高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.5平面向量應(yīng)用舉例第1課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)新人教A版必修4

2.5平面對(duì)量應(yīng)用舉例（第1課時(shí)）2.5.1平面幾何中的向量方法一、教學(xué)分析1.本節(jié)的目的是讓學(xué)生加深對(duì)向量的相識(shí),更好地體會(huì)向量這個(gè)工具的優(yōu)越性.對(duì)于向量方法,就思路而言,幾何中的向量方法完全與幾何中的代數(shù)方法一樣,不同的只是用“向量和向量運(yùn)算”來代替“數(shù)和數(shù)的運(yùn)算”.這就是把點(diǎn)、線、面等幾何要素干脆歸結(jié)為向量,對(duì)這些向量借助于它們之間的運(yùn)算進(jìn)行探討,然后把這些計(jì)算結(jié)果翻譯成關(guān)于點(diǎn)、線、面的相應(yīng)結(jié)果.代數(shù)方法的流程圖可以簡潔地表述為:則向量方法的流程圖可以簡潔地表述為:這就是本節(jié)給出的用向量方法解決幾何問題的“三步曲”,也是本節(jié)的重點(diǎn).2.探討幾何可以實(shí)行不同的方法,這些方法包括:綜合方法——不運(yùn)用其他工具,對(duì)幾何元素及其關(guān)系干脆進(jìn)行探討;解析方法——以數(shù)(代數(shù)式)和數(shù)(代數(shù)式)的運(yùn)算為工具,對(duì)幾何元素及其關(guān)系進(jìn)行探討;向量方法——以向量和向量的運(yùn)算為工具,對(duì)幾何元素及其關(guān)系進(jìn)行探討;分析方法——以微積分為工具,對(duì)幾何元素及其關(guān)系進(jìn)行探討,等等.前三種方法都是中學(xué)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的內(nèi)容.有些平面幾何問題,利用向量方法求解比較簡潔.運(yùn)用向量方法要點(diǎn)在于用向量表示線段或點(diǎn),依據(jù)點(diǎn)與線之間的關(guān)系,建立向量等式,再依據(jù)向量的線性相關(guān)與無關(guān)的性質(zhì),得出向量的系數(shù)應(yīng)滿意的方程組,求出方程組的解,從而解決問題.運(yùn)用向量方法時(shí),要留意向量起點(diǎn)的選取,選取得當(dāng)可使計(jì)算過程大大簡化.二、教學(xué)目標(biāo)1．學(xué)問與技能通過平行四邊形這個(gè)幾何模型,歸納總結(jié)出用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”.2．過程與方法明白平面幾何圖形中的有關(guān)性質(zhì),如平移、全等、相像、長度、夾角等可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示.3．情感看法與價(jià)值觀通過本節(jié)學(xué)習(xí),讓學(xué)生深刻理解向量在處理有關(guān)平面幾何問題中的優(yōu)越性,活躍學(xué)生的思維,發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性,并體會(huì)向量在幾何和現(xiàn)實(shí)生活中的意義.教學(xué)中要求盡量引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用信息技術(shù)這個(gè)現(xiàn)代化手段.三、重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):用向量方法解決實(shí)際問題的基本方法;向量法解決幾何問題的“三步曲”.教學(xué)難點(diǎn):如何將幾何等實(shí)際問題化歸為向量問題.四、教學(xué)設(shè)想（一）導(dǎo)入新課思路1.(干脆導(dǎo)入)向量的概念和運(yùn)算都有著明確的物理背景和幾何背景,當(dāng)向量和平面坐標(biāo)系結(jié)合后,向量的運(yùn)算就完全可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.這就為我們解決物理問題和幾何探討帶來了極大的便利.本節(jié)特地探討平面幾何中的向量方法.思路2.(情境導(dǎo)入)由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有顯明的幾何背景,平面幾何圖形的很多性質(zhì),如平移、全等、相像、長度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來,因此,可用向量方法解決平面幾何中的一些問題.下面通過幾個(gè)詳細(xì)實(shí)例,說明向量方法在平面幾何中的運(yùn)用.（二）推動(dòng)新課、新知探究、提出問題圖1①平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型,如圖1,你能視察、發(fā)覺并猜想出平行四邊形對(duì)角線的長度與兩鄰邊長度之間有什么關(guān)系嗎？②你能利用所學(xué)學(xué)問證明你的猜想嗎？能利用所學(xué)的向量方法證明嗎？試一試可用哪些方法?③你能總結(jié)一下利用平面對(duì)量解決平面幾何問題的基本思路嗎？活動(dòng):①老師引導(dǎo)學(xué)生猜想平行四邊形對(duì)角線的長度與兩鄰邊長度之間有什么關(guān)系.利用類比的思想方法,猜想平行四邊形有沒有相像關(guān)系.指導(dǎo)學(xué)生猜想出結(jié)論:平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和.②老師引導(dǎo)學(xué)生探究證明方法,并點(diǎn)撥學(xué)生對(duì)各種方法分析比較,平行四邊形是學(xué)生熟識(shí)的重要的幾何圖形,在平面幾何的學(xué)習(xí)中,學(xué)生得到了它的很多性質(zhì),有些性質(zhì)的得出比較麻煩,有些性質(zhì)的得出比較簡潔.讓學(xué)生體會(huì)探討幾何可以實(shí)行不同的方法,這些方法包括綜合方法、解析方法、向量方法.圖2證明:方法一:如圖2.作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,則Rt△ADF≌Rt△BCE.∴AD=BC,AF=BE.由于ACAE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2.BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2AB·AF+AF2+DF2=AB2-2AB·AF+AD2=AB2-2AB·BE+BC2.∴AC2+BD2=2(AB2+BC2).圖3方法二:如圖3.以AB所在直線為x軸,A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.設(shè)B(a,0),D(b,c),則C(a+b,c).∴|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,|BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.∴|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)=2(|AB|2+|AD|2).用向量方法推導(dǎo)了平行四邊形的兩條對(duì)角線與兩條鄰邊之間的關(guān)系.在用向量方法解決涉及長度、夾角的問題時(shí),常?？紤]用向量的數(shù)量積.通過以下推導(dǎo)學(xué)生可以發(fā)覺,由于向量能夠運(yùn)算,因此它在解決某些幾何問題時(shí)具有優(yōu)越性,它把一個(gè)思辨過程變成了一個(gè)算法過程,學(xué)生可按肯定的程序進(jìn)行運(yùn)算操作,從而降低了思索問題的難度,同時(shí)也為計(jì)算機(jī)技術(shù)的運(yùn)用供應(yīng)了便利.教學(xué)時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)向量帶來的優(yōu)越性.因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)角線平行且相等,考慮到向量關(guān)系=-,=+,老師可點(diǎn)撥學(xué)生設(shè)=a,=b,其他線段對(duì)應(yīng)向量用它們表示,涉及長度問題常常考慮向量的數(shù)量積,為此,我們計(jì)算||2與||2.因此有了方法三.方法三:設(shè)=a,=b,則=a+b,=a-b,||2=|a|2,||2=|b|2.∴||2=·=(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2.①同理||2=|a|2-2a·b+|b|2.②視察①②兩式的特點(diǎn),我們發(fā)覺,①+②得||2+||2=2(|a|2+|b|2)=2(||2+||2),即平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.③至此,為解決重點(diǎn)問題所作的鋪墊已經(jīng)完成,向前發(fā)展可以說水到渠成.老師充分讓學(xué)生對(duì)以上各種方法進(jìn)行分析比較,探討認(rèn)清向量方法的優(yōu)越性,適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生歸納用向量方法處理平面幾何問題的一般步驟.由于平面幾何常常涉及距離(線段長度)、夾角問題,而平面對(duì)量的運(yùn)算,特殊是數(shù)量積主要涉及向量的模以及向量之間的夾角,因此我們可以用向量方法解決部分幾何問題.解決幾何問題時(shí),先用向量表示相應(yīng)的點(diǎn)、線段、夾角等幾何元素.然后通過向量的運(yùn)算,特殊是數(shù)量積來探討點(diǎn)、線段等元素之間的關(guān)系.最終再把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系,得到幾何問題的結(jié)論.這就是用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”,即(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;(2)通過向量運(yùn)算,探討幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問題;(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.探討結(jié)果:①能.②能想出至少三種證明方法.③略.（三）應(yīng)用示例圖4例1如圖4,ABCD中,點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn),BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn),你能發(fā)覺AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎?活動(dòng):為了培育學(xué)生的視察、發(fā)覺、猜想實(shí)力,讓學(xué)生能動(dòng)態(tài)地發(fā)覺圖形中AR、RT、TC之間的相等關(guān)系,教學(xué)中可以充分利用多媒體,作出上述圖形,測量AR、RT、TC的長度,讓學(xué)生發(fā)覺AR=RT=TC,拖動(dòng)平行四邊形的頂點(diǎn),動(dòng)態(tài)視察發(fā)覺,AR=RT=TC這個(gè)規(guī)律不變,因此猜想AR=RT=TC.事實(shí)上,由于R、T是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn),要推斷AR、RT、TC之間的關(guān)系,只需分別推斷AR、RT、TC與AC的關(guān)系即可.又因?yàn)锳R、RT、TC、AC共線,所以只需推斷與之間的關(guān)系即可.探究過程比照用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”很簡潔地可得到結(jié)論.第一步,建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;其次步,通過向量運(yùn)算,探討幾何元素之間的關(guān)系;第三步,把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系:AR=RT=TC.解:如圖4,設(shè)=a,=b,=r,=t,則=a+b.由于與共線,所以我們設(shè)r=n(a+b),n∈R.又因?yàn)?-=a-b,與共線,所以我們設(shè)=m=m(a-b).因?yàn)?所以r=b+m(a-b).因此n(a+b)=b+m(a-b),即(n-m)a+(n+)b=0.由于向量a、b不共線,要使上式為0,必需解得n=m=.所以=,同理=.于是=.所以AR=RT=TC.點(diǎn)評(píng):教材中本例重在說明是如何利用向量的方法找出這個(gè)相等關(guān)系的,因此在書寫時(shí)可簡化一些程序.指導(dǎo)學(xué)生在今后的訓(xùn)練中,不必列出三個(gè)步驟.變式訓(xùn)練圖5如圖5,AD、BE、CF是△ABC的三條高.求證:AD、BE、CF相交于一點(diǎn).證明:設(shè)BE、CF相交于H,并設(shè)=b,=c,=h,則=h-b,=h-c,=c-b.因?yàn)椤?⊥,所以(h-b)·c=0,(h-c)·b=0,即(h-b)·c=(h-c)·b.化簡得h·(c-b)=0.所以⊥.所以AH與AD共線,即AD、BE、CF相交于一點(diǎn)H.圖6例2如圖6,已知在等腰△ABC中,BB′、CC′是兩腰上的中線,且BB′⊥CC′,求頂角A的余弦值.活動(dòng):老師可引導(dǎo)學(xué)生思索探究,上例利用向量的幾何法簡捷地解決了平面幾何問題.可否利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算呢？這須要建立平面直角坐標(biāo)系,找出所需點(diǎn)的坐標(biāo).假如能比較便利地建立起平面直角坐標(biāo)系,如本例中圖形,很便利建立平面直角坐標(biāo)系,且圖形中的各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)也簡潔寫出,是否利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算能更快捷地解決問題呢？老師引導(dǎo)學(xué)生建系、找點(diǎn)的坐標(biāo),然后讓學(xué)生獨(dú)立完成.解:建立如圖6所示的平面直角坐標(biāo)系,取A(0,a),C(c,0),則B(-c,0),=(0,a),=(c,a),=(c,0),=(2c,0).因?yàn)锽B′、CC′都是中線,所以=(+)=［(2c,0)+(c,a)］=(),同理=().因?yàn)锽B′⊥CC′,所以=0,a2=9c2.所以cosA=.點(diǎn)評(píng):比較是最好的學(xué)習(xí)方法.本例利用的方法與例題1有所不同,但其本質(zhì)是一樣的,教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生細(xì)致體會(huì)這一點(diǎn),比較兩例的異同,找出其內(nèi)在的聯(lián)系,以達(dá)融會(huì)貫穿,敏捷運(yùn)用之功效.變式訓(xùn)練圖7如圖7,在Rt△ABC中,已知BC=a.若長為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn),問:的夾角θ取何值時(shí),的值最大?并求出這個(gè)最大值.解:方法一,如圖7.∵⊥,∴·=0.∵,∴==-a2-+·=-a2+·(-)=-a2+·=-a2+a2cosθ.故當(dāng)cosθ=1,即θ=0,與的方向相同時(shí),最大,其最大值為0.圖8方法二:如圖8.以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),兩直角邊所在的直線為坐標(biāo)軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)|AB|=c,|AC|=b,則A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則Q(-x,-y).∴=(x-c,y),=(-x,-y-b),=(-c,b),=(-2x,-2y).∴=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.∵cosθ=∴cx-by=a2cosθ.∴=-a2+a2cosθ.故當(dāng)cosθ=1,即θ=0,與的方向相同時(shí),最大,其最大值為0.（四）知能訓(xùn)練圖91.如圖9,已知AC為⊙O的一條直徑,∠ABC是圓周角.求證:∠ABC=90°.證明:如圖9.設(shè)=a,=b,則=a+b,=a,=a-b,|a|=|b|.因?yàn)椤?(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,所以⊥.由此,得∠ABC=90°.點(diǎn)評(píng):充分利用圓的特性,設(shè)出向量.2.D、E、F分別是△ABC的三條邊AB、BC、CA上的動(dòng)點(diǎn),且它們在初始時(shí)刻分別從A、B、C動(dòng)身,各以肯定速度沿各邊向B、C、A移動(dòng).當(dāng)t=1時(shí),分別到達(dá)B、C、A.求證:在0≤t≤1的任一時(shí)刻t1,△DEF的重心不變.圖10證明:如圖10.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)A、B、C坐標(biāo)分別為(0,0),(a,0),(m,n).在任一時(shí)刻t1∈(0,1),因速度肯定,其距離之比等于時(shí)間之比,有=λ,由定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式可得D、E、F的坐標(biāo)分別為(at1,0),(a+(m-a)t1,nt1),(m-mt1,n-nt1).由重心坐標(biāo)公式可得△DEF的重心坐標(biāo)為().當(dāng)t=0或t=1時(shí),△ABC的