2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊單元速記·巧練（湘教版）第一章 二元一次方程組（壓軸題專練）（原卷版）

第一章二元一次方程組（壓軸題專練）一、選擇題1．（2023下·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知中每一個(gè)數(shù)值只能取2、0、中的一個(gè)，且滿足，，則中0的個(gè)數(shù)是（

）A．20 B．19 C．18 D．172．（2022下·重慶北碚·九年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谥校┮阎麛?shù)a，b，c，d滿足，且，關(guān)于這個(gè)四元方程下列說法正確的個(gè)數(shù)是（

）①，，，是該四元方程的一組解；②連續(xù)的四個(gè)正整數(shù)一定是該四元方程的解；③若，則該四元方程有21組解；④若，則該四元方程有504組解．A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）中國減貧方案和減貧成就是史無前例的人類奇跡，聯(lián)合國秘書長古特雷斯表示，“精準(zhǔn)扶貧”方略幫助貧困人口實(shí)現(xiàn)2030年可持續(xù)發(fā)展議程設(shè)定的宏偉目標(biāo)的唯一途徑，中國的經(jīng)驗(yàn)可以為其他發(fā)展中國家提供有益借鑒，為了加大“精準(zhǔn)扶貧”力度，某單位將19名干部分成甲、乙、丙三個(gè)小組到村屯帶領(lǐng)50個(gè)農(nóng)戶脫貧，若甲組每人負(fù)責(zé)4個(gè)農(nóng)戶，乙組每人負(fù)責(zé)3個(gè)農(nóng)戶，丙組每人負(fù)責(zé)1個(gè)農(nóng)戶，則分組方案有（）A．6種 B．5種 C．4種 D．30種4．（2023下·福建漳州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）某學(xué)校為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，決定讓各班去購買跳繩和毽子作為活動(dòng)器械．七年1班生活委員小亮去購買了跳繩和毽子共5件，已知兩種活動(dòng)器械的單價(jià)均為正整數(shù)且跳繩的單價(jià)比毽子的單價(jià)高．在付款時(shí)，小亮問是不是30元，但收銀員卻說一共45元，小亮仔細(xì)看了看后發(fā)現(xiàn)自己將兩種商品的單價(jià)記反了，則小亮實(shí)際購買情況是（

）A．1根跳繩，4個(gè)毽子 B．3根跳繩，2個(gè)毽子C．2根跳繩，3個(gè)毽子 D．4根跳繩，1個(gè)毽子5．（2023下·重慶巴南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）對于x，y定義一種新運(yùn)算F，規(guī)定（其中a，b均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算，例如：，若，，下列結(jié)論：①；②若，則m，n有且僅有4組正整數(shù)解；③若對任意實(shí)數(shù)x，y均成立，則．正確的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．06．（2023上·江蘇南通·八年級(jí)校聯(lián)考期末）已知m，n均為正整數(shù)且滿足，則的最大值是（

）A．16 B．22 C．34 D．367．（2022下·浙江舟山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若方程組的解是，則方程組的解是（

）A． B． C． D．8．（2022下·浙江金華·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若方程組的解是，則方程組的解是（）A． B． C． D．9．（2022下·福建福州·七年級(jí)福建省福州第十九中學(xué)?？计谥校┯萌鐖D①中的長方形和正方形紙板為側(cè)面和底面，做成如圖②的豎式和橫式的兩種無蓋紙盒（圖2中兩個(gè)盒子朝上的一面不用紙板）．現(xiàn)在倉庫里有m張長方形紙板和n張正方形紙板，如果做兩種紙盒若干個(gè)，恰好使庫存的紙板用完，則的值有可能是（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．202310．（2019下·浙江湖州·七年級(jí)?？计谥校┈F(xiàn)有如圖（1）的小長方形紙片若干塊，已知小長方形的長為a，寬為b．用3個(gè)如圖（2）的全等圖形和8個(gè)如圖（1）的小長方形，拼成如圖（3）的大長方形，若大長方形的寬為30cm，則圖（3）中陰影部分面積與整個(gè)圖形的面積之比為()A． B． C． D．11．（2020下·七年級(jí)統(tǒng)考課時(shí)練習(xí)），其中，，，，是常數(shù)，且，則，，，，的大小順序是(

)A． B．C． D．二、填空題12．（2023下·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期中）若方程組的解是，則方程組的解是．13．（2023下·湖北·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x，y的方程組的解為，則關(guān)于m、n的方程組的解為；14．（2023下·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為慶祝五一勞動(dòng)節(jié)，某電商推出適合不同人群的甲，乙兩種袋裝混合堅(jiān)果．其中，甲種堅(jiān)果每袋裝有4千克堅(jiān)果，1千克堅(jiān)果，1千克堅(jiān)果；乙種堅(jiān)果每袋裝有1千克堅(jiān)果，2千克堅(jiān)果，2千克堅(jiān)果．甲，乙兩種袋裝堅(jiān)果每袋成本價(jià)分別為袋中的，，三種堅(jiān)果的成本價(jià)之和．已知堅(jiān)果每千克成本價(jià)為5元，甲種堅(jiān)果每袋售價(jià)為59.8元，利潤率為30%，乙種堅(jiān)果的利潤率為20%．若這兩種袋裝堅(jiān)果的銷售利潤率達(dá)到24%，則該電商銷售甲，乙兩種袋裝堅(jiān)果的數(shù)量之比是．15．（2023上·重慶九龍坡·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果一個(gè)四位自然數(shù)滿足，那么稱這個(gè)四位數(shù)為“弦歌六秩數(shù)”．例如：四位數(shù)2023，不是“弦歌六秩數(shù)”；又如：四位數(shù)是“弦歌六秩數(shù)”．若四位數(shù)是“弦歌六秩數(shù)”，則與的關(guān)系為；若“弦歌六秩數(shù)”滿足它的前兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)與它的后兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)之差能被11整除，且滿足它的前三位數(shù)字組成的三位數(shù)與它的個(gè)位數(shù)字之和能被10整除，則滿足條件的“弦歌六秩數(shù)”的最小值為．16．（2023上·重慶·九年級(jí)重慶一中校考期中）如果一個(gè)四位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且，滿足，那么稱這個(gè)四位數(shù)為“中和數(shù)”，例如：四位數(shù)5138，∵，∴5138是“中和數(shù)”；又如四位數(shù)7162，∵，∴7162不是“中和數(shù)”．已知一個(gè)四位自然數(shù)（其中），若M是一個(gè)“中和數(shù)”，且M能被14整除，將M的千位數(shù)字與百位數(shù)字的和記為，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的差記為，則滿足條件的的最小值為．17．（2023上·重慶渝中·八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)校考期中）我們把13的倍數(shù)稱為“大吉數(shù)”，判斷一個(gè)數(shù)是否是大吉數(shù)，可以用的末三位數(shù)減去末三位數(shù)以前的數(shù)字所組成的數(shù)，其差記為，如果是“大吉數(shù)”，這個(gè)數(shù)就是“大吉數(shù)”．比如：數(shù)字253448，這個(gè)數(shù)末三位是448，末三位以前是253，則，因?yàn)椋允恰按蠹獢?shù)”，那么253448也是“大吉數(shù)”．若整數(shù)（其中，且為整數(shù)）是“大吉數(shù)”，則．若均為“大吉數(shù)”，且，（，且、、均為整數(shù)），則的最大值為．18．（2023上·重慶江北·八年級(jí)重慶市兩江育才中學(xué)校?？计谥校┤绻粋€(gè)三位數(shù)的十位數(shù)字等于它的百位和個(gè)位數(shù)字的差的絕對值，那么稱這個(gè)三位數(shù)為“奇異數(shù)”，如：三位數(shù)，∵，∴是“奇異數(shù)”，把一個(gè)奇異數(shù)m的任意一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字去掉，得到三個(gè)兩位數(shù)，這三個(gè)兩位數(shù)之和記為，把m的百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之差的2倍記為，則的值為；若三位數(shù)A是“奇異數(shù)”，且是完全平方數(shù)，且百位數(shù)字小于個(gè)位數(shù)字，請求出所有符合條件的A的最大值為．三、解答題19．（2023下·江蘇鹽城·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于，的方程組（是常數(shù)）．(1)當(dāng)時(shí)，則方程組可化為．①請直接寫出方程的所有非負(fù)整數(shù)解．②若該方程組的解也滿足方程，求的值．(2)當(dāng)時(shí)，如果方程組有整數(shù)解，求整數(shù)的值．20．（2023下·湖南長沙·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料并回答下列問題：當(dāng)m，n都是實(shí)數(shù)，且滿足，就稱點(diǎn)為“郡麓點(diǎn)”．例如：點(diǎn)，令，得，，所以不是“郡麓點(diǎn)”；點(diǎn)，令，得，所以是“郡麓點(diǎn)”．(1)請判斷點(diǎn)點(diǎn)，是否為“郡麓點(diǎn)”：______；(2)若以關(guān)于x，y的方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是“郡麓點(diǎn)”，求的值；(3)若以關(guān)于x，y的方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是“郡麓點(diǎn)”，求正整數(shù)a，b的值．21．（2023下·福建泉州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，A、B兩點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別、，且滿足，O為原點(diǎn)；在A、B兩點(diǎn)處各放一個(gè)檔板，M、N兩個(gè)小球同時(shí)從數(shù)軸上的C處出發(fā)，M以2個(gè)單位/秒的速度向數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，N以每秒4個(gè)單位的速度向數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，小球碰到檔板后立即向反方向運(yùn)動(dòng)且速度不變，設(shè)小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒鐘（）

(1)填空：線段AB的長為．(2)若M小球第一次碰到A檔板時(shí)，N小球剛好也是第一次碰到B檔板，試確定點(diǎn)C的位置．(3)當(dāng)時(shí)，試判斷的值是否隨時(shí)間的變化而變化？若它的值不變，請求出該值；若它的值會(huì)變，請通過計(jì)算說明理由．22．（2023下·北京海淀·七年級(jí)清華附中?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，對于與原點(diǎn)不重合的兩個(gè)點(diǎn)和，關(guān)于，的方程稱為點(diǎn)的“照耀方程”．若是方程的解，則稱點(diǎn)“照耀”了點(diǎn)例如，點(diǎn)的“照耀方程”是，且是該方程的解，則點(diǎn)“照耀”了點(diǎn)．(1)下列點(diǎn)中被點(diǎn)“照耀”的點(diǎn)為____________．，，(2)若點(diǎn)同時(shí)被點(diǎn)和點(diǎn)“照耀”，請求出，(3)若個(gè)不同的點(diǎn)，，…，，每個(gè)點(diǎn)都“照耀”了其后所有的點(diǎn)，如“照耀”了，，…，，“照耀”了，，…，，……“照耀”了，請寫出的最大值，并說明理由．23．（2023下·重慶銅梁·七年級(jí)銅梁二中校考期中）閱讀下列材料：小明同學(xué)在學(xué)習(xí)二元一次方程組時(shí)遇到了這樣一個(gè)問題：解方程組．小明發(fā)現(xiàn)，如果用代入消元法或加減消元法求解，運(yùn)算量比較大，容易出錯(cuò)．如果把方程組中的看成一個(gè)整體，把看成一個(gè)整體，通過換元，可以解決問題．以下是他的解題過程：令，．原方程組化為，解得，把代入，，得，解得，∴原方程組的解為．(1)學(xué)以致用運(yùn)用上述方法解下列方程組：．(2)拓展提升已知關(guān)于x，y的方程組的解為，請直接寫出關(guān)于m、n的方程組的解是___________．24．（2022下·福建泉州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)方法：解方程組：，若設(shè)，，則原方程組可化為，解方程組得，所以，解方程組得，我們把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)字母去替代它，這種解方程組的方法叫做換元法．(1)直接填空：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組，的解為，那么關(guān)于m、n的二元一次方程組的解為：．(2)知識(shí)遷移：請用這種方法解方程組．(3)拓展應(yīng)用：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為，求關(guān)于x，y的方程組的解．25．（2022下·重慶九龍坡·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料：已知關(guān)于x，y的二元一次方程有一組整數(shù)解，則方程的全部整數(shù)解可表示為（t為整數(shù)）．問題：求方程的所有正整數(shù)解．小明參考閱讀材料，解決該問題如下：解：該方程一組整數(shù)解為，則全部整數(shù)解可表示為（t為整數(shù)）．因?yàn)?，解得因?yàn)閠為整數(shù)，所以t=0或-1．所以該方程的正整數(shù)解為和．通過你所知曉的知識(shí)，請解決以下問題：(1)方程3x-5y=11的全部整數(shù)解表示為：（t為整數(shù)），則______；(2)請你參考小明的解題方法，求方程2x+3y=24的全部正整數(shù)解；(3)若a，b均為正整數(shù)，試判斷二元一次方程組有幾組正整數(shù)解？并寫出其解．26．（2022下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀感悟：有些關(guān)于方程組的問題，欲求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的一個(gè)代數(shù)式的值．如以下問題：已知實(shí)數(shù)x、y滿足，，求和的值．本題常規(guī)思路是將①，②聯(lián)立組成方程組，解得、的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案．常規(guī)思路計(jì)算量比較大，其實(shí)本題還可以仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．解決問題：(1)已知二元一次方程組，則______，______；(2)試說明在關(guān)于x、y的方程組中，不論a取什么實(shí)數(shù)，的值始終不變；(3)某班級(jí)組織活動(dòng)購買小獎(jiǎng)品，買3支鉛筆、5塊橡皮、1本筆記本共需21元，買4支鉛筆、7塊橡皮、1本筆記本共需28元，則購買10支鉛筆、10塊橡皮