第五章固體電子論基礎(chǔ)

第五章1900年左右，特魯?shù)率紫忍岢觯航饘僦械膬r(jià)電子可以在金屬體內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)，如同理想氣1928年，索末菲提出金屬自由電子論的量子理論，認(rèn)為金屬內(nèi)的勢(shì)場(chǎng)是[本章重點(diǎn)§5-1

2

V E （5-1- ψ（r）電子的波函數(shù)，E是電子總能量，m是電子的有效質(zhì)量，V(r)是電子的勢(shì)能，在這里是一個(gè)

E （5-1- （5-1-A （5-1-4AL2

2………………（5-1-ψrV （5-1-E

（5-1- ψ（r） ψ（x,y,z）=ψ（x+L,y,z）=ψ（x,y+L,z）=ψ（x,y, （5-1-8，得：eikgreikgreikxgLeikgreikygLeikgreikzeikxgLeikygLeikzgLkn

n

（5-1- x

,

L, znx,ny,nz=0,±1,±2,將（5-1-9）代入（5-1-7）h2k

E2m2m(kxkykz)2mL(nxnynz （5-1-式（5-1-10）即為自由電子的能量表達(dá)式，每一組量子數(shù)（nxnynz）kh2k的電子具有確定的動(dòng)量?k及確定的能 v

kxkykz為坐標(biāo)軸建立起波矢空間（k空間圖5-1- 狀態(tài)代表點(diǎn)在k空間中的分

則每一個(gè)電子的本9）5-1-1k圖中示出kxkykz軸的兩個(gè)相鄰代表點(diǎn)之9就是2π/L。可見，狀態(tài)代表點(diǎn)在k空間中的分布是均勻的，每個(gè)點(diǎn)所占的k空間體積是k從自由電子能量有表達(dá)式（5-1-10）k2k2k2 （5-1- k

在。這些同心的球面稱作電子的等能面E~E+dE之間時(shí)，k空間中相應(yīng)的等能面半徑則k~k+dkE~E+dE之間電4πk2dkdZ是：dZ

（5-1-根據(jù)式（5-1-7）k2dk

（5-1- h22m 2 （5-1-h這里若定義能態(tài)密度函數(shù)N(E)

……………………（5-1-根據(jù)（5-1-14）和（5-1-15）2m 2E （5-1-h2m 2E （5-1-hEf(E)

e

…………（5-1-實(shí)際上，EF是系統(tǒng)中電子的化學(xué)勢(shì)。f(E)E~E+dEN(E)dEE~E+dEdN。這樣，N就可表示為：0f(E)N(E)dE （5-1-f(E)EFEFT=0KT≠0K是第一種情況：T=0KE0EE0時(shí)，f(E) ekBT

E0E0所以，f(E)=1E0 E>EF0ekBTf(E)=0E0E0 2（bT=0K（5-1-19）式就變成：FN(E)dE （5-1-以自由電子的能態(tài)密度（5-1-17） 0N 2EF （5-1-3h

3n EF2m

…………（5-1-n=N/V是單體積中的電子數(shù)——電子濃度，一般約為1028m3E0E0

1

EdN

FEN(E)dE

3E （5-1-N N f

圖5-1-2（a）f(E)~E的關(guān)系曲線(b)四、T≠0KT≠0KkBT

EF EEkTe EEF

=1EE0kTekBT

1，因此，f(E)≈0 5-1-2（a）f(E)—Ef(E)T=0K→TKE0kTE0（5-1- （b以（5-1-17）和（5-1-18）式代入（5-1-19）

E2h2

……………（5-1- ekBTx

，則（5-1-24）

F （5-1-

（5-1-

f(x)dxkBT=EF）的情況，F(xiàn)（α）

f

（5-1-

f(x)

exα n

(n

L （5-1- Lα>>1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂很快，可取前兩項(xiàng)，并以此代入（5-1-25）8πV2mkT2

2

π2kT2N B

F

B3

kBT

8

22，可得： π2kT2EE0 B （5-1- F

12

的等能面稱為米面。對(duì)于自由電子，費(fèi)米面是球面，球半徑為kF

E

E2

4π2m2

（5-1-N

Nh20exα nh2 x

（α）n=3/2代入（5-1-27） 5

8 8

22E8π2m2E5215kBTπ

……………………（5-1-5nh2

8

E0代表（5-1-30）

，并以（5-1-28） EE0 B （5-1- F

12

TKT=0K時(shí)電子的平均動(dòng)能，第二項(xiàng)是與溫度有五、電子的熱容CeN個(gè)電子，則根據(jù)熱容的定義式

ETT

C kBT NkB

0 （5-1-F式中 2E0

稱為金屬的電子比熱容。上式（5-1-32）表明，電子的熱容與溫度成正比，但由于kT=E0，所以，電子氣的熱容Ce是比較小的。這個(gè)結(jié)果與經(jīng)典理論的結(jié)果Ce3

5-20KTKEF

Nk(

)3bT

……………………（5-1-其中b

3NkBCe kTV BD

…………（5-1-Ca 24π2E0T 上式表明，隨著溫度下降，比值CeCa 在液氦溫度下Ce與Ca CCeCaγTbT （5-1- （5-1-也就是說(shuō)，只要從實(shí)驗(yàn)上測(cè)