專題08幾何中的面積問題

專題08幾何中的面積問題面積問題是壓軸題中?？嫉膯栴}，不僅在幾何壓軸題中，在函數(shù)壓軸題中考查的頻率也很高。幾何壓軸題中的面積問題往往比較抽象，并不是簡單幾何圖形的面積，通常情況下，我們需要對所求的幾何圖形面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化為我們熟悉的可求的類型。在幾何壓軸題中的面積考查主要表現(xiàn)為兩個方面：一是求某個幾何圖形的面；二是求變化中的幾何圖形面積的最值。一、求某個幾何圖形面積的類型，常用的方法：1.添加輔助線：通常包括做出三角形的高，割補(bǔ)法構(gòu)造三角形等。2.圖形變換的方式對所求圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，例如通過平移、旋轉(zhuǎn)等變化，把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為三角形等。3.可以利用三角形全等，對圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化。4.利用相似三角形的面積之比等于相似比，構(gòu)建方程進(jìn)行求解。二、求變化中的幾何圖形的面積問題：（1）方程與函數(shù)的方法：通常需要設(shè)出未知數(shù)x，并用x表示出求面積所必需的邊長和高，構(gòu)建方程求出未知數(shù)，或構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求得面積的最值。（2）幾何的方法：一般情況下，在求變化中幾何圖形的面積的最值時，需要我們找準(zhǔn)變化的量，討論變化的量的臨界值，例如：在求變化三角形的面積最值時，如果底邊長一定，而底邊上的高在不斷的變化，我們就要根據(jù)高線變化的規(guī)律，尋找高的最大值或者最小值的情況，從而求得面積的最小值。 （2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=5，BD為對角線.點E是邊AB延長線上的任意一點，連結(jié)交于點，平分交于點G．(1)求證：.(2)若．①求菱形的面積.②求的值.(3)若，當(dāng)?shù)拇笮“l(fā)生變化時（），在上找一點，使為定值，說明理由并求出的值．（1）由菱形的性質(zhì)可證得∠CBD＝∠ABD＝∠ABC，由平分交于點G，得到∠CBG＝∠EBG＝∠CBE，進(jìn)一步即可得到答案；（2）①連接AC交BD于點O,Rt△DOC中，OC＝，求得AC＝8，由菱形的面積公式可得答案；②由BGAC，得到，DH＝HG，DG＝2DH，又由DG＝2GE，得到EG＝DH＝HG，則，再證明△CDH∽△AEH，CH＝AC＝，OH＝OC－CH＝4－＝，利用正切的定義得到答案；（3）過點G作GTBC，交AE于點T，△BGE∽△AHE，得AB＝BE＝5，則EG＝GH，再證△DOH∽△DBG，得DH＝GH＝EG，由△EGT∽△EDA得，GT＝，為定值，即可得到ET的值．【答案】(1)見解析(2)①24，②(3)＝，理由見解析【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝DC，ABCD，∴∠BDC＝∠CBD，∠BDC＝∠ABD，∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC，∵平分交于點G，∴∠CBG＝∠EBG＝∠CBE，∴∠CBD＋∠CBG＝（∠ABC＋∠CBE）＝×180°＝90°，∴∠DBG＝90°；（2）解：①如圖1，連接AC交BD于點O，∵四邊形ABCD是菱形，BD＝6，∴OD＝BD＝3，AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，在Rt△DOC中，OC＝，∴AC＝2OC＝8，∴，即菱形的面積是24．②如圖2，連接AC，分別交BD、DE于點O、H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵∠DBG＝90°∴BG⊥BD，∴BGAC，∴，∴DH＝HG，DG＝2DH，∵DG＝2GE，∴EG＝DH＝HG，∴，∵ABCD，∴∠DCH＝EAH，∠CDH＝∠AEH，∴△CDH∽△AEH，∴，∴CH＝AC＝，∴OH＝OC－CH＝4－＝，∴tan∠BDE＝；（3）如圖3，過點G作GTBC交AE于點T，此時ET＝．理由如下：由題（1）可知，當(dāng)∠DAB的大小發(fā)生變化時，始終有BGAC，∴△BGE∽△AHE，∴，∵AB＝BE＝5，∴EG＝GH，同理可得，△DOH∽△DBG，∴，∵BO＝DO，∴DH＝GH＝EG，∵GTBC，∴GTAD，∴△EGT∽△EDA，∴，∵AD＝AB＝5，∴GT＝，為定值，此時ET＝AE＝（AB＋BE）＝．此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（2022·山東東營·統(tǒng)考中考真題）和均為等邊三角形，點E、D分別從點A，B同時出發(fā)，以相同的速度沿運動，運動到點B、C停止.(1)如圖1，當(dāng)點E、D分別與點A、B重合時，請判斷：線段的數(shù)量關(guān)系是____________，位置關(guān)系是____________；(2)如圖2，當(dāng)點E、D不與點A，B重合時，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；(3)當(dāng)點D運動到什么位置時，四邊形的面積是面積的一半，請直接寫出答案；此時，四邊形是哪種特殊四邊形？請在備用圖中畫出圖形并給予證明.（1）根據(jù)和均為等邊三角形，得到AF=AD，AB=BC，∠FAD=∠ABC=60°，根據(jù)E、D分別與點A、B重合，得到AB=AD，EF=AF，CD=BC，∠FAD=∠FAB，推出CD=EF，CDEF；（2）連接BF，根據(jù)∠FAD=∠BAC=60°，推出∠FAB=∠DAC，根據(jù)AF=AD，AB=AC，推出△AFB≌△ADC，得到∠ABF=∠ACD=60°，BF=CD，根據(jù)AE=BD，推出BE=CD，得到BF=BE，推出△BFE是等邊三角形，得到BF=EF，∠FEB=60°，推出CD=EF，CD∥EF；（3）過點E作EG⊥BC于點G，設(shè)△ABC的邊長為a，AD=h，根據(jù)AB=BC，BD=CD=BC=a，BD=AE，推出AE=BE=AB，根據(jù)AB=AC，推出AD⊥BC，得到EGAD，推出△EBG∽△ABD，推出，得到=h，根據(jù)CD=EF，CD∥EF，推出四邊形CEFD是平行四邊形，推出，根據(jù)EF=BD，EFBD，推出四邊形BDEF是平行四邊形，根據(jù)BF=EF，推出是菱形．【答案】(1)CD=EF，CDEF(2)CD=EF，CDEF，成立，理由見解析(3)點D運動到BC的中點時，是菱形，證明見解析【詳解】（1）∵和均為等邊三角形，∴AF=AD，AB=BC，∠FAD=∠ABC=60°，當(dāng)點E、D分別與點A、B重合時，AB=AD，EF=AF，CD=BC，∠FAD=∠FAB，∴CD=EF，CDEF；故答案為：CD=EF，CD∥EF；（2）CD=EF，CDEF，成立．證明：連接BF，∵∠FAD=∠BAC=60°，∴∠FAD∠BAD=∠BAC∠BAD，即∠FAB=∠DAC，∵AF=AD，AB=AC，∴△AFB≌△ADC(SAS)，∴∠ABF=∠ACD=60°，BF=CD，∵AE=BD，∴BE=CD，∴BF=BE，∴△BFE是等邊三角形，∴BF=EF，∠FEB=60°，∴CD=EF，BCEF，即CDEF，∴CD=EF，CDEF；（3）如圖，當(dāng)點D運動到BC的中點時，四邊形的面積是面積的一半，此時，四邊形是菱形．證明：過點E作EG⊥BC于點G，設(shè)△ABC的邊長為a，AD=h，∵AB=BC，BD=CD=BC=a，BD=AE，∴AE=BE=AB，∵AB=AC，∴AD⊥BC，∴EGAD，∴△EBG∽△ABD，∴，∴=h，由（2）知，CD=EF，CDEF，∴四邊形CEFD是平行四邊形，∴,此時，EF=BD，EFBD，∴四邊形BDEF是平行四邊形，∵BF=EF，∴是菱形．本題主要考查了等邊三角形判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定．（2022·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，動點E，F(xiàn)同時從A點出發(fā)，點E沿著A→D→B的路線勻速運動，點F沿著A→B→D的路線勻速運動，當(dāng)點E，F(xiàn)相遇時停止運動．(1)如圖1，設(shè)點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為4個單位每秒，當(dāng)運動時間為秒時，設(shè)CE與DF交于點P，求線段EP與CP長度的比值；(2)如圖2，設(shè)點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為個單位每秒，運動時間為x秒，ΔAEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出當(dāng)x為何值時，y的值最大，最大值為多少？(3)如圖3，H在線段AB上且AH＝HB，M為DF的中點，當(dāng)點E、F分別在線段AD、AB上運動時，探究點E、F在什么位置能使EM＝HM．并說明理由．（1）延長DF交CB的延長線于點G，先證得，可得，根據(jù)題意可得AF=，AE=，可得到CG=3，再證明△PDE∽△PGC，即可求解；（2）分三種情況討論：當(dāng)0≤x≤2時，E點在AD上，F(xiàn)點在AB上；當(dāng)時，E點在BD上，F(xiàn)點在AB上；當(dāng)時，點E、F均在BD上，即可求解；（3）當(dāng)EF∥BD時，能使EM＝HM．理由：連接DH，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【答案】(1)；(2)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為；當(dāng)時，y的最大值為；(3)當(dāng)EF∥BD時，能使EM＝HM．理由見解析【詳解】（1）解：如圖，延長DF交CB的延長線于點G，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴，∴，∵點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為4個單位每秒，運動時間為秒，∴AF=，AE=，∵AB=4，AD=2，∴BF=，ED=，∴，∴BG=1，∴CG=3，∵，∴△PDE∽△PGC，∴，∴；（2）解：根據(jù)題意得：當(dāng)0≤x≤2時，E點在AD上，F(xiàn)點在AB上，此時AE=x，，∵，AB=4，AD=2，∴，∴△ABD是直角三角形，∵，∴∠ABD=30°，∴∠A=60°，如圖，過點E作交于H，∴，∴；∴當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大，此時當(dāng)x=2時，y有最大值3；當(dāng)時，E點在BD上，F(xiàn)點在AB上，如圖，過點E作交于N，過點D作交于M，則EN∥DM，根據(jù)題意得：DE=x2，∴，在Rt△ABD中，，AM=1，∵EN∥DM，∴△BEN∽△BDM，∴，∴∴，∴，此時該函數(shù)圖象的對稱軸為直線，∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大，此時當(dāng)時，y有最大值；當(dāng)時，點E、F均在BD上，過點E作交于Q，過點F作交于P，過點D作DM⊥AB于點M，∴，DA+DE=x，∵AB=4，AD=2，∴，，∵PF∥DM，∴△BFP∽△BDM，∴，即，∴，∵，∴△BEQ∽△BDM，∴，即，∴，∴，此時y隨x的增大而減小，此時當(dāng)時，y有最大值；綜上所述：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為當(dāng)時，y最大值為；（3）解：當(dāng)EF∥BD時，能使EM＝HM．理由如下：連接DH，如圖，∵，AB=4，∴．AH=1，由（2）得：此時，∵M(jìn)是DF的中點，∴HM=DM=MF，∵EF∥BD，BD⊥AD，∴EF⊥AD，∴EM=DM=FM，∴EM=HM．本題是四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．1．（2022·廣東江門·?？家荒＃c為正方形的邊上一動點，直線與相交于點，與的延長線相交于點．(1)如圖①，若正方形的邊長為2，設(shè)，的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系；(2)如圖②，求證：是的外接圓的切線；(3)如果把正方形換成是矩形或菱形，（2）的結(jié)論是否是否仍然成立?【答案】(1)(2)見解析(3)正方形換成矩形時，（2）結(jié)論不成立；當(dāng)正方形換成菱形時，（2）結(jié)論成立【分析】（1）延長，過G作交延長線于R，利用三角形面積公式即可得出結(jié)果；（2）取中點O，連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)得出，再由各角之間的等量代換得出，即可證明；（3）當(dāng)正方形換成矩形時，根據(jù)題意得出不是的外接圓的切線；當(dāng)正方形換成菱形時，同（2）中的方法一致，證明即可【詳解】（1）解：如圖，延長，過G作交延長線于R，由題意可知，正方形邊長為2，∴，∴∴即；（2）證明：如圖，取中點O，連接，∵，∴是外接圓的直徑，O為圓心，在正方形中，是對角線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在圓O中，，∴，

∴，∵，∴，即，∴是的外接圓的切線；（3）當(dāng)正方形換成矩形時，由（2）可知，，但是與不全等，∴，∴，∴，∴不是的外接圓的切線；當(dāng)正方形換成菱形時，在菱形中，是對角線，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在圓O中，連接并延長交圓O于H，∵，∴，∵是直徑，∴，∴，∴，即，∴是的外接圓的切線．2．（2022·山東青島·山東省青島第二十六中學(xué)校考二模）問題提出：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積．問題探究：為了解決上述問題，我們先由特殊到一般來進(jìn)行探究．探究一：如圖1，在中，，，，，求的面積．在中，，．．探究二：如圖2，中，，，，求的面積（用含、、代數(shù)式表示），寫出探究過程．探究三：如圖3，中，，，，求的面積（用、、表示）寫出探究過程．問題解決：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積方法是：___________（用文字?jǐn)⑹觯畣栴}應(yīng)用：如圖4，已知平行四邊形中，，，，求平行四邊形的面積（用、、表示）寫出解題過程．問題拓廣：如圖5所示，利用你所探究的結(jié)論直接寫出任意四邊形的面積（用、、、、、表示），其中，，，，，．【答案】，見解析；，見解析；一個三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半；；【分析】探究二：如圖2中，作于．求出高，即可解決問題；探究三：如圖3中，作于．求出高，即可解決問題；問題解決：（）是a、b兩邊的夾角）；問題應(yīng)用：如圖4中，作AH⊥CB于H．求出高，即可解決問題；問題拓廣：如圖5，連接，由探究三的結(jié)論可得出答案．【詳解】解：探究二：如圖2中，作于．，，，，在中，，，，．探究三：如圖3中，作于．在中，，．問題解決：一個三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半．故答案為：一個三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半．問題應(yīng)用：如圖4中，作于．在中，，．問題拓廣：連接，由探究三的結(jié)論可得：．．．3．（2022·寧夏銀川·?？家荒＃┤鐖D，，分別是的直徑和弦，半徑于點．過點作的切線與的延長線交于點，，的延長線交于點．(1)求證：是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，可以證得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)定理可以得到，即，即可證得是的切線；（2）根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，是的切線，是的直徑，，于點，，，在和中，，（SAS），，，是的半徑，是的切線．（2）解：于點，，，是的切線，，，，，，，，，，，在中，，．故答案為：．4．（2022·四川南充·模擬預(yù)測）如圖，有兩塊量角器完全重合在一起（量角器的直徑，圓心為），保持下面一塊不動，上面的一塊沿所在的直線向右平移，當(dāng)圓心與點重合時，量角器停止平移，此時半與半交于點，連接．(1)與半有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由．(2)在半的量角器上，、點的讀數(shù)分別為、時，問點在這塊量角器上的讀數(shù)是多少？(3)求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)與半相切，理由見解析；(2)；(3)．【分析】（1）連接，利用直徑所對的圓周角等于可證明，即與半相切；（2）求出，即可知點在這塊量角器上的讀數(shù)是；（3）由圖可知：，代入可求出．．【詳解】（1）解：與半相切，理由如下：連接，∵是直徑，∴，即與半相切．（2）解：連接，∵，∴為等邊三角形，∴，點在這塊量角器上的讀數(shù)是．（3）解：作交于點D，∵為等邊三角形，，∴，∵由圖可知：，即．5．（2022·吉林長春·?？寄M預(yù)測）定義：如果一個四邊形的一組對角互余，我們稱這個四邊形為對角互余四邊形．(1)問題．利用下面哪組圖形可以得到一個對角互余四邊形（）①兩個等腰三角形；②兩個等邊三角形；③兩個直角三角形；④兩個全等三角形．(2)如圖①，在對角互余四邊形中，，且，．若，求四邊形的面積和周長．(3)問題．如圖②，在對角互余四邊形中，，，，，，求四邊形的面積和周長．(4)問題．如圖③，在對角互余四邊形中，，，，，求面積的最大值．【答案】(1)①③④(2)，四邊形的周長(3)，四邊形的周長(4)面積的最大值【分析】（1）結(jié)合定義來判斷，重點是拼成的四邊形一對對角互余．（2）因為，，所以，所以在對角互余四邊形中，只能．這樣利用含直角三角形三邊的特殊關(guān)系，就可以解決問題；（3）如圖，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到，則，連接，作于H，作于G，作于F，這樣可以求，則可以得到的長，進(jìn)而把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為和的面積之和，和的面積容易算出來，則四邊形面積可求．再求出和的長度，就可以得到和的長，利用勾股定理可以求出的長，四邊形的周長可求．（4）構(gòu)造，根據(jù)，利用相似的性質(zhì)和勾股定理求出，然后根據(jù)對角互余四邊形的性質(zhì)得到，從而得到四點共圓，而與同底，高成比例，從而得出，根據(jù)面積最大值可求面積的最大值．【詳解】（1）解：①兩個等腰三角形底邊相等，頂角互余，就可以，故①可以得到一個對角互余四邊形；②等邊三角形不成，即使是全等的等邊三角形拼成四邊形對角和為120°或240°，故②得不到對角互余四邊形；③兩個全等的直角三角形或有一條直角邊相等的相似的兩個直角三角都可以，故③可以得到一個對角互余四邊形；④由③可知④可以得到一個對角互余四邊形；故答案為：①③④；（2）∵，，∴，∵對角互余四邊形中，，∴，在中，，，，∴，，在中，，，∴，，∵，，∴，四邊