2025屆山西省大同市第一中學高三數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題含解析

2025屆山西省大同市第一中學高三數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)的虛部為（）A．—1 B．—3 C．1 D．22．已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A．45 B．42 C．25 D．363．已知滿足，，,則在上的投影為（）A． B． C． D．24．將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，如果在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么實數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．5．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有勾六步，股八步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機取一點，則此點取自內(nèi)切圓的概率是（）A． B． C． D．6．設(shè)雙曲線（a>0,b>0）的右焦點為F，右頂點為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點，過B,C分別作AC，AB的垂線交于點D．若D到直線BC的距離小于，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是（）A．B．C．D．7．在平面直角坐標系中，已知是圓上兩個動點，且滿足，設(shè)到直線的距離之和的最大值為，若數(shù)列的前項和恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．是正四面體的面內(nèi)一動點，為棱中點，記與平面成角為定值，若點的軌跡為一段拋物線，則（）A． B． C． D．9．設(shè)m，n為直線，、為平面，則的一個充分條件可以是()A．，， B．，C．， D．，10．如圖，棱長為的正方體中，為線段的中點，分別為線段和棱上任意一點，則的最小值為（）A． B． C． D．11．某設(shè)備使用年限x（年）與所支出的維修費用y（萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)分別為，，，，由最小二乘法得到回歸直線方程為，若計劃維修費用超過15萬元將該設(shè)備報廢，則該設(shè)備的使用年限為（）A．8年 B．9年 C．10年 D．11年12．記其中表示不大于x的最大整數(shù)，若方程在在有7個不同的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是定義在上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．若時，，則不等式的解集是___________．14．在平面直角坐標系中，點的坐標為，點是直線：上位于第一象限內(nèi)的一點．已知以為直徑的圓被直線所截得的弦長為，則點的坐標__________．15．已知函數(shù)函數(shù)，則不等式的解集為____．16．已知等差數(shù)列的前項和為，且，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)，求證：；（Ⅲ）若對于恒成立，求的最大值．18．（12分）山東省2020年高考將實施新的高考改革方案.考生的高考總成績將由3門統(tǒng)一高考科目成績和自主選擇的3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目成績組成，總分為750分.其中，統(tǒng)一高考科目為語文、數(shù)學、外語，自主選擇的3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目是從物理、化學、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目，語、數(shù)、外三科各占150分，選考科目成績采用“賦分制”，即原始分數(shù)不直接用，而是按照學生分數(shù)在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最后得分.根據(jù)高考綜合改革方案，將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8個等級。參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等級考試科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級成績.舉例說明.某同學化學學科原始分為65分，該學科C+等級的原始分分布區(qū)間為58～69，則該同學化學學科的原始成績屬C+等級.而C+等級的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為61～70，那么該同學化學學科的轉(zhuǎn)換分為：設(shè)該同學化學科的轉(zhuǎn)換等級分為x，69-6565-58=70-x四舍五入后該同學化學學科賦分成績?yōu)?7.（1）某校高一年級共2000人，為給高一學生合理選科提供依據(jù)，對六個選考科目進行測試，其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布ξ～N(60,12（i）若小明同學在這次考試中物理原始分為84分，等級為B+，其所在原始分分布區(qū)間為82～93，求小明轉(zhuǎn)換后的物理成績；（ii）求物理原始分在區(qū)間(72,84)的人數(shù)；（2）按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取4人，記X表示這4人中等級成績在區(qū)間[61,80]的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.（附：若隨機變量ξ～N(μ,σ2)，則Pμ-σ<ξ<μ+σ=0.68219．（12分）某芯片公司為制定下一年的研發(fā)投入計劃，需了解年研發(fā)資金投入量x（單位：億元）對年銷售額y（單位：億元）的影響.該公司對歷史數(shù)據(jù)進行對比分析，建立了兩個函數(shù)模型:①y=α+βx2，②y=eλx+t，其中現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量xi和年銷售額yi的數(shù)據(jù)，i=1,2,?,12，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了右側(cè)的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．令xyi=1i=1uv20667702004604.20i=1i=1i=1i=13125000215000.30814（1）設(shè)ui和yi的相關(guān)系數(shù)為r1，xi和（2）（i）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（ii）若下一年銷售額y需達到90億元，預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量x是多少億元？附：①相關(guān)系數(shù)r=i=1n(xi-x②參考數(shù)據(jù)：308=4×77，90≈9.4868，e20．（12分）已知橢圓，左、右焦點為，點為上任意一點，若的最大值為3，最小值為1.（1）求橢圓的方程；（2）動直線過點與交于兩點，在軸上是否存在定點，使成立，說明理由.21．（12分）已知直線是曲線的切線.（1）求函數(shù)的解析式，（2）若，證明:對于任意，有且僅有一個零點.22．（10分）（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）在平面直角坐標系，已知曲線（為參數(shù)），在以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中，直線的極坐標方程為．（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；（2）過點且與直線平行的直線交于，兩點，求點到，的距離之積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

對復(fù)數(shù)進行化簡計算，得到答案.【詳解】所以的虛部為故選B項.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的計算，虛部的概念，屬于簡單題.2、D【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,進而代入等差數(shù)列的前項和的公式即可.【詳解】由題,.故選:D【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的前項和.3、A【解析】

根據(jù)向量投影的定義，即可求解.【詳解】在上的投影為.故選:A【點睛】本題考查向量的投影，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)條件先求出的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.【詳解】將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則，設(shè)，則當時，，，即，要使在區(qū)間上單調(diào)遞減，則得，得，即實數(shù)的最大值為，故選：B.【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖象變換，考查根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，屬于中檔題.5、C【解析】

利用直角三角形三邊與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系求出半徑，再分別求出三角形和內(nèi)切圓的面積，根據(jù)幾何概型的概率計算公式，即可求解.【詳解】由題意，直角三角形的斜邊長為，利用等面積法，可得其內(nèi)切圓的半徑為，所以向次三角形內(nèi)投擲豆子，則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率為.故選：C.【點睛】本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計算問題，其中解答中熟練應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)，求得其內(nèi)切圓的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.6、A【解析】

由題意,根據(jù)雙曲線的對稱性知在軸上，設(shè)，則由得：，因為到直線的距離小于，所以，即，所以雙曲線漸近線斜率，故選A．7、B【解析】

由于到直線的距離和等于中點到此直線距離的二倍，所以只需求中點到此直線距離的最大值即可。再得到中點的軌跡是圓，再通過此圓的圓心到直線距離，半徑和中點到此直線距離的最大值的關(guān)系可以求出。再通過裂項的方法求的前項和，即可通過不等式來求解的取值范圍.【詳解】由，得，.設(shè)線段的中點，則，在圓上，到直線的距離之和等于點到該直線的距離的兩倍，點到直線距離的最大值為圓心到直線的距離與圓的半徑之和，而圓的圓心到直線的距離為，，，..故選：【點睛】本題考查了向量數(shù)量積，點到直線的距離，數(shù)列求和等知識，是一道不錯的綜合題.8、B【解析】

設(shè)正四面體的棱長為，建立空間直角坐標系，求出各點的坐標，求出面的法向量，設(shè)的坐標，求出向量，求出線面所成角的正弦值，再由角的范圍，結(jié)合為定值，得出為定值，且的軌跡為一段拋物線，所以求出坐標的關(guān)系，進而求出正切值．【詳解】由題意設(shè)四面體的棱長為，設(shè)為的中點，以為坐標原點，以為軸，以為軸，過垂直于面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則可得，，取的三等分點、如圖，則，，，，所以、、、、，由題意設(shè)，，和都是等邊三角形，為的中點，，，，平面，為平面的一個法向量，因為與平面所成角為定值，則，由題意可得，因為的軌跡為一段拋物線且為定值，則也為定值，，可得，此時，則，.故選：B.【點睛】考查線面所成的角的求法，及正切值為定值時的情況，屬于中等題．9、B【解析】

根據(jù)線面垂直的判斷方法對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】對于A選項，當，，時，由于不在平面內(nèi)，故無法得出.對于B選項，由于，，所以.故B選項正確.對于C選項，當，時，可能含于平面，故無法得出.對于D選項，當，時，無法得出.綜上所述，的一個充分條件是“，”故選：B【點睛】本小題主要考查線面垂直的判斷，考查充分必要條件的理解，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

取中點，過作面，可得為等腰直角三角形，由，可得，當時，最小，由，故，即可求解.【詳解】取中點，過作面，如圖：則，故，而對固定的點，當時，最?。藭r由面，可知為等腰直角三角形，，故.故選：D【點睛】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.11、D【解析】

根據(jù)樣本中心點在回歸直線上，求出，求解，即可求出答案.【詳解】依題意在回歸直線上，，由，估計第年維修費用超過15萬元.故選:D.【點睛】本題考查回歸直線過樣本中心點、以及回歸方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

做出函數(shù)的圖象，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象在有7個交點，而函數(shù)在上有3個交點，則在上有4個不同的交點，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知方程在上有3個不同的實數(shù)根，則在上有4個不同的實數(shù)根，當直線經(jīng)過時，；當直線經(jīng)過時，，可知當時，直線與的圖象在上有4個交點，即方程，在上有4個不同的實數(shù)根.故選:D.【點睛】本題考查方程根的個數(shù)求參數(shù)，利用函數(shù)零點和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點是解題的關(guān)鍵，運用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)零點問題的基本思想，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

構(gòu)造，先利用定義判斷的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合奇偶性，單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】令，則是上的偶函數(shù)，，則在上遞減，于是在上遞增．由得，即，于是，則，解得．故答案為：【點睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.14、【解析】

依題意畫圖,設(shè),根據(jù)圓的直徑所對的圓周角為直角,可得,通過勾股定理得,再利用兩點間的距離公式即可求出,進而得出點坐標.【詳解】解:依題意畫圖,設(shè)以為直徑的圓被直線所截得的弦長為,且,又因為為圓的直徑,則所對的圓周角,則,則為點到直線：的距離.所以,則.又因為點在直線：上,設(shè),則.解得,則.故答案為:【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,考查了兩點間的距離公式,點到直線的距離公式,是基礎(chǔ)題.15、【解析】，，所以，所以的解集為。點睛：本題考查絕對值不等式。本題先對絕對值函數(shù)進行分段處理，再得到的解析式，求得的分段函數(shù)解析式，再解不等式即可。絕對值函數(shù)一般都去絕對值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)處理。16、【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式求得的值.【詳解】因為為等差數(shù)列，所以，解得，所以.故答案為：【點睛】本小題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，前項和公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，應(yīng)用意識.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）利用二次求導(dǎo)可得，所以在上為增函數(shù)，進而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)可得在區(qū)間上存在唯一零點，所以函數(shù)在遞減，在，遞增，則，進而可證；（Ⅲ）條件等價于對于恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性，即可得到的最小值為，再次構(gòu)造函數(shù)（a），，利用導(dǎo)數(shù)得其單調(diào)區(qū)間，進而求得最大值．【詳解】（Ⅰ）當時，，則，所以，又因為，所以在上為增函數(shù)，因為，所以當時，，為增函數(shù)，當時，，為減函數(shù)，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（Ⅱ），則令，則（1），，所以在區(qū)間上存在唯一零點，設(shè)零點為，則，且，當時，，當，，，所以函數(shù)在遞減，在，遞增，，由，得，所以，由于，，從而；（Ⅲ）因為對于恒成立，即對于恒成立，不妨令，因為，，所以的解為，則當時，，為增函數(shù)，當時，，為減函數(shù)，所以的最小值為，則，不妨令（a），，則（a），解得，所以當時，（a），（a）為增函數(shù)，當時，（a），（a）為減函數(shù)，所以（a）的最大值為，則的最大值為．【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，以及函數(shù)不等式恒成立問題的解法，意在考查學生等價轉(zhuǎn)化思想和數(shù)學運算能力，屬于較難題．18、(1)（i）83.;（ii）272.(2)見解析.【解析】

（1）根據(jù)原始分數(shù)分布區(qū)間及轉(zhuǎn)換分區(qū)間，結(jié)合所給示例，即可求得小明轉(zhuǎn)換后的物理成績；根據(jù)正態(tài)分布滿足N60,122（2）根據(jù)各等級人數(shù)所占比例可知在區(qū)間61,80內(nèi)的概率為25，由二項分布即可求得X【詳解】（1）（i）設(shè)小明轉(zhuǎn)換后的物理等級分為x，93-8484-82求得x≈82.64.小明轉(zhuǎn)換后的物理成績?yōu)?3分；（ii）因為物理考試原始分基本服從正態(tài)分布N60,所以P(72<ξ<84)=P(60<ξ<84)-P(60<ξ<72)===0.136.所以物理原始分在區(qū)間72,84的人數(shù)為2000×0.136=272（人）；（2）由題意得，隨機抽取1人，其等級成績在區(qū)間61,80內(nèi)的概率為25隨機抽取4人，則X~B4,PX=0=3PX=2=CPX=4X的分布列為X01234P812162169616數(shù)學期望EX【點睛】本題考查了統(tǒng)計的綜合應(yīng)用，正態(tài)分布下求某區(qū)間概率的方法，分布列及數(shù)學期望的求法，文字多，數(shù)據(jù)多，需要細心的分析和理解，屬于中檔題。19、（1）模型y=eλx+t的擬合程度更好；（2）（i）v=0.02x+3.84【解析】

（1）由相關(guān)系數(shù)求出兩個系數(shù)，比較大小可得；（2）（i）先建立U額R0關(guān)于x的線性回歸方程，從而得出y（ii）把y=90代入（i）中的回歸方程可得x值．【詳解】本小題主要考查回歸分析等基礎(chǔ)知識,考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力、抽象概括能力及應(yīng)用意識,考查統(tǒng)計與概率思想、分類與整合思想,考查數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng),體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與應(yīng)用性．解：（1）r1r2則r1<r（2）（i）先建立U額R0由y=eλx+t，得lny=t+λx由于λ=i=1t=所以U額R0關(guān)于x所以lny=0.02x+3.84（ii）下一年銷售額y需達到90億元，即y=90，代入y=e0.02x+3.84又e4.4998≈90，所以所以x≈4.4998-3.84所以預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量約是32.99億元【點睛】本小題主要考查拋物線的定義、拋物線的標準方程、直線與拋物線的位置關(guān)系、導(dǎo)數(shù)幾何意義等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等，考查數(shù)學運算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與應(yīng)用性20、（1）（2）存在；詳見解析【解析】

（1）由橢圓的性質(zhì)得，解得后可得，從而得橢圓方程；（2）設(shè)，當直線斜率存在時，設(shè)為，代入橢圓方程，整理后應(yīng)用韋達定理得，代入＝0由恒成立問題可求得．驗證斜率不存在時也適合即得．【詳解】解：（1）由題