2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理3第2課時(shí)組合的應(yīng)用課后作業(yè)含解析北師大版選修2-3

PAGE組合的應(yīng)用[A組基礎(chǔ)鞏固]1．有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人擔(dān)當(dāng)，乙、丙各需一人擔(dān)當(dāng)，從10人中選出4人擔(dān)當(dāng)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法種數(shù)是()A．1260 B．2025C．2520 D．5040解析：N＝Ceq\o\al(4,10)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝2520.答案：C2．某乒乓球隊(duì)有9名隊(duì)員，其中2名是種子選手，現(xiàn)在選擇5名選手參與競(jìng)賽，種子選手都必需在內(nèi)，那么不同的選法數(shù)共有()A．26 B．84C．35 D．21解析：從7名隊(duì)員中選出3人有Ceq\o\al(3,7)＝eq\f(7×6×5,3×2×1)＝35種選法．答案：C3．從5名男醫(yī)生，4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有()A．70種 B．80種C．100種 D．140種解析：可分兩類，男醫(yī)生2名，女醫(yī)生1名或男醫(yī)生1名，女醫(yī)生2名．∴共有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)＝70(種)．答案：A4．某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有()A．30種 B．35種C．42種 D．48種解析：解法一可分兩種狀況：A類選1門，B類選2門或A類選2門，B類選1門，共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4)＝18＋12＝30種選法．解法二總共有Ceq\o\al(3,7)＝35種選法，減去只選A類的Ceq\o\al(3,3)＝1種，再減去只選B類的Ceq\o\al(3,4)＝4種，故有30種選法．答案：A5．從正方體ABCD-A′B′C′D′的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)，作為四面體的頂點(diǎn)，可得到的不同四面體的個(gè)數(shù)為()A．Ceq\o\al(4,8)－12 B．Ceq\o\al(4,8)－8C．Ceq\o\al(4,8)－6 D．Ceq\o\al(4,8)－4解析：從8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)有Ceq\o\al(4,8)種取法，其中6個(gè)面和6個(gè)對(duì)角面上的四個(gè)頂點(diǎn)不能作為四面體的頂點(diǎn)，故有(Ceq\o\al(4,8)－12)個(gè)不同的四面體．答案：A6．從5名同學(xué)中選派4位同學(xué)在星期五、星期六、星期日參與公益活動(dòng)，每人一天，要求星期五有2人參與，星期六、星期日各有1人參與，則不同的選派方法共有________種．解析：從5人中選4人，有Ceq\o\al(4,5)種方法，對(duì)于選定的4人，讓他們參與這3天的公益活動(dòng)，選派方法共有Ceq\o\al(4,5)(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1))＝60(種)．答案：607．某班級(jí)要從4名男生、2名女生中選派4人參與某次社區(qū)服務(wù)，假如要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為________．解析：6人中選派4人的組合數(shù)為Ceq\o\al(4,6)，其中都選男生的組合數(shù)為Ceq\o\al(4,4).所以至少有1名女生的選派方案有Ceq\o\al(4,6)－Ceq\o\al(4,4)＝14(種)．答案：148．空間中有6個(gè)點(diǎn)，它們?nèi)魏?點(diǎn)不共線，任何4點(diǎn)不共面，則過其中兩點(diǎn)的異面直線共有________對(duì)．解析：考慮到每一個(gè)三棱錐對(duì)應(yīng)著3對(duì)異面直線，問題就轉(zhuǎn)化為求能構(gòu)成的三棱錐的個(gè)數(shù)．由于這6個(gè)點(diǎn)可構(gòu)成Ceq\o\al(4,6)個(gè)三棱錐，故共有3Ceq\o\al(4,6)＝45對(duì)異面直線．答案：459．課外活動(dòng)小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名隊(duì)長(zhǎng)，現(xiàn)從中選5人主持某種活動(dòng)，依下列條件各有多少種選法？(1)只有1名女生；(2)兩名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；(3)至少有1名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；(4)至多有2名女生當(dāng)選；(5)既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女生當(dāng)選．解析：(1)1名女生，4名男生．故共有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,8)＝350種選法．(2)將兩名隊(duì)長(zhǎng)作為一類，其他11人作為一類，故共有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,11)＝165種選法．(3)至少有1名隊(duì)長(zhǎng)，含有兩類：只有1名隊(duì)長(zhǎng)，2名隊(duì)長(zhǎng)．故共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,11)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,11)＝825種選法．或采納間接法，共有Ceq\o\al(5,13)－Ceq\o\al(5,11)＝825種選法．(4)至多有2名女生，含有三類：有2名女生，只有1名女生，沒有女生．故共有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝966種選法．(5)分兩類：第一類，女隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選有Ceq\o\al(4,12)種；其次類，女隊(duì)長(zhǎng)不當(dāng)選有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(4,4)種．故共有Ceq\o\al(4,12)＋Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(4,4)＝790種選法．10．平面內(nèi)有12個(gè)點(diǎn)，其中有4個(gè)點(diǎn)共線，此外再無任何3點(diǎn)共線，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，可得多少個(gè)不同的三角形？解析：我們把從共線的4個(gè)點(diǎn)中取點(diǎn)的多少作為分類的標(biāo)準(zhǔn)．第一類：共線的4個(gè)點(diǎn)中有2個(gè)點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,8)＝48個(gè)不同的三角形；其次類：共線的4個(gè)點(diǎn)中有1個(gè)點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，共有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,8)＝112個(gè)不同的三角形；第三類：共線的4個(gè)點(diǎn)中沒有點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，共有Ceq\o\al(3,8)＝56個(gè)不同的三角形．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(個(gè))．[B組實(shí)力提升]1．某地為上海“世博會(huì)”招募了20名志愿者，他們的編號(hào)分別是1號(hào)、2號(hào)、…、19號(hào)、20號(hào)．若要從中隨意選取4人再按編號(hào)大小分成兩組去做一些預(yù)備服務(wù)工作，其中兩個(gè)編號(hào)較小的人在一組，兩個(gè)編號(hào)較大的在另一組．那么確保5號(hào)與14號(hào)入選并被安排到同一組的選取種數(shù)是()A．16 B．21C．24 D．90解析：要“確保5號(hào)與14號(hào)入選并被安排到同一組”，則另外兩人的編號(hào)或都小于5或都大于14，于是依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，得選取種數(shù)是Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,6)＝6＋15＝21，故選B.答案：B2．以圓x2＋y2－2x－2y－1＝0內(nèi)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的個(gè)數(shù)為()A．76 B．78C．81 D．84解析：如圖，首先求出圓內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后求組合數(shù)，圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝3，圓內(nèi)共有9個(gè)整數(shù)點(diǎn)，其中共線的狀況有8種，則組成的三角形的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(3,9)－8＝76.故選A.答案：A3．某運(yùn)動(dòng)隊(duì)有5對(duì)老搭檔運(yùn)動(dòng)員，現(xiàn)抽派4個(gè)運(yùn)動(dòng)員參與競(jìng)賽，則這4人都不是老搭檔的抽派方法數(shù)為________．解析：先抽取4對(duì)老搭檔運(yùn)動(dòng)員，再從每對(duì)老搭檔運(yùn)動(dòng)員中各抽1人，故有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝80(種)．答案：804．某車間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車工，另外2名老師傅既能當(dāng)鉗工又能當(dāng)車工．現(xiàn)在從這11名工人中選派4名鉗工和4名車工修理一臺(tái)機(jī)床，有多少種不同的選派方法？解析：設(shè)A、B表示2位老師傅，下面對(duì)A、B的選派狀況進(jìn)行分類：(1)A、B都沒選上的方法有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(4,4)＝5(種)；(2)A、B都選上且都當(dāng)鉗工的方法有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(4,4)＝10(種)；(3)A、B都選上且都當(dāng)車工的方法有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(2,4)＝30(種)；(4)A、B都選上且一人當(dāng)鉗工，一人當(dāng)車工的方法有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,4)＝80(種)；(5)A、B有一人選上且當(dāng)鉗工的方法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(4,4)＝20(種)；(6)A、B有一個(gè)選上且當(dāng)車工的方法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(3,4)＝40(種)；故共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185種選派方法．5．某班準(zhǔn)備從7名男生5名女生中選取5人作為班干部，分別求符合下列條件的選法總數(shù)有多少種？(1)A，B必需當(dāng)選；(2)A，B必不當(dāng)選；(3)A，B不全當(dāng)選；(4)至少有2名女生當(dāng)選；(5)選取3名男生和2名女生分別擔(dān)當(dāng)班長(zhǎng)、體育委員等5種不同的工作，但體育委員必需由男生擔(dān)當(dāng)，班長(zhǎng)必需由女生擔(dān)當(dāng)．解析：(1)由于A，B必需當(dāng)選，那么從剩下的10人中選取3人即可，故有Ceq\o\al(3,10)＝120種選法．(2)從除去A，B兩人的10人中選5人即可，故有Ceq\o\al(5,10)＝252種選法．(3)全部選法有Ceq\o\al(5,12)種，A，B全當(dāng)選有Ceq\o\al(3,10)種，故A，B不全當(dāng)選有Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(3,10)＝672種選法．(4)留意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或沒有女生，故可用間接法求解．所以有Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,7)－Ceq\o\al(5,7)＝596種選法．(5)分三步進(jìn)行：