內(nèi)，且的長(zhǎng)度為2．若存在點(diǎn)，，使得對(duì)于任意過點(diǎn)的直線，有線段，滿足半徑為的是該線段關(guān)于的“對(duì)稱封閉圖形”，直接寫出的取值范圍．16．（2022?西城區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于線段與直線，給出如下定義：若線段關(guān)于直線的對(duì)稱線段為，分別為點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱線段為線段的“，關(guān)聯(lián)線段”．已知點(diǎn)，．（1）線段為線段的“，關(guān)聯(lián)線段”，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的長(zhǎng)為，的值為；（2）線段為線段的“，關(guān)聯(lián)線段”，直線經(jīng)過點(diǎn)，若點(diǎn)，都在直線上，連接，求的度數(shù)；（3）點(diǎn)，，線段為線段的“，關(guān)聯(lián)線段”，且當(dāng)取某個(gè)值時(shí)，一定存在使得線段與線段有公共點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．17．（2022?昌平區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，對(duì)于和直線給出如下定義：若的一條邊關(guān)于直線的對(duì)稱線段是的弦，則稱是的關(guān)于直線的“關(guān)聯(lián)三角形”，直線是“關(guān)聯(lián)軸”．（1）如圖1，若是的關(guān)于直線的“關(guān)聯(lián)三角形”，請(qǐng)畫出與的“關(guān)聯(lián)軸”（至少畫兩條）；（2）若中，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在直線圖象上，存在“關(guān)聯(lián)軸”使是的關(guān)聯(lián)三角形，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；（3）已知，，將點(diǎn)向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)，以為圓心為半徑畫圓，，為上的兩點(diǎn)，且（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），若與的關(guān)聯(lián)軸至少有兩條，直接寫出的最小值和最大值，以及最大時(shí)的長(zhǎng)．18．（2022?朝陽區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，，且，兩點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在外．給出如下定義：平移線段，得到線段，分別為點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），若線段上所有的點(diǎn)都在的內(nèi)部或上，則線段長(zhǎng)度的最小值稱為線段到的“平移距離”．（1）如圖1，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，線段到的“平移距離”為，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，，，線段到的“平移距離”為；（2）若點(diǎn)，都在直線上，記線段到的“平移距離”為，求的最小值；（3）如圖2，若點(diǎn)坐標(biāo)為，線段到的“平移距離”為1，畫圖并說明所有滿足條件的點(diǎn)形成的圖形（不需證明）．19．（2022?豐臺(tái)區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，為任意一點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)．給出如下定義：記，兩點(diǎn)間的距離的最小值為（規(guī)定：點(diǎn)在上時(shí)，，最大值為，那么把的值稱為點(diǎn)與的“關(guān)聯(lián)距離”，記作．（1）如圖，點(diǎn)，，的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．①；②若點(diǎn)在線段上，求的取值范圍；（2）若點(diǎn)在直線上，直接寫出的取值范圍；（3）正方形的邊長(zhǎng)為，若點(diǎn)在該正方形的邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足的最小值為1，最大值為，直接寫出的最小值和最大值．20．（2022?東城區(qū)一模）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)及圖形，有如下定義：若圖形上存在，兩點(diǎn)，使得為等腰直角三角形，且，則稱點(diǎn)為圖形的“友好點(diǎn)”．（1）已知點(diǎn)，，在點(diǎn)，，中，線段的“友好點(diǎn)”是；（2）直線分別交軸、軸于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)為線段的“友好點(diǎn)”，求的取值范圍；（3）已知直線分別交軸、軸于，兩點(diǎn)，若線段上的所有點(diǎn)都是半徑為2的“友好點(diǎn)”，直接寫出的取值范圍．21．（2022?東城區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于圖形及過定點(diǎn)的直線，有如下定義：過圖形上任意一點(diǎn)作于點(diǎn)，若有最大值，那么稱這個(gè)最大值為圖形關(guān)于直線的最佳射影距離，記作，此時(shí)點(diǎn)稱為圖形關(guān)于直線的最佳射影點(diǎn)．（1）如圖1，已知，，寫出線段關(guān)于軸的最佳射影距離，軸）；（2）已知點(diǎn)，的半徑為，求關(guān)于軸的最佳射影距離，軸），并寫出此時(shí)關(guān)于軸的最佳射影點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）直接寫出點(diǎn)關(guān)于直線的最佳射影距離（點(diǎn)，的最大值．22．（2022?順義區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和線段，給出如下定義：為線段上任意一點(diǎn)，如果，兩點(diǎn)間的距離的最小值恰好等于線段的長(zhǎng)，則稱點(diǎn)為線段的“等距點(diǎn)”．（1）已知點(diǎn)．①在點(diǎn)，，，中，線段的“等距點(diǎn)”是；②若點(diǎn)在直線上，并且點(diǎn)是線段的“等距點(diǎn)”，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)，圖形是以點(diǎn)為圓心，1為半徑的位于軸及軸上方的部分．若圖形上存在線段的“等距點(diǎn)”，直接寫出的取值范圍．23．（2022?門頭溝區(qū)二模）我們規(guī)定：如圖，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)和點(diǎn)均在直線的上方，如果，，點(diǎn)就是點(diǎn)關(guān)于直線的“反射點(diǎn)”，其中點(diǎn)為“點(diǎn)”，射線與射線組成的圖形為“形”．在平面直角坐標(biāo)系中，（1）如果點(diǎn)，，那么點(diǎn)關(guān)于軸的反射點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）已知點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于軸的直線．①如果點(diǎn)關(guān)于直線的反射點(diǎn)和“點(diǎn)”都在直線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)和的值；②是以為圓心，1為半徑的圓，如果某點(diǎn)關(guān)于直線的反射點(diǎn)和“點(diǎn)”都在直線上，且形成的“形”恰好與有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．24．（2022?石景山區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1．對(duì)于線段給出如下定義：若線段與有兩個(gè)交點(diǎn)，，且，則稱線段是的“倍弦線”．（1）如圖，點(diǎn)，，，的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．在線段，，，中，的“倍弦線”是；（2）的“倍弦線”與直線交于點(diǎn)，求點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍；（3）若的“倍弦線”過點(diǎn)，直線與線段有公共點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．25．（2022?平谷區(qū)二模）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的圖形，，給出如下定義：為圖形上任意一點(diǎn)，為圖形上任意一點(diǎn)，如果，兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱這個(gè)最小值為圖形，間的“非常距離”，記作．已知點(diǎn)，，連接．（1）（點(diǎn)，；（2）半徑為，若，直接寫出的取值范圍；（3）半徑為，若將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，求出此時(shí)的值；②對(duì)于取定的值，若存在兩個(gè)使，直接寫出的范圍．26．（2022?房山區(qū)二模）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的圖形和點(diǎn)，給出如下定義：將圖形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖形，圖形稱為圖形關(guān)于點(diǎn)的“垂直圖形”．例如，圖1中線段為線段關(guān)于點(diǎn)的“垂直圖形”．（1）線段關(guān)于點(diǎn)的“垂直圖形”為線段．①若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；②若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2），，．線段關(guān)于點(diǎn)的“垂直圖形”記為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．①求點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的式子表示）；②若的半徑為2，上任意一點(diǎn)都在內(nèi)部或圓上，直接寫出滿足條件的的取值范圍．27．（2022?北京二模）在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：若點(diǎn)在圖形上，點(diǎn)在圖形上，如果兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱這個(gè)最小值為圖形，的“近距離”，記為．特別地，當(dāng)圖形與圖形有公共點(diǎn)時(shí)，．已知，，，．（1）（點(diǎn)，點(diǎn)，（點(diǎn)，線段；（2）半徑為，①當(dāng)時(shí)，求與正方形的“近距離”；②若，則．（3）為軸上一點(diǎn)，的半徑為1，與正方形的“近距離”，請(qǐng)直接寫出圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．28．（2022?石景山區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，稱△為點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)三角形”．（1）已知點(diǎn)，求點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)三角形”的面積；（2）如圖，已知點(diǎn)，的圓心為，半徑為2．若點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)三角形”與有公共點(diǎn)，直接寫出的取值范圍；（3）已知的半徑為，，若點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)三角形”與有四個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．29．（2022?密云區(qū)二模）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)與圖形給出如下定義：在點(diǎn)與圖形上各點(diǎn)連接的所有線段中，線段長(zhǎng)度的最大值與最小值的差，稱為圖形關(guān)于點(diǎn)的“寬距”．（1）如圖，的半徑為2且與軸分別交于，兩點(diǎn)．①線段關(guān)于點(diǎn)的“寬距”為，關(guān)于點(diǎn)的“寬距”為．②點(diǎn)為軸正半軸上的一點(diǎn)，當(dāng)線段關(guān)于點(diǎn)的“寬距”為2時(shí)，求的取值范圍．（2）已知一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于、兩點(diǎn)，的圓心在軸上且的半徑為1．若線段上的任意一點(diǎn)，都能使得關(guān)于點(diǎn)的“寬距”為2，直接寫出圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．30．（2022?大興區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，已知點(diǎn)，過點(diǎn)作直線．對(duì)于點(diǎn)和直線，給出如下定義：若將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直線與有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則稱是的“雙關(guān)聯(lián)直線”，與有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則稱是的“單關(guān)聯(lián)直線”，是的“單關(guān)聯(lián)線段”．（1）如圖1，，當(dāng)與軸重合時(shí)，設(shè)與交于，兩點(diǎn)．則是的“關(guān)聯(lián)直線”（填“雙”或“單”；的值為；（2）如圖2，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，是的“單關(guān)聯(lián)線段”．①求的最小值；②直接寫出面積的最小值．31．（2022?大興區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和直線，給出如下定義：若點(diǎn)在直線上，且以點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是，則稱點(diǎn)為直線的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．（1）若在直線上存在直線的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）過點(diǎn)作兩條射線，一條射線垂直于軸，垂足為；另一條射線交軸于點(diǎn)，若點(diǎn)為直線的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）以點(diǎn)為圓心，1為半徑作圓，若在上存在點(diǎn)，使得的頂點(diǎn)為直線的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是．32．（2022?房山區(qū)模擬）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的圖形和圖形，給出如下定義：在圖形上存在兩點(diǎn)，（點(diǎn)，可以重合），在圖形上存在兩點(diǎn)，（點(diǎn)，可以重合）使得，則稱圖形和圖形滿足限距關(guān)系．（1）如圖1，點(diǎn)，，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)可以與點(diǎn)，重合），連接，．①線段的最小值為，最大值為；線段的取值范圍是；②在點(diǎn)，點(diǎn)中，點(diǎn)與線段滿足限距關(guān)系；（2）在（1）的條件下，如圖2，的半徑為1，線段與軸、軸正半軸分別交于點(diǎn)，，且，若線段與滿足限距關(guān)系，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；（3）的半徑為，點(diǎn)，是上的兩個(gè)點(diǎn)，分別以，為圓心，2為半徑作圓得到和，若對(duì)于任意點(diǎn)，，和都滿足限距關(guān)系，直接寫出的取值范圍．33．（2022?西城區(qū)校級(jí)一模）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的圖形和點(diǎn)，給出如下定義：將圖形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖形，圖形稱為圖形關(guān)于點(diǎn)的“垂直圖形”．例如，圖1中點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“垂直圖形”．（1）點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的“垂直圖形”為點(diǎn)．①若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；②若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2），，．線段關(guān)于點(diǎn)的“垂直圖形”記為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．①求點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的式子表示）；②若的半徑為2，上任意一點(diǎn)都在內(nèi)部或圓上，直接寫出滿足條件的的長(zhǎng)度的最大值．34．（2022?海淀區(qū)校級(jí)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于兩個(gè)點(diǎn)，和圖形，如果在圖形上存在點(diǎn)，，可以重合）使得，那么稱點(diǎn)與點(diǎn)是圖形的一對(duì)平衡點(diǎn)．（1）如圖1，已知點(diǎn)，；①設(shè)點(diǎn)與線段上一點(diǎn)的距離為，則的最小值是，最大值是；②在，，，這三個(gè)點(diǎn)中，與點(diǎn)是線段的一對(duì)平衡點(diǎn)的是；（2）如圖2，已知的半徑為1，點(diǎn)的坐標(biāo)為．若點(diǎn)在第一象限，且點(diǎn)與點(diǎn)是的一對(duì)平衡點(diǎn)，求的取值范圍；（3）如圖3，已知點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧交的正半軸于點(diǎn)．點(diǎn)（其中是坐標(biāo)平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，是以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓，若上的任意兩個(gè)點(diǎn)都是的一對(duì)平衡點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．35．（2022?東城區(qū)校級(jí)模擬）對(duì)于平面內(nèi)的點(diǎn)和圖形，給出如下定義：以點(diǎn)為圓心，以為半徑作，使得圖形上的所有點(diǎn)都在的內(nèi)部（或邊上），當(dāng)最小時(shí)，稱為圖形的點(diǎn)控制圓，此時(shí)，的半徑稱為圖形的點(diǎn)控制半徑．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的位置如圖所示，其中點(diǎn)．（1）已知點(diǎn)，正方形的點(diǎn)控制半徑為，正方形的點(diǎn)控制半徑為，請(qǐng)比較大?。海唬?）連接，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，直線；若存在正方