第18講平行四邊形的判定八年級數(shù)學下冊講義（北師大版）

第18講平行四邊形的判定目標導航目標導航1．掌握平行四邊形性質(zhì)與判定定理。2.會應用平行四邊形的性質(zhì)與判定定理解決相關(guān)的幾何證明和計算問題．知識精講知識精講知識點01平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．【知識拓展】（2021秋?芙蓉區(qū)校級期末）如圖，在?ABCD中，∠ABC的平分線交AD于E，∠BEA＝30°，則∠A的大小為（）A．150° B．130° C．120° D．100°【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出∠AEB＝∠CBE，由角平分線的定義和鄰補角關(guān)系得出∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝25°，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出∠A的度數(shù)．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵∠ABC的平分線交AD于E，∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝30°，∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝120°．故選：C．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，求出∠ABE＝∠CBE＝∠AEB是解決問題的關(guān)鍵．【即學即練1】（2022?樂清市一模）如圖，在?ABCD中，AB＝BE，∠C＝70°，則∠BAE的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．55° D．65°【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得∠BAD＝∠C＝70°，AD∥BC，則∠BEA＝∠DAE，再由等腰三角形的性質(zhì)得∠BEA＝∠BAE，則∠BAE＝∠DAE＝∠BAD，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD＝∠C＝70°，AD∥BC，∴∠BEA＝∠DAE，∵AB＝BE，∴∠BEA＝∠BAE，∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝×70°＝35°，故選：A．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【即學即練2】（2022春?睢寧縣月考）?ABCD的對角線相交于點O，BD＝14，AC＝10，則BC的長可以是（）A．8 B．20 C．14 D．22【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出BO＝OD＝7，AO＝CO＝5，進而利用三角形三邊關(guān)系解答即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO＝OD＝7，AO＝CO＝5，∴7﹣5＜BC＜7+5，即2＜BC＜12，故選：A．【點評】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的對角線平分解答．知識點02平行四邊形的判定（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四邊行ABCD是平行四邊形．（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四邊行ABCD是平行四邊形．【知識拓展】（2021秋?芝罘區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一點，且BM＝9cm，點E從點A出發(fā)以1cm/s的速度向點D運動，點F從點C出發(fā)，以3cm/s的速度向點B運動，當其中一點到達終點，另一點也隨之停止，設運動時間為t（s），則當以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形時，t的值是（）A． B．3 C．3或 D．或【分析】分兩種情形由平行四邊形的判定列出方程即可解決問題．【解答】解：①當點F在線段BM上，AE＝FM時，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，則有t＝9+3t﹣12，解得t＝，②當F在線段CM上，AE＝FM時，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，則有t＝12﹣9﹣3t，解得t＝，綜上所述，t＝或時，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形．故選：D．【點評】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會構(gòu)建方程解決問題，學會用分類討論的思想思考問題．【即學即練1】（2022春?金華月考）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，則不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．OB＝OD，OA＝OC B．AD∥BC，AB＝CD C．AB∥CD，AD∥BC D．AB∥CD，AB＝CD【分析】利用所給條件結(jié)合平行四邊形的判定方法進行分析即可．【解答】解：A、∵OB＝OD，OA＝OC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不合題意；B、∵AD∥BC，AB＝CD，不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項符合題意；C、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不合題意；D、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不合題意；故選：B．【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．【即學即練2】（2022春?渝中區(qū)校級月考）在下列給出的條件中，能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A．AB∥CD，∠A＝∠C B．AB∥CD，AD＝BC C．AB＝BC，CD＝DA D．∠A＝∠B，∠C＝∠D【分析】平行四邊形的判定：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；⑤一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．根據(jù)判定定理逐項判定即可．【解答】解：如圖所示，∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠B+∠A＝180°，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的判定定理可知：只有A符合條件．故選：A．【點評】此題主要考查學生對平行四邊形的判定的掌握情況．本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相呼應，每種方法都對應著一種性質(zhì)，在應用時應注意它們的區(qū)別與聯(lián)系．【即學即練3】（2022春?丹徒區(qū)月考）在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，M是BC上一點，且BM＝4cm，點E從A出發(fā)以1cm/s的速度向D運動，點F從點B出發(fā)以2cm/s的速度向點C運動，當其中一點到達終點，而另一點也隨之停止，設運動時間為t，當t的值為s或4s時，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形．【分析】分兩種情形列出方程即可解決問題．【解答】解：分兩種情況：①當點F在線段BM上，即0≤t＜2，AE＝FM時，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，則有t＝4﹣2t，解得：t＝；②當F在線段CM上，即2≤t≤5，AE＝FM時，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，則有t＝2t﹣4，解得：t＝4，綜上所述，t＝s或4s時，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，故答案為：s或4s．【點評】本題考查了平行四邊形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學會構(gòu)建方程解決問題，學會用分類討論的思想思考問題．知識點03平行四邊形的判定與性質(zhì)平行四邊形的判定與性質(zhì)的作用平行四邊形對應邊相等，對應角相等，對角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個四邊形的對邊或?qū)堑奈恢蒙?，通過證明四邊形是平行四邊形達到上述目的．運用定義，也可以判定某個圖形是平行四邊形，這是常用的方法，不要忘記平行四邊形的定義，有時用定義判定比用其他判定定理還簡單．凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應直接運用平行四邊形的性質(zhì)和判定去解決問題．【知識拓展】（2021秋?倉山區(qū)校級期末）下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是（）A．一組對邊平行 B．對角線互相平分 C．一組對邊相等 D．對角線互相垂直【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，分別進行判斷即可．【解答】解：A、一組對邊平行的四邊形不一定是平行四邊形，故此選項不符合題意；B、兩條對角線互相平分的四邊形為平行四邊形，故此選項符合題意；C、一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，故此選項不符合題意；D、對角線互相垂直的四邊形不一定是平行四邊形，故此選項不符合題意；故選：B．【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定方法．【即學即練1】（2021秋?開福區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，D是AB邊上任意一點，F(xiàn)是AC中點，過點C作CE∥AB交DF的延長線于點E，連接AE，CD．（1）求證：四邊形ADCE是平行四邊形；（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，，求AB的長．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD＝CE，于是得到四邊形ADCE是平行四邊形；（2）過點C作CG⊥AB于點G．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DCB＝∠B＝30°．解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AB∥CE，∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．∵F是AC中點，∴AF＝CF．在△AFD與△CFE中，．∴△AFD≌△CFE（AAS），∴DF＝EF，∴四邊形ADCE是平行四邊形；（2）解：過點C作CG⊥AB于點G．在△ACG中，∠AGC＝90°，AC＝，∠CAG＝45°，∴由勾股定理得CG＝AG＝1．在△BCG中，∠BGC＝90°，∠B＝30°，CG＝1，∴BC＝2，∴BG＝＝，∴AB＝AG+BG＝．【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．【即學即練2】（2022春?九龍坡區(qū)校級月考）在四邊形ABCD中，AC、BD交于點O，AD∥BC，BO＝DO．（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）過點O作OE⊥BD交BC于點E，連接DE．若∠CDE＝∠CBD＝15°，求∠ABC的度數(shù)．【分析】（1）證明△AOD≌△COB（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出AD＝BC，由平行四邊形的判定可得出結(jié)論；（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)得出BE＝ED，得出∠CBD＝∠BDE＝15°，求出∠ABD＝30°，則可得出答案．【解答】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO，又∵∠AOD＝∠BOC，OB＝OD，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）解：∵OB＝OD，OE⊥BD，∴BE＝ED，∴∠CBD＝∠BDE＝15°，∵∠CDE＝15°，∴∠BDC＝30°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC＝30°，∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝30°+15°＝45°．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【即學即練3】（2021秋?棲霞市期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，則此平行四邊形的周長為36或32或28．【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB的長，以A，B，C，D為頂點的平行四邊形分三種情況，一是平行四邊形ABCD以AB、BC為鄰邊，二是平行四邊形ABDC以AB、AC為鄰邊，三是平行四邊形ACBD以AC、BC為鄰邊，分別求出相應的平行四邊形的周長即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，如圖1，平行四邊形ABCD以AB、BC為鄰邊，∵CD＝AB＝10，AD＝BC＝8，∴10×2+8×2＝36，∴平行四邊形ABCD的周長為36；如圖2，平行四邊形ABDC以AB、AC為鄰邊，∵CD＝AB＝10，DB＝AC＝6，∴10×2+6×2＝32，∴平行四邊形ABDC的周長為32；如圖3，平行四邊形ACBD以AC、BC為鄰邊，∵AD＝BC＝8，DB＝AC＝6，∴8×2+6×2＝28，∴平行四邊形ACBD的周長為28，綜上所述，此平行四邊形的周長為36或32或28，故答案為：36或32或28．【點評】此題考查勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題過程中應分類討論，求出所有符合題意的解．【即學即練4】（2021秋?棲霞市期末）如圖，AM是△ABC的中線，D是線段AM上一點（不與點A重合）．DE∥AB交AC于點F，CE∥AM，連結(jié)AE．（1）如圖1，當點D與M重合時，求證：四邊形ABDE是平行四邊形；（2）如圖2，當點D不與M重合時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．【分析】（1）由AM是△ABC的中線，D與M重合得DC＝BD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠EDC＝∠B，∠ECD＝∠ADB，即可證明△ECD≌△ADB，則DE與AB平行且相等，可證明四邊形ABDE是平行四邊形；（2）過點M作MG∥AB交CG于點G，則四邊形DEGM是平行四邊形，得MG＝DE，由（1）得MG＝AB，所以DE＝AB，而DE∥AB，即可證明四邊形ABDE是平行四邊形．【解答】（1）證明：如圖1，∵AM是△ABC的中線，D與M重合，∴DC＝BD，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B，∵CE∥AM，即CE∥AD，∴∠ECD＝∠ADB，在△ECD和△ADB中，，∴△ECD≌△ADB（ASA），∴DE＝AB，∴四邊形ABDE是平行四邊形．（2）成立，理由如下：如圖2，過點M作MG∥AB交CG于點G，∵DE∥AB，∴MG∥DE，∵CE∥AM，∴四邊形DEGM是平行四邊形，∴MG＝DE，由（1）得MG＝AB，∴DE＝AB，∴四邊形ABDE是平行四邊形．【點評】此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，證明△ECD≌△ADB是解題的關(guān)鍵．【即學即練5】（2021秋?棲霞市期末）如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等邊三角形．（1）證明：四邊形AEFD是平行四邊形；（2）求∠DFE的度數(shù)．【分析】（1）由△ABD，△ACE，△BCF都是等邊三角形，得DB＝AB＝AD，BF＝BC＝FC，EC＝AC＝AE，∠ABD＝∠CBF＝∠ACE＝BCF＝60°，則∠DBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF，∠ECF＝∠ACB＝60°﹣∠ACF，進而可證明△DBF≌△ABC，△EFC≌△ABC，得DF＝AC＝AE，EF＝AB＝AD，即可證明四邊形AEFD是平行四邊形；（2）先根據(jù)勾股定理的逆定理求得∠BAC＝90°，再有∠BAD＝∠CAE＝60°，即可求得∠DFE＝∠DAE＝150°．【解答】（1）證明：∵如圖，∵△ABD，△ACE，△BCF都是等邊三角形，∴DB＝AB＝AD，BF＝BC＝FC，EC＝AC＝AE，∠ABD＝∠CBF＝∠ACE＝BCF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF，∠ECF＝∠ACB＝60°﹣∠ACF，在△DBF和△ABC中，，∴△DBF≌△ABC（SAS），∴DF＝AC，∴DF＝AE，在△EFC和△ABC中，，∴△EFC≌△ABC（SAS），∴EF＝AB，∴EF＝AD，∴四邊形AEFD是平行四邊形．（2）解：如圖，∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AB2+AC2＝32+42＝25，BC2＝52＝25，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，∵∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠DAE＝360°﹣∠BAD﹣∠CAE﹣∠BAC＝150°，∵四邊形AEFD是平行四邊形，∴∠DFE＝∠DAE＝150°，∴∠DFE的度數(shù)是150°．【點評】此題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【即學即練6】（2021秋?曲陽縣期末）如圖所示，△AOD關(guān)于直線l進行軸對稱變換后得到△BOC，則以下結(jié)論中，不一定正確的是D（填字母序號）A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4C．l垂直平分AB，且l垂直平分CDD．AC與BD互相平分【分析】由軸對稱的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵△AOD關(guān)于直線l進行軸對稱變換后得到△BOC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，l垂直平分AB，且l垂直平分CD，故選項A、B、C正確；∵四邊形ABCD不一定是平行四邊形，∴AC與BD不一定互相平分，故選項D不一定正確；故答案為：D．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【即學即練7】（2022春?渝水區(qū)校級月考）如圖，在?ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，點P在AD邊上以1cm/s的速度從點A向點D運動，點Q在BC邊上以4cm/s的速度從點C出發(fā)，在CB間往返運動，兩個點同時出發(fā)，當點P到達點D時停止（同時點Q也停止運動）．設運動t（s）（其中t＞0）時，以P、D、Q、B四點組成的四邊形是平行四邊形，則t的所有可能取值為4.8或8或9.6．【分析】根據(jù)平行四邊形的判定可得當DP＝BQ時，以點P、D、Q、B為頂點組成平行四邊形，然后分情況討論，再列出方程，求出方程的解即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD＝12cm，AD∥BC，∵以點P、D、Q、B為頂點組成平行四邊形，∴DP＝BQ，①點Q的運動路線是C﹣B，則12﹣4t＝12﹣t，解得：t＝0，不符合題意；②點Q的運動路線是C﹣B﹣C，則4t﹣12＝12﹣t，解得：t＝4.8；③點Q的運動路線是C﹣B﹣C﹣B，則12﹣（4t﹣24）＝12﹣t，解得：t＝8；④點Q的運動路線是C﹣B﹣C﹣B﹣C，則4t﹣36＝12﹣t，解得：t＝9.6；綜上所述，t＝4.8s或8s或9.6s時，以P、D、Q、B四點組成的四邊形為平行四邊形，故答案為：4.8或8或9.6．【點評】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，求出符合條件的所有情況是解此題的關(guān)鍵，注意分類討論思想的應用．能力拓展能力拓展一．選擇題（共2小題）1．（2019?湖北自主招生）如圖，平行四邊形DEFG內(nèi)接于△ABC，已知△ADE，△EFC，△DBG的面積為1，3，1，那么?DEFG的面積為（）A．2 B．2 C．3 D．4【分析】作三角形的高AM⊥BC，交DE與N，交BC于M，求出平行線分割的高線的分割比例即可．【解答】解：作三角形的高AM⊥BC，交DE與N，交BC于M，如圖：設AN＝1，MN＝x．∵△ADE的面積為1．∴FG＝DE＝2，?DEFG的面積為2x；又∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，根據(jù)面積之比等于高的比的平方，∴S△ADE：S△ABC＝1：（5+2x）＝12：（1+x）2，解得x＝2，故?DEFG的面積為4．故選：D．【點評】本題結(jié)合三角形的知識綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合相似三角形來解決有關(guān)的計算．2．（2016?寧波）如圖是一個由5張紙片拼成的平行四邊形，相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙，其中兩張等腰直角三角形紙片的面積都為S1，另兩張直角三角形紙片的面積都為S2，中間一張正方形紙片的面積為S3，則這個平行四邊形的面積一定可以表示為（）A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 D．3S1+4S3【分析】設等腰直角三角形的直角邊為a，正方形邊長為c，求出S2（用a、c表示），得出S1，S2，S3之間的關(guān)系，由此即可解決問題．【解答】解：設等腰直角三角形的直角邊為a，正方形邊長為c，則S2＝（a+c）（a﹣c）＝a2﹣c2，∴S2＝S1﹣S3，∴S3＝2S1﹣2S2，∴平行四邊形面積＝2S1+2S2+S3＝2S1+2S2+2S1﹣2S2＝4S1．故選：A．【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是求出S1，S2，S3之間的關(guān)系，屬于中考?？碱}型．二．填空題（共2小題）3．（2019?湖北自主招生）如圖，直線AB、IL、JK、DC互相平行，直線AD、IJ、LK、BC互相平行，四邊形ABCD面積為90，四邊形EFGH面積為55，則四邊形IJKL面積為20．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得S△EHB＝S△EIH，S△AEF＝S△EFJ，S△DFG＝S△FKG，S△GCH＝S△GHL，由面積和差關(guān)系可求四邊形IJKL面積．【解答】解：∵AB∥IL，IJ∥BC∴四邊形EIHB是平行四邊形∴S△EHB＝S△EIH，同理可得：S△AEF＝S△EFJ，S△DFG＝S△FKG，S△GCH＝S△GHL，∴四邊形IJKL面積＝四邊形EFGH面積﹣（四邊形ABCD面積﹣四邊形EFGH面積）＝55﹣（90﹣55）＝20故答案為：20【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)判定，證明S△EHB＝S△EIH是本題的關(guān)鍵．4．（2017?金牛區(qū)校級自主招生）如圖，點P是?ABCD內(nèi)一點，S△PAB＝7，S△PAD＝4，則S△PAC＝3．【分析】根據(jù)平行四邊形的對邊相等，可得AB＝DC；再設假設P點到AB的距離是h1，假設P點到DC的距離是h2，將平行四邊形的面積分割組合，即可求得．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC，假設P點到AB的距離是h1，假設P點到DC的距離是h2，∴S△PAB＝AB?h1，S△PDC＝DC?h2，∴S△PAB+S△PDC＝（AB?h1+DC?h2）＝DC?（h1+h2），∵h1+h2正好是AB到DC的距離，∴S△PAB+S△PDC＝S?ABCD＝S△ABC＝S△ADC，∵S△PAB+S△PDC＝S?ABCD＝S△ABC＝S△ADC，即S△ADC＝S△PAB+S△PDC＝7+S△PDC，而S△PAC＝S△ADC﹣S△PDC﹣S△PAD，∴S△PAC＝7﹣4＝3．【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等，對邊平行．解題時要注意將四邊形的面積有機的分割有組合．三．解答題（共8小題）5．（2017?市南區(qū)校級自主招生）如圖，E是平行四邊形ABCD的邊CD的中點，延長AE交BC的延長線于點F．（1）求證：△ADE≌△FCE．（2）若AB＝AF，試判斷四邊形ACFD的形狀，并說明理由．【分析】（1）先由平行四邊形的性質(zhì)和中點條件得出全等所需的條件，然后得出結(jié)論．（2）先證四邊形ACFD是平行四邊形，再對角線相等，四邊形就變成了矩形．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠ADE＝∠FCE，∵E為CD中點，∴DE＝CE，在△ADE和△FCE中：∴△ADE≌△FCE（ASA）．（2）四邊形ACFD是矩形．理由如下：如圖，連接AC，DF，∵△ADE≌△FCE，∴CF＝AD＝BC，∵AD∥CF，∴四邊形ACFD是平行四邊形，∴C為BF中點，∵AB＝AF，∴AF＝CD，∴四邊形ACFD是矩形．【點評】本題主要考考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定方法，屬于基礎(chǔ)題．熟悉全等三角形以及特殊四邊形的判定定理是解答關(guān)鍵．6．（2018?西湖區(qū)校級自主招生）如果用鐵絲圍成如圖一樣的平行四邊形，需要用鐵絲多少厘米？【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵用鐵絲圍成如圖一樣的平行四邊形，可得：6×12÷9＝8（cm），（12+8）×2＝40（cm）．答：需要用鐵絲40cm．【點評】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)解答．7．（2020?北碚區(qū)自主招生）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是DA、BC延長線上的點，且∠ABE＝∠CDF．求證：（1）△ABE≌△CDF；（2）四邊形EBFD是平行四邊形．【分析】（1）由ASA即可得出△ABE≌△CDF；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出AE＝CF，由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AD＝BC，證出DE＝BF，即可得出四邊形EBFD是平行四邊形．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD+AE＝BC+CF，即DE＝BF，∴四邊形EBFD是平行四邊形．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．8．（2019?麻城市校級自主招生）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，D是AB上一點，AC＝BD，P是CD中點．求證：AP＝BC．【分析】作輔助線，構(gòu)建全等三角形和平行四邊形，先證明四邊形ACFD是平行四邊形，得DF＝AC＝BD，DF∥AC，再證明△BDF是等邊三角形，證明△ABC≌△BAF（SAS），可得結(jié)論．【解答】證明：延長AP至點F，使得PF＝AP，連接BF，DF，CF，∵P是CD中點，∴CP＝DP，∴四邊形ACFD是平行四邊形，∴DF＝AC＝BD，DF∥AC，∴∠FDB＝∠BAC＝60°，∴△BDF是等邊三角形，∴BF＝DF＝AC，∠ABF＝60°，∴∠ABF＝∠BAC，在△ABC和△BAF中，∵，∴△ABC≌△BAF（SAS），∴AF＝BC，∴AP＝AF＝BC．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．9．（2019?南岸區(qū)自主招生）如圖，平行四邊形ABCD中，點E、F在對角線BD上，且BE＝DF．求證：（1）△ABE≌△CDF；（2）四邊形AECF是平行四邊形．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CDAB＝CD，從而得到∠ABE＝∠CDF，然后利用SAS證得兩三角形全等即可；（2）利用（1）中的全等三角形的對應角相等推知∠AEB＝∠DFC，則等角的補角相等，即∠AEF＝∠CFE，所以AE∥FC．根據(jù)“有一組對邊平行且相等”證得結(jié)論．【解答】證明（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CDAB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）證明：∵由（1）知，△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠DFC，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥FC，∴四邊形AECF是平行四邊形．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)．平行四邊形的判定方法共有五種，應用時要認真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．10．（2018?寶山區(qū)校級自主招生）AB∥CD，AB＝15，CD＝10，AD＝3，CB＝4，求S四邊形ABCD．【分析】過D作DF∥CB交AB于F，作DE⊥AB于E，則四邊形BCDF是平行四邊形，得BF＝CD＝10，DF＝CB＝4，則AF＝AB﹣BF＝5，設AE＝x，則EF＝AF﹣AE＝5﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可解決問題．【解答】解：過D作DF∥CB交AB于F，作DE⊥AB于E，如圖所示：∵AB∥CD，∴四邊形BCDF是平行四邊形，∴BF＝CD＝10，DF＝CB＝4，∴AF＝AB﹣BF＝15﹣10＝5，設AE＝x，則EF＝AF﹣AE＝5﹣x，由勾股定理得：DE2＝AD2﹣AE2＝DF2﹣EF2，即32﹣x2＝42﹣（5﹣x）2，解得：x＝，∴DE＝＝＝，∴S四邊形ABCD＝（AB+CD）?DE＝（15+10）×＝30．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及梯形面積公式等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2018?江岸區(qū)校級自主招生）如圖，AM是△ABC的中線，D是線段AM上一點（不與點A重合）．DE∥AB交AC于點F，CE∥AM，連接AE（1）如圖1，當點D與M重合時，求證：四邊形ABDE是平行四邊形；（2）如圖2，當點D不與M重合時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．【分析】（1）只要證明AB＝ED，AB∥ED即可解決問題；（2）成立．如圖2中，過點M作MG∥DE交CE于G．由四邊形DMGE是平行四邊形，推出ED＝GM，且ED∥GM，由（1）可知AB＝GM，AB∥GM，可知AB∥DE，AB＝DE，即可推出四邊形ABDE是平行四邊形．【解答】（1）證明：如圖1中，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠ABM，∵CE∥AM，∴∠ECD＝∠ADB，∵AM是△ABC的中線，且D與M重合，∴BD＝DC，∴△ABD≌△EDC（ASA），∴AB＝ED，∵AB∥ED，∴四邊形ABDE是平行四邊形．（2）結(jié)論：成立．理由如下：如圖2中，過點M作MG∥DE交CE于G．∵CE∥AM，∴四邊形DMGE是平行四邊形，∴ED＝GM，且ED∥GM，由（1）可知AB＝GM，AB∥GM，∴AB∥DE，AB＝DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形．【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，屬于中考壓軸題．12．（2019?渝中區(qū)校級自主招生）如圖，平行四邊形ABCD中，BD為對角線，點F在AB上，連接DF、CF，且BD＝BC，過F點作FE⊥CB交CB的延長線于點E．（1）如圖1，當F為AB的中點，∠A＝60°，AD＝2，求CE；（2）如圖2，若∠FDB＝2∠FCB，求證：FD＝2BE．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明△BCD是等邊三角形，再根據(jù)含30度角的直角三角形求出BE的長，進而可得CE的長；（2）如圖延長FE到J使得EJ＝EF，連接CJ，過點J作JT∥CE交AB的延長線于點T，連接CT，DT．證明TJ＝2BE，再證明DF＝CT＝TJ，可得結(jié)論．【解答】（1）解：在平行四邊形ABCD中，∠A＝60°，AD＝2，∴BC＝AD＝2，∠BCD＝∠A＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∴DC＝BC＝BD＝2，∵F為AB的中點，∴BF＝AB＝CD＝1，∵AD∥BC，∴∠EBF＝∠A＝60°，∴∠EFB＝30°，∴BE＝BF＝，∴CE＝CB+BE＝2+＝；（2）證明：如圖延長FE到J使得EJ＝EF，連接CJ，過點J作JT∥CE交AB的延長線于點T，連接CT，DT．∵EF＝EJ，CE⊥FJ，∴CF＝CJ，∴∠FCE＝∠ECJ，∵EF＝EJ，BE∥TJ，∴BF＝BT，∴TJ＝2BE，∵CD∥AT，∴∠DBF＝∠BDC，∠CBT＝∠DCB，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠DCB，∴∠DBF＝∠CBT，∵BE＝BT，BD＝BC，∴△DBF≌△CBT（SAS），∴DF＝CT，∠FDB＝∠BCT，∵∠BDF＝2∠BCF，∠BCF＝∠BCJ，∴∠TCJ＝∠BCJ，∵BC∥TJ，∴∠CJT＝∠BCJ，∴∠CJT＝∠TCJ，∴CT＝TJ，∴DF＝2BE．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是綜合運用以上知識．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練一．選擇題（共7小題）1．（2021?南崗區(qū)校級開學）在?ABCD中，若∠A＝38°，則∠C等于（）A．142° B．132° C．38° D．52°【分析】利用四邊形ABCD是平行四邊形，可知∠A＝∠C，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C（平行四邊形對角相等），∵∠A＝38°，∴∠C＝38°．故選：C．【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟悉并正確運用平行四邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．2．（2021?唐山一模）證明：平行四邊形的對角線互相平分．已知：如圖四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD相交于點O．求證：OA＝OC，OB＝OD，嘉琪的證明過程如圖．證明過程中，應補充的步驟是（）A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥BC，AD＝BC C．AB∥CD，AD∥BC D．AB∥CD，AB＝CD【分析】根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO，∴△AOB≌△COD（ASA），∴OA＝OC，OB＝OD，故選：D．【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2021秋?襄都區(qū)校級期末）平行四邊形ABCD的周長為32cm，AB：BC＝3：5，則AB、BC的長分別為（）A．20cm，12cm B．10cm，6cm C．6cm，10cm D．12cm，20cm【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得AB＝CD，BC＝AD，然后設AB＝3xcm，BC＝5xcm，可得到2（3x+5x）＝32，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，BC＝AD，∵AB：BC＝3：5，∴可設AB＝3xcm，BC＝5xcm，∵平行四邊形ABCD的周長為32cm，∴2（AB+BC）＝32，即2（3x+5x）＝32，解得：x＝2，∴AB＝6cm，BC＝10cm．故選：C．【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的對邊相等是解題的關(guān)鍵．4．（2022?大渡口區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，DE平分∠ADC，∠DEC＝30°，則∠ADC＝（）A．30° B．45° C．60° D．80°【分析】根據(jù)角平分線的定義以及兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠CDE＝∠CED，【解答】解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠ADE，∵?ABCD中，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED＝30°，∴∠ADC＝2×30°＝60°，故選：C．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，準確識圖并熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2021秋?桓臺縣期末）如圖，在?ABCD中，若∠A＝∠D+40°，則∠B的度數(shù)為（）A．110° B．70° C．55° D．35°【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得∠B＝∠D，∠A+∠D＝180°，即可求∠B的度數(shù)．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∠B＝∠D，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A＝∠D+40°，∴∠D＝70°，∴∠B＝70°，故選：B．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．6．（2022春?洪澤區(qū)月考）平行四邊形的對角線長為x，y，一邊長為14，則x，y的值可能是（）A．8和16 B．10和14 C．18和10 D．10和24【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知，平行四邊形的對角線互相平分，則對角線的一半和已知的邊組成三角形，再利用三角形的三邊關(guān)系可逐個判斷即可．【解答】解：A、根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知：4+8＝12＜14，不能構(gòu)成三角形，故此選項不符合題意；B、5+7＝12＜14，不能構(gòu)成三角形，故此選項錯誤，不符合題意；C、9+5＝14，不能構(gòu)成三角形，故此選項錯誤，不符合題意；D、5+12＝17＞14，能構(gòu)成三角形，故此選項正確，符合題意．故選：D．【點評】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)．三角形的三邊關(guān)系，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2021秋?高新區(qū)校級期末）如圖，點P是平行四邊形ABCD邊AD上的一點，E，F(xiàn)分別是BP，CP的中點，已知平行四邊形ABCD面積為24，那么△PEF的面積為（）A．12 B．3 C．6 D．4【分析】先根據(jù)S?ABCD＝24知S△PBC＝S?ABCD＝12，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵?ABCD的面積為24，∴S△PBC＝S?ABCD＝12，∵E、F分別是PB、PC的中點，∴EF∥BC，且EF＝BC，∴△PEF∽△PBC，∴＝（）2，即＝，∴S△PEF＝3，故選：B．【點評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)與相似三角形的判定與性質(zhì)．二．填空題（共4小題）8．（2021秋?芝罘區(qū)期末）如圖，平行四邊形ABCD中，AC、BD相交于點O，OE⊥BD交AD、BC于E、F，若△ABE的周長為10，則四邊形ABCD的周長是20．【分析】根據(jù)OB＝OD，又由OE⊥BD，可得BE＝DE，繼而可求得△ABE的周長為AB+AD＝10，根據(jù)三角形的周長求得平行四邊形的周長即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，∵OE⊥BD，∴BE＝DE，∵△ABE的周長為10，∴AB+AE+BE＝AB+AE+DE＝AB+AD＝10，∴平行四邊形ABCD的周長是2（AB+AD）＝20，故答案為：20．【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．9．（2022春?泰州月考）已知?ABCD周長是48cm，AC和BD相交于O，且△AOB的周長比△BOC的周長小4cm，則CD的長是10cm．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知，平行四邊形的對角線互相平分，由于△AOB的周長比△BOC的周長小4cm，則BC比AB大4cm，根據(jù)周長的值可以求出AB，進而求出CD的長．【解答】解：∵平行四邊形的周長為48cm，∴AB+BC＝24cm；又△AOB的周長比△BOC的周長小4cm，∴BC﹣AB＝4cm，解得：AB＝10cm，BC＝14cm．∵AB＝CD，∴CD＝10cm故答案為：10．【點評】此題主要考查平行四邊的性質(zhì)：平行四邊形的兩組對邊分別相等且平行四邊形的對角線互相平分．10．（2022春?玉林月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點E，∠CBD＝90°，BC＝4，AC＝10，則平行四邊形ABCD的面積為24．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CE＝AC＝5，BD＝2BE，根據(jù)勾股定理得到BE＝＝＝3，求得BD＝6，由平行四邊形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CE＝AC＝5，BD＝2BE，∵∠CBD＝90°，BC＝4，∴BE＝＝＝3，∴BD＝6，∴平行四邊形ABCD的面積為BC?BD＝4×6＝24，故答案為：24．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022春?洪澤區(qū)月考）在?ABCD中，若∠B+∠D＝160°，∠C＝100°．【分析】根據(jù)平行四邊形的對角相等求得∠D＝∠B＝80°；然后由平行四邊形的對邊平行和平行線的性質(zhì)解答．【解答】解：在?ABCD中，∠B+∠D＝160°，∠D＝∠B，則∠D＝∠B＝80°．在?ABCD中，AB∥CD，則∠B+∠C＝180°，所以∠C＝180°﹣80°＝100°．故答案是：100．【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形的對角相等，平行四邊形的對邊平行．三．解答題（共4小題）12．（2021秋?沂源縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點E為AB的中點，連結(jié)DE．（1）證明：DE∥CB；（2）探索AC與AB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，四邊形DCBE是平行四邊形，并說明理由．【分析】（1）首先連接CE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得CE＝AB＝AE，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AD＝CD，然后證明△ADE≌△CDE，進而得到∠ADE＝∠CDE＝30°，再有∠DCB＝150°，證明DE∥CB；（2）當AC＝AB時，證出DC∥BE，由平行四邊形的判定可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：連接CE．∵點E為Rt△ACB的斜邊AB的中點，∴CE＝AB＝AE．∵△ACD是等邊三角形，∴AD＝CD．∴DE∥BC．在△ADE與△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SSS），∴∠ADE＝∠CDE＝30°．∵∠DCB＝150°，∴∠EDC+∠DCB＝180°．∴DE∥CB．（2）解：當AC＝AB時，四邊形DCBE是平行四邊形．理由：∵AC＝AB，∠ACB＝90°，∴∠B＝30°，∵∠DCB＝150°，∴∠DCB+∠B＝180°，∴DC∥BE，又∵DE∥BC，∴四邊形DCBE是平行四邊形．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定，平行四邊形的判定，證明△ADE≌△CDE是解題的關(guān)鍵．13．（2022春?泰州月考）如圖所示，已知點E，F(xiàn)在?ABCD的對角線BD上，且BE＝DF．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）連接AF，CE，求證：四邊形AECF是平行四邊形．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可知：∠ABE＝∠CDF，再利用已知條件和三角形全等的判定方法即可證明△ABE≌△CDF；（2）由（1）可知△ABE≌△CDF，所以∠AEB＝∠DFC，進而可得∠AED＝∠BFC，所以AE∥CF，根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠DFC，AE＝CF，∴∠AED＝∠BFC，∴AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．14．（2022春?東臺市月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，點G，H分別是AB，CD的中點，點E、F在對角線AC上，且AE＝CF．求證：四邊形EGFH是平行四邊形．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，AB＝CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠GAE＝∠HCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠GAE＝∠HCF，∵點G，H分別是AB，CD的中點，∴AG＝CH，在△AGE和△CHF中，，∴△AGE≌△CHF（SAS），∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，∴∠GEF＝∠HFE，∴GE∥HF，又∵GE＝HF，∴四邊形EGFH是平行四邊形．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形判定與的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2021秋?桓臺縣期末）已知，如圖在?ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別在OD，BO上，且OE＝OF，連接AE，CF．（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）延長AE交CD于點G，延長CF交AB于點H．求證：AH＝CG．【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得AD＝BC，AD∥BC，BO＝DO，可證∠ADE＝∠CBF，DE＝BF，然后通過SAS即可證得△ADE≌△CBF；（2）證出四邊形AHCG是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，BO＝DO，∴∠ADE＝∠CBF，∵OE＝OF，∴DE＝BF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAC＝∠BCA，∵△ADE≌△CBF，∴∠DAE＝∠BCF，∴∠EAO＝∠FCO，∴AG∥HC，∵AH∥CG，∴四邊形AHCG是平行四邊形，∴AH＝CG．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明△ADE≌△CBF是解題的關(guān)鍵．題組B能力提升練一．選擇題（共3小題）1．（2022春?鹽都區(qū)月考）如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等邊三角形，下列結(jié)論中：①AB⊥AC；②四邊形AEFD是平行四邊形；③∠DFE＝150°；④S四邊形AEFD＝8．正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由AB2+AC2＝BC2，得出∠BAC＝90°，故①正確；再由SAS證得△ABC≌△DBF，得AC＝DF＝AE＝4，同理△ABC≌△EFC（SAS），得AB＝EF＝AD＝3，則四邊形AEFD是平行四邊形，故②正確；然后由平行四邊形的性質(zhì)得∠DFE＝∠DAE＝150°，則③正確；最后求出S?AEFD＝6，故④錯誤；即可得出答案．【解答】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，32+42＝52，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，故①正確；∵△ABD，△ACE都是等邊三角形，∴∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAE＝150°，∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC，在△ABC與△DBF中，，∴△ABC≌△DBF（SAS），∴AC＝DF＝AE＝4，同理可證：△ABC≌△EFC（SAS），∴AB＝EF＝AD＝3，∴四邊形AEFD是平行四邊形，故②正確；∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③正確；過A作AG⊥DF于G，如圖所示：則∠AGD＝90°，∵四邊形AEFD是平行四邊形，∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，∴AG＝AD＝，∴S?AEFD＝DF?AG＝4×＝6，故④錯誤；∴正確的個數(shù)是3個，故選：C．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明△ABC≌△DBF是解題的關(guān)鍵．2．（2022春?江都區(qū)月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分線分別交AD于點E和F，若BE＝6，則CF＝（）A．6 B．8 C．10 D．13【分析】過點A作AM∥FC，交BE與點O，由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可證∠BHC＝90°，由平行線的性質(zhì)可求∠AOE＝∠BHC＝90°，由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可證AE＝AB＝5，由勾股定理可求AO的長，由“ASA”可證△ABO≌△MBO，可得AO＝OM＝4，通過證明四邊形AMCF是平行四邊形，可得CF＝AM＝8．【解答】解：如圖，設BE與FC的交點為H，過點A作AM∥FC，交BE與點O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB+180°，∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，∴∠CBE+∠BCF＝90°，∴∠BHC＝90°，∵AM∥CF，∴∠AOE＝∠BHC＝90°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，∴AB＝AE＝5，又∵∠AOE＝90°，∴BO＝OE＝3，∴AO＝，在△ABO和△MBO中，，∴△ABO≌△MBO（ASA），∴AO＝OM＝4，∴AM＝8，∵AD∥BC，AM∥CF，∴四邊形AMCF是平行四邊形，∴CF＝AM＝8，故選：B．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當輔助線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．3．（2021秋?萊州市期末）如圖，在?ABCD中，E是AD邊的中點，BE平分∠ABC．若AB＝2，則?ABCD的周長是（）A．11 B．12 C．13 D．14【分析】因為ABCD為平行四邊形，故AD∥BC，∠AEB＝∠EBC，又BE平分∠ABC，∠ABE＝∠AEB，故△ABE為等腰三角形，AE＝AB＝2，可知AD＝4，繼而可求出?ABCD的周長．【解答】解：∵ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∠AEB＝∠EBC，又BE平分∠ABC，∠ABE＝∠AEB，故△ABE為等腰三角形，∴AE＝AB＝2，可知AD＝4，∴?ABCD的周長＝2（AB+AD）＝12．故選：B．【點評】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是判斷出△ABE為等腰三角形，要求我們熟練掌握平行四邊形及平行線的性質(zhì)．二．填空題（共4小題）4．（2022春?寶應縣月考）在四邊形ABCD中，分別給出四個條件：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠A＝∠C；④AB＝CD．以其中的兩個條件能判定四邊形ABCD為平行四邊形的有3種不同的選擇．【分析】根據(jù)題目所給條件，利用平行四邊形的判定方法分別進行分析即可．【解答】解：①③組合能根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B＝∠D，從而利用兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形判定平行四邊形；①④組合能利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定平行四邊形；②④組合能利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定，故答案為：3．【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定定理．5．（2022春?沭陽縣月考）已知在平面直角坐標系中，有點O（0，0）、A（2，2）、B（5，2）、C這四點．以這四點為頂點畫平行四邊形，則點C的坐標為（3，0）或（﹣3，0）或（7，4）．【分析】根據(jù)坐標與圖形的性質(zhì)和平行四邊形的對邊平行且相等可以畫出草圖，然后解答即可．【解答】解：根據(jù)題意畫出草圖得：點C的坐標為（3，0）或（﹣3，0）或（7，4），故答案為：（3，0）或（﹣3，0）或（7，4）．【點評】本題考查了平行四邊形的判斷和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用已知條件正確畫圖再數(shù)形結(jié)合，能起到事半功倍的作用．6．（2022春?江都區(qū)月考）如圖，平行四邊形ABCD中，AC、BD相交于點O，若AD＝6，AC+BD＝18，則△BOC的周長為15．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，三角形周長的定義即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝6，OA＝OC，OB＝OD，∵AC+BD＝18，∴OB+OC＝9，∴△BOC的周長＝BC+OB+OC＝6+9＝15．故答案為：15．【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)．三角形的周長等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的對角線互相平分，屬于中考?？碱}型．7．（2022春?江都區(qū)月考）在平面直角坐標系中，?ABCD的頂點A、B、C的坐標分別是（0，2）、（﹣3，﹣4）、（2，﹣4），則頂點D的坐標是（5，2）．【分析】首先根據(jù)題意作圖，然后由四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可求得頂點D的坐標．【解答】解：如圖：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB，CD∥AB，∵?ABCD的頂點A、B、C的坐標分別是（0，2）、（﹣3，﹣4）、（2，﹣4），∴頂點D的坐標為（5，2）．故答案為：（5，2）．【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)．注意數(shù)形結(jié)合思想的應用是解此題的關(guān)鍵．三．解答題（共4小題）8．（2021秋?萊陽市期末）如圖，在?ABCD中，延長AD到點E，延長CB到點F，使得DE＝BF，連接EF，分別交CD，AB于點G，H，連接AG，CH．求證：四邊形AGCH是平行四邊形．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠EAH＝∠FCG，AD∥BC，AD＝BC，求得AE＝CF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AH＝CG，由平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠EAH＝∠FCG，AD∥BC，AD＝BC，∴∠E＝∠F，∵AD＝BC，DE＝BF，∴AD+DE＝BC+BF，即AE＝CF，在△AEH與△CFG中，，∴△AEH≌△CFG（ASA），∴AH＝CG，∵AH∥CG，∴四邊形AGCH是平行四邊形．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．9．（2021秋?東陽市期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝8，AB＝12，∠A＝60°，點E，G分別在邊AB，AD上，且AE＝AB，AG＝AD，作EF∥AD、GH∥AB，EF與GH交于點O，分別在OF、OH上截取OP＝OG，OQ＝OE，連結(jié)PH、QF交于點I．（1）四邊形EBHO的面積＝四邊形GOFD的面積（填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）比較∠OFQ與∠OHP大小，并說明理由．（3）求四邊形OQIP的面積．【分析】（1）根據(jù)已知可知四邊形EBHO和四邊形GOFD都是平行四邊形，然后求出它們的面積即可判斷；（2）利用兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似證明△OFQ∽△OHP，即可解答；（3）利用相似三角形的性質(zhì)求出△OFQ與△OHP的面積比，再證明△FPI∽△HQI，求出它們的面積比，最后求出△OFQ的面積進行計算即可解答．【解答】解：（1）過點D作DM⊥GH，垂足為M，過點O作ON⊥AB，垂足為N，∵AD＝8，AB＝12，AE＝AB，AG＝AD，∴AE＝3，AG＝2，∴GD＝AD﹣AG＝9，EB＝AB﹣AE＝8﹣2＝6，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∵EF∥AD、GH∥AB，∴EF∥AD∥BC，GH∥AB∥CD，∴四邊形GOFD是平行四邊形，四邊形OEBH是平行四邊形，四邊形AGOE是平行四邊形，∴AE＝GO＝3，EB＝OH＝9，GD＝FO＝6，AG＝OE＝2，∵EF∥AD、GH∥AB，∴∠A＝∠DGO＝60°，∠A＝∠OEB＝60°，∴DM＝GDsin60°＝6×＝3，ON＝OEsin60°＝2×＝，∴四邊形EBHO的面積＝EB?ON＝9×＝9，四邊形GOFD的面積＝GO?DM＝3×3＝9，∴四邊形EBHO的面積＝四邊形GOFD的面積，故答案為：＝；（2）∠OFQ＝∠OHP，理由：∵OP＝OG＝3，OQ＝OE＝2，OF＝6，OH＝9，∴＝＝，＝＝，∴＝，∵∠FOQ＝∠POH，∴△OFQ∽△OHP，∴∠OFQ＝∠OHP；（3）設四邊形OQIP的面積為x，△FPI的面積為y，△HQI的面積為z，∵△OFQ∽△OHP，OQ＝2，OP＝3，∴＝，∴＝，∴5x＝4z﹣9y，∵∠FIP＝∠HIQ，∠OFQ＝∠OHP，∴△FPI∽△HQI，∴＝（）2＝（）2＝，∴＝，∴49y＝9z，過點Q作QK⊥OF，垂足為K，∵GH∥AB，∴∠FOQ＝∠FEB＝60°，∴QK＝OQsin60°＝2×＝，∴△OFQ的面積＝OF?QK＝×6×＝3，∴x+y＝3，∴，由②得：z＝y(tǒng)，把z＝y(tǒng)代入①得：5x＝4y﹣y，∴y＝x，把y＝x代入③得：x+x＝3，∴x＝，∴四邊形OQIP的面積為：．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．10．（2021秋?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，在?ABCD中，E、F分別為AB、CD邊上兩點，F(xiàn)B平分∠EFC．（1）如圖1，若AE＝2，EF＝5，求CD的長；（2）如圖2，∠BCD＝45°，BC⊥BD，若G為EF上一點，且∠GBF＝∠EFD，求證：FG+2FD＝AB．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得∠ABF＝∠BFC，AB＝CD，結(jié)合角平分線的定義可求得∠ABF＝∠EFB，即可求BE＝EF＝5，進而可求解；（2）在FC上截取FH＝FG，連接BH，利用SAS證明△BGF≌△BHF可得∠BGF＝∠BHF，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得∠BFD＝∠BHC，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)利用AAS證明△BDF≌△BCH可得DF＝CH，進而可證明結(jié)論．【解答】（1）解：在?ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABF＝∠BFC，∵FB平分∠EFC，∴∠EFB＝∠BFC，∴∠ABF＝∠EFB，∵AE＝2，EF＝5，∴BE＝EF＝5，∴CD＝AB＝AE+EF＝2+5＝7；（2）證明：在FC上截取FH＝FG，連接BH，在△BGF和△BHF中，，∴△BGF≌△BHF（SAS），∴∠BGF＝∠BHF，∵∠GBF＝∠EFD，∵∠EFD+∠EFB+∠BFH＝180°，∠EFB+∠BGF+∠GBF＝180°，∴∠BFH＝∠BGF，∴∠BFH＝∠BHF，∴∠BFD＝∠BHC，∵∠BCD＝45°，BC⊥BD，∴∠BDF＝45°＝∠BCH，∴BD＝BC，在△BDF和△BCH中，，∴△BDF≌△BCH（AAS）∴DF＝CH，∴AB＝CD＝DF+FH+CH＝FG+2FD，即FG+2FD＝AB．【點評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△BDF≌△BCH是解題的關(guān)鍵．11．（2021秋?萊蕪區(qū)期末）點E是?ABCD的邊CD上的一點，連接EA并延長，使EA＝AM，連接EB并延長，使EB＝BN，連接MN，F(xiàn)為MN的中點，連接CF，DM．（1）求證：四邊形DMFC是平行四邊形；（2）連接EF，交AB于點O，若OF＝2，求EF的長．【分析】（1）利用三角形的中位線可得AB∥MF，AB＝MF，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可得MF∥CD，MF＝CD，進而可證明結(jié)論；（2）連接AF，BF，則AF是△MNE的中位線，證明四邊形AFBE是平行四邊形，再利用平行四邊形的性質(zhì)可求解．【解答】（1）證明：∵AE＝AM，EB＝BN，∴AB為△EMN的中位線，∴AB∥MN，AB＝MN，∵MF＝MN，∴AB∥MF，AB＝MF，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴MF∥CD，MF＝CD，∴四邊形MFCD為平行四邊形；（2）解：連接AF，BF，則AF是△MNE的中位線，∴AF∥EB，AF＝EB，∴四邊形AFBE是平行四邊形，∴OF＝OE＝2，∴EF＝4．【點評】本題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線，掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練一．填空題（共8小題）1．（2021春?貴陽期末）如圖所示，點O為?ABCD內(nèi)一點，連接BD，OA，OB，OC，OD，已知△BCO的面積為3，△ABO的面積為5，則陰影部分的面積是5﹣3．【分析】設△COD的面積為x，根據(jù)平行四邊形的面積＝2（S△AOB+S△COD）＝2S△BCD，列式整理即可得解．【解答】解：∵?ABCD的面積＝2（S△AOB+S△COD）＝2S△BCD，設△COD的面積為x，∵?ABCD的面積＝2（5+x）＝2（S陰影△BOD+x+3），∴陰影部分△BOD的面積＝5+x﹣x﹣3，＝5﹣3，故答案為：5﹣3．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積，設出△COD的面積為x然后表示出平行四邊形的面積是解題的關(guān)鍵，準確識圖理清各三角形的關(guān)系．2．（2021春?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，AB＝8，點P在邊AD上，且BP＝BC，點M在線段BP上，點N在線段BC的延長線上，且PM＝CN，連接MN交CP于點F，過點M作ME⊥CP于E，則EF＝2．【分析】過點M作MH∥BC交CP于H，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠MHP＝∠BCP，兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠NCF＝∠MHF，根據(jù)等邊對等角可得∠BCP＝∠BPC，然后求出∠BPC＝∠MHP，根據(jù)等角對等邊可得PM＝MH，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得PE＝EH，利用“角邊角”證明△NCF和△MHF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CF＝FH，從而求出EF＝CP，根據(jù)矩形的對邊相等可得BC＝AD＝10，再利用勾股定理列式求出AP，然后求出PD，再次利用勾股定理列式計算即可求出CP，從而得解．【解答】解：如圖，過點M作MH∥BC交CP于H，則∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，∵BP＝BC，∴∠BCP＝∠BPC，∴∠BPC＝∠MHP，∴PM＝MH，∵PM＝CN，∴CN＝MH，∵ME⊥CP，∴PE＝EH，在△NCF和△MHF中，，∴△NCF≌△MHF（AAS），∴CF＝FH，∴EF＝EH+FH＝CP，∵矩形ABCD中，AD＝10，∴BC＝AD＝10，∴BP＝BC＝10，在Rt△ABP中，AP＝＝＝6，∴PD＝AD﹣AP＝10﹣6＝4，在Rt△CPD中，CP＝＝＝4，∴EF＝CP＝×4＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2021春?永嘉縣校級期中）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中點，EF⊥AB于點F，則△DEF的面積為2平方單位．【分析】根據(jù)平行四邊形對邊平行可得AB∥CD，再利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠B＝∠ECG，根據(jù)線段中點的定義可得BE＝CE，然后利用“角邊角”證明△BEF和△CEG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BF＝CG，再解直角三角形求出EF、BF，求出DG，然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解．【解答】解：如圖，延長DC和FE交于點G，在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，∴∠B＝∠ECG，∵E為BC的中點，∴BE＝CE＝BC＝×4＝2，在△BEF和△CEG中，，∴△BEF≌△CEG（ASA），∴BF＝CG，∵∠B＝60°，∴∠FEB＝30°，∴BF＝BE＝1，∴EF＝，∵CG＝BF＝1，CD＝AB＝3，∴DG＝CD+CG＝3+1＝4，∵EF⊥AB，AB∥CD，∴DG⊥FG，∴S△DEF＝EF?DG＝××4＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的面積，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2020秋?倉山區(qū)校級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，點C關(guān)于AD的對稱點為E，連接BE交AD于點F，點G為CD的中點，連接EG，BG，則S△BEG＝14．【分析】如圖，取BC中點H，連接AH，連接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD的延長線于M．構(gòu)建S△BEG＝S△BCE+SECG﹣S△BCG計算即可；【解答】解：如圖，取BC中點H，連接AH，連接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD的延長線于M．∵BC＝2AB，BH＝CH，∠ABC＝60°，∴BA＝BH＝CH，∴△ABH是等邊三角形，∴HA＝HB＝HC，∴∠BAC＝90°，∴∠ACB＝30°，∵EC⊥BC，∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°，∴∠ACE＝60°，∠ECM＝30°，∵BC＝2AB＝8，∴CD＝4，CN＝EN＝2，∴EC＝4，EM＝2，∴S△BEG＝S△BCE+SECG﹣S△BCG＝×8×4+2×2﹣S平行四邊形ABCD＝16+2﹣4＝14．故答案為14．【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、軸對稱圖形、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線沒工作直角三角形解決問題，屬于中考常考題型．5．（2021春?武漢期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AD平分∠CAB交BC于點D，P為直線AB上一動點．以DP、BD為鄰邊構(gòu)造平行四邊形DPQB，連接CQ，若AC＝4．則CQ的最小值為+2．【分析】首先在△ACB中，由于AC＝4，∠CAB＝60°，∠CBA＝45°，所以可以解△CAB，即可以過C作CO⊥AB于O，利用三勾股定理，求出AB的長度，同理，在△DAB中，過D作DH⊥AB于H，可以求出DH的長度，連接DQ交PB于M，過Q作QG⊥AB于G，可以證明△QGM≌△DHM，所以QG＝DH＝2，由此得到Q在平行于AB的直線上運動，且距離AB兩個單位長度，根據(jù)垂線段最短，可以得到當C，O，Q三點共線時，CQ長度最?。窘獯稹拷猓喝鐖D1，過C作CO⊥AB于O，過D作DH⊥AB于H，在Rt△ACO中，∠CAB＝60°，∴∠ACO＝30°，∴，∴＝，在Rt△BCO中，∠CBA＝45°，∴BO＝CO＝2，∴+2，∵AD平分∠CAB，∴∠DAB＝＝30°，在Rt△DHB中，∠CBA＝45°，∴可設DH＝HB＝a，∴AD＝2DH＝2a，∴AH＝＝a，∴AB＝AH+BH＝a+a，∴，∴a＝2，∴DH＝2，如圖2，過Q作QG⊥AB于G，連接DQ交AB于M，∵四邊形DPQB為平行四邊形，∴DM＝QM，在△QGM與△DHM中，，∴△QGM≌△DHM（AAS），∴QG＝DH＝2，故Q到直線AB的距離始終為2，所以Q點在平行于AB的直線上運動，且兩直線距離為2，根據(jù)垂線段最短，當C，O，Q三點在一條直線上時，此時CQ最小，如圖3，最小值為：CO+2＝2+2，故答案為．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及三角形的判定與性質(zhì)，還考查了線段最小值問題，找到動點Q的運動軌跡，是解決本題的關(guān)鍵．6．（2021?太原一模）如圖，在?ABCD中，AD＝6，對角線BD⊥CD，∠BAD＝30°，∠BAD與∠CDB的平分線交于點E，延長DB到點F，使DF＝AD，連接EF，則EF的長為2．【分析】延長AE，DC，交于點G，作∠GEM＝∠EGD交CD于M，過點E作EH⊥CD，