寒假作業(yè)13圓中重要模型之輔助圓模型

限時練習(xí)：40min完成時間：月日天氣：寒假作業(yè)13圓中重要模型之輔助圓模型輔助圓（隱圓）是各地中考選擇題和填空題、甚至解答題中的?？碱}，題目常以動態(tài)問題出現(xiàn)，有點、線的運動，或者圖形的折疊、旋轉(zhuǎn)等．輔助圓（隱圓）常見的有以下四種形式，動點定長、定邊對直角、定邊對定角、四點共圓，上述四種動態(tài)問題的軌跡是圓．題目具體表現(xiàn)為折疊問題、旋轉(zhuǎn)問題、角度不變問題等，此類問題綜合性強，隱蔽性強,很容易造成同學(xué)們的丟分．本課時就輔助圓模型進(jìn)行專項訓(xùn)練，幫助同學(xué)們熟練掌握．1、動點定長模型（圓的定義）如圖1，若P為動點，但AB=AC=AP，則B，C，P三點共圓，A為圓心，AB長為半徑．圓的定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定值的所有點構(gòu)成的集合．尋找隱圓技巧：若動點到平面內(nèi)某定點的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓?。畧D1圖22、定邊對直角模型（直角對直徑）如圖2，固定線段AB所對動角∠C恒為90°，則A，B，C三點共圓，AB為直徑．尋找隱圓技巧：一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓?。?、定邊對定角模型（定弦定角模型）如圖3，固定線段AB所對同側(cè)動角∠P=∠C，則A，B，C，P四點共圓．圖3圖4根據(jù)圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都相等．尋找隱圓技巧：AB為定值，∠P為定角，則P點軌跡是一個圓．4、四點共圓模型（對角互補模型與等弦對等角）如圖4，若平面上A，B，C，D四個點滿足，則A，B，C，D四點共圓．尋找隱圓技巧：（1）四邊形對角互補；（2）四邊形外角等于內(nèi)對角．1．如圖，點O為線段AB的中點，點B，C，D到點O的距離相等，連接AC，BD，則下面結(jié)論不一定成立的是（

）A．∠ACB=90°B．∠BDC=∠BACC．AC平分∠BADD．∠BCD+∠BAD=180°【答案】C【解析】如圖，以點O為圓心，OA長為半徑作圓．由題意可知：OA=OB=OC=OD，即點A，B，C，D都在圓O上．A．由圖可知AB為經(jīng)過圓心O的直徑，根據(jù)圓周角定理推論可知，故A不符合題意．B．因為，所以根據(jù)圓周角定理可知，故B不符合題意．C．當(dāng)時，，所以此時AC不平分，故C符合題意．D．根據(jù)圓周角定理推論可知，．故D不符合題意．故選C．2．如圖，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，則∠CAD的度數(shù)為（）A．68° B．88° C．90° D．112°【答案】B【解析】如圖，∵AB=AC=AD，∴點B，C，D在以點A為圓心，以AB的長為半徑的圓上；∵∠CBD=2∠BDC，∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，

∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°，

∴∠CAD=88°，故選B.3．如圖，在四邊形中，，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，∵，∴點A，B，C，D四點共圓，∵，∴．∵，∴，∴．∵，，∴，∴，∴．故選D．4．如圖，已知在中，，，，，過點作的垂線，與的延長線交于點，則的最大值為（

）A．4 B．5 C． D．【答案】C【解析】如圖，∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)有最大值時，有最大值，∵，∴點A，C，B，P四點共圓．若有最大值，則應(yīng)為直徑，∵，∴是圓的直徑，∴，∴的最大值為，故選C．5．在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格圖形ABCD中，M，N分別是AB，BC上的格點，BM＝4，BN＝2．若點P是這個網(wǎng)格圖形中的格點，連接PM，PN，則所有滿足∠MPN＝45°的△PMN中，邊PM的長的最大值是（

）A． B．6 C． D．【答案】C【解析】過線段MN的中點Q，作MN的垂直平分線OQ，并使OQ=MN，以O(shè)為圓心，OM為半徑作圓，如圖，因為OQ為MN的垂直平分線且OQ=MN，所以O(shè)Q=MQ=NQ，∴∠OMQ=∠ONQ=45°，∴∠MON=90°，所以弦MN所對的圓O的圓周角為45°，所以點P在圓O上，PM為圓O的弦，通過圖像可知，當(dāng)點P在位置時，恰好過格點且經(jīng)過圓心O，所以此時最大，等于圓O的直徑．∵BM＝4，BN＝2，∴，∴MQ=OQ=，∴OM=，∴，故選C．6．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一點，且CD＝3，E是BC邊上一點，將△DCE沿DE折疊，使點C落在點F處，連接BF，則BF的最小值為_______．【答案】【解析】由折疊知，F(xiàn)點的運動軌跡為：以D為圓心，CD的長為半徑的圓，如圖所示，由圖可知，當(dāng)點B，D，F(xiàn)共線，且F在B，D之間時，BF取最小值，∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC=6，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=，∴BF=BD－DF=，故答案為．7．如圖，在中，，，，是平面內(nèi)一動點，且，取的中點，連接，則線段的最大值為．【答案】【解析】如圖所示，取的中點O，∵，∴，∵E是的中點，，∴，∵，∴點P在以為直徑的圓上運動，也即點P在以O(shè)為圓心，3為半徑的圓上運動，∴當(dāng)在線段上時，有最大值．連接交于D，則點P運動到點D時有最大值．由勾股定理得，∴，∴的最大值為，故答案為：．8．如圖，是和的公共斜邊，AC=BC，，E是的中點，連接DE，CE，CD，那么___________________．【答案】13【解析】∵AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜邊，E是AB的中點，∴AE=EB=EC=ED，∴A，C，B，D在以E為圓心的圓上，∵∠BAD=32°，∴∠DCB=∠BAD=32°，又∵AC=BC，E是Rt△ABC的中點，∴∠ECB=45°，∴∠ECD=∠ECB∠DCB=13°．故答案為13．9．如圖，在中，，，若D是與點C在直線異側(cè)的一個動點，且，則的最大值為__________________．【答案】【解析】如圖所示，以為底邊，在的下方作等腰三角形，則，∵，∴點D在以O(shè)為圓心，6為半徑的圓上運動，當(dāng)過圓心時，最大．∵，，∴，∴的最大值為：，故答案為．10．如圖，四邊形為矩形，，．點P是線段上一動點，點M為線段上一點，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)AD的中點為O，以O(shè)點為圓心，AO為半徑畫圓（如圖）.∵四邊形為矩形，∴，∵，∴，∴，∴點M在以O(shè)點為圓心，以AO長為半徑的圓上，連接OB交圓O于點N，∵點B為圓O外一點，∴當(dāng)直線BM過圓心O時，BM最短，∵，，∴，∴，∴，故選D．11．如圖，在中，，，，點P為平面內(nèi)一點，且，過C作交PB的延長線于點Q，則CQ的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵在中，，，，，∴A，B，C，P四點共圓，AB為圓的直徑，AB=，∵，∴∴△ABC∽△PQC，∴，，即，∴當(dāng)PC取得最大值時，CQ即為最大值，∴當(dāng)PC=AB=5時，CQ取得最大值為，故選B．12．如圖，在邊長為1的菱形中，，動點E在邊上（與點A、B均不重合），點F在對角線上，與相交于點G，連接，若，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．的最小值為【答案】D【解析】∵四邊形ABCD是菱形，，∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=∠BAD==，∴△BAF≌△DAF≌△CBE，△ABC是等邊三角形，∴DF=CE，∠ABF=∠BCE，故A項答案正確．∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60゜，∴∠GCB+∠GBC=60゜，∴∠BGC=180゜（∠GCB+∠GBC）=180゜60゜=120゜，故B項答案正確．∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，∴△BEG∽△CEB，∴，∴，∵，∴，故C項答案正確．∵，BC=1，點G在以線段BC為弦的弧BC上，∴當(dāng)點G在等邊△ABC的內(nèi)心處時，AG取最小值，如圖，∵△ABC是等邊三角形，BC=1，∴，AF=AC=，∠GAF=30゜，∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，∴解得AG=，故D項錯誤，故選D.13．如圖，在中，，為的中點，平分交于點，，分別與，交于點，，連接，，則的值為；若，則的值為．【答案】；【解析】∵，為的中點，∴，又∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，在與中，,，∴，∴.∵，∴四點共圓，如圖：∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴.故答案為；.14．如圖，是的直徑，，C為的三等分點（更靠近A點），點P是上一個動點，取弦的中點D，則線段的最大值為__________．【答案】+1【解析】如圖，連接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥PA，∴∠ADO＝90°，∴點D的運動軌跡為以AO中點K為圓心，以AD長為直徑的⊙K，連接CK，AC，當(dāng)點D在CK的延長線上時，CD的值最大，∵C為的三等分點，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等邊三角形，∴CK⊥OA．在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK=，∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值為+1，故答案為+1．15．如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝2，若P為△ABC內(nèi)一動點，且滿足∠PAB＝∠ACP，則點P運動的路徑長為_________．【答案】【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴點P的運動軌跡是，如圖所示：連接OA，OC，作OD⊥AC于D，則AD＝CDAC＝1，∵所對的圓心角＝2∠APC＝240°，∴劣弧AC所對的圓心角∠AOC＝360°﹣240°＝120°，∵OA＝OC，∴∠OAD＝30°，∵OD⊥AC，∴ODAD，OA＝2OD，∴的長為.故答案為π．16．定義：三角形一個內(nèi)角的平分線與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角．①若∠A＝40°，∠E的度數(shù)是；②求∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點E在BD的延長線上，連接CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，求證：DA＝DE．【解析】（1）①∵∠E是△ABC中∠A的遙望角，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，∵∠A＝40°，∴∠E＝20°．故答案為：20°；②，理由如下：∵∠E是△ABC中∠A的遙望角，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A；（2）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、B、C、D四點共圓，如圖，作四邊形ABCD的外接圓交CE于點F，連接AF，DF，∵四邊形FDBC內(nèi)接于⊙O，∴∠DFC+∠DBC＝180°，∵∠DFC+∠DFE＝180°，∴∠DFE＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ABD＝∠AFD，∴∠AFD＝∠DFE，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，由（1）得∠E＝∠BAC，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠E＝∠BDC，∵∠E+∠DCE＝∠BDC，∴∠E＝∠DCE，∵∠DCE＝∠DAF，∴∠E＝∠DAF，∵DF＝DF，∠AFD＝∠DFE，∴△DAF≌△DEF（AAS），∴DA＝DE．17．（1）【學(xué)習(xí)心得】小剛同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．例如：如圖1，在中，，D是外一點，且，求的度數(shù)．若以點A為圓心，AB為半徑作輔助圓，則點C、D必在上，是的圓心角，而是圓周角，從而可容易得到．（2）【問題解決】如圖2，在四邊形中，，求的數(shù)．小剛同學(xué)認(rèn)為用添加輔助圓的方法，可以使問題快速解決，他是這樣思考的：的外接圓就是以的中點為圓心，長為半徑的圓；的外接圓也是以的中點為圓心，長為半徑的圓．這樣A，B，C，D四點在同一個圓上，進(jìn)而可以利用圓周角的性質(zhì)求出的度數(shù)，請運用小剛的思路解決這個問題．（3）【問題拓展】如圖3，在中，，是邊上的高，且，求的長．【解析】（1）如圖1，∵，∴以點A為圓心，點B，C，D必在上，∵是的圓心角，而是圓周角，∴，同理，當(dāng)點D在弧上時，．故答案是：或．（2）如圖2，取的中點O，連接，．∵，∴點A，B，C，D四點共圓，∴，∵，∴．（3）如圖3，作的外接圓，過圓心O作于點E，作于點F，連接，，．∵，，是邊上的高，∴四邊形是矩形，∴．∵，∴．在中，，∴．∵，O為圓心，∴，∴．在中，，∴．在中，，∴，∴．18．（2023·淮安·中考真題）如圖，在四邊形中，為內(nèi)部的任一條射線（不等于），點關(guān)于的對稱點為，直線與交于點，連接，則面積的最大值是．【答案】【解析】如圖所示，連接，∵點關(guān)于的對稱點為，∴，∵，∴在半徑為的上，在優(yōu)弧上任取一點，連接,則，，∴，∴是等邊三角形，當(dāng)取得最大值時，面積最大，∵在上運動，則最大值為，則面積的最大值是．故答案為：．19．（2023·湖北隨州·中考真題）如圖，在矩形中，，M是邊上一動點（不含端點），將沿直線對折，得到．當(dāng)射線交線段于點P時，連接，則的面積為，的最大值為．【答案】，【解析】由題意可得的面積等于矩形的一半