高中數(shù)學奧林匹克競賽訓練題集大全

高中數(shù)學奧林匹克競賽訓練題集大全

高中數(shù)學競賽試卷

一、選擇題（本大題共有10小題，每題只有一個正確答案，將正確答案的序號

填入題干后的括號里，多選、不選、錯選均不得分，每題5分，共50分）

4/izg一鬲上工由tcos4x+sin?4x+si?n~2xcos~2x/、

1.化簡二角有理式一7-------7-------------「的值為（A）

sinx+cosx+2sinxcosx

A.1B.sinx+cosxC.sinxcosxD.1+sinxcosx

解答為Ao

分母二（sin之x+cos2x）（sin4x+cos4x-sin2xcos2x）+2sin2xcos2x

=sin4x+cos4x+sin2xcos2

也可以用特殊值法

2.若〃:（f+》+l）J、+320,q:x>-2,則，是夕的（B）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解答為Bop成立0式之_3，所以p成立，推不出q一定成立。

3.集合P={Xx￡R，k+3|+k+6|=3},則集合C/為（D）

A.{小<6,或r>3}B.{小<6,或。一3}

C.{x|x<-6,^U>3}D.{x|x<-6,s!cx>-3}

解答：Do畫數(shù)軸，由絕對值的幾何意義可得-6KXW-3,

P={x|-6<x<-3},QP={.^<-6,WU>-3）o

4.設(shè)2,萬為兩個相互垂直的單位向量。己知/=OQ=b,OR=ra+kb.

若△PQR為等邊三角形,則k,r的取值為（C）

—

Ai1i^3D.1±V31±V3

A.k=r=-------B.k=-----,r=------

222

「71土耳c.-1±V3_1土百

C.k=r=-----D.k=------,r=-------

222

解答.C.\P^=\QR\=\PR\f

即J-+（左—1）2=+左2=72,解得r二k二I士，。

5.在正三棱柱ABC—AiBiJ中，若AB=0BB「則CAi與JB所成的角的大

小是（C）

A.60°B.75°C.90°D.105°

解答：Co建立空間直角坐標系，以A片所在的直線為x軸,在平面AqG上垂直于

的直線為y軸，所在的直線為z軸。則4（夜,0,0）<（4，3,0）,。（*,乎,1）,

5（0,0,1）,CA=（與，-咚,-1）?聲=（一號，—咚,D,CA?GB=b。

6.設(shè)｛4｝，依｝分別為等差數(shù)列與等比數(shù)列，且4=伉=4嗎=4=1,則以

下結(jié)論正確的是（A）

A.a2>b2B.a3<h3C.a5>b5D.a6>"

解答：Ao

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列公比為q,由4=4=4,4=仇=1，得d=T,q=苧

得牝=3也=2-^2;ay=2也=而;%=。，與=亭；。6=-1也=￥

7.若不￡?,則（1+2工尸的二項式展開式中系數(shù)最大的項為（D）

A.第8項B.第9項C.第8項和第9項D.第11項

9Q32

解答：D.小鏟,由（5,皿=彳w-第口項最大。

8.設(shè)/（x）=cos：,a=f（\oge—\b=/（logJ）,c=/（log?J）,則下述關(guān)系

57te-n

式正確的是（D）,

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

解答：Do函數(shù)/（X）=COS已為偶函數(shù)，在（0,y）上，/（?=COSX為減函數(shù)，

52

而

I111111cl

log,_=一log,凡log》-=-----Jog1-7=2log,兀,

萬eloge冗-7U~

lOge4工21Oge471

0<---<所以/?＞々＞Co

5log,乃554

9.下面為某一立體的三視圖，則該立體的體積為(C)

正視圖：半徑為1側(cè)視圖：半徑為1的，圓

俯視圖：

的半圓以及高為14

半徑為1的圓

的矩形以及高為1的矩形

2〃4〃3乃

A.B.----C.一D.

T33T

解答：C.根據(jù)題意，該立體圖為圓柱和一個皿的球的組合體。

10.設(shè)有算法如下:

如果輸入A=144,B=39,則輸出的結(jié)果是(B)

A.144B.3C.0D.12

解答B(yǎng)(1)A=144,B=39,C=27：(2)A=39,B=27,C=12：(3)A=27,B=12,C=3：(4)

A=12,B=3,C=0o所以A=3。

二、填空題(本大題共有7小題，將正確答案填入題干后的橫線上，每空7分，

共49分)

11.滿足方程Jx—2009—2jx—2010+Jx—2009+27^^^=2所有實數(shù)解為

2010<x<2011o

解答變形得2010—If2010+=2=0W，％-2010W1,解得

2010<x<2011o

YX

12.xwR,函數(shù)/。)=25代+3以吟的最小正周期為臣.

解答2sin'的周期為4乃,3cos'的周期為6萬，所以函數(shù)/(%)的周期為124<,

23

13.設(shè)P是圓V+),2=36上一動點，A點坐標為(20,0)。當P在圓上運動時，線

段PA的中點M的軌跡方程為“-10)2+y2=9.

解答設(shè)M的坐標為*,y),設(shè)尸點坐標為(%,%),則有1=然2丁=&

=x°=2x—20,)，。=2>，因為P點在圓上，所以(2x—20『+(2〉)？=36所以P點軌跡

為(工一10)2+丁=9。

14.設(shè)銳角三角形ABC的邊BC上有一點D,使得AD把4ABC分成兩個等腰三角

形，試求4ABC的最小內(nèi)角的取值范圍為30Vx<45或22.5<x<30.

解答如圖，(1)AD-AC-BD：(2)DC-AC,AD-BDo

(1)

在(1)中，設(shè)最小的角為X,則2x<90,得x<45,又x+180-4x<90,得x>30,所以30Vx<45；

在(2)中，設(shè)最小的角為x,則3x<90,得x<30,又180-4x<90,得x>22.5,所以22.5<x<30

15.設(shè)z是虛數(shù)，w=z+-f且一lvwv2,則z的實部取值范圍為.

Z2

解答i&z=a+bi=>-\<a+bi+-^—/<2=b——z--—r=0=b=0或a2+/=1

a~+b~a~+b~

當8=0,無解；當/+從=1=一，〈av1。

2

16.設(shè)/（幻=2（/-工+1）-/口一幻4。如果對任何X￡[OJ],都有/"）之0,貝ijk

的最小值為—.

192

解答人斗匕立因為+1按—x+1最小值為3

x-x+124424

分子]》（1一幻工」"=2時,f（1一幻4取最大值（!）8,所以k的最小值為」_。

丫222192

門設(shè)p,qsR,/（公=/+川]|+4。當函數(shù)/（%）的零點多于1個時，/（x）在

以其最小零點與最大零點為端點的閉區(qū)間上的最大值為0或4

解答因為函數(shù)/（乃二一+川幻+4為偶函數(shù)，由對稱性以及圖象知道，/（幻在

以其最小零點與最大零點為端點的閉區(qū)間上的最大值0或q0

三、解答題（本大題共有3小題，每題17分，共51分）

4c八留小11212312k

18.設(shè)數(shù)歹U，…,一,,,?，

121321kk-\1

問：（1）這個數(shù)列第2010項的值是多少；

（2）在這個數(shù)列中，第2010個值為1的項的序號是多少.

解（1）將數(shù)列分組：（;）'（D）'（m）,…2，…，馬,…

121321kk-\1

因為1+2+3+―+62=1953；1+2+3+―+63=2016,

57

所以數(shù)列的第2010項屬于第63組倒數(shù)第7個數(shù)，即為衛(wèi)。-----10分

（2）由以上分組可以知道，每個奇數(shù)組中出現(xiàn)一個1,所以第2010個1出現(xiàn)在

第4019組，而第4019組中的1位于該組第2010位，所以第2010個值為1的

項的序號為（1+2+3+…+4018）+2010=809428o--------17分

19.設(shè)有紅、黑、白三種顏色的球各10個?，F(xiàn)將它們?nèi)糠湃爰?、乙兩個袋子

中，要求每個袋子里三種顏色球都有，且甲乙兩個袋子中三種顏色球數(shù)之積相等。

問共有多少種放法。

解：設(shè)甲袋中的紅、黑、白三種顏色的球數(shù)為x,y,z,則有l(wèi)?x,y,z49,且

xy?z=(10-x)(10-y)(10-z)(*1)

-5分

即有

xyz=500-50(x4-y+z)+5(xy+yz+zx)o(*2)

于是有5|xyzo因此x,y,z中必有一個取5。不妨設(shè)％=5,代入（*1）式，得到

y+z=10o10分

此時，y可取1,2,8,9（相應(yīng)地z取9,8,2,1）,共9種放法。同

理可得y=5或者z=5時，也各有9種放法，但有x=y=z時二種放法重復。因此

可得共有

9X3-2=25種放法。17分

20.已知橢圓；?+/=］（〃＞］）,RfAABC以A（0,1）為直角頂點，邊AB、BC

與橢圓交于兩點B、Co若AABC面積的最大值為2,求。的值。

解：不妨設(shè)AB的方程y=kx+1(%>0),則AC的方程為y=-1x+lo

y=kx+12

2222

由.一得：(\+ak)x+2akx=0=>xB=—,

2a2k

得：（/+42）/2-2〃2日=（）=%

從而有國二后備,二后若

于是5必8c=』AB|Mq=2/——叫+。，=2。

111(l+a2k2)(a2+k2)

a~(k~+—j-)+6f4+1

a2t2+(a2-\)2q2r1(/-I)?

因為/.+絲12122a，=凹二時等號成立。

a1-i/

因此“丁,匹此一部14分

273+V297

=-=>(?-3)(8/-3"9)=0na=3,"

a2-l816

3+V297

—.......>2=>a>1+0,/.a（不合題意，舍去）,「.a=317分

a16

四、附加題：（本大題共有2小題，每題25分，共50分。）

BDCEAF

21.設(shè)D,E,F分別為AABC的三邊BC,CA,AB上的點。記。二，P=，/=

BCAB

證明：5&1謝之。的S.BC。

證明由

32.=}%-------------=a(l-z).5分

SMBC忸牛畫sinB

同理9蟠

=p(\-a\=火1一切。10分

所以SaEF_S“BCSGFD-S&DEC—S^EF

l-a(l-/)-/?(1-a)-/(l-/7)

^qAABC

=(1-a)(l-^)(l-/)+apy>a"等號成立oa=1或4=1或y=1。--20分

因此SWE尸之*S.8C，等號成立，當且僅當，D與C重合，或E與A重合，或F與B重

合。25分

22.（1）設(shè)。>0,平面上的點如其坐標都是整數(shù)，則稱之為格點。今有曲線y=a?過格

點（n,m）,記IWXW〃對應(yīng)的曲線段上的格點數(shù)為N。證明:

N-mn0

（2）進而設(shè)。是一個正整數(shù)，證明:

—(〃一+1)?

4

（注［幻表示不超過x的最大整數(shù)）

證明（1）考慮區(qū)域0<xW〃,0vy工機,且該區(qū)域.匕的格點為nm個。又該區(qū)域由區(qū)域E：

0<x4〃,0vyWar：以及區(qū)域F：0<y<m,O<x<—組成。

在區(qū)域E上，直線段%=%（%￡N+14AW〃）上的格點為[。公]個,

所以區(qū)域E上的格點數(shù)為￡[aky]o---------5分

*=i

同理區(qū)域F上的格點數(shù)為魯[R]。----------10分

〃LIm\k

由容斥原理，'=2[.1+2國多一.。----------------15分

?=ibiLY。

（2）當。是一個正整數(shù)時，曲線y=a?上的點（k,al）（女wN*J<%<〃）都是格點,

所以（1）中的N=n。同時，m=an\將以上數(shù)據(jù)代入（1）得

Ik〃a

ZR-]=an4-a^k3+n=n-\■—（〃-1）/（3〃+1）。----------25分

hiVa?=i4

§16排列,組合

i.排列組合題的求解策略

（1）排除：對有限條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況排除，這

是解決排列組合題的常用策略.

（2）分類與分步

有些問題的處理可分成若干類，用加法原理，要注意每兩類的交集為空集，所有各類的

并集是全集；有些問題的處理分成幾個步驟，把各個步驟的方法數(shù)相乘，即得總的方法數(shù)，

這是乘法原理.

（3）對稱思想：兩類情形出現(xiàn)的機會均等，可用總數(shù)取半得每種情形的方法數(shù).

（4）插空：某些元素不能相鄰或某些元素在特殊位置時可采用插空法.即先安排好沒

有限制條件的元素，然后將有限制條件的元素按要求插入到排好的元素之間.

（5）捆綁：把相鄰的若干特殊元素“捆綁”為一個“大元素”，然后與其它“普通元素”

全排列，然后再“松綁”，將這些特殊元素在這些位置上全排列.

（6）隔板模型：對于將不可辨的球裝入可辨的盒子中，求裝的方法數(shù)，常用隔板模型.如

將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個縫隙中任意插入3塊隔板，把球分

成4堆，分別裝入4個不同的盒子中的方法數(shù)應(yīng)為G：,這也就是方程。+力+c+d=12的

正整數(shù)解的個數(shù).

2.圓排列

（1）由4={6,。2，。3,…，?！眪的〃個元素中，每次取出一個元素排在一個圓環(huán)上，叫

做一個圓排列(或叫環(huán)狀排列).

(2)圓排列有三個特點：(i)無頭無尾；(ii)按照同一方向轉(zhuǎn)換后仍是同一排列；(iii)

兩個圓排列只有在元素不同或者元素雖然相同，但元素之間的順序不同，才是不同的圓排列.

(3)定理：在4=｛《,。2，。31,，/｝的〃個元素中，每次取出r個不同的元素進行圓

Pr

排列，圓排列數(shù)為一L.

r

3.可重排列

允許元素重復出現(xiàn)的排列，叫做有重復的排列.

在加個不同的元素中，每次取出〃個元素，元素可以重復出現(xiàn)，按照一定的順序那么

第一、第二、…、第〃位是的選取元素的方法都是“種，所以從“個不同的元素中，每次

取出n個元素的可重復的排列數(shù)為mn.

4.不盡相異元素的全排列

如果〃個元素中，有P1個元素相同，又有個元素相同，…，又有P,個元素相同

(Pi+P?+…+R,<n)t這〃個元素全部取的排列叫做不盡相異的〃個元素的全排列，

它的排列數(shù)是------------

Pj%!……P」

5.可重組合

(1)從〃個元素，每次取出p個元素，允許所取的元素重復出現(xiàn)1,2,…,〃次的組合叫

從〃個元素取出p個有重復的組合.

(2)定理：從〃個元素每次取出p個元素有重復的組合數(shù)為：H：=/g.

例題講解

1.數(shù)1447,1005,1231有某些共同點，即每個數(shù)都是首位為1的四位數(shù)，且每個四位數(shù)中恰

有兩個數(shù)字相同，這樣的四位數(shù)共有多少個？

2.有多少個能被3整除而又含有數(shù)字6的五位數(shù)？

3.有2〃個人參加收發(fā)電報培訓，每兩人結(jié)為一對互發(fā)互收，有多少種不同的結(jié)對方式?

4.將"+1個不同的小球放入〃個不同的盒子中，要使每個盒子都不空，共有多少種放法?

5.在正方體的8個頂點，12條棱的中點，6個面的中心及正方體的中心共27個點中，共線

的三點組的個數(shù)是多少個？

6.用8個數(shù)字1,1,7,7,8,8,9,9可以組成不同的四位數(shù)有多少個？

7.用五種顏色給正方體的各個面涂色，并使相鄰面必須涂不同的顏色，共有

多少種不同的涂色方式？

8.某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品（每只產(chǎn)品可區(qū)分），每次取一只測試，直到4只次品全

部測出為止.求最后一只次品在第五次測試時被發(fā)現(xiàn)的不同情形有多少種？

9.在平面上給出5個點，連結(jié)這些點的直線互不平行，互不重合，也互不垂直，過每點向

其余四點的連線作垂線，求這此垂線的交點最多能有多少個？

10.位政治家舉行圓桌會議，兩位互為政敵的政治家不愿相鄰，其入坐方法有多少種?

11.某城市有6條南北走向的街道，5條東西走向的街道.如果有人從城南北角（圖4點）

走到東南角中5點最短的走法有多少種？

12.用4個1號球，3個2號球，2個3號球搖出一個9位的獎號，共有多少種可能的號碼？

13.將7?個相同的小球，放入〃個不同的盒子(〃之〃).

(1)有多少種不同的放法？

(2)如果不允許空盒應(yīng)有多少種不同的放法？

14.8個女孩和25個男孩圍成一圈，任意兩個女孩之間至少站著兩個男孩.(只要把圓旋轉(zhuǎn)

一下就重合的排列認為是相同的)

課后練習

1.8次射擊，命中3次，其中愉有2次連續(xù)命中的情形共有()種

(A)15(B)30(C)48(D)60

2.在某次乒乓球單打比賽中，原計劃每兩名選手恰比賽一場，但有3名選手各比賽了

2場之后就退出了，這樣，全部比賽只進行了50場。那么，在上述3名選手之間比賽的場

數(shù)是()

(A)0(B)1(C)2(D)3

3.某人從樓下到樓上要走11級樓梯，每步可走1級或2級，不同的走法有()種

(A)144(B)121(C)64(D)81

4.從7名男乒乓球隊員，S名女乒乓球隊員中選出4名進行男女混合雙打，不同的分

組方法有()種

(A)2C；C；(B)4C；C；(C)P；P；(D)

5.有5分、1角、5角的人民幣各2枚、3張、9張，可組成的不同幣值(非0)有()

種

(A)79(B)80(C)88(D)89

6.從0,1,234,5,6,7,8,9這1C個數(shù)中取出3個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù)，不同的

取法有種

7.已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝中的3個不同的元素，

并且該直線的傾斜角為銳角，那么，這樣的直線的條數(shù)是.

8.設(shè)ABCDEF為正六邊形,一只青蛙開始在頂點4處，它每次可隨意地跳到相鄰兩頂

點之一.若在5次之內(nèi)跳到。點，則停止跳動；若5次之內(nèi)不能到達。點，則跳完5次也

停止跳動，那么這只青蛙從開始到停止，可能出現(xiàn)的不同跳法共種.

9.如果：(1)a,b,c,d都屬于｛1,2,3,4｝：(2)axb,b*c,"d#a；⑶。是。力,c,d中的最小值,

那么，可以組成的不同的四位數(shù)礪的個數(shù)是________.

10.在一個正六邊形的六個區(qū)域種植觀賞植物，要求同一塊中種同一種植物，相鄰的兩

塊種不同的植物?，F(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，則有種載種方案.

11.10人圍圓桌而，如果甲、乙二人中間相隔4人，有種坐法.

12.從1,2,3,…,19中，按從小到大的順序選?。?%，。3，為四個數(shù)，使得的一《之2,

a3-a2>3,〃4一。324.問符合上要求的不同取法有多少種？

13.8人圍張一張圓桌，其中A、3兩人不得相鄰，而8、C兩人以必須相鄰的不同

圍坐方式有多少種？

14.4對夫婦去看電影，8人坐成一排.若每位女性的鄰座只能丈夫或另外的女性，共

有多少種坐法？

高中數(shù)學奧林匹克競賽訓練題(02)

第一試

一、選擇題(本題滿分30分，每小題5分)

L(訓練題07)十個元素組成的集合.的所有非空子集記為，每一非空子集中所有元素的乘

積記為.則(C).

(A)0(B)1(C)-1(D)以上都不對

2.(訓練題072ABC的三個內(nèi)角依次成等差數(shù)列，三條邊上的高也依次成等差數(shù)列.則為

(B)

(A)等腰但不等邊三角形(B)等邊三角形(C)直角三角形(D)鈍角非等腰三角形

3.(訓練題07)對一切實數(shù)，不等式恒成立.則的取值范圍是(A)

(A)(B)(C)(D)

4.(訓練題07)若空間四點滿足，則這樣的三棱錐共有(A)個.

(A)0(B)1(C)2(D)多于2

5.(訓練題07)已知不等式時恒成立，則的取值范圍是(B)

(A)(B)(C)(D)

6.(訓練題。7)方程在復數(shù)集內(nèi)根的個數(shù)為.則(C)

(A)最大是2(B)最大是4(C)最大是6(D)最大是8

二、填空題(本題滿分30分，每小題5分)

1.(訓練題07)函數(shù)的值域是

2.(訓練題07)已知橢圓，焦點為,，為橢圓上任意一點(但點不在x軸上)，的內(nèi)心為，過

作平行于軸的直線交于.則.

3.(訓練題07)為的三個內(nèi)角，

且.則.

4.（訓練題07）實數(shù)滿足.則的最小值是—.

5.（訓練題07）在一次足球冠軍賽中，要求每一隊都必須同其余的各個隊進行一場比賽，每

場比賽勝隊得2分，平局各得1分，敗隊得。分.己知有一隊得分最多，但它勝的場次比任

何一隊都少.若至少有隊參賽，則=_6—.

6.（訓練題07）若是一個完全平方數(shù)，則自然數(shù)14

三、（訓練題07）（本題滿分20分）若正三棱錐底面的一個頂點與其所對側(cè)面的重心距離為

4,求這個正三棱錐的體積的最大值.（18）

四、（訓練題07）（本題滿分20分）一個點在軸上運動的速度為2米/秒，在平面其它地方速

度為1米/秒.試求該點由原點出發(fā)在1秒鐘內(nèi)所能達到的區(qū)域的邊界線.

五、（訓練題07）（本題滿分20分）已知為虛數(shù)，且是方程的實根.求實數(shù)的取值范圍.（）

第二試

一、（訓練題07）（本題滿分20分）在中，為邊上的任一點，于，于，交于.

求證：.

二、（訓練題07）（本題滿分35分）用個數(shù)（允許重復）組成一個長為的數(shù)列，且.證明：可

在這個數(shù)列中找出若干個連續(xù)的項，它們的乘積是一個完全平方數(shù).

三、（訓練題。乃（本題滿分35分）空間中有100個點，其中每四點都不在同一平面上，每

三點都不在同一條直線上，每一點都與其它33點連紅線，與另33點連黃線，與最后的33

點連藍線.證明：一定會出現(xiàn)一個三邊均不同色的三角形.

§18直線和圓，圓錐曲線

課后練習

1.已知點A為雙曲線/—>2=1的左頂點，點B和點C在雙曲線的右支上，AABC是等

邊三角形，則A4BC"的面積是

（A）——（B）（C）3-^3（D）6,\/3

32

54

2.平面上整點（縱、橫坐標都是整數(shù)的點）到直線y=+］的距離中的最小值是

（A）熹（B）嚕（C）5

（D）—

30

3.若實數(shù)x,y滿足(x+5尸+(y-12?=142,則x若y?的最小值為

(A)2(B)l(C)V3(D)V2

4.直線±+上=1橢圓二+匕=1相交于A,B兩點，該圓上點P,使得,PAB面積等于3,

43169

這樣的點P共有

（A）l個（B）2個（C）3個1D）4個

5.設(shè)a,b￡R,abWO,那么直線ax—y+b=O和曲線以2+叩2=。^的圖形是

6.過拋物線y2=8（x+2）的焦點F作傾斜角為60。的直線，若此直線與拋物線交于4、8兩點,

弦A8的中垂線與x軸交于P點，則線段PF的長等于

7.方程一產(chǎn)——尸+——尸---尸=1表示的曲線是

sinV2-sinV3cosV2-cosV3

A.焦點在x軸上的橢圓B.焦點在x軸上的雙曲線

C.焦點在y軸上的橢圓D.焦點在y軸上的雙曲線

8.在橢圓三十4=1（。）6）0）中，記左焦點為F,右頂點為A,短軸上方的端點為B。

a2b2

若該橢圓的離心率是叵1，則

2

9.設(shè)凡，&是橢圓工+匕=1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且|PFi|：\PF2\=2：1,則

94

三角形APF1F2的面積等于.

10.在平面直角坐標系XOY中，給定兩點M（-1,2）和N（1,4）,點P在X軸上移動，

當NMRV取最大值時，點P的橫坐標為。

11.若正方形ABCD的一條邊在直線y=2x—17上，另外兩個頂點在拋物線>=/上則該

正方形面積的最小值為.

22

12.已知G）:冗2+）?=1和C"J+4=］（4>b>（））。試問：當且僅當。力滿足什么

aLbL

條件時，對G任意一點P，均存在以P為頂點、與c（）外切、與G內(nèi)接的平行四邊形？并證

明你的結(jié)論。

2

13.設(shè)曲線+>2=1（a為正常數(shù)）與C2：y2=2（x+m）在x軸上方公有一個公共點P。

a

（1）實數(shù)m的取值范圍（用a表示）:

⑵。為原點，若J與x軸的負半軸交于點A'當。卬;時，試求，。AP的面積的最大值

(用a表示)。

14.已知點A(0,2)和拋物線丁=x+4上兩點B,C使得A8_L8C,求點C的縱坐標的取

值范圍.

15.一張紙上畫有半徑為R的圓。和圓內(nèi)一定點4且OA=a.拆疊紙片，使圓周上某一點

卬剛好與4點重合，這樣的每一種拆法，都留下一條直線折痕，當卬取遍圓周上所有點時,

求所有折痕所在直線上點的集合.

4

16.(04,14)在平面直角坐標系xoy中,給定三點A(0,-),B(T,0),C(l,0),點P到直線

3

BC的距離是該點到直線AB,AC距離的等比中項。

(I)求點P的軌跡方程；

(II)若直線L經(jīng)過AA8C的內(nèi)心(設(shè)為D),且與P點的軌跡恰好有3個公共點，求L的

斜率k的取值范圍。

17.過拋物線y=/上的一點A(1,1)作拋物線的切線，分別交x軸于D,交y軸于B.點C

ApRF

在拋物線上，點E在線段AC上，滿足生=4；點F在線段BC上，滿足包=入，且

EC1FC2

4+4=1,線段CD與EF交于點P.當點C在拋物線上移動時，求點P的軌跡方程.

課后練習答案

026

l.C2.B3.B4.B5.B6.A7.C8.9009.-------

3

10.設(shè)橢圓的長軸、短軸的長及焦矩分別為2。、2b、2c,則由其方程知a=3,b=2,c=卡,

故，|PFi|+|PF2|=2a=6,又已知［PFi|：|PF2|=2：1,故可得|PFi|=4,\PF2\=2.在△PRF?

中，三邊之長分別為2,4,2石，而22+42=(2后/，可見是直角三角形，且兩直

角邊的長為2和4,故△PFF2的面積=4.

11.解：經(jīng)過M、N兩點的圓的圓心在線段MN的垂直平分線y=3—x上，設(shè)圓心為

S(a,3-a),則圓S的方程為：(x-?)2+(y-3+a)2=2(l+a2)

對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當

NMPN取最大值時，經(jīng)過M,N.P三點的圓S必與X軸相切于點P,即圓S的方程中的a

值必須滿足2(1+/)=(。-3尸，解得3=1或a=-7o

即對應(yīng)的切點分別為尸(1,0)和P'(—7,0),而過點M,N,p'的圓的半徑大于過點M,

N,P的圓的半徑，所以/MPN〉NMP'N,故點P(1,0)為所求，所以點P的橫坐標

為1。

12.解：設(shè)正方形的邊AB在直線y=2x77上，而位于拋物線上的兩個頂點坐標為

C（M，X）、。區(qū),為），則CD所在直線/的方程y=2x+b,將直線/的方程與拋物線方程

聯(lián)立，得/=2x+b=xi2=1±Jb+1.

令正方形邊長為4,則/=（%一/了+（必一為尸=5區(qū)一X2）2=203+l）.①

在y=2x-17上任取一點（6,,5）,它到直線y=2x+6的距離為「.a=”慕如②.

①、②聯(lián)立解得仿=3也=63..?/=80,或〃2=]280.〃丸二地

13.利用極坐標解決：以坐標原點為極點，x軸為極軸建立極坐標系，則橢圓的極坐標方程為

顯知此平行四邊形ABCD必為菱形，設(shè)A（Q,e）,則B（P2,900+6）

代入（1）式相加：工+工二[十]

Pl2P2/必

由于該菱形必與單位圓相切，故原點到AB的距離為1,

/221tHi1.11

p\p\=1t,+p2?從而一yH---y=1?-yH—y=

P\Piab

____y_=]

222

14.解：⑴由、消去y得：x2^2ax+2am-a=0①

y2=2（x+m）

設(shè)/*）=，+2〃2工+2。2加-々2,問題⑴化為方程①在x￡（一m。）上有唯一解或等根.

只需討論以下三種情況：

1°△=（）得：加二幺:1,此時xp=—/,當且僅當一aV—Mva,即OVaVl時適

2

2°/(a)/(—a)<0,當且僅當一aVmVa；

3°/(—。)=0得m=a,此時Xp=a—2(j2,當且僅當一aV。-2a2<o,即OVaVl時適

/（。）=0得m=-。，此時Xp=一。一2。2,由于一。一2。2<一0,從而mW-a.

+1

綜上可知，當OVaVl時，m=-----或一aVmWa；

2

當。21時，一a<mVa.

⑵△OAP的面積S=:。力

V0<a<一，故一時，0V-a，+。J”？+1-2mVa,

2

由唯一性得Xp=-a2+a>Ja2+\-2m

顯然當m=a時，Xp取值最小.由于xp>0,從而以=J1-飛■取值最大，此時

22

yp=2va-a,S=a>Ja-a.

22

當tn=0；1時,xp=—a>yp=yl\—a,此時S=-a).

下面比較ay/a-a2與—a^\-a2的大小：

2

令a^]a-a2=—a^]-a2,得a=工

23

222

故當OVaW，時，a>la-aW—ayl\-a,此時S,nia=—ay1\-a.

322

221

當Lvav■!■時，ay/a-a>—ayli-a，此時Smat=a^a-a.

322

15.解：設(shè)B點坐標為(城一4,必)，。點坐標為(/一4,)，).

顯然y；-4w0，故kAB=-4~--――

Ji-4必+2

由于AB_L8C,所以怎C=TM+2)

11不1'=必=一(M+2)次-()/-4)]

從而〈，消去“注意到丁。必得:

y=x+4

(2+yXy+y)+l=0=y；+2(2+丁)必+(2y+l)=0

由ANO解得：y?0或y24.

當y=0時，點B的坐標為(一3,-1)；當)，=4時，點5的坐標為(5,-3),均滿足是題

意.故點C的縱坐標的取值范圍是y40或yN4.

16.解：如圖，以。為原點，OA所在直線為x軸建立直角坐標系，則有4。，0).設(shè)折疊時,

。0上點卬(Reosa,Rsina)與點A重合,而折痕為直線MN,則MN為線段AV的中垂線.設(shè)

P(x,y)為MN上任一點，則IWI=I%I5分

(x-Rcosa)2+(y-Rsin)2=(x-a)2+y2

即27?(.rcosa+ysina)=R?_+2aleIQ分

.xcosa+ysina_R2-a2+2ax

yjx2+y22R&2+J

可得：sin(or+^)=—~"+2""(sin6=-yX,co3=/))

2Ryjx2+y2yjx2+y2yl^+y2

:W1(此不等式也可直接由柯西不等式得到)15分

2岫2+y2

平方后可化為

\X---)2

即所求點的集合為橢圓圓一丁一+F^------=1外(含邊界)的部分.20

哆)2

分

44

17.解：(I)直線AB.AC.BC的方程依次為y=-(x+l),y=--(x-l),y=0。點尸(x,y)

到AB、AC、BC的距離依次為4二2|4x-3y+4|,&=2|4x+3y-4|，4=|y|。依設(shè)，

4d2=4，得116/-(3丁—4)2|=25/，即

16x2-(3y-4)2+25/=0,或16父-(3y-4)2-25/=0,化簡得點P的軌跡方程為

圓S：2爐+29+3^—2=0與雙曲線T:8x2-17_/+i2y-8=0

(II)由前知，點P的軌跡包含兩部分

圓S：2x2+2/+3y-2=0①

與雙曲線T：8x2-17y2+12y-8=0②

因為B(—l,0)和C(L0)是適合題設(shè)條件的點，所以點B和點C在點P的軌跡上，且

點P的軌跡曲線S與T的公共點只有B、C兩點。

△A5C的內(nèi)心D也是適合題設(shè)條，’牛的點，由&=4=4,解得。(0—)，且知它在圓S上。

直線L經(jīng)過D,且與點P的軌跡有3個公共點，所以，L的斜率存在，設(shè)L的方