專題06二次函數(shù)的新定義問(wèn)題專訓(xùn)

專題06二次函數(shù)的新定義問(wèn)題專訓(xùn)【精選最新40道二次函數(shù)的新定義問(wèn)題專訓(xùn)】1．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）定義表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，如，，，則方程的解有(

)個(gè)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)新定義和函數(shù)圖象討論：當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；然后分別解關(guān)于的一元二次方程即可．【詳解】解：：當(dāng)時(shí)，則，解得：當(dāng)時(shí)，則，無(wú)解當(dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，則，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，則，解得，故有1個(gè)解；綜上所述，方程的解有3個(gè)；;故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算與二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意建立方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東濟(jì)寧·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m、n，定義符號(hào)的含義為m，n之間的最大值，如，．定義一個(gè)新函數(shù)：，則時(shí)，x的取值范圍為（

）A．或 B．或 C． D．或【答案】D【分析】符號(hào)的含義是取較大的值．則本題實(shí)為函數(shù)比較大小的問(wèn)題，聯(lián)立方程，畫出函數(shù)圖象，根據(jù)求得交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：令，如圖所示，則的值為函數(shù)較大的值，∴比較兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，較大的y值即為最大值．聯(lián)立方程?

解得令，解得，，令，解得：，∴當(dāng)時(shí)，或故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，正確畫出函數(shù)圖象是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023秋·河南開(kāi)封·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）定義一種新函數(shù)，形如（a≠0且）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)，某同學(xué)畫出函數(shù)的圖象如圖．并寫出了下列結(jié)論：①圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②圖象具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸是直線x＝1；③當(dāng)﹣1≤x≤1或x≥3時(shí)，y隨x的增大而增大；④當(dāng)x＝﹣1或x＝3函數(shù)有最小值是0；⑤當(dāng)x＝1時(shí)函數(shù)的最大值是4．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】將分別代入求得于坐標(biāo)軸的交點(diǎn)可得①是正確的；從圖象可以看出圖象具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸是直線x=1，②也是正確的；根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)1≤x≤1或x≥3時(shí)，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，因此③也是正確的；函數(shù)圖象的最低點(diǎn)就是與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)y=0，求出相應(yīng)的x的值為x=1或x=3，因此④也是正確的；從圖象上看，當(dāng)x＜1或x＞3，函數(shù)值要大于當(dāng)x=1時(shí)的，因此⑤時(shí)不正確的；逐個(gè)判斷之后，可得出答案．【詳解】解：①∵令，得，令，則解得∴與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（1，0），（3，0）和（0，3），∴①是正確的；②從圖象可知圖象具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸為直線，因此②也是正確的；③根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)1≤x≤1或x≥3時(shí)，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，因此③也是正確的；④函數(shù)圖象的最低點(diǎn)就是與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)y=0，求出相應(yīng)的x的值為x=1或x=3，因此④也是正確的；⑤從圖象上看，當(dāng)x＜1或x＞3，存在函數(shù)值要大于當(dāng)x=1時(shí)的，因此⑤是不正確的；故正確的為：①②③④．故選C．【點(diǎn)睛】考查了二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，理解“鵲橋”函數(shù)的意義，掌握“鵲橋”函數(shù)與與二次函數(shù)之間的關(guān)系；兩個(gè)函數(shù)性質(zhì)之間的聯(lián)系和區(qū)別是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)、對(duì)稱性、對(duì)稱軸及最值的求法以及增減性應(yīng)熟練掌握．4．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）新定義：為二次函數(shù)（，a，b，c為實(shí)數(shù)）的“特征數(shù)”，如：的“特征數(shù)”為．若“特征數(shù)”為的二次函數(shù)的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則的值為（

）A．或2 B． C． D．2【答案】C【分析】把特征數(shù)代入中，得，求出m的值即可．【詳解】解：∵是二次函數(shù)的特征數(shù)，∴∵拋物線的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，把求二次函數(shù)（，a，b，c為實(shí)數(shù)）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于m的一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023·湖南岳陽(yáng)·校聯(lián)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和，給出如下新定義，若則稱點(diǎn)是點(diǎn)的限變點(diǎn)，例如：點(diǎn)的限變點(diǎn)是，點(diǎn)的限變點(diǎn)是，若點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)時(shí)，其限變點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出當(dāng)和時(shí)n的取值范圍即可．【詳解】解：由題意知：當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，其限變點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)限變點(diǎn)的定義得到關(guān)于m的函數(shù)．6．（2023·福建·模擬預(yù)測(cè)）新定義：若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱這個(gè)點(diǎn)為二倍點(diǎn)．若二次函數(shù)（c為常數(shù)）在的圖象上存在兩個(gè)二倍點(diǎn)，則c的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍可得二倍點(diǎn)在直線上，由可得二倍點(diǎn)所在線段的端點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象，通過(guò)求拋物線與線段交點(diǎn)求解．【詳解】解：由題意可得二倍點(diǎn)所在直線為，將代入得，將代入得，設(shè)，，如圖，聯(lián)立方程，當(dāng)△時(shí)，拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，即，解得，此時(shí)，直線和直線與拋物線交點(diǎn)在點(diǎn)，上方時(shí)，拋物線與線段有兩個(gè)交點(diǎn)，把代入得，把代入得，，解得，滿足題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵掌握函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題求解．7．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）定義：對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在自變量x0，使得函數(shù)值等于x0成立，則稱x0為該函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)b，該函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．0＜a＜2 B．0＜a≤2 C．﹣2＜a＜0 D．﹣2≤a＜0【答案】A【分析】若存在自變量x0，使得函數(shù)值等于x0成立，即恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，可設(shè)x為不動(dòng)點(diǎn)，使y＝x，可得關(guān)系式ax2+bx+b﹣2＝0，由恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)知△＞0，即得a的取值范圍．【詳解】解：由題意可知方程x＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則△＝b2﹣4a（b﹣2）＝b2﹣4ab+8a＞0，對(duì)任意實(shí)數(shù)b恒成立，把b2﹣4ab+8a看作關(guān)于b的二次函數(shù)，則有△1＝（4a）2﹣4×8a＝16a2﹣32a＝16a（a﹣2）＜0，令16a（a﹣2）＝0，解得a＝0或a＝2，①當(dāng)a≥2時(shí)，16a＞0，a﹣2≥0，即16a（a﹣2）≥0，②當(dāng)a≤0時(shí)，16a≤0，a﹣2＜0，即16a（a﹣2）≥0，③0＜a＜2時(shí)，16a＞0，a﹣2＜0，即16a（a﹣2）＜0，即16a（a﹣2）＜0的解集，解得0＜a＜2，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與一元二次方程的關(guān)系，熟練掌握根的判別式結(jié)合問(wèn)題進(jìn)行求解，認(rèn)真理解新定義滲透的數(shù)學(xué)問(wèn)題是關(guān)鍵．8．（2023秋·安徽蚌埠·九年級(jí)?？计谥校┒x：我們將頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”．如圖，在正方形OABC中，點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（2，0），則互異二次函數(shù)y＝（x﹣m）2﹣m與正方形OABC有交點(diǎn)時(shí)m的最大值和最小值之差為（

）A．5 B． C．4 D．【答案】B【分析】畫出圖象，從圖象可以看出，當(dāng)函數(shù)圖象從左上向右下運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)跟正方形有交點(diǎn)時(shí)，先經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，再逐漸經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，點(diǎn)B，點(diǎn)C，最后再經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，兩次經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，兩次經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，點(diǎn)B和點(diǎn)C，只需算出當(dāng)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A及點(diǎn)B時(shí)m的值，即可求出m的最大值及最小值．【詳解】解：如圖，由題意可得，互異二次函數(shù)y＝（x?m）2?m的頂點(diǎn)（m，?m）在直線y＝?x上運(yùn)動(dòng)，在正方形OABC中，點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（2，0），∴B（2，2），從圖象可以看出，當(dāng)函數(shù)圖象從左上向右下運(yùn)動(dòng)時(shí)，若拋物線與正方形有交點(diǎn)，先經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，再逐漸經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，點(diǎn)B，點(diǎn)C，最后再經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，兩次經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，兩次經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，點(diǎn)B和點(diǎn)C，∴只需算出當(dāng)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A及點(diǎn)B時(shí)m的值，即可求出m的最大值及最小值．當(dāng)互異二次函數(shù)y＝（x?m）2?m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，2）時(shí)，m＝2或m＝?1；當(dāng)互異二次函數(shù)y＝（x?m）2?m經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，2）時(shí)，m＝或m＝．∴互異二次函數(shù)y＝（x?m）2?m與正方形OABC有交點(diǎn)時(shí)m的最大值和最小值分別是，?1，∴m的最大值和最小值之差為故選：B．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)圖象性質(zhì)．解答關(guān)鍵是研究動(dòng)點(diǎn)到達(dá)臨界點(diǎn)時(shí)圖形的變化，從而得到臨界值．9．（2020秋·安徽亳州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)一點(diǎn)P分別作坐標(biāo)軸的垂線，這兩條垂線與坐標(biāo)軸圍成一個(gè)矩形，若矩形的周長(zhǎng)值與面積值相等，則點(diǎn)P叫作和諧點(diǎn)，所圍成的矩形叫作和諧矩形．已知點(diǎn)P是拋物線上的和諧點(diǎn)，所圍成的和諧矩形的面積為16，則k的值可以是（

）A．16 B．4 C．12 D．18【答案】C【分析】根據(jù)和諧點(diǎn)的定義與二次函數(shù)的性質(zhì)列出m，n的方程，求解m，n即可；【詳解】∵點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，∴，∴，∴點(diǎn)是和諧點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的和諧矩形的面積為16，∴，∴，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故答案選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象特征和矩形的性質(zhì)，準(zhǔn)確理解計(jì)算是解題的關(guān)鍵．10．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）新定義：若兩個(gè)函數(shù)圖象有公共點(diǎn)，則稱這兩個(gè)函數(shù)圖象為牽手函數(shù)．已知拋物線與線段是牽手函數(shù)，則m的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】依據(jù)二函數(shù)有公共點(diǎn)，則聯(lián)立的二次方程有實(shí)數(shù)根，判別式大于或等于0，可初步確定m的取值范圍，然后再依據(jù)自變量x的取值范圍進(jìn)一步確定m的取值范圍，即可求解．【詳解】∵拋物線與線段有公共點(diǎn)，∴拋物線與平行于x軸的線段相切或者相交．代入中，即關(guān)于x的二次方程有兩個(gè)相等或者不等的實(shí)數(shù)根．整理上述關(guān)于x的二次方程得，．①∴對(duì)于①式，，即，．

將①式整理成關(guān)于m的二次方程：，則關(guān)于m的判別式：，解得：．結(jié)合x的已知取值范圍得出：線段與拋物線有公共點(diǎn)的取值范圍為：．觀察圖1～圖4中拋物線與線段的相對(duì)位置關(guān)系遞變規(guī)律發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，正好是線段與拋物線有公共點(diǎn)時(shí)的拋物線最高與最低的位置，其遞變規(guī)律是．把代入方程①式：，可求得，即拋物線與線段有公共點(diǎn)時(shí)的最高與最低位置．因此，m的取值范圍是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)的遞變規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．11．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）定義：橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．當(dāng)二次函數(shù)的圖象與直線（a為常數(shù)）圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）只有2個(gè)整點(diǎn)時(shí)，則a的取值范圍是______．【答案】【分析】由題意大致畫出二次函數(shù)的圖象與直線的圖象，再根據(jù)圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）只有2個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合圖象即可得出，求解集即可．【詳解】∵，且，∴二次函數(shù)的圖象與直線的圖象大致如圖，∵圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）只有2個(gè)整點(diǎn)，∴，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．正確畫出大致圖象，并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．12．（2023秋·江蘇蘇州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）定義表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，如，函數(shù)的圖象如圖所示，則方程的解為_(kāi)________．【答案】【分析】利用數(shù)形結(jié)合思想求解即可．【詳解】解：畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象，則兩個(gè)函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根，根據(jù)圖象可知兩個(gè)函數(shù)的圖象共有兩個(gè)公共點(diǎn)，其中一個(gè)點(diǎn)是，另一個(gè)點(diǎn)也在第三象限，且縱坐標(biāo)為，令解得：（舍去），∴兩個(gè)函數(shù)圖象的公共點(diǎn)是，∴方程的解為【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·北京西城·九年級(jí)北京十四中?？计谥校?duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：如果存在實(shí)數(shù)M，對(duì)于任意的函數(shù)值y，都滿足，那么稱這個(gè)函數(shù)是有上界函數(shù)．在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的上確界．例如，圖中的函數(shù)是有上界函數(shù)，其上確界是2．如果函數(shù)是以3為上確界的有上界函數(shù)，則實(shí)數(shù)___________．【答案】【分析】當(dāng)時(shí)，，可得（舍）；當(dāng)時(shí)，，可得（舍）；當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，可得（舍）．【詳解】解：的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，y的最大值為，∵3為上確界，∴，∴（舍）；當(dāng)時(shí)，y的最大值為，∵3為上確界，∴，∴（舍）；當(dāng)時(shí)，y的最大值為，∵3為上確界，∴，∴；當(dāng)時(shí)，y的最大值為，∵3為上確界，∴，∴（舍），綜上所述：a的值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，根據(jù)所給范圍分類討論求二次函數(shù)的最大值是解題的關(guān)鍵．14．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和點(diǎn)，若滿足時(shí)，；時(shí)，，則稱點(diǎn)是點(diǎn)的限變點(diǎn)．例如：點(diǎn)的限變點(diǎn)是，則點(diǎn)的限變點(diǎn)是____________．若點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)時(shí)，其限變點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是____________．【答案】【分析】根據(jù)新定義可求得點(diǎn)的限變點(diǎn)，根據(jù)新定義得到當(dāng)時(shí)，，在時(shí)，得到；當(dāng)時(shí)，，在時(shí)，得到，即可得到限變點(diǎn)的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是．【詳解】解：∵，，∴，∴點(diǎn)的限變點(diǎn)是，∵點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，∴當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，綜上，當(dāng)時(shí)，其限變點(diǎn)的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)限變點(diǎn)的定義得到n′關(guān)于m的函數(shù)．15．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是函數(shù)的圖象的“等值點(diǎn)”．若函數(shù)的圖象記為，將其沿直線翻折后的圖象記為．當(dāng)、兩部分組成的圖象上恰有個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】或【分析】先求出函數(shù)的圖象上有兩個(gè)“等值點(diǎn)”或，再利用翻折的性質(zhì)分類討論即可．【詳解】令，解得：，，函數(shù)的圖象上有兩個(gè)“等值點(diǎn)”或，當(dāng)時(shí)，，兩部分組成的圖象上必有個(gè)“等值點(diǎn)”或，：，：，令，整理得：，的圖象上不存在“等值點(diǎn)”，，，，當(dāng)時(shí)，有個(gè)“等值點(diǎn)”、、，當(dāng)時(shí)，，兩部分組成的圖象上恰有個(gè)“等值點(diǎn)”,，當(dāng)時(shí)，，兩部分組成的圖象上恰有個(gè)“等值點(diǎn)”，當(dāng)時(shí)，，兩部分組成的圖象上沒(méi)有“等值點(diǎn)”，綜上所述，當(dāng)，兩部分組成的圖象上恰有個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與新定義“等值點(diǎn)”的綜合運(yùn)用，一元二次方程根的判別式，翻折的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是理解并運(yùn)用新定義，運(yùn)用分類討論思想解決問(wèn)題．16．（2023·江蘇鹽城·校考一模）定義{a，b，c}＝c（a＜c＜b），即（a，b，c）的取值為a，b，c的中位數(shù)，例如：{1，3，2}＝2，{8，3，6}＝6，已知函數(shù)y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}與直線y＝x+b有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則b的值為_(kāi)____．【答案】或【分析】畫出函數(shù)的數(shù)y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}的圖象，觀察圖象，利用圖象法解決問(wèn)題即可．【詳解】解：由題意：函數(shù)y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}的圖象如圖所示（圖中實(shí)線）．由圖象可得，當(dāng)直線y＝x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B時(shí)，函數(shù)y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}與直線y＝x+b有3個(gè)交點(diǎn)，令x2+1＝x+3，解得x＝﹣1或x＝2（舍去），∴A（﹣1，2），令x+3＝﹣x+2，解得，∴，當(dāng)直線y＝x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，+b＝2，解得；當(dāng)直線y＝x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，，解得．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)中的新定義類問(wèn)題，涉及中位數(shù)的定義，函數(shù)的圖象等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用圖象法解決問(wèn)題．17．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)長(zhǎng)春市第五十二中學(xué)校考期末）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把這樣的點(diǎn)叫做“整點(diǎn)”．如：A(1，0)，B(﹣3，2)都是“整點(diǎn)”，拋物線y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）與x軸交于P，Q兩點(diǎn)，若該拋物線在P，Q之間的部分與線段PQ所圍的區(qū)域（不包括邊界）恰有3個(gè)整點(diǎn)，則a的取值范圍是_____．【答案】【分析】將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，確定圖象的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，得到3個(gè)整點(diǎn)的位置，由此得到不等式組，求解即可．【詳解】解：∵y＝ax2﹣2ax+a+2=，∴函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），∴P，Q兩點(diǎn)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，根據(jù)題意，拋物線y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）與x軸交于P，Q兩點(diǎn)（不包括邊界）恰有3個(gè)整點(diǎn)，這些整點(diǎn)是（0，1），（1，1），（2，1），∵當(dāng)x=0時(shí)，y=a+2，∴，當(dāng)x=1時(shí)，y=4a+2，∴,∴，解得，故答案為：．．【點(diǎn)睛】此題考查了將二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)確定3個(gè)點(diǎn)的位置，由此頂點(diǎn)不等式組是解題的關(guān)鍵．18．（2023秋·上海浦東新·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：直線與拋物線兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離稱作拋物線關(guān)于直線的“割距”，如圖，線段MN長(zhǎng)就是拋物線關(guān)于直線的“割距”．已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)B恰好是拋物線的頂點(diǎn)，則此時(shí)拋物線關(guān)于直線y的割距是______．【答案】【分析】先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出拋物線解析式，然后求出直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，利用兩點(diǎn)距離公式即可求出答案．【詳解】解：∵B直線與y軸的交點(diǎn)，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），∵B是拋物線的頂點(diǎn)，∴拋物線解析式為，∴，解得或，∴直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），（1，2），∴拋物線關(guān)于直線y的割距是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，兩點(diǎn)距離公式，二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．19．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和點(diǎn)，若滿足m≥0時(shí)，n′＝n?4；m＜0時(shí)，n′＝?n，則稱點(diǎn)是點(diǎn)的限變點(diǎn)．例如：點(diǎn)的限變點(diǎn)是，點(diǎn)P2（?2，3）的限變點(diǎn)是（?2，?3）．若點(diǎn)P（m，n）在二次函數(shù)y＝?x2＋4x＋2的圖象上，則當(dāng)?1≤m≤3時(shí)，其限變點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是______．【答案】?2≤n′≤3【分析】根據(jù)新定義得到當(dāng)m≥0時(shí)，n′＝?m2＋4m＋2?4＝?（m?2）2＋2，在0≤m≤3時(shí)，得到?2≤n′≤2；當(dāng)m＜0時(shí)，n′＝m2?4m?2＝（m?2）2?6，在?1≤m＜0時(shí)，得到?2≤n′≤3，即可得到限變點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是?2≤n′≤3．【詳解】解：由題意可知，當(dāng)m≥0時(shí)，n′＝?m2＋4m＋2?4＝?（m?2）2＋2，∴當(dāng)0≤m≤3時(shí)，?2≤n′≤2，當(dāng)m＜0時(shí)，n′＝m2?4m?2＝（m?2）2?6，∴當(dāng)?1≤m＜0時(shí)，?2＜n′≤3，綜上，當(dāng)?1≤m≤3時(shí)，其限變點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是?2≤n′≤3，故答案為：?2≤n′≤3【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)限變點(diǎn)的定義得到n′關(guān)于m的函數(shù)．20．（2023秋·浙江寧波·九年級(jí)?？计谀┒x：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)滿足橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把點(diǎn)叫做“整點(diǎn)”如：、都是“整點(diǎn)”．當(dāng)拋物線與其關(guān)于軸對(duì)稱拋物線圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界）共有個(gè)整點(diǎn)時(shí)，的取值范圍______．【答案】【分析】通過(guò)拋物線的解析式可得對(duì)稱軸為，過(guò)點(diǎn)，對(duì)分情況討論或，分別求解即可．【詳解】解：由可得，過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下，如下圖：此時(shí)整點(diǎn)有等等，顯然超過(guò)9個(gè)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上，如下圖：要保證封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界）共有個(gè)整點(diǎn)，需要滿足，，此時(shí)整數(shù)點(diǎn)為，，即，解得故答案為【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的新定義問(wèn)題，涉及了二次函數(shù)的性質(zhì)與一元一次不等式組的求解，解題的關(guān)鍵是理解題意，并列出不等式組．21．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于某函數(shù)圖象上的一點(diǎn)P，先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)Q，若點(diǎn)Q也在該函數(shù)圖象上，則稱點(diǎn)P為該函數(shù)圖象的“n倍平點(diǎn)”．(1)函數(shù)①；②；③中，其圖象存在“2倍平點(diǎn)”的是_______（填序號(hào)）；(2)若反比例函數(shù)，圖象恰有1個(gè)“n倍平點(diǎn)”，求n的值；(3)求函數(shù)圖象的“3倍平點(diǎn)”的坐標(biāo)．【答案】(1)②(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象的“n倍平點(diǎn)”的定義逐個(gè)進(jìn)行判斷即可；（2）設(shè)，則，把代入得，根據(jù)圖象恰有1個(gè)“n倍平點(diǎn)”，得出，即可求出答案；（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，分兩種情況，根據(jù)函數(shù)圖象的“n倍平點(diǎn)”的定義分別計(jì)算即可得出結(jié)論．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，①設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)不在的圖象上．∴該函數(shù)圖象不存在“2倍平點(diǎn)”．②設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)在的圖象上．∴該函數(shù)圖象存在“2倍平點(diǎn)”．③設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)不在的圖象上．∴該函數(shù)圖象不存在“2倍平點(diǎn)”．故答案是②；（2）設(shè)，則，把代入得，，即，∵圖象恰有1個(gè)“n倍平點(diǎn)”，∴．∴．∵，∴．（3）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，把代入得，，解得：，∴，．∴，．當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，把代入得，，解得：，∴，．∴，．綜上所述，函數(shù)圖象的“3倍平點(diǎn)”的坐標(biāo)是或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義，正確理解新定義：函數(shù)圖象的“n倍平點(diǎn)”是解題的關(guān)鍵．22．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）定義：二次項(xiàng)系數(shù)之和為1，對(duì)稱軸相同，且圖象與y軸交點(diǎn)也相同的兩個(gè)二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù)．例如：的友好同軸二次函數(shù)為．(1)函數(shù)的對(duì)稱軸為_(kāi)_________．其友好同軸二次函數(shù)為_(kāi)_________．(2)已知二次函數(shù)（其中且且），其友好同軸二次函數(shù)記為．①若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A的橫坐標(biāo)小于點(diǎn)B的橫坐標(biāo)），求線段的長(zhǎng)；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為8，求a的值．【答案】(1)直線，(2)①4；②或3【分析】（1）將函數(shù)畫出頂點(diǎn)式即可得函數(shù)的對(duì)稱軸，再根據(jù)友好同軸二次函數(shù)的定義求解即可得；（2）①根據(jù)友好同軸二次函數(shù)的定義求出函數(shù)，聯(lián)立函數(shù)，，解方程可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此即可得；②分且且、兩種情況，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．【詳解】（1）解：函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，因?yàn)?，所以設(shè)函數(shù)的友好同軸二次函數(shù)為，所以，解得，所以函數(shù)的友好同軸二次函數(shù)為，故答案為：直線，．（2）解：①二次函數(shù)，則設(shè)，所以，解得，所以，聯(lián)立得：，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，所以；②函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，（Ⅰ）當(dāng)且且時(shí)，拋物線的開(kāi)口向上，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為4，所以，解得，符合題設(shè)；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為4，所以，解得，符合題設(shè)；綜上，的值為或3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握理解友好同軸二次函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．23．（2021春·貴州貴陽(yáng)·九年級(jí)貴陽(yáng)市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義：同時(shí)經(jīng)過(guò)x軸上兩點(diǎn)，的兩條拋物線稱為同弦拋物線．如拋物線：與拋物線：是都經(jīng)過(guò)，的同弦拋物線．(1)任意寫出一條拋物線的同弦拋物線．(2)已知拋物線是的同弦拋物線，且過(guò)點(diǎn)，求拋物線對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值或最小值．【答案】(1)（答案不唯一）(2)最小值為【分析】（1）根據(jù)同弦拋物線的定義即可得；（2）先根據(jù)同弦拋物線的定義可設(shè)拋物線的解析式為（且），將點(diǎn)代入可求出的值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．【詳解】（1）解：拋物線與拋物線：為同弦拋物線，拋物線的函數(shù)解析式為．（2）解：由題意可設(shè)拋物線的解析式為（且），將點(diǎn)代入得：，解得，則拋物線的解析式為，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，拋物線對(duì)應(yīng)函數(shù)取得最小值，最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，讀懂同弦拋物線的定義，并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．24．（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)?？计谥校┒x：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，稱兩個(gè)不同的點(diǎn)和為“反射對(duì)稱點(diǎn)”、如：點(diǎn)（1，3）和（3，1）是一對(duì)“反射對(duì)稱點(diǎn)”．(1)下列函數(shù)：①；②；③，其中圖像上存在，“反射對(duì)稱點(diǎn)”的是________（填序號(hào)）(2)直線與反比例函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P，點(diǎn)P和點(diǎn)Q為一對(duì)“反射對(duì)稱點(diǎn)”，若，求k的值；(3)拋物線上是否存在一對(duì)“反射對(duì)稱點(diǎn)”？如果存在，求出這一對(duì)“反射對(duì)稱點(diǎn)”所連線段的中點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)①②③(2)(3)存在，中點(diǎn)坐標(biāo)為或【分析】(1)根據(jù)定義，把點(diǎn)，分別代入函數(shù)解析式，解方程組即可；(2)根據(jù)題意，用的代數(shù)式將坐標(biāo)表示出來(lái)，然后根據(jù)列出方程求出即可；(3)假設(shè)存在一對(duì)“反射對(duì)稱點(diǎn)”，，由此得到線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，再將，兩點(diǎn)代入中聯(lián)立方程組求出的值即可．【詳解】（1）解：對(duì)于，若，是一對(duì)“反射對(duì)稱點(diǎn)”，則，得到，此時(shí)方程組有無(wú)數(shù)組解，∴函數(shù)圖像上存在無(wú)數(shù)對(duì)“反射對(duì)稱點(diǎn)”；對(duì)于，若，是一對(duì)“反射對(duì)稱點(diǎn)”，則，得到，此時(shí)方程組有無(wú)數(shù)組解，∴函數(shù)圖像上存在無(wú)數(shù)對(duì)“反射對(duì)稱點(diǎn)”；對(duì)于函數(shù)，若，是一對(duì)“反射對(duì)稱點(diǎn)”，則，得到，∴函數(shù)圖像上存在唯一一對(duì)“反射對(duì)稱點(diǎn)”，故答案為：①②③；（2）解：聯(lián)立方程組，∴，∴，∵且點(diǎn)在第一象限，∴，∵點(diǎn)和點(diǎn)為一對(duì)“反射對(duì)稱點(diǎn)”，∴，設(shè)直線解析式為，代入兩點(diǎn)坐標(biāo)，∴，解得，∴直線解析式為，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，如下圖所示，則，∴整理得到：，又已知，∴，解得；（3）解：假設(shè)拋物線上存在一對(duì)“反射對(duì)稱點(diǎn)”，，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，①－②并整理得到：，當(dāng)即時(shí)，回代方程①得到，解得或，若此時(shí)重合，舍去；若時(shí)，，線段中點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，回代方程①得到，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，此時(shí)線段中點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，此時(shí)線段中點(diǎn)坐標(biāo)為；綜上所述，線段中點(diǎn)坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)和二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，能理解應(yīng)用新定義是解題的關(guān)鍵．25．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校?duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：對(duì)于任意的函數(shù)值y，都滿足，且在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的上邊界值；對(duì)于任意的函數(shù)值y，都滿足，且在所有滿足條件的N中，其最大值稱為這個(gè)函數(shù)的下邊界值；若一個(gè)函數(shù)既有上邊界值又有下邊界值，則稱這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)，其上邊界與下邊界的差稱為邊界差．例如，圖中的函數(shù)上邊界值是，下邊界值是．所以這個(gè)函數(shù)是“有界函數(shù)”，邊界差為．(1)在下列關(guān)于x的函數(shù)中，是“有界函數(shù)”的，請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)題目后面的括號(hào)中打“√”，不是“有界函數(shù)”的打“×”．①（_________）；②（___________）；③（_________）(2)若函數(shù)（為常數(shù)，且），當(dāng)時(shí)，這個(gè)函數(shù)的邊界差為2，求的值；(3)若關(guān)于x的函數(shù)（為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，其邊界差為1，求t的值．【答案】(1)①√；②×；③×(2)(3)2或3【分析】（1）根據(jù)“有界函數(shù)”的定義結(jié)合各函數(shù)解析式判斷即可；（2）分類討論：當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；（3）將點(diǎn)代入，可求出m的值，從而得出．分別求出當(dāng)，時(shí)，y．再分類討論：當(dāng)，即時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)，且，即時(shí)；當(dāng)，且，即時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)結(jié)合“邊界差”的定義，可分別得出關(guān)于t的等式，解出t即可．【詳解】（1）解：①對(duì)于，∵，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∴有最大值和最小值，∴是“有界函數(shù)”．故答案為：；②對(duì)于，總有，∴不是“有界函數(shù)”．故答案為：；③對(duì)于，總有，∴不是“有界函數(shù)”．故答案為：；（2）解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∴有上邊界值，有下邊界值，∴邊界差為，∵這個(gè)函數(shù)的邊界差為2，∴，即；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，∴有上邊界值，有下邊界值，∴邊界差為，∵這個(gè)函數(shù)的邊界差為2，∴，即；綜上所述：k的值為；（3）解：將點(diǎn)代入，得：，解得：，．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．∵其邊界差為1，當(dāng)，即時(shí)，，解得：（舍去）；當(dāng)時(shí)，，解得：（舍去）；當(dāng)，且，即時(shí)，，解得：或4（舍去）；當(dāng)，且，即時(shí)，，或1（舍去），綜上所述：或3．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)新定義的理解，正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．讀懂題意，理解“有界函數(shù)”和“邊界差”的定義是解題關(guān)鍵．26．（2023·山西運(yùn)城·山西省運(yùn)城中學(xué)校校考三模）閱讀與理解定義新運(yùn)算：若，則；若，則；(1)已知，求；(2)已知，令，求y，并思考的函數(shù)圖象與一次函數(shù)的圖象是否相交，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)16(2)，兩圖象相交，理由見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)，代入數(shù)據(jù)即可求出結(jié)論；（2）根據(jù)、結(jié)合即可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，將其代入中整理得，再根據(jù)根的判別式，即可得出的函數(shù)圖象與一次函數(shù)的圖象相交．【詳解】（1）解：，，．（2）解：兩函數(shù)圖象相交．理由如下：，，．將代入，整理得：．，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，兩函數(shù)圖象相交．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)定義式代入數(shù)據(jù)求值；（2）利用根的判別式，得出的函數(shù)圖象與一次函數(shù)的圖象相交．27．（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）【閱讀理解】把一個(gè)函數(shù)圖象上每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倒數(shù)（原函數(shù)圖象上縱坐標(biāo)為0的點(diǎn)除外）、橫坐標(biāo)不變，可以得到另一個(gè)函數(shù)的圖象，我們稱這個(gè)過(guò)程為倒數(shù)變換．

【知識(shí)運(yùn)用】如圖1，將的圖象經(jīng)過(guò)倒數(shù)變換后可得到的圖象（部分）．特別地，因?yàn)閳D象上縱坐標(biāo)為0的點(diǎn)是原點(diǎn)，所以該點(diǎn)不作變換，因此的圖象上也沒(méi)有縱坐標(biāo)為0的點(diǎn)．小明在求的圖象與的交點(diǎn)時(shí)速用了開(kāi)平方的定義：，得，解得，則圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為或．【拓展延伸】請(qǐng)根據(jù)上述閱讀材料完成：(1)請(qǐng)?jiān)趫D2的平面直角坐標(biāo)系中畫出的圖象和它經(jīng)過(guò)倒數(shù)變換后的圖象．(2)設(shè)函數(shù)的圖象和它經(jīng)過(guò)倒數(shù)變換后的圖象的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A在左邊），直接寫出其坐標(biāo)．A______，B______；(3)設(shè)，且，求m．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，(3)【分析】（1）畫出函數(shù)和函數(shù)的圖象；（2）解析式聯(lián)立成方程組，解方程組即可求解；（3）利用三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示：

（2）解，得或，，，故答案為：，；（3），，．【點(diǎn)睛】本題考查倒數(shù)變換，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，三角形面積．理解倒數(shù)變換的定義是解題的基礎(chǔ)，能夠熟練用描點(diǎn)法畫圖是正確畫出圖象的關(guān)鍵．28．（2023春·廣東深圳·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）【定義】若拋物線與一水平直線交于兩點(diǎn)，我們把這兩點(diǎn)間線段的長(zhǎng)稱為拋物線關(guān)于這條直線的跨徑，拋物線的頂點(diǎn)到該直線的距離稱為拋物線關(guān)于這條直線的矢高，矢高與跨徑的比值稱為拋物線關(guān)于這條直線的矢跨比．如圖1，拋物線的頂點(diǎn)為，軸于點(diǎn)，它與軸交于點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為拋物線關(guān)于軸的跨徑，的長(zhǎng)為拋物線關(guān)于軸的矢高，的值為拋物線關(guān)于軸的矢跨比．【特例】如圖2，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)）；①拋物線關(guān)于軸的矢高是______，跨徑是______，矢跨比是______；②有一拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與拋物線開(kāi)口方向與大小一樣，且矢高是拋物線關(guān)于軸的矢高的，求它關(guān)于軸的矢跨比；【推廣】結(jié)合拋物線的平移規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，兩條開(kāi)口方向與大小一樣的拋物線，若第一條拋物線的矢高是第二條拋物線關(guān)于同一直線的矢高的（）倍，則第一條拋物線的跨徑是第二條拋物線關(guān)于同一直線的跨徑的______倍（用含的代數(shù)式表示）；【應(yīng)用】如圖3是某地一座三拱橋梁建筑示意圖，其中主跨與邊跨的拱軸線為開(kāi)口方向與大小一樣的拋物線，它們關(guān)于水平鋼梁所在直線的跨徑分別為420米與280米，已知主跨的矢跨比為，則邊跨的矢跨比是______．【答案】【特例】①4；4；1；②；【推廣】；【應(yīng)用】【分析】①根據(jù)矢高，跨徑，矢跨比的定義，即可求解；②根據(jù)題意可設(shè)該拋物線解析式為，可求出該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，即可求解；【推廣】設(shè)第二條拋物線的解析式為，第一條拋物線沿x軸向左平移h個(gè)單位得到第二條拋物線，其中，可得第一條拋物線的解析式為，再分別求出兩拋物線的跨徑，即可求解；【應(yīng)用】中的結(jié)論可得，從而得到邊跨的矢高，即可求解．【詳解】①∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線關(guān)于軸的矢高是4，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴點(diǎn)，∴跨徑是，∴矢跨比是；故答案為：4；4；1②∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)的矢高是拋物線關(guān)于軸的矢高的，∴拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)的矢高是，∵與拋物線開(kāi)口方向與大小一樣，∴可設(shè)該拋物線解析式為，把點(diǎn)代入得：，解得：（舍去）或3，∴該拋物線解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得：或2，∴該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，∴該拋物線的跨徑是，∴它關(guān)于軸的矢跨比是；【推廣】設(shè)第二條拋物線的解析式為，第一條拋物線沿x軸向左平移h個(gè)單位得到第二條拋物線，其中，∴第一條拋物線的解析式為，對(duì)于，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，∴第二條拋物線的跨徑是，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，∴第一條拋物線的跨徑是，∵，∴第一條拋物線的跨徑是第二條拋物線關(guān)于同一直線的跨徑的倍；故答案為：【應(yīng)用】∵主跨的矢跨比為，主跨的關(guān)于水平鋼梁所在直線的跨徑為420米，∴主跨的矢高是米，根據(jù)題意得：，解得：，∴主跨的矢高是邊跨矢高的倍，∴邊跨的矢高是米，∴邊跨的矢跨比是．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．29．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)校聯(lián)考期中）定義：若一次函數(shù)與反比例函數(shù)滿足，則我們把函數(shù)稱為一次函數(shù)與反比例函數(shù)的“守正創(chuàng)新函數(shù)”．(1)一次函數(shù)與反比例函數(shù)是否存在“守正創(chuàng)新函數(shù)”？如果存在，寫出其“守正創(chuàng)新函數(shù)”；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若一次函數(shù)與反比例函數(shù)存在“守正創(chuàng)新函數(shù)”，且該“守正創(chuàng)新函數(shù)”的圖像與直線有唯一交點(diǎn)，求的值；(3)若一次函數(shù)與反比例函數(shù)的“守正創(chuàng)新函數(shù)”的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)分別是，，其中，點(diǎn)，求的面積的變化范圍．【答案】(1)存在，(2)，(3)【分析】（1）根據(jù)定義新運(yùn)算的規(guī)則即可求解；（2）根據(jù)題意，確定“守正創(chuàng)新函數(shù)”的解析式，根據(jù)有交點(diǎn)，韋達(dá)定理即可計(jì)算出的值；（3）根據(jù)題意，確定“守正創(chuàng)新函數(shù)”的解析式，根據(jù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)韋達(dá)定理，求根公式，三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：存在，理由如下，一次函數(shù)與反比例函數(shù)中，∵，，，∴，即滿足，∴存在“守正創(chuàng)新函數(shù)”為．（2）解：∵，∴，∴，∴“守正創(chuàng)新函數(shù)”為，∵該“守正創(chuàng)新函數(shù)”的圖像與直線有唯一交點(diǎn)，∴，即有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，即，∴，∴．（3）解：∵，∴，∴“守正創(chuàng)新函數(shù)”為，∴，∴，∴，，∴，又三角形高為，∴，∵，，∴，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，∴的面積的變化范圍為．【點(diǎn)睛】本題主要考查定義新運(yùn)算，一次函數(shù)，反比例函數(shù)，一元二次方程的綜合，掌握一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，求根公式等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．30．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在到坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“等距點(diǎn)”．例如，點(diǎn)和是函數(shù)圖象的“等距點(diǎn)”．(1)判斷函數(shù)的圖象是否存在“等距點(diǎn)”？如果存在，求出“等距點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由；(2)設(shè)函數(shù)圖象的“等距點(diǎn)”為A、B，函數(shù)圖象的“等距點(diǎn)”為C，若的面積為時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式；(3)若函數(shù)圖象恰存在2個(gè)“等距點(diǎn)”，試求出m的取值范圍．【答案】(1)存在，或或(2)或(3)或【分析】（1）根據(jù)題中“等距點(diǎn)”的定義列出方程求解即可；（2）先求出反比例函數(shù)及一次函數(shù)圖象上的“等距點(diǎn)”，然后由三角形面積列出方程求解即可；（3）根據(jù)“等距點(diǎn)”列出一元二次方程，再由題意中恰好有2個(gè)“等距點(diǎn)”，利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】（1）解：存在“等距點(diǎn)”令，解得，∴函數(shù)的圖象上有兩個(gè)“等距點(diǎn)”或令，解得，∴函數(shù)的圖象上有兩個(gè)“等距點(diǎn)”或．綜上所述，函數(shù)的圖象上有三個(gè)“等距點(diǎn)”或或（2）令，解得，則，∴令，解得，則，∴，∵，∴即，解得，∴或，（3）令，整理得，．當(dāng)或時(shí)，此時(shí)在一、三象限有2個(gè)“等距點(diǎn)”．令，整理得，當(dāng)或時(shí)，此時(shí)在二四象限有2個(gè)“等距點(diǎn)”．∵函數(shù)圖象恰存在個(gè)“等距點(diǎn)”∴或．【點(diǎn)睛】題目主要考查新定義題型的理解，包括一次函數(shù)，二次函數(shù)及反比例函數(shù)，理解題意是解題關(guān)鍵．31．（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）定義：點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，將函數(shù)的圖像位于直線右側(cè)部分，以軸為對(duì)稱軸翻折，得到新的函數(shù)l′的圖像，我們稱函數(shù)是函數(shù)的相關(guān)函數(shù)，函數(shù)的圖像記作，函數(shù)的圖像未翻折部分記作，圖像和合起來(lái)記作圖像．例如：函數(shù)l的表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，它的相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式為．(1)如圖，函數(shù)的表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，它的相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式為；(2)函數(shù)l的表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，圖像上某點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)函數(shù)的表達(dá)式為．①已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，當(dāng)，且圖像與線段只有一個(gè)共點(diǎn)時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖像，求的取值范圍；②若，點(diǎn)是圖像上任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的最大值始終保持不變，求的取值范圍（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)(2)該點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或2(3)①的取值范圍是或或；②的取值范圍是或【分析】（1）運(yùn)用“相關(guān)函數(shù)”的定義結(jié)合待定系數(shù)法解答即可；（2）先寫出圖象的解析式，再分別將代入，解得值，即可得出該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（3）①先根據(jù)“相關(guān)函數(shù)”的定義得出圖象的解析式，把或或代入，求得的值，再運(yùn)用二次函數(shù)圖象和性質(zhì)分類討論：當(dāng)圖象與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，當(dāng)圖象的頂點(diǎn)在線段上時(shí)，圖象與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，當(dāng)圖象在其對(duì)稱軸左側(cè)的部分與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，綜合得出結(jié)論即可；②由得，令可求出的值，當(dāng)時(shí)，的最大值始終保持不變，當(dāng)?shù)淖畲笾凳冀K為4時(shí)，當(dāng)?shù)淖畲笾禐?時(shí)，綜合得出結(jié)論即可．【詳解】（1）解：由相關(guān)函數(shù)的定義可知，當(dāng)時(shí)，的相關(guān)函數(shù)的解析式為，故答案為：；（2）解：函數(shù)的解析式為，當(dāng)時(shí)，圖象上的解析式為：，把分別代入，得：或，或，該點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或2．（3）解：①函數(shù)的解析式為，圖象的函數(shù)解析式為，把代入，得；把代入，得；把代入，得．圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)圖象與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，如圖由題意，得，解得．當(dāng)圖象的頂點(diǎn)在線段上時(shí)，圖象與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，如圖圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，即．當(dāng)圖象在其對(duì)稱軸左側(cè)的部分與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，如圖由題意，得，解得．綜上所述，的取值范圍是或或；②，，令，則，解得，，與軸交于，，，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)是圖象上任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的最大值始終保持不變，當(dāng)?shù)淖畲笾凳冀K為4時(shí)，，解得；當(dāng)?shù)淖畲笾禐?時(shí)，，解得，的取值范圍是或．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了新定義在函數(shù)中的應(yīng)用、拋物線的圖象與線段的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合、分類討論、讀懂定義并熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．32．（2023春·四川自貢·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于和點(diǎn)，給出如下定義：若，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的限變點(diǎn)．例如：點(diǎn)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是．(1)點(diǎn)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是；(2)判斷點(diǎn)中，哪一個(gè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上某一個(gè)點(diǎn)的限變點(diǎn)？并說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其限變點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是，求的取值范圍．【答案】(1)(2)點(diǎn)B是函數(shù)圖象上某一個(gè)點(diǎn)的限變點(diǎn)，理由見(jiàn)解析(3)或【分析】（1）根據(jù)限變點(diǎn)的定義進(jìn)行求解即可；（2）先分別假設(shè)A、B是函數(shù)圖象上某一個(gè)點(diǎn)的限變點(diǎn)，進(jìn)而求出函數(shù)圖象上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，看該點(diǎn)是否在函數(shù)圖象上即可；（3）根據(jù)題意可得圖象上的點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)點(diǎn)必在函數(shù)的圖象上，然后結(jié)合函數(shù)圖象求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴點(diǎn)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為：（2）解：點(diǎn)B是函數(shù)圖象上某一個(gè)點(diǎn)的限變點(diǎn)，理由如下：∵，∴若點(diǎn)A是函數(shù)圖象上某一個(gè)點(diǎn)的限變點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，又∵不在函數(shù)圖象上，∴點(diǎn)A不是函數(shù)圖象上某一個(gè)點(diǎn)的限變點(diǎn)；∵，∴若點(diǎn)B是函數(shù)圖象上某一個(gè)點(diǎn)的限變點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，又∵在函數(shù)圖象上，∴點(diǎn)B是函數(shù)圖象上某一個(gè)點(diǎn)的限變點(diǎn)；（3）解：由題意得，圖象上的點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)點(diǎn)必在函數(shù)的圖象上，∵，∴或．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，一次函數(shù)與幾何綜合等等，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．33．（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)校考階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象是拋物線，定義一種變換，先作這條拋物線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線，再將得到的對(duì)稱拋物線向上平移m（）個(gè)單位，得到新的拋物線，我們稱叫做二次函數(shù)的m階變換．(1)二次函數(shù)的頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為_(kāi)__________，這個(gè)拋物線的2階變換的解析式為_(kāi)__________；(2)若二次函數(shù)M的5階變換的關(guān)系式為．①二次函數(shù)M的解析式為_(kāi)__________；②若二次函數(shù)M的頂點(diǎn)為點(diǎn)A，與x軸相交的兩個(gè)交點(diǎn)中右側(cè)交點(diǎn)為點(diǎn)B，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線y5上，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)H，請(qǐng)求出最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)①；②【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，寫出其關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)定義即可求解解析式；（2）①將向下平移5個(gè)單位得到，此時(shí)該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，該點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，進(jìn)而求解；②先求出直線的函數(shù)表達(dá)式，設(shè)直線交y軸于點(diǎn)C，二次函數(shù)交y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)D，證明，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，表示出，即可求解．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則該點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，∴這個(gè)拋物線的2階變換的表達(dá)式為，故答案為：，；（2）①∵，∴，∴的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴二次函數(shù)M的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴二次函數(shù)M的解析式為；故答案為：；②令，解得或0，∴，設(shè)直線的解析式為，把和的坐標(biāo)代入，得，解得，∴直線的解析式為，∵，如圖，設(shè)直線交y軸于點(diǎn)C，二次函數(shù)交y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)D，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，∴，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，∴，∴當(dāng)時(shí)，最小，最小值為，∴當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，∴．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移等，綜合性強(qiáng)，難度適中，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．34．（2023秋·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，恰好落在函數(shù)圖象上，則稱點(diǎn)為函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”．(1)在①，②，③三點(diǎn)中，是一次函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”的有_____（填序號(hào)）；(2)若點(diǎn)為反比例函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”，求的值；(3)二次函數(shù)與軸交于兩點(diǎn)（A在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是二次函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”且在直線上，求點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)②③(2)(3)或【分析】（1）分別寫出三個(gè)點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的點(diǎn)的坐標(biāo)，逐個(gè)驗(yàn)證是否在一次函數(shù)圖象上即可；（2）把點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可得到答案；（3）先求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，再求出直線的解析式，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則點(diǎn)D繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)是二次函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”且在直線上，得到關(guān)于m、n的方程組，解方程組即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：①繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)時(shí)，，故不是一次函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”，②繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)時(shí)，，故是一次函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”，③繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)時(shí)，，故是一次函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”，故答案為：②③（2）點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∵點(diǎn)為反比例函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”，∴點(diǎn)滿足，代入可得，，解得；（3）當(dāng)時(shí)，，解得∴點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn),設(shè)直線的解析式為，則解得，∴直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則點(diǎn)D繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，∵點(diǎn)是二次函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”且在直線上，∴點(diǎn)在二次函數(shù)圖象上，在直線上，∴，解得，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為或【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、待定系數(shù)法、點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，讀懂題意，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．35．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考三模）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖像的“等值點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是函數(shù)的圖象的“等值點(diǎn)”．(1)分別判斷函數(shù)，的圖象上是否存在“等值點(diǎn)”？如果存在，求出“等值點(diǎn)”的坐標(biāo)；(2)設(shè)函數(shù)（），的圖象的“等值點(diǎn)”分別為點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為．當(dāng)?shù)拿娣e為3時(shí)，求的值：(3)若函數(shù)（）的圖象記為，將其沿直線翻折后的圖象記為．當(dāng)，兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)函數(shù)的圖象上不存在“等值點(diǎn)”，函數(shù)的圖象上有兩個(gè)“等值點(diǎn)”或(2)的值為或(3)或【分析】（1）根據(jù)“等值點(diǎn)”的定義建立方程求解即可得出答案；（2）先根據(jù)“等值點(diǎn)”的定義求出函數(shù)的圖象上有兩個(gè)“等值點(diǎn)”，同理求出，根據(jù)的面積為3可得，求解即可；（3）先求出函數(shù)的圖象上有兩個(gè)“等值點(diǎn)”或，再利用翻折的性質(zhì)分類討論即可．【詳解】（1）解：在中，令，得不成立，函數(shù)的圖象上不存在“等值點(diǎn)”；在中，令，解得：，，函數(shù)的圖象上有兩個(gè)“等值點(diǎn)”或；（2）解：在函數(shù)中，令，解得：，，在函數(shù)中，令，解得：，，軸，，，的面積為3，，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，，解得：，綜上所述，的值為或；（3）解：令，解得：，，函數(shù)的圖象上有兩個(gè)“等值點(diǎn)”或，①當(dāng)時(shí)，，兩部分組成的圖象上必有2個(gè)“等值點(diǎn)”或，，，令，整理得：，的圖象上不存在“等值點(diǎn)”，，，，②當(dāng)時(shí)，有3個(gè)“等值點(diǎn)”、、，

③當(dāng)時(shí)，，兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”，

④當(dāng)時(shí)，，兩部分組成的圖象上恰有1個(gè)“等值點(diǎn)”，

⑤當(dāng)時(shí)，，兩部分組成的圖象上沒(méi)有“等值點(diǎn)”，

綜上所述，當(dāng)，兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)與新定義“等值點(diǎn)”綜合運(yùn)用，一元二次方程根的判別式，翻折的性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是理解并運(yùn)用新定義，運(yùn)用分類討論思想解決問(wèn)題．36．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，直線與某函數(shù)圖象交點(diǎn)記為點(diǎn)P，作該函數(shù)圖象中，點(diǎn)P及點(diǎn)P右側(cè)部分關(guān)于直線的軸對(duì)稱圖形，與原函數(shù)圖象上的點(diǎn)P及點(diǎn)P右側(cè)部分共同構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)的圖象，稱這個(gè)新函數(shù)為原函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”．例如：圖1是函數(shù)的圖象，則它關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象如圖2所示，可以得出它的“迭代函數(shù)”的解析式為．

(1)寫出函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的解析式為_(kāi)________．(2)若函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”圖象經(jīng)過(guò)，則_________．(3)以如正方形的頂點(diǎn)分別為：，其中．①若函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象與正方形的邊有3個(gè)公共點(diǎn)，則______；②若，函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象與正方形有4個(gè)公共點(diǎn)，則n的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】(1)(2)或．(3)①或，②或或．【分析】（1）根據(jù)“迭代函數(shù)”的定義可知“迭代函數(shù)”的圖象是關(guān)于的對(duì)稱，故求出圖象上任意兩點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”是關(guān)于對(duì)稱，求出對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法求出“迭代函數(shù)”的解析式即可；（2）先求出原拋物線當(dāng)時(shí)兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)“迭代函數(shù)”的對(duì)稱性可知與其中一點(diǎn)對(duì)稱，分兩種情況求解即可；（3）①先畫出函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象．根據(jù)三個(gè)公共點(diǎn)的不同情況分兩種情況求解即可；②根據(jù)正方形和“迭代函數(shù)”的圖象對(duì)稱性可知．四個(gè)公共點(diǎn)的分別是第一象限兩個(gè)、第三象限或第二象限兩個(gè)，分別結(jié)合圖象進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴則點(diǎn)、關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，，設(shè)直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線為，則，解得，∴直線為，∴函數(shù)關(guān)于直線的”迭代函數(shù)”的解析式為；故答案為：（2），∴的頂點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，解得：，，即與軸交點(diǎn)為、若函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”圖象經(jīng)過(guò)，當(dāng)與是關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，，當(dāng)與是關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，，綜上所述：若函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”圖象經(jīng)過(guò)，則或，故答案為：或．（3）①函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象如圖所示：

∴函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象與正方形有3個(gè)公共點(diǎn)，有兩種情況：當(dāng)?shù)谝幌笙抻袃蓚€(gè)公共點(diǎn)時(shí)，第三個(gè)交點(diǎn)在第三象限，當(dāng)圖象上的點(diǎn)，，此時(shí)，當(dāng)?shù)谌笙抻袃蓚€(gè)公共點(diǎn)時(shí)，第三個(gè)公共點(diǎn)在第一象限，函數(shù)圖象正好經(jīng)過(guò)正方形的頂點(diǎn)，，，此時(shí)，綜上所述：若函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象與正方形的邊有3個(gè)公共點(diǎn)，則或．②如圖：

若，函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象與正方形有4個(gè)公共點(diǎn)，則第一象限一點(diǎn)一定有兩個(gè)交點(diǎn)它們是、；根據(jù)正方形和“迭代函數(shù)”的圖象對(duì)稱性，I．當(dāng)時(shí)，“迭代函數(shù)”的圖象與正方形最多有3個(gè)公共點(diǎn)，II．當(dāng)時(shí)，“迭代函數(shù)”的圖象與正方形有4個(gè)公共點(diǎn)，如圖所示，III．當(dāng)，若第三象限由兩個(gè)公共點(diǎn)，則第二象限無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)在正方形外，即：，解得：，此時(shí)點(diǎn)在函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象，即：，即：時(shí)，“迭代函數(shù)”的圖象與正方形在第三象限有兩個(gè)公共點(diǎn)，第二象限無(wú)公共點(diǎn)，Ⅳ．當(dāng)，若第二象限有兩個(gè)公共點(diǎn)，則第三象限無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)在正方形內(nèi)，即：，解得：，此時(shí)點(diǎn)不在函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象，即：，∴．當(dāng)，若第二象限有兩個(gè)公共點(diǎn)，則第三象限無(wú)公共點(diǎn)，綜上所述：若，函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象與正方形有4個(gè)公共點(diǎn)，n的取值范圍為或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用；理解并運(yùn)用新定義”迭代函數(shù)”，能夠?qū)D象的對(duì)稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的對(duì)稱，借助圖象解題是關(guān)鍵．37．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點(diǎn)N在圖形M的內(nèi)部，或在圖形M上，且點(diǎn)N的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等時(shí)，則稱點(diǎn)N為圖形M的“夢(mèng)之點(diǎn)”．

(1)如圖①，矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，在點(diǎn)，，中，是矩形“夢(mèng)之點(diǎn)”的是___________；(2)點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”，則該函數(shù)圖象上的另一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”H的坐標(biāo)是___________，直線的解析式是___________．當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是___________．(3)如圖②，已知點(diǎn)A，B是拋物線上的“夢(mèng)之點(diǎn)”，點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)，連接，，，判斷的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)，，或(3)是直角三角形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)“夢(mèng)之點(diǎn)”的定義判斷這幾個(gè)點(diǎn)是否在矩形內(nèi)部或邊上即可；（2）把代入求出解析式，再求與的交點(diǎn)即為，最后根據(jù)函數(shù)圖象判斷當(dāng)時(shí)，x的取值范圍；（3）根據(jù)“夢(mèng)之點(diǎn)”的定義求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，最后求出，，，即可判斷的形狀．【詳解】（1）∵矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，∴矩形“夢(mèng)之點(diǎn)”滿足，，∴點(diǎn)，是矩形“夢(mèng)之點(diǎn)”，點(diǎn)不是矩形“夢(mèng)之點(diǎn)”，故答案為：，；（2）∵點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”，∴把代入得，∴，∵“夢(mèng)之點(diǎn)”的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，∴“夢(mèng)之點(diǎn)”都在直線上，聯(lián)立，解得或，∴，∴直線的解析式是，函數(shù)圖象如圖：

由圖可得，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是或；故答案為：，，或；（3）是直角三角形，理由如下：∵點(diǎn)A，B是拋物線上的“夢(mèng)之點(diǎn)”，∴聯(lián)立，解得或，∴，，∵∴頂點(diǎn)，∴，，，∴，∴是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題是函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式，正確理解新定義是解決此題的關(guān)鍵．38．（2023·江西新余·統(tǒng)考一模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，那么我們把經(jīng)過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線稱為這條拋物線的極限分割線．【特例感知】(1)拋物線的極限分割線與這條拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____．【深入探究】(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)和的拋物線與軸交于點(diǎn)，它的極限分割線與該拋物線另一個(gè)交點(diǎn)為，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示點(diǎn)的坐標(biāo)．【拓展運(yùn)用】(3)在（2）的條件下，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，直線垂直平分，垂足為，交該拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．②若直線與直線關(guān)于極限分割線對(duì)