專題19正方形（知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)串編）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期核心考點(diǎn)(滬科版)

專題19正方形（知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)串編）【思維導(dǎo)圖】??知識(shí)點(diǎn)一：正方形的性質(zhì)◎考點(diǎn)1：根據(jù)性質(zhì)求角例．（2022·山東濟(jì)南·九年級期末）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是對角線AC上的一點(diǎn)，且連接DE，則∠CDE的度數(shù)為（

）A．20° B．22.5° C．25° D．30°【答案】B【解析】【分析】由正方形的性質(zhì)可得∠DAE的度數(shù)，再由AE=AD，即可求得∠ADE的度數(shù)，從而可求得∠CDE的度數(shù)．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形∴∠ADC=90゜，∠DAE=45゜∵AE=AD∴∴故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握這兩個(gè)性質(zhì)是關(guān)鍵．練習(xí)1．（2022·山東煙臺(tái)·八年級期末）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)F為AB上一點(diǎn)，CF與BD交于點(diǎn)E，連接AE，若∠BCF=20°，則∠AEF的度數(shù)（

）A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】D【解析】【分析】先證明△ABE≌△CBE，得到∠BAE=∠BCE=20°，在Rt△BCF中利用三角形內(nèi)角和180°可求∠BFC度數(shù)．再根據(jù)三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求出∠AEF的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，BC=BA，∠ABE=∠CBE=45°．又BE=BE，∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴∠BAE=∠BCE=20°．∵∠ABC=90°，∠BCF=20°∴∠BFC=180°∠ABC∠BCF=180°90°20°=70°∵∠BFC=∠BAE+∠AEF∴∠AEF=∠BFC∠BAE=70°20°=50°故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定、以及三角形的外角等于和它不相鄰兩個(gè)內(nèi)角和的性質(zhì)．解決正方形中角的問題一般會(huì)涉及對角線平分對角成45°．練習(xí)2．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊DC、BC上，AG⊥EF，垂足為G，且AG=AB，則∠EAF=（

）度A．30° B．45° C．50° D．60°【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及HL判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF=∠GAF，再證明△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE，即可求∠EAF=45°【詳解】解：在正方形ABCD中，∠B=∠D=∠BAD=90°，AB=AD，∵AG⊥EF，∴∠AGF=∠AGE=90°，∵AG=AB，∴AG=AB=AD，在Rt△ABF與Rt△AGF中，∴△ABF≌△AGF，∴∠BAF=∠GAF，同理可得：△AGE≌△ADE，∴∠GAE=∠DAE；∴∠EAF=∠EAG+∠FAG，∴∠EAF=45°故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是得出△ABF≌△AGF．練習(xí)3．（2021·四川成都·九年級期中）如圖，正方形ABCD外側(cè)作等邊三角形ADE，則∠AEB的度數(shù)為（

）A．30° B．20° C．15° D．10°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正方形、等邊三角形和三角形內(nèi)角和定理可以得到答案．【詳解】四邊形是正方形，，，是等邊三角形，，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正方形、等邊三角形和三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，靈活運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵．◎◎考點(diǎn)2：根據(jù)性質(zhì)求線段長例．（2021·江蘇徐州·二模）如圖，點(diǎn)P是線段AB上任意一點(diǎn)，在AB同側(cè)作正方形ACDP、正方形PEFB，連接DF、PF，已知AB＝10，當(dāng)△PDF的面積為8時(shí)，AP的長為（）A．2 B．8 C．2或8 D．4【答案】C【解析】【分析】設(shè)，則，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，將的面積用表示為一個(gè)等式，求出值，即可求解．【詳解】解：設(shè)，則，四邊形和四邊形都是正方形，，，即，解得或，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的的性質(zhì)以及方程的應(yīng)用，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決問題的關(guān)鍵．練習(xí)1．（2022·四川成都·九年級期末）如圖，正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，H為CD邊中點(diǎn)，正方形ABCD的周長為8，則OH的長為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】【分析】由題意知是的中位線，則有，根據(jù)正方形的周長求邊長，進(jìn)而可求的長．【詳解】解：由題意知是的中位線∴∵正方形ABCD的周長為8∴∴故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握中位線的性質(zhì)．練習(xí)2．（2021·四川·石室中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在對角線AC上，EF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥BC于點(diǎn)G，連接DE，若AB＝10，AE＝3，則ED的長度為（）A．7 B．2 C． D．【答案】C【解析】【分析】連接BE，證明△ABE≌△ADE，可得ED=BE，在等腰直角三角形AEF中，求出AF，EF的長，再在Rt△BEF中求出BE的長，即可得出ED的長．【詳解】如圖，連接BE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°，AB=AD，∵AE=AE，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE=DE，∵EF⊥AB于點(diǎn)F，AE=3，∴AF=EF=3，∵AB=10，∴BF=7，∴BE，∴ED=．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵在于連接BE構(gòu)造全等三角形．◎◎考點(diǎn)3：根據(jù)性質(zhì)求面積例．（2020·江蘇徐州·九年級期中）如圖，正方形ABCD的邊長為2，分別以正方形的三邊AB、AD、CD為直徑在正方形的內(nèi)部作半圓，則陰影部分的面積之和為（

）A．2 B．3 C． D．2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)公式分別求出正方形的面積及半圓的面積，再計(jì)算圖形a的面積，即可求出陰影面積的和．【詳解】解：正方形面積為=4，半圓面積為，∴圖形a的面積為，陰影部分的面積之和為，故選：A．．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的面積公式，正方形的性質(zhì)，半圓面積公式，求不規(guī)則圖形的面積，正確理解圖形的構(gòu)成特點(diǎn)及正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．練習(xí)1．（2021·山東省青島第二十六中學(xué)九年級期中）正方形ABCD的一條對角線長為6，則這個(gè)正方形的面積是（）A．9 B．18 C．24 D．36【答案】B【解析】【分析】正方形對角線長相等，因?yàn)檎叫斡质橇庑危哉叫蔚拿娣e可以根據(jù)（a、b是正方形對角線長度）計(jì)算．【詳解】解：在正方形中，對角線相等，所以正方形ABCD的對角線長均為6，∵正方形又是菱形，菱形的面積計(jì)算公式是（a、b是正方形對角線長度）∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形對角線相等的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是清楚正方形面積可以按照菱形面積計(jì)算公式計(jì)算，并熟記菱形的面積計(jì)算公式．練習(xí)2．（2021·安徽宿州·八年級期中）在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形．如圖，已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別為1，2，3．正放置的四個(gè)正方形的面積依次是，，，，則的值為（

）A．4 B．6 C．8 D．【答案】A【解析】【分析】如圖，易證，得，即可求解．【詳解】解：如圖所示，由題意可得：，∴，∴在和中，∴∴∴同理可證，∴故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．練習(xí)3．（2021·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，把正方形紙片ABCD沿對邊中點(diǎn)所在的直線對折后展開，折痕為MN，再過點(diǎn)B折疊紙片，使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處，折痕為BE，若AB的長為2，則FM的長為（）A．2 B． C． D．1【答案】B【解析】【分析】由折疊的性質(zhì)可得，∠BMN=90°，F(xiàn)B=AB=2，由此利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵把正方形紙片ABCD沿對邊中點(diǎn)所在的直線對折后展開，折痕為MN，AB=2，∴，∠BMN=90°，∵四邊形ABCD為正方形，AB=2，過點(diǎn)B折疊紙片，使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處，∴FB=AB=2，則在Rt△BMF中，，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形與折疊，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握折疊的性質(zhì)．◎◎考點(diǎn)4：正方形折疊問題例．（2021·江蘇·無錫市東林中學(xué)八年級期中）如圖，正方形ABCD的邊長為3，將正方形ABCD沿直線EF翻折，則圖中折成的4個(gè)陰影三角形的周長之和是（

）A．8 B．9 C．12 D．以上都不正確【答案】C【解析】【分析】由圖形翻折變換的性質(zhì)可知AD＝A’D’，A’H＝AH，D’G＝DG，由陰影部分的周長＝A’D’＋A’H＋BH＋BC＋CG＋D’G即可得出結(jié)論．【詳解】解：由翻折變換的性質(zhì)可知AD＝A’D’，A’H＝AH，D’G＝DG，陰影部分的周長＝A’D’＋（A’H＋BH）＋BC＋（CG＋D’G）＝AD＋AB＋BC＋CD＝3×4＝12．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)，即折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．練習(xí)1．（2021·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，將一邊長為12的正方形紙片的頂點(diǎn)A折疊至邊上的點(diǎn)E，使，若折痕為，則的長為（

）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】A【解析】【分析】過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，由折疊得到PQ⊥AE，從而得到∠AED=∠APQ，可得△PQM≌△ADE，從而得到PQ=AE，再由勾股定理，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，由折疊得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，在正方形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，CD⊥BC，∴∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∴∠APQ=∠PQM，∴∠PQM=∠APQ=∠AED，∵PM⊥BC，∴PM=AD，∵∠D=∠PMQ=90°，∴△PQM≌△ADE，∴PQ=AE，在中，，AD=12，由勾股定理得：，∴PQ=13．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，得到△PQM≌△ADE是解題的關(guān)鍵．練習(xí)2．（2021·湖南永州·八年級期末）如圖，正方形ABCD的邊長為6，將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH，若BE：EC=2：1，則線段CH的長是（）A． B． C．3 D．3.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求出CE，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到EH=DH，根據(jù)勾股定理列方程，解方程得到答案．【詳解】解：設(shè)CH=x，則DH=6x，∵BE：EC=2：1，BC=6，∴CE=2，由折疊的性質(zhì)可知：EH=DH=6x，在Rt△CEH中，EH2=CH2+CE2，即（6x）2=x2+22，解得：x=，即CH=，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、正方形的性質(zhì)，根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到EH=DH是解題的關(guān)鍵．練習(xí)3．（2021·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，兩個(gè)正方形的邊長都為2．其中一個(gè)正方形的一頂點(diǎn)在另一個(gè)正方形的中心，則兩個(gè)正方形重疊部分的面積是（

）A．0.5 B．1 C．2 D．無法確定【答案】B【解析】【分析】如圖：連接ABCD的對角線，根據(jù)題意可以推出△COF≌△DOE，所以重合部分的面積為△OCD的面積．【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴BO＝CO＝DO，∠BDC＝∠BCO＝45°，AC⊥BD，∴∠DOC＝∠EOF＝90°，∴∠DOE＝∠COF，在△COF和△DOE中，，∴△COF≌△DOE（ASA），∴S△COF＝S△DOE，∴四邊形OECF的面積＝S△OCD＝S正方形ABCD＝，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、三角形的面積、全等三角形的判定和性質(zhì)．解題關(guān)鍵在于找到全等三角形進(jìn)行代換．◎◎考點(diǎn)5：求正方形重疊部分面積例．（2019·全國·八年級專題練習(xí)）將4個(gè)邊長都是2的正方形按如圖所示的樣子擺放，點(diǎn)，，分別是三個(gè)正方形的中心，則圖中三塊重疊部分的面積的和為（

）.A．2 B．3 C．6 D．8【答案】B【解析】【分析】如圖：連接AP，AN，點(diǎn)A是正方形的對角線的交點(diǎn)，易證≌，可得的面積是正方形的面積的，即每個(gè)陰影部分的面積都等于正方形面積的，即可解答.【詳解】解：如圖，連接AP，AN，點(diǎn)A是正方形的對角線的交點(diǎn)，則，，，，≌，四邊形AENF的面積等于的面積，而的面積是正方形的面積的，而正方形的面積為4，四邊形AENF的面積為，三塊陰影面積的和為．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的特性及面積公式，由圖形的特點(diǎn)可知，每個(gè)陰影部分的面積都等于正方形面積的，據(jù)此解題解答本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)每個(gè)陰影部分的面積都等于正方形面積的．練習(xí)1．（2021·山西晉中·八年級期末）如圖，正方形、、、的邊長分別為2、4、6、4，四個(gè)正方形按照如圖所示的方式擺放，點(diǎn)、、分別位于正方形、、、對角線的交點(diǎn)則陰影部分的面積和為（）A．12 B．13 C．14 D．18【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正方形的中心對稱性，得到每一個(gè)陰影部分的面積為其所在的小正方形的面積的，即可解答．【詳解】解：∵正方形具有中心對稱性，則每一個(gè)陰影部分的面積為其所在的小正方形的面積的，∴==14故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的中心對稱性，根據(jù)中心對稱性得到每一個(gè)陰影部分的面積為其所在的小正方形的面積的是解題的關(guān)鍵．練習(xí)2．（2021·河北·九年級專題練習(xí)）在平面上，邊長為的正方形和短邊長為的矩形幾何中心重合，如圖①，當(dāng)正方形和矩形都水平放置時(shí)，容易求出重疊面積．甲、乙、丙三位同學(xué)分別給出了兩個(gè)圖形不同的重疊方式；甲：矩形繞著幾何中心旋轉(zhuǎn)，從圖②到圖③的過程中，重疊面積大小不變．乙：如圖④，矩形繞著幾何中心繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，矩形的兩條長邊與正方形的對角線平行時(shí)，此時(shí)的重疊面積大于圖③的重疊面積．丙：如圖⑤，將圖④中的矩形向左上方平移，使矩形的一條長邊恰好經(jīng)過正方形的對角線，此時(shí)的重疊面積是個(gè)圖形中最小的．下列說法正確的是（

）A．甲、乙、丙都對 B．只有乙對 C．只有甲不對 D．甲、乙、丙都不對【答案】C【解析】【分析】本題重疊部分面積需要結(jié)合圖形特點(diǎn)，利用對稱性質(zhì)，通過假設(shè)未知數(shù)表示未知線段，利用面積公式求解，并根據(jù)線段范圍判別面積大?。驹斀狻咳鐖D一所示，設(shè)AI=x，BJ=y，則有x+y=ABIJ=21=1，重疊部分四邊形JILK面積為2．如圖二所示，設(shè)AI=x，BJ=y，因?yàn)镴M=HE=1，△JIM為直角三角形，斜邊JI大于直角邊JM，故有：x+y＜1，重疊部分平行四邊形JILK面積為．如圖三所示，設(shè)AI=x（0＜x＜1），BJ=y=0，重疊部分四邊形JIDK面積為．在由圖一到圖三的轉(zhuǎn)變過程中，x+y的取值逐漸減小，則重疊部分面積逐漸增大，故甲同學(xué)說法錯(cuò)誤．如圖四所示，設(shè)AI=AN=x（1＜x＜2），重疊部分多邊形BINDKM面積為．當(dāng)0＜x＜2時(shí)，，所以圖四重疊部分的面積大于圖三重疊部分面積，乙同學(xué)說法正確．如圖五所示，設(shè)AI=AN=x，所以重疊部分四邊形INDB面積為，因?yàn)?，所以重疊部分面積小于2，即小于圖一重疊面積．綜上，圖一到圖四重疊部分面積逐漸增大，圖五面積小于圖一，故圖五面積最小，丙同學(xué)說法正確．故答案為C選項(xiàng)．【點(diǎn)睛】本題考查正方形以及矩形性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)進(jìn)行知識(shí)延伸，需要假設(shè)未知數(shù)并結(jié)合對稱性質(zhì)化抽象問題為形象問題，利用未知量取值范圍求解本題．練習(xí)3．（2019·廣西北?！て吣昙壠谥校┤鐖D．將面積為a2的小正方形與面積為b2的大正方形放在一起（a＞0，b＞0）則三角形ABC的面積是（）A．b2 B．b2 C．b2 D．2b2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖形得出三角形ABC的面積S=正方形AFGM+S正方形BGCH+S△AMBS△AFCS△BHC，再根據(jù)面積公式求出即可．【詳解】解：∵將面積為a2的小正方形與面積為b2的大正方形放在一起，∴CM＝AF＝FG＝a，BG＝CG＝CH＝BH＝b，∴三角形ABC的面積S＝S正方形AFGM+S正方形BGCH+S△AMB﹣S△AFC﹣S△BHC＝a2+b2+?（b﹣a）﹣?（a+b）﹣b?b＝a2+b2+﹣﹣﹣﹣＝，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，列代數(shù)式和整式的混合運(yùn)算，能根據(jù)圖形列出代數(shù)式是解此題的關(guān)鍵．◎◎考點(diǎn)6：根據(jù)正方形的性質(zhì)證明例．（2022·廣西·南丹縣教學(xué)研究室九年級期末）如圖，邊長相等的兩個(gè)正方形ABCD和OEFG，若將正方形OEFG繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°，兩個(gè)正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積(

)A．不變 B．先增大再減小C．先減小再增大 D．不斷增大【答案】A【解析】【分析】由正方形的性質(zhì)得到OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOM=∠CON，證明△OBM≌△OCN（ASA），得到兩個(gè)正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積=，由此得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD和OEFG都是正方形，∴OB=OC，∠BOC=∠EOG=90°，∠OBC=∠OCD=45°，∴∠BOM=∠CON，∴△OBM≌△OCN（ASA），∴，∴兩個(gè)正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積=，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理及正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．練習(xí)1．（2022·云南昆明·九年級期末）如圖，G是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，以GC為邊長，作正方形GCEF，連接BG和DE，試用旋轉(zhuǎn)的思想說明線段BG與DE的關(guān)系（）A．DE＝BG B．DE＞BG C．DE＜BG D．DE≥BG【答案】A【解析】【分析】根據(jù)四邊形ABCD為正方形，得出BC=DC，∠BCD=90°，根據(jù)四邊形CEFG為正方形，得出GC=EC，∠GCE=90°，再證∠BCG=∠DCE，△BCG與△DCE具有可旋轉(zhuǎn)的特征即可【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴BC=DC，∠BCD=90°，∵四邊形CEFG為正方形，∴GC=EC，∠GCE=90°，∵∠BCG+∠GCD=∠GCD+∠DCE=90°，∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△DCE，∴BG=DE，故選項(xiàng)A．【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)特征，正方形性質(zhì)，三角形全等條件，同角的余角性質(zhì)，掌握圖形旋轉(zhuǎn)特征，正方形性質(zhì)，三角形全等條件是解題關(guān)鍵．練習(xí)2．（2021·山東臨沂·八年級期末）如圖，在正方形ABCD中，E為AB中點(diǎn)，連結(jié)DE，過點(diǎn)D作DF⊥DE交BC的延長線于點(diǎn)F，連結(jié)EF．若AE＝2，則EF的值為（

）A．6 B． C． D．5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)“ASA”判定△ADE≌△CDF，可證DE=DF，在Rt△ADE中，運(yùn)用勾股定理求出DE的長度，再在Rt△DEF中，運(yùn)用勾股定理即可求出EF的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠DCB=∠B=90°，∵DF⊥DE，∴∠ADE+∠EDC=∠CDF+∠EDC=90°，即∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴DE=DF，∵E為AB的中點(diǎn)，AE=2，∴AD=AB=4，在Rt△ADE中，DE，在Rt△DEF中，EF．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，求線段的長度常常是把線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中，運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算求值．練習(xí)3．（2021·廣東·坪山中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)P分別作AC，BD的垂線，分別交AC，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，交AD，BC于點(diǎn)M，N．下列結(jié)論：①；②；③．其中正確的結(jié)論有（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得，，然后利用ASA證明即可判斷①正確，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AP=AM，從而得出是等腰直角三角形，則，同理可得，即可得，根據(jù)正方形的性質(zhì)得是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的對角線相等即可得，即可判斷②錯(cuò)誤；判斷四邊形PEDF是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得PF=OE，再根據(jù)勾股定理即可得，故可判斷③正確，即可得．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴，,∵，，∴，，在和中，∴（ASA），故①正確，∴AP=AM，∴是等腰直角三角形，∴，在和中，∴（ASA），∴BP=BN，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵四邊形ABCD是正方形，∴，，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，故②錯(cuò)誤；∵，，，∴，∴四邊形PEOF是矩形，∴PF=OE，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，故③正確，綜上，正確的結(jié)論由①③，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)．??知識(shí)點(diǎn)二：正方形的判定◎考點(diǎn)7：判定定理的理解例．（2021·湖南·長沙市南雅中學(xué)九年級階段練習(xí)）下列條件中，能判定四邊形是正方形的是（

）A．對角線相等的平行四邊形 B．對角線互相平分且垂直的四邊形C．對角線互相垂直且相等的四邊形 D．對角線相等且互相垂直的平行四邊形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正方形的判定定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、對角線相等的平行四邊形是矩形，不符合題意；B、對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，不符合題意；對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形，故C選項(xiàng)不符合題意；D選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解本題的關(guān)鍵．練習(xí)1．（2021·山東菏澤·九年級期中）如圖，將長方形紙片折疊，使A點(diǎn)落BC上的F處，折痕為BE，若沿EF剪下，則折疊部分是一個(gè)正方形，其數(shù)學(xué)原理是（

）A．鄰邊相等的矩形是正方形B．對角線相等的菱形是正方形C．兩個(gè)全等的直角三角形構(gòu)成正方形D．軸對稱圖形是正方形【答案】A【解析】【分析】將長方形紙片折疊，使A點(diǎn)落BC上的F處，可得到BA＝BF，折痕為BE，沿EF剪下，故四邊形ABFE為矩形，且有一組鄰邊相等，故四邊形ABFE為正方形．【詳解】解：∵將長方形紙片折疊，A落在BC上的F處，∴BA＝BF，∵折痕為BE，沿EF剪下，∴四邊形ABFE為矩形，∴四邊形ABEF為正方形．故用的判定定理是；鄰邊相等的矩形是正方形．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定定理，關(guān)鍵是根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形和翻折變換解答．練習(xí)2．（2022·廣東河源·九年級期末）下列命題是真命題的是（

）A．四個(gè)角都相等的四邊形是菱形B．四條邊都相等的四邊形是正方形C．平行四邊形、菱形、矩形都既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形D．順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正方形、菱形、矩形、平行四邊形的判定和性質(zhì)一一判斷即可【詳解】解：A、若四個(gè)角都相等，則這四個(gè)角都為直角，有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，故A選項(xiàng)為假命題，不符合題意；B、四條邊都相等的四邊形是菱形，故B選項(xiàng)為假命題，不符合題意；C、平行四邊形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，菱形和矩形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故C選項(xiàng)為假命題，不符合題意；D、順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形，故D選項(xiàng)為真命題，符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是命題的真假判斷以及正方形、菱形、矩形、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．練習(xí)3．（2021·山西運(yùn)城·九年級期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E、D、F分別在邊AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四個(gè)判斷中，不正確的是（

）A．四邊形AEDF是平行四邊形B．如果∠BAC＝90°，那么四邊形AEDF是矩形C．如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形D．如果AD⊥BC且BD＝CD，那么四邊形AEDF是正方形【答案】D【解析】【分析】由DE∥CA，DF∥BA，根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得四邊形AEDF是平行四邊形，據(jù)此可以判斷A正確，又有∠BAC＝90°，根據(jù)有一角是直角的平行四邊形是矩形，可得四邊形AEDF是矩形；故可以判斷B選項(xiàng)，如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，進(jìn)而知∠FAD＝∠ADF，AF＝FD，那么根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可得四邊形AEDF是菱形；如果AD⊥BC且當(dāng)AB＝AC時(shí)，那么AD平分∠BAC，則可得四邊形AEDF是菱形，故知D選項(xiàng)不正確．【詳解】解：由DE∥CA，DF∥BA，根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得四邊形AEDF是平行四邊形；又有∠BAC＝90°，根據(jù)有一角是直角的平行四邊形是矩形，可得四邊形AEDF是矩形．故A、B正確；如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，∴∠FAD＝∠ADF，∴AF＝FD，那么根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可得四邊形AEDF是菱形，故C正確；如果AD⊥BC且AB＝AC，那么AD平分∠BAC，可得四邊形AEDF是菱形．只有AD⊥BC，不能判斷四邊形AEDF是正方形，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形、矩形及菱形的判定，具體選擇哪種方法需要根據(jù)已知條件來確定，此題是道基礎(chǔ)概念題，需要熟練掌握特殊四邊形的判定定理．◎◎考點(diǎn)8：添加條件成為正方形例．（2022·廣東茂名·九年級期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，下列條件：①AC⊥BD，②AB=BC，③∠ACB=45°，④OA=OB．上述條件能使矩形ABCD是正方形的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【答案】B【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)及正方形的判定來添加合適的條件．【詳解】解：①添加AC⊥BD，根據(jù)對角線互相垂直的矩形是正方形，故添加AC⊥BD，能使矩形ABCD成為正方形；②添加AB=BC，根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形，故添加AB=BC，能使矩形ABCD成為正方形；③添加∠ACB=45°，∵∠ABC=90°，∴∠ACB=B∠AC=45°，∴AB=BC，根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形，故添加∠ACB=45°，能使矩形ABCD成為正方形；④∵矩形ABCD中，∴AC=BD，則AO=BO，故添加OA=OB，不能使矩形ABCD成為正方形；綜上，①②③符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定的應(yīng)用，能熟記正方形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．要使矩形成為正方形，可根據(jù)正方形的判定定理：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形，（2）對角線互相垂直的矩形是正方形．練習(xí)1．（2022·廣東佛山·九年級開學(xué)考試）在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．如果再添加一個(gè)條件可推出四邊形是正方形，那么這個(gè)條件可以是（

）A．AB=CD B．BC=CD C．∠D=90° D．AC=BD【答案】B【解析】【分析】先證四邊形ABCD是矩形，當(dāng)BC=CD時(shí)，四邊形ABCD是正方形由此判斷．【詳解】解：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四邊形ABCD是矩形，當(dāng)BC=CD時(shí)，四邊形ABCD是正方形，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的判定定理，熟記正方形的判定定理并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．練習(xí)2．（2021·北京市第十七中學(xué)八年級期中）下列關(guān)于的敘述，正確的是（

）A．若，則是矩形 B．若，則是正方形C．若，則是菱形 D．若，則是正方形【答案】A【解析】【分析】由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出選項(xiàng)、、錯(cuò)誤，正確；即可得出結(jié)論．【詳解】解：中，，四邊形是矩形，選項(xiàng)符合題意；中，，四邊形是菱形，不一定是正方形，選項(xiàng)不符合題意；中，，四邊形是矩形，不一定是菱形，選項(xiàng)不符合題意；中，，四邊形是菱形，選項(xiàng)不符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟練掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．練習(xí)3．（2021·上海市北海中學(xué)八年級期中）如圖已知：四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形 B．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形C．當(dāng)AC=BD時(shí)，它是正方形 D．當(dāng)∠ABC=時(shí)，它是矩形【答案】C【解析】【分析】根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，故本選項(xiàng)符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是矩形，故本選不項(xiàng)符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了對矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的應(yīng)用，能正確運(yùn)用判定定理進(jìn)行判斷是解此題的關(guān)鍵，難度適中．◎◎考點(diǎn)9：證明四邊形為正方形例．（2021·廣東·深圳市海濱中學(xué)九年級期中）下列說法正確的是（）A．對角線互相垂直的四邊形是菱形B．順次連接對角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形C．一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形D．對角線相等且垂直的四邊形是正方形【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正方形、平行四邊形、矩形和菱形的判定即可得到答案．【詳解】解：A、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、順次連接對角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形，原說法正確，符合題意；C、一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形不能判斷是平行四邊形，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、對角線相等且垂直平分的四邊形是正方形，原說法錯(cuò)誤，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形、平行四邊形、矩形和菱形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握它們的判定方法．練習(xí)1．（2021·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）下列命題中，正確的是（

）A．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形B．對角線相等，且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形C．四個(gè)角都相等的菱形是正方形D．對角線互相垂直平分且有一組鄰邊相等的四邊形是正方形【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正方形的判定方法即可判斷．【詳解】A.對角線互相平分、垂直且相等的四邊形是正方形，本選項(xiàng)不符合題意；B.對角線相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，不一定是正方形；本選項(xiàng)不符合題意；C.四個(gè)角都相等的菱形是正方形，正確，本選項(xiàng)符合題意；D.對角線互相垂直平分且有一組鄰邊相等的四邊形是菱形，不一定是正方形；本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定、矩形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．練習(xí)2．（2021·山東臨沂·八年級期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，添加下列條件中的一個(gè)，能使菱形ABCD成為正方形的是（）A．∠ABC＝90° B．AC＝AD C．BD＝AB D．OD＝AC【答案】A【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)及正方形的判定來添加合適的條件．【詳解】解：要使菱形成為正方形，只要菱形滿足以下條件之一即可，（1）有一個(gè)內(nèi)角是直角（2）對角線相等．即或．故選：A．【點(diǎn)睛】本題比較容易，考查特殊四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)及正方形的判定解答．練習(xí)3．（2021·四川成都·八年級期末）下列條件中能判斷一個(gè)四邊形是正方形的是（

）A．對角線互相垂直且相等B．一組對邊平行，另一組對邊相等且有一個(gè)內(nèi)角為90度C．對角線平分每一組對角D．四邊相等且有一個(gè)角是直角【答案】D【解析】【分析】根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的說法，可以判斷能否構(gòu)成正方形，不正確的說明理由或舉出反例即可．【詳解】解：對角線互相垂直、平分且相等的四邊形是正方形，但是對角線互相垂直且相等的四邊形不一定是正方形，如等腰梯形中的對角線就有可能垂直且相等，故選項(xiàng)A不符合題意；一組對邊平行，另一組對邊相等且有一個(gè)內(nèi)角為90度的四邊形不一定是正方形，如直角梯形，故選項(xiàng)B不符合題意；對角線平分每一組對角的四邊形不一定是正方形，如菱形，故選項(xiàng)C不符合題意；四邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是正方形，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定、平行四邊形的判定、菱形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確正方形的判定方法．??知識(shí)點(diǎn)三：正方形性質(zhì)與判定的綜合◎考點(diǎn)10:根據(jù)性質(zhì)與判定求角度例．（2021·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，以對角線BD為邊作菱形BDFE，連接BF，則∠AFB＝（）A．22.5° B．25° C．30° D．不能確定【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得∠ADB=45°，再根據(jù)菱形的四條邊都相等可得BD=DF，根據(jù)等邊對等角可得∠DBF=∠DFB，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°，在菱形BDFE中，BD=DF，所以，∠DBF=∠AFB，在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°，解得∠AFB=22.5°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的四個(gè)角都是直角，對角線平分一組對角的性質(zhì)，菱形的四條邊都相等的性質(zhì)，以及等邊對等角，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，難度不大，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．練習(xí)1．（2022·山東濱州·九年級期末）如圖，將正方形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到正方形，的延長線交于點(diǎn)H，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求得∠BAE=38°，根據(jù)正方形的性質(zhì)，求得∠DBA=45°，∠ABH=135°，利用四邊形的內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得∠BAE=38°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DBA=45°，∠ABH=135°，∵四邊形AEFG是正方形，∴∠E=90°，∴∠DHE=360°90°38°135°=97°，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．練習(xí)2．（2021·浙江衢州·八年級期末）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC⊥BD，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，若AC＝BD＝2，則EF的長是（）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】分別取的中點(diǎn)為，連接，利用中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)可以推出，再根據(jù)，可以推導(dǎo)出四邊形是正方形即可求解．【詳解】解：分別取的中點(diǎn)為，連接，分別是的中點(diǎn)，，又，，四邊形是正方形，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)、正方形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出適當(dāng)?shù)妮o助線，利用題意證明出四邊形是正方形．練習(xí)3．（2020·河南漯河·八年級階段練習(xí)）如圖，在正方體的兩個(gè)面上畫了兩條對角線、，則等于（

）A．135° B．90° C．75° D．60°【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正方體的概念和特性可知AB，AC和左面上的對角線形成一個(gè)等邊三角形，進(jìn)而即可求解【詳解】連接BC，∵AC、AB、BC是正方形的對角線，∴AC=AB=BC，∴△ABC為等邊三角形．∴∠BAC=60°．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、正方形與正方形的性質(zhì)；證明△ABC為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．◎◎考點(diǎn)11：根據(jù)性質(zhì)與判定求求線段長例．（2021·河北·石家莊二十三中八年級期末）如圖，在邊長為的正方形ABCD中，點(diǎn)E是對角線AC上一點(diǎn)，且于點(diǎn)F，連接DE，當(dāng)時(shí)，（）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】證明，則，計(jì)算的長，得，證明是等腰直角三角形，可得的長．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形，三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是在正方形中學(xué)會(huì)利用等腰直角三角形的性質(zhì)解決問題，屬于中考常考題型．練習(xí)1．（2021·浙江溫州·八年級期中）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BP，EP，則BP＋EP的最小值為（

）A． B． C． D．＋1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正方形是軸對稱圖形，所在的直線是正方形的一條對稱軸，進(jìn)而根據(jù)對稱性可知，BP+EP＝PD+PE，當(dāng)在同一直線上時(shí)，的值最小為的長，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求得的值．【詳解】解：連接BD，∵正方形是軸對稱圖形，所在的直線是正方形的一條對稱軸，∴無論P(yáng)在什么位置，都有PD＝PB；故均有BP+EP＝PD+PE成立；連接DE與AC，所得的交點(diǎn)，即為BP+EP的最小值時(shí)的位置，如圖所示：此時(shí)BP+EP＝DE，∵正方形ABCD的邊長為2，∴DC＝BC＝2，∵E是BC的中點(diǎn)，∴EC＝1，在Rt△DEC中，DE＝＝＝，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，理解對角線所在的直線是正方形的對稱軸是解題的關(guān)鍵．練習(xí)2．（2021·陜西·榆林市第五中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，M是邊AD上一點(diǎn)，連接OM，過點(diǎn)O作ON⊥OM交CD于點(diǎn)N．若S四邊形MOND＝2，則BD的長為（）A．2 B． C．4 D．2【答案】C【解析】【分析】利用正方形的性質(zhì)得到OD＝OB＝OC，∠COD＝90°，∠OCD＝∠ODA＝45°，利用等角的余角相等可證得∠CON＝∠DOM，則可判斷△OCN≌△ODM，所以S△OCN＝S△ODM，從而得到S△ODC＝S四邊形MOND＝2，然后利用等腰三角形的面積計(jì)算出OD即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴OD＝OB＝OC，∠COD＝90°，∠OCD＝∠ODA＝45°，∵ON⊥OM，∴∠MON＝90°，∵∠CON＋∠DON＝90°，∠DOM＋∠DON＝90°，∴∠CON＝∠DOM，在△OCN和△ODM中，，∴△OCN≌△ODM（ASA），∴S△OCN＝S△ODM，∴S△OCN＋S△DON=S△ODM＋S△DON，即S△ODC＝S四邊形MOND＝2，∵OD?OC＝2，而OD＝OC，∴OD＝2，∴BD＝2OD＝4．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；兩條對角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．證明△OCN≌△ODM是解決問題的關(guān)鍵．練習(xí)3．（2021·浙江·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）九年級開學(xué)考試）如圖，正方形的邊長為12，，分別為，邊上的點(diǎn)，且，，分別為，邊上的點(diǎn)，且交，于點(diǎn)，，則的長為（

）A．6 B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由勾股定理可求AE的長，通過證明四邊形AFCE是平行四邊形，可得，即可求解．【詳解】解：正方形的邊長為12，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，利用面積法求GH的長是本題的關(guān)鍵．◎◎考點(diǎn)12：根據(jù)性質(zhì)與判定求面積例．（2022·山東·濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)九年級期末）如圖，正方形的邊長為4，分別以正方形的三條邊為直徑在正方形內(nèi)部作半圓，則陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)S陰影=2×(S半圓S△AOD)求解即可．【詳解】如圖，連接OA、OD，則根據(jù)對稱性可得：S陰影=2×(S半圓S△AOD)=，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積計(jì)算，正方形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是表示出兩個(gè)弓形面積之和與半圓與三角形面積之間的關(guān)系．練習(xí)1．（2020·吉林·長春北師大附屬學(xué)校八年級期中）圖中有三個(gè)正方形，若陰影部分面積為4個(gè)平方單位，則最大正方形的面積是（）平方單位.A．48 B．12 C．24 D．36【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，設(shè),結(jié)合勾股定理，求得正方形的邊長，即可求得答案.【詳解】∵與都是正方形，∴，∴，設(shè),∵∴，∵∴∵∴∴∴∴正方形的面積是：36，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.練習(xí)2．（2020·河南·九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是邊長為2cm的正方形ABCD的邊上一動(dòng)點(diǎn)，O是對角線的交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P由A→D→C運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)DP＝xcm，則△POD的面積y(cm2)隨x(cm)變化的關(guān)系圖象為(

)A．B．C． D．【答案】B【解析】【分析】△POD的面積可分為兩部分討論，P由A運(yùn)動(dòng)到D時(shí)，面積逐漸減小，由D運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，面積逐漸增大，從而得出函數(shù)關(guān)系的圖象．【詳解】解：∵正