浙江省寧波市慈溪市三山高級中學(xué)等六校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題含解析

浙江省寧波市慈溪市三山高級中學(xué)等六校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中國古代，人們用圭表測量日影長度來確定節(jié)氣，一年之中日影最長一天被定為冬至.從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水，清明日影長之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為（）A.25.5尺 B.34.5尺C.37.5尺 D.96尺2．設(shè)圓：和圓：交于A，B兩點，則線段AB所在直線的方程為（）A. B.C. D.3．若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A.y=±2x B.y=C. D.4．已知向量與平行，則（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)，則等于（）A.0 B.2C. D.6．已知數(shù)列滿足，令是數(shù)列的前n項積，，現(xiàn)給出下列四個結(jié)論：①；②為單調(diào)遞增的等比數(shù)列；③當時，取得最大值；④當時，取得最大值其中所有正確結(jié)論的編號為（）A.②④ B.①③C.②③④ D.①③④7．已知是拋物線上的點，F(xiàn)是拋物線C的焦點，若，則（）A.1011 B.2020C.2021 D.20228．【2018江西撫州市高三八校聯(lián)考】已知雙曲線(，)與拋物線有相同的焦點，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線交于點，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.9．在中國共產(chǎn)黨建黨100周年之際,廣安市某中學(xué)組織了“黨史知識競賽”活動,已知該校共有高中學(xué)生1000人,用分層抽樣的方法從該校高中學(xué)生中抽取一個容量為25的樣本參加活動,其中高二年級抽取了8人,則該校高二年級學(xué)生人數(shù)為()A.960 B.720C.640 D.32010．在中國古代，人們用圭表測量日影長度來確定節(jié)氣，一年之中日影最長的一天被定為冬至.從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水，清明日影長之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為（）A.25.5尺 B.34.5尺C.37.5尺 D.96尺11．已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，則的值為（）A.3 B.6C.9 D.3612．據(jù)記載，歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，該公式被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”特別是當時，得到一個令人著迷的優(yōu)美恒等式，將數(shù)學(xué)中五個重要的數(shù)（自然對數(shù)的底，圓周率，虛數(shù)單位，自然數(shù)的單位和零元）聯(lián)系到了一起，有些數(shù)學(xué)家評價它是“最完美的數(shù)學(xué)公式”.根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)的虛部（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，直線l過點F與拋物線C交于A，B兩點，以F為圓心的圓交線段AB于C，D兩點（從上到下依次為A，C，D，B），若，則該圓的半徑r的取值范圍是____________.14．日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過凈化的.隨著水的純凈度的提高，所需凈化費用不斷増加.已知將噸水凈化到純凈度為時所需費用（單位：元）為.則凈化到純凈度為時所需費用的瞬時變化率是凈化到純凈度為時所需費用的瞬時變化率的___________倍，這說明，水的純凈度越高，凈化費用增加的速度越___________（填“快”或“慢”）.15．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，第1，2項與第10，11項的和為68，則數(shù)列的通項公式是________.16．已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f（1）＝3，且f(x)的導(dǎo)數(shù)在R上恒有<2(x∈R)，則不等式f(x)<2x＋1的解集為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，，.（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在一點，使直線與平面所成角的正弦值等于？18．（12分）已知橢圓上的點到橢圓焦點的最大距離為3，最小距離為1（1）求橢圓的標準方程；（2）已知，分別是橢圓的左右頂點，是橢圓上異于，的任意一點，直線，分別交軸于點，，求的值19．（12分）已知拋物線上任意一點到焦點F最短距離為2，（1）求拋物線C的方程；（2）過焦點F的直線，互相垂直，且與C分別交于A，B，M，N四點，求四邊形AMBN面積的最小值20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，.（1）證明：平面平面；（2）若，為棱的中點，，，求二面角的余弦值21．（12分）已知圓，直線（1）求證：直線與圓恒有兩個交點；（2）設(shè)直線與圓的兩個交點為、，求的取值范圍22．（10分）已知圓內(nèi)有一點，過點作直線交圓于、兩點（1）當經(jīng)過圓心時，求直線的方程；（2）當弦的長為時，求直線的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由題意可知，十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，設(shè)冬至日的日影長為尺，公差為尺，利用等差數(shù)列的通項公式，求出，即可求出，從而得到答案【詳解】設(shè)從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列{}，如冬至日的日影長為尺，設(shè)公差為尺.由題可知，所以，，，，故選：A2、A【解析】將兩圓的方程相減，即可求兩圓相交弦所在直線的方程.【詳解】設(shè)，因為圓：①和圓：②交于A，B兩點所以由①-②得：,即，故坐標滿足方程，又過AB的直線唯一確定，即直線的方程為.故選：A3、B【解析】雙曲線的離心率為，漸進性方程為，計算得，故漸進性方程為.【考點定位】本小題考查了離心率和漸近線等雙曲線的性質(zhì).4、D【解析】根據(jù)兩向量平行可求得、的值，即可得出合適的選項.【詳解】由已知，解得，，則.故選：D.5、D【解析】先通過誘導(dǎo)公式將函數(shù)化簡，進而求出導(dǎo)函數(shù)，然后算出答案.【詳解】由題意，，故選：D.6、B【解析】求出，即可判斷選項①正確；求出，即可選項②錯誤；求出，利用單調(diào)性即可判斷選項③正確；求出，即可判斷選項④錯誤，即得解.【詳解】解：因為，①所以，，②①②得，，整理得，又，滿足上式，所以，因為，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以，故①正確；，因為，故數(shù)列為等比數(shù)列，其中首項，公比為的等比數(shù)列，因為，，所以數(shù)列為遞減的等比數(shù)列，故②錯誤；，因為為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當最大時，有最大值，因為，所以時，最大，即時，取得最大值，故③正確；設(shè)，由可得，，解得或，又因為，所以時，取得最大值，故④錯誤；故選：B7、C【解析】結(jié)合向量坐標運算以及拋物線的定義求得正確答案.【詳解】設(shè)，因為是拋物線上的點，F(xiàn)是拋物線C的焦點，所以，準線為：，因此，所以，即，由拋物線的定義可得，所以故選：C8、C【解析】由題意可知，拋物線的焦點坐標為，準線方程為，由在拋物線的準線上，則，則，則焦點坐標為，所以，則，解得，雙曲線的漸近線方程是，將代入漸近線的方程，即，則雙曲線的離心率為，故選C.9、D【解析】由分層抽樣各層成比例計算即可【詳解】設(shè)高二年級學(xué)生人數(shù)為,則,解得故選:D10、A【解析】由題意可知，十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，設(shè)冬至日的日影長為尺，公差為尺，利用等差數(shù)列的通項公式，求出，即可求出，從而得到答案【詳解】設(shè)從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列{}，如冬至日的日影長為尺，設(shè)公差為尺.由題可知，所以，，，，故選：A11、C【解析】應(yīng)用等比中項的性質(zhì)有，結(jié)合已知求值即可.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)知：，，，所以，又，所以.故選：C12、D【解析】由歐拉公式的定義和復(fù)數(shù)的概念進行求解.【詳解】由題意，得，則復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)出直線的方程為，代入拋物線方程，消去，可得關(guān)于的二次方程，運用韋達定理及拋物線的定義，化簡計算可求解.【詳解】拋物線C：y2=8x的焦點為,設(shè)以為圓心的圓的半徑為，可知，，設(shè)，直線的方程為，則，代入拋物線方程，可得，即有，，，，即，所以.故答案為：14、①.②.快【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念可知凈化所需費用的瞬時變化率即為函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，即先對函數(shù)求導(dǎo)，然后將和代入進行計算，再求，即可得到結(jié)果，進而能夠判斷水的純凈度越高，凈化費用增加的速度的快慢【詳解】由題意，可知凈化所需費用的瞬時變化率為，所以，，所以，所以凈化到純凈度為時所需費用的瞬時變化率是凈化到純凈度為時所需費用的瞬時變化率的倍；因為，可知水的純凈度越高，凈化費用增加的速度越快.故答案為：，快.15、【解析】利用基本量結(jié)合已知列方程組求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為由題可知即因為，所以解得：所以.故答案為：16、【解析】構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－2x－1，則原不等式可化為.利用導(dǎo)數(shù)判斷出g(x)在R上為減函數(shù)，直接利用單調(diào)性解不等式即可【詳解】令g(x)＝f(x)－2x－1，則g（1）＝f（1）－2－1＝0.所以原不等式可化為.因為，所以g(x)在R上為減函數(shù).由解得：x>1.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳解解析；（2）存在.【解析】（1）利用勾股定理證得，結(jié)合線面垂直的判定定理即可證得結(jié)論；（2）以A為原點建立空間直角坐標系，設(shè)點，，求得平面的法向量，利用已知條件建立關(guān)于的方程，進而得解.【小問1詳解】取中點為，連接，在中，，，，又，，所以，又，，而，所以，又，，，又，，平面.【小問2詳解】以A為坐標原點，以為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標系，則，，，，設(shè)點，因為點F在線段上，設(shè)，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，則，設(shè)直線CF與平面所成角為，，解得或（舍去），，此時點F是的三等分點，所以在線段上是存在一點，使直線與平面所成角的正弦值等于.18、（1）；（2）-1.【解析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)進行求解即可；（2）根據(jù)直線的方程，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標表示公式進行求解即可.【小問1詳解】由題意得，，，所以，橢圓.【小問2詳解】由題意可知，，設(shè)，則，直線，直線分別令得，，，.【點睛】關(guān)鍵點睛：運用平面向量數(shù)量積的坐標表示公式進行求解是解題的關(guān)鍵.19、（1）（2）128【解析】（1）設(shè)拋物線上任一點為，由可得答案.（2）由題意可知，的斜率k存在且不為0,設(shè)出其方程并與拋物線方程聯(lián)立，得出韋達定理，從而得出弦長的表達式，同理得出弦長的表達式，進而得出四邊形AMBN面積的不等式，從而求出其最小值.【小問1詳解】設(shè)拋物線上任一點為，則，所以當時，，又∵，∴，即所以拋物線C的方程為【小問2詳解】設(shè)交拋物線C于點，,交拋物線C于點，由題意可知，的斜率k存在且不為0設(shè)的方程為由，得，同理可得，，當且僅當時，即時，等號成立∴四邊形AMBN面積的最小值為12820、（1）見解析；（2）【解析】分析：（1）由四邊形為矩形，可得，再由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得平面，進一步得到，再由，利用線面垂直的判定定理可得面，即可證得平面；（2）取的中點，連接，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，由題得，解得.進而求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.詳解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PB.∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD.∵PB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.（2）設(shè)BC中點為,連接，，又面面，且面面，所以面.以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系.由（1）知PB⊥平面PCD，故PB⊥，設(shè)，可得所以由題得，解得.所以設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.則，所以二面角的余弦值為.點睛：本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴密推理，明確角的構(gòu)成.同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)直線的方程可得直線經(jīng)過定點，而點到圓心的距離小于半徑，故點在圓的內(nèi)部，由此即可證明結(jié)果（2）由圓的性質(zhì)可知，當過圓心時，取最大值，當和過的直徑垂直時，取最小值，由此即可求出結(jié)果.【小問1詳解】證明：由于直線，即令，解得，所以