專題3.14一次方程與方程組章末十六大題型總結(jié)（拔尖篇）（滬科版）

專題3.14一次方程與方程組章末十六大題型總結(jié)（拔尖篇）【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1解含參數(shù)的一元一次方程】 1【題型2整體代入法解一元一次方程】 3【題型3解含絕對(duì)值的一元一次方程】 6【題型4利用一元一次方程解決規(guī)律問題】 8【題型5一元一次方程中的動(dòng)點(diǎn)問題】 13【題型6一元一次方程中的數(shù)形結(jié)合問題】 17【題型7一元一次方程的新定義問題】 24【題型8一元一次方程的應(yīng)用】 30【題型9二元一次方程的整數(shù)解】 34【題型10由方程組的錯(cuò)解問題求參數(shù)的值】 36【題型11解含參數(shù)的二元一次方程組】 38【題型12根據(jù)二元一次方程方程有公共解求解】 40【題型13整體思想解二元一次方程組】 43【題型14二元一次方程組的新定義問題】 47【題型15二元一次方程組的規(guī)律探究】 50【題型16二元一次方程（組）的閱讀理解類問題】 54【題型1解含參數(shù)的一元一次方程】【例1】已知關(guān)于x的一元一次方程x2023+a=2023x的解是x=2022，關(guān)于y的一元一次方程b2023+2023c=?a的解是y=?2021（其中b和c是含有y的代數(shù)式），則下列結(jié)論符合條件的是（

）A．b=?y?1,c=y+1 B．b=1?y,c=y?1C．b=y+1,c=?y?1 D．b=y?1,c=1?y【答案】B【分析】根據(jù)x=2022，y=?2021得到x=1?y，得到1?y2023+2023y?1=?a的解為【詳解】∵x=2022，y=?2021得到x=1?y，∴1?y2023+2023y?1∵方程b2023+2023c=?a的解是∴b=1?y,c=y?1，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解即使得方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．【變式11】已知關(guān)于x的方程kx?2x=5的解為正整數(shù)，則整數(shù)k的值為．【答案】3或7．【分析】解方程用含有k的式子表示x，再根據(jù)5除以幾得正整數(shù)，求出整數(shù)k．【詳解】解：kx?2x=5，解得，x=5∵k為整數(shù)，關(guān)于x的方程kx?2x=5的解為正整數(shù)，∴k2=1或k2=5，解得，k=3或k=7，故答案為：3或7．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解，解題關(guān)鍵是根據(jù)方程的解為正整數(shù)，k為整數(shù)，確定未知數(shù)的系數(shù)的值．【變式12】已知a，b為定值，且無論k為何值，關(guān)于x的方程kx?a3=1?2x+bk2的解總是x【答案】?4【分析】根據(jù)一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成關(guān)于a、b的形式，然后根據(jù)方程的解與k無關(guān)分別列出方程求解即可．【詳解】解：方程兩邊都乘6，去分母得2（kxa）=63（2x+bk），∴2kx2a=66x3bk，整理得（2x+3b）k+6x=2a+6，∵無論k為何值，方程的解總是2，∴2a+6=6×2，2×2+3b=0，解得a=3，b=?4∴ab=3×(?4故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解，根據(jù)方程的解與k無關(guān)，則k的系數(shù)為0列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式13】已知關(guān)于x的方程x?2?ax6=A．?23 B．23 C．?34 D．34【答案】C【分析】先根據(jù)解方程的一般步驟解方程，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的定義將a的值算出，最后相加即可得出答案．【詳解】解：x?去分母，得6x?去括號(hào)，得6x?2+ax=2x?12移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得4+a將系數(shù)化為1，得x=?∵x=?10∴a=?5或?6，?9，?14時(shí)，x的解都是非負(fù)整數(shù)則?5+故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解，熟練掌握解方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．【題型2整體代入法解一元一次方程】【例2】已知關(guān)于x的一元一次方程12020x+3=2x+b的解為x=2，那么關(guān)于的y一元一次方程12020【答案】y=3．【分析】將方程12020x+3=2x+b變形為12020(y?1)+3=2(y?1)+b，在根據(jù)方程12020【詳解】解：將關(guān)于y的一元一次方程12020(y?1)=2y+b?5變形為即12020∵一元一次方程12020∴x=y?1，∵x=2，∴2=y?1，∴y=3．故答案為：y=3．【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解一元一次方程，將關(guān)于y的一元一次方程12020(y?1)=2y+b?5變形為【變式21】在解一元一次方程時(shí)，巧妙利用整體法，可以達(dá)到簡化計(jì)算的效果．例如，在解方程32x?1?3(2x?1)+3=5令a=2x?1，得：3a?(3a+3)去括號(hào)，得：3a?9a?9=5，合并同類項(xiàng)，得：?6a=14，系數(shù)化為1，得：a=?7故2x?1=?73，解得閱讀以上材料，請(qǐng)用同樣的方法解方程：4【答案】x=13【分析】把x+2看作一個(gè)整體，再按照解一元一次方程的方法求解即可．【詳解】解：令a=x+2，則2a=2x+4，原方程得：42a?(去括號(hào)，得：4a20=1，移項(xiàng)，得：4a=21，系數(shù)化為1，得：a=214故x+2=214解得x=134【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，能正確換元是解此題的關(guān)鍵．【變式22】在解方程3x+1?13x?1=2x?1(1)7x+3(2)52x+3【答案】(1)x(2)x=?【分析】（1）將x+3看成一個(gè)整體，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化成1即可．（2）將2x+3、x?2分別看成一個(gè)整體，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化成1即可．【詳解】（1）移項(xiàng)，得7x+3整體合并，得10x+3即x+3=2，解得x=（2）52x+3移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得112去分母，得222x+3去括號(hào)，得44x+66=11x?22，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得33x=?88，解得x=?8【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是要注意用了整體代入思想．【變式23】當(dāng)x＝1時(shí)，式子ax3+bx+1的值是2，則方程ax+12【答案】x＝1【分析】把x＝1代入代數(shù)式，使其值為2，求出a+b的值，方程變形后代入計(jì)算即可求出解．【詳解】解：把x＝1代入得：a+b+1＝2，即a+b＝1，方程去分母得：2ax+2+2bx﹣3＝x，整理得：（2a+2b﹣1）x＝1，即[2（a+b）﹣1]x＝1，把a(bǔ)+b＝1代入得：x＝1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程，以及代數(shù)式求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【題型3解含絕對(duì)值的一元一次方程】【例3】若關(guān)于x的方程x?2?1=a有三個(gè)整數(shù)解，則a的值是(A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)可得|x?2|?1=±a,然后討論x≥2及x<2的情況下解的情況，再根據(jù)方程有三個(gè)整數(shù)解可得出a的值．【詳解】解：①若|x?2|?1=a,當(dāng)x≥2時(shí)，x?2?1=a,解得：x=a+3，a≥?1；當(dāng)x<2時(shí)，2?x?1=a,解得：x=1?a；a>?1；②若|x?2|?1=?a,當(dāng)x≥2時(shí)，x?2?1=?a,解得：x=?a+3，a≤1；當(dāng)x<2時(shí)，2?x?1=?a,解得：x=a+1，a<1；又∵方程有三個(gè)整數(shù)解，∴可得：a=?1或1，根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性可得：a≥0．即a只能取1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值的一元一次方程，難度較大，掌握絕對(duì)值的性質(zhì)及不等式的解集的求法是關(guān)鍵．【變式31】方程x?3x+1=2的解為x=【答案】12或【分析】由絕對(duì)值的性質(zhì)可得出3x+1=x±2，從而可分類討論：①當(dāng)3x+1=x?2時(shí)和②當(dāng)3x+1=x+2時(shí)，再根據(jù)方程有意義可得出【詳解】解：∵x?3x+1∴x?3x+1∴3x+1=x±2分類討論：①當(dāng)3x+1=x?2時(shí)∵方程有意義，∴x?2≥0，解得：x≥2，∴3x+1≥7，∴3x+1=x?2解得，x=?3②當(dāng)3x+1=x+2時(shí)∵方程有意義，∴x+2≥0，解得：x≥?2，∴3x+1=±(x+2)，即3x+1=x+2或3x+1=?x?2，解得：x=12或故答案為：12或?【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的性質(zhì)，解一元一次方程．根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去絕對(duì)值是解題關(guān)鍵．【變式32】設(shè)y1=2+x，y2=2?x，當(dāng)【答案】?2≤x≤0【分析】根據(jù)題意，得到2+x=2?x，即【詳解】解：∵y1=2+x，y∴2+x=2?x，即當(dāng)x≤?2時(shí)，2+x<0,x<0，則?2+x?x=2，即2x=?4，解得當(dāng)?2<x<0時(shí)，2+x>0,x<0，則2+x?x=2恒成立，即?2<x<0；當(dāng)x≥0時(shí)，2+x>0,x≥0，則2+x+x=2，即2x=0，解得x=0；綜上所述，當(dāng)y1=y2時(shí)，故答案為：?2≤x≤0．【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值方程的解法，熟記絕對(duì)值的代數(shù)意義去絕對(duì)值是解決問題的關(guān)鍵．【變式33】解方程：|3x+1|?|1?x|=2．【答案】?13?x<1時(shí)，x=1【分析】令3x+1=0，1?x=0，得x=?13，x=1，根據(jù)這兩個(gè)數(shù)進(jìn)行分段，去絕對(duì)值符號(hào)求【詳解】解：①當(dāng)x?1時(shí)，3x+1+1?x=2，x=0，不存在；②當(dāng)?13?x<1時(shí)，3x+1+x?1=2③當(dāng)x<?13時(shí)，?3x?1?1+x=2，∴|3x+1|?|1?x|=2的解是?13?x<1時(shí)，x=12【點(diǎn)睛】本題主要考查了含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程的解法，解題的方法是令每個(gè)絕對(duì)值部分為0，將x的值分段去絕對(duì)值解方程．【題型4利用一元一次方程解決規(guī)律問題】【例4】如圖，某鏈條每節(jié)長為2.8cm，每兩節(jié)鏈條相連接部分重疊的圓的直徑為1

(1)2節(jié)鏈條的總長度為______cm；3節(jié)鏈條的總長度為______cm；4節(jié)鏈條的總長度為______cm；(2)根據(jù)上述規(guī)律，n節(jié)鏈條的總長度為多少cm；（用含n的式子表示，不用說理）(3)一根鏈條的總長度能否為73cm【答案】(1)4.66.4；8.2(2)1.8n+1(3)能，由40節(jié)組成【分析】（1）結(jié)合圖形計(jì)算即可；（2）根據(jù)（1）中規(guī)律求解即可；（3）利用（2）中結(jié)論列方程求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：1節(jié)鏈條的長度=2.8cm2節(jié)鏈條的總長度=[2.8+(2.8?1)]=4.6cm3節(jié)鏈條的總長度=[2.8+(2.8?1)×2]=6.4cm4節(jié)鏈條的總長度=[2.8+(2.8?1)×3]=8.2cm故答案為：4.6；6.4；8.2；（2）根據(jù)（1）可得，n節(jié)鏈條的總長度為2.8+2.8?1（3）一根鏈條的總長度可以為73cm設(shè)該鏈條由x節(jié)組成，根據(jù)題意得1.8x+1=73，解得x=40，∴總長度為73cm【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類、解一元一次方程，從圖形找規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式41】觀察下面有規(guī)律排列的三行數(shù)：

(1)第一行數(shù)中，第7個(gè)數(shù)是______，第8個(gè)數(shù)是______(2)觀察第二行、第三行數(shù)與第一行數(shù)的關(guān)系，解決下列問題：①第二行數(shù)中，第7個(gè)數(shù)是______，第三行數(shù)中，第7個(gè)數(shù)是______；②取每行數(shù)的第2022個(gè)數(shù)，計(jì)算這三個(gè)數(shù)的和是______；③如圖，在第二行、第三行數(shù)中，用兩個(gè)長方形組成“階梯形”方框，框住4個(gè)數(shù)，左右移動(dòng)“階梯形”方框，是否存在框住的4個(gè)數(shù)的和為?5118，若存在，求這四個(gè)數(shù)中最左邊的數(shù)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)?128，256(2)①?129，258；②1；③1023【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)都是前一個(gè)數(shù)乘2得到的，再利用第奇數(shù)個(gè)系數(shù)為負(fù)求解即可；（2）①根據(jù)第二行的數(shù)比第一行的數(shù)小1，第三行的數(shù)等于第二行的數(shù)乘以?2，即可求解；②根據(jù)第一行的第n個(gè)數(shù)為?2n，第二行的數(shù)為?2n?1，第三行的數(shù)為?2③設(shè)第二行最左邊的數(shù)為x?1，則其第二個(gè)數(shù)為?2x?1，第三行第一個(gè)數(shù)為?2?2x?1=4x+2，第二個(gè)數(shù)為【詳解】（1）解：由題意可得，第7個(gè)數(shù)是?128，第8個(gè)數(shù)是256，故答案為：?128，256；（2）解：①由題意可得，∵?128?1=?129，?129×?2∴第二行數(shù)中，第7個(gè)數(shù)是?129，第三行數(shù)中，第7個(gè)數(shù)是258，故答案為：?129，258；②∵第一行的第n個(gè)數(shù)為?2n，第二行的數(shù)為?2n?1∴第一行的第2022個(gè)數(shù)為?22022，第二行的第2022個(gè)數(shù)為?22022?1∴?2=?2=1，故答案為：1；③設(shè)第二行最左邊的數(shù)為x?1，則其第二個(gè)數(shù)為?2x?1，第三行第一個(gè)數(shù)為?2?2x?1=4x+2，第二個(gè)數(shù)為∴x?1+解得x=1024，∴x?1=1023，答：這四個(gè)數(shù)中最左邊的數(shù)為1023．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字規(guī)律型、用字母表示數(shù)、解一元一次方程，觀察數(shù)據(jù)的規(guī)律，弄清數(shù)量關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵．【變式42】如上表，方程①、方程②、方程③、方程④．．．．是按照一定規(guī)律排列的一列方程：序號(hào)方程方程的解①2x=?2②2x=0③2x=______④2x=_____………(1)將上表補(bǔ)充完整，(2)按上述方程所包含的某種規(guī)律寫出方程⑤及其解；(3)寫出表內(nèi)這列方程中的第n（n為正整數(shù)）個(gè)方程和它的解．【答案】(1)2，4(2)x=6(3)x=2【分析】（1）求解方程③和④可得解；（2）按照方程根的規(guī)律列出方程即可；（3）先按照規(guī)律列出方程的第n個(gè)方程，再求解并檢驗(yàn)．【詳解】（1）解：第3個(gè)方程2x?2?x=?2，∴x=2，第4個(gè)方程2x?2?x=?4，∴x=4，故答案為：2，4（2）解：方程①2x?2?3x?1方程②2x?2?3x?2方程③2x?2?3x?3方程④2x?2?3x?4∴方程⑤為2x?2?3x?5（3）由上表可得每個(gè)方程的左邊是2項(xiàng)的差，第一項(xiàng)是2x?2，第2項(xiàng)是?3x?n，右邊是n，方程的解為∴第n（n為正整數(shù)）個(gè)方程為2x?2?3x?n【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，熟練求解一元一次方程是解題的關(guān)鍵．【變式43】某旅游景區(qū)走廊的中間部分是用邊長為1米的白色正方形地磚和彩色正方形（圖中陰影部分）地磚鋪成的，圖案如圖所示，根據(jù)圖示排列規(guī)律，解答以下問題．

(1)第4個(gè)圖案L4有白色地磚__________塊地磚；第n個(gè)圖案Ln有白色地磚__________塊地磚（用含(2)已知L1的長度為3米，L2的長度為5米，…，Ln【答案】(1)15；3n+3(2)3036【分析】（1）由題意知，第1個(gè)圖案L1有白色地磚3×2=6塊地磚；第2個(gè)圖案L2有白色地磚3×3=9塊地磚；第3個(gè)圖案L3有白色地磚3×4=12塊地磚；第4個(gè)圖案L4有白色地磚3×5=15塊地磚；??，可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：第n個(gè)圖案（2）由L1的長度為1+2=3米；L2的長度為2+3=5米；??，可推導(dǎo)一般性規(guī)律：Ln的長度為n+n+1=2n+1米；∴令2n+1=2023，解得，n=1011【詳解】（1）解：由題意知，第1個(gè)圖案L1有白色地磚3×2=6第2個(gè)圖案L2有白色地磚3×3=9第3個(gè)圖案L3有白色地磚3×4=12第4個(gè)圖案L4有白色地磚3×5=15??∴可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：第n個(gè)圖案Ln有白色地磚3故答案為：15；3n+3；（2）解：∵L1的長度為1+2=3L2的長度為2+3=5??，∴可推導(dǎo)一般性規(guī)律：Ln的長度為n+∴令2n+1=2023，解得，n=1011，∴L1011中白色正方形地磚有3n+3=3×1011+3=3036∴圖案Ln【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的規(guī)律探究，一元一次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意推導(dǎo)出一般性規(guī)律．【題型5一元一次方程中的動(dòng)點(diǎn)問題】【例5】如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2

(1)當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，t=______時(shí)，CP把△ABC的周長分成相等的兩部分？(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，t=______時(shí)，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分？(3)當(dāng)點(diǎn)P在所有運(yùn)動(dòng)過程中，連接PC或PB，求當(dāng)t為何值時(shí)，△BCP的面積為12？【答案】(1)6(2)6.5(3)t為2或6.5秒時(shí)，△BCP的面積為12【分析】（1）先求出△ABC的周長為24，所以當(dāng)CP把△ABC的周長分成相等的兩部分時(shí)，點(diǎn)P在AB上，此時(shí)CA+AP=BP+BC=12，再根據(jù)時(shí)間=路程÷速度即可求解；（2）根據(jù)中線的性質(zhì)可知，點(diǎn)P在AB中點(diǎn)時(shí)，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分，進(jìn)而求解即可；（3）分兩種情況：①P在AC上；②P在AB上，根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：△ABC中，∵AC=8，BC=6，AB=10，∴△ABC的周長=8+6+10=24cm∴當(dāng)CP把△ABC的周長分成相等的兩部分時(shí)，點(diǎn)P在AB上，此時(shí)CA+AP=BP+BC=12cm∴2t=12，解得t=6．故答案為：6；（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB中點(diǎn)時(shí)，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分，此時(shí)CA+AP=8+5=13cm∴2t=13，解得t=6.5．故答案為：6.5；（3）解：分兩種情況：①當(dāng)P在AC上時(shí)，

∵△BCP的面積=12，∴12∴CP=4，∴2t=4，則t=2；②當(dāng)P在AB上時(shí)，

∵△BCP的面積=12=△ABC面積的一半，∴P為AB中點(diǎn)，∴2t=13，則t=6.5．故t為2或6.5秒時(shí)，△BCP的面積為12．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，三角形的周長與面積，三角形的中線，利用分類討論的思想是解（3）題的關(guān)鍵．【變式51】如圖，在△ABC中，AB=20?cm，AC=12?cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)以每秒2cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其2中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△APQ是以A為頂角的等腰三角形時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（

A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒【答案】D【分析】根據(jù)AP=AQ即可求解．【詳解】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，△APQ是以A為頂角的等腰三角形即AP=AQ∵AP=20?3t,AQ=2t∴20?3t=2t解得：t=4故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的簡單應(yīng)用．抓住AP=AQ是解題關(guān)鍵．【變式52】如圖，在長方形ABCD中，AB=CD=4cm，AD=BC=3cm，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒1cm的速度沿長方形的邊運(yùn)動(dòng)，方向?yàn)锳→B→C最終到達(dá)點(diǎn)C停止，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

(1)試用含t的式子表示線段BP的長；(2)求出當(dāng)t為何值時(shí)，三角形AEP的面積等于5cm2【答案】(1)當(dāng)P在AB上時(shí)，BP=當(dāng)P在BC上時(shí)，BP=(2)當(dāng)t為103或5時(shí)，三角形AEP的面積等于【分析】（1）根據(jù)題意及線段的和差分兩種情況求解即可得出答案；（2）分當(dāng)P在AB上時(shí)及當(dāng)P在BC上時(shí)兩種情況分別畫出圖形，利用三角形的面積公式計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）解：當(dāng)P在AB上時(shí)，BP=當(dāng)P在BC上時(shí)，BP=（2）解：①當(dāng)P在AB上時(shí)，如圖

∵△APE的面積等于5，∴1解得t=10②當(dāng)P在BC上時(shí)，如圖

∵△APE的面積等于5，∴S即4×3?1解得t=5．當(dāng)t為103或5時(shí)，三角形AEP的面積等于5cm【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用及列代數(shù)式，熟記三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．【變式53】如圖，在長方形ABCD中，AD=32cm，AB=15cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB，BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為3cm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為2cms，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)

(1)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，用含t的代數(shù)式表示下列線段的長度AP=_________

BQ=_________PB=_________(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，t為何值，能使PB=BQ？(3)點(diǎn)P能否追上點(diǎn)Q？如果能，求出t的值：如果不能，說明理由．【答案】(1)3t，2t，15?3t(2)3秒(3)能，15【分析】（1）由動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為2cms，得BQ=2t；由點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在AB上運(yùn)動(dòng)，速度為3cm/（2）由點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，且BP=BQ，得15?3t=2t，解方程求出t的值即可；（3）先假設(shè)能夠追上列方程，再解方程并檢驗(yàn)即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得AP=3t，BQ=2t，AB=15cm，AD=BC=32當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，則BP=15?3t（2）當(dāng)BP=BQ時(shí)，則15?3t=2t，解得t=3，∴當(dāng)t的值是3時(shí)，BP=BQ．（3）假設(shè)點(diǎn)P能追上點(diǎn)Q，則有3t?2t=15，解得t=15；當(dāng)t=15時(shí)，3t=45<15+32=47，所以，當(dāng)t=15，點(diǎn)P能追上點(diǎn)Q．【點(diǎn)睛】本題考查的是列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，列出正確的代數(shù)式與方程是解本題的關(guān)鍵．【題型6一元一次方程中的數(shù)形結(jié)合問題】【例6】如圖，已知數(shù)軸上A、B兩定點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是－20，40，動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后折返向點(diǎn)A繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，其中某點(diǎn)回到點(diǎn)A時(shí)，全部停止．（點(diǎn)M的速度為3個(gè)單位長度/秒，點(diǎn)N的速度為2個(gè)單位長度/秒）

(1)在點(diǎn)M到達(dá)B點(diǎn)前，①經(jīng)過______秒M、N之間間隔6個(gè)單位長度：②經(jīng)過______秒原點(diǎn)剛好位于M、N的最中間；③經(jīng)過______秒點(diǎn)A到點(diǎn)N的距離剛好等于點(diǎn)B到點(diǎn)M的距離（即BM=AN）；(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B后，點(diǎn)N開始改變速度以a個(gè)單位長度/秒的速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，4秒后，M、N兩點(diǎn)之間相距4個(gè)單位長度，求a的值．【答案】(1)①6；②8；③12(2)a=1或a=3或a=7或a=9．【分析】（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，依題意，點(diǎn)M表示的數(shù)為?20+3t，點(diǎn)N表示的數(shù)為?20+2t，①根據(jù)MN=6，列方程，即可求解；②根據(jù)MO=NO，列出一元一次方程，解方程，即可求解；③根據(jù)BM=AN，列出一元一次方程，解方程，即可求解；（2）分情況討論，①當(dāng)a<5時(shí)，點(diǎn)M返回時(shí)，4秒后M表示的數(shù)為40?4×3=28，點(diǎn)N表示的數(shù)為20+4a，②當(dāng)a>5時(shí)，則N點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)返回，點(diǎn)M繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，4秒后M表示的數(shù)為40?4×3=28，點(diǎn)N表示的數(shù)為20+40?4a【詳解】（1）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，依題意，點(diǎn)M表示的數(shù)為?20+3t，點(diǎn)N表示的數(shù)為?20+2t，①∵?20+3t>?20+2t∴MN=6時(shí)，即?20+3t?解得t=6，故答案為：6．②當(dāng)原點(diǎn)剛好位于M、N的最中間，即?20+3t=0?解得：t=8故答案為：8．③當(dāng)BM=AN時(shí)，40?解得：t=12，故答案為12；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B后，此時(shí)?20+3t=40解得：t=20此時(shí)點(diǎn)N表示的數(shù)為?20+2×20=20，

①當(dāng)M返回時(shí)，4秒后M表示的數(shù)為40?4×3=28，點(diǎn)N表示的數(shù)為20+4a，當(dāng)20+4a<40，即a<5，依題意，20+4a?28=4解得：a=1或a=3；②當(dāng)a>5時(shí)，則N點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)返回，點(diǎn)M繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，4秒后M表示的數(shù)為40?4×3=28，點(diǎn)N表示的數(shù)為20+依題意，60?4a?28=4解得：a=7或a=9；綜上所述，a=1或a=3或a=7或a=9．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)距離，一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合，分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式61】如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側(cè)的一點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)間的距離為10．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒6個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0)秒．(1)數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)是________，當(dāng)t=2s時(shí)，點(diǎn)P(2)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)．求：①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇？②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為8個(gè)單位長度？【答案】(1)?4，?6(2)①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)5秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇；②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1或9秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為8個(gè)單位長度【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離即可解答；（2）①根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離結(jié)合行程問題的特點(diǎn)列出方程求解；②根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離結(jié)合行程問題的特點(diǎn)列出方程求解．【詳解】（1）解：∵數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為6，∴OA=6，則OB=AB?OA=4，∵點(diǎn)B在原點(diǎn)左邊，∴數(shù)軸上點(diǎn)B所表示的數(shù)為?4；∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒6個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒的長度為6t，∴P所表示的數(shù)為：6?6t當(dāng)t=2s時(shí)，點(diǎn)P表示的數(shù)是6?6×2=?6故答案為：?4，?6；（2）解：①點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)追上點(diǎn)Q，根據(jù)題意得6t=10+4t，解得t=5，答：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)5秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇；②當(dāng)P不超過Q時(shí)，則10+4t?6t=8，解得t=1；當(dāng)P超過Q時(shí)，則10+4t+8=6t，解得t=9；答：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1或9秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為8個(gè)單位長度．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離和一元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．【變式62】如圖①，在數(shù)軸上，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D表示的數(shù)分別是?8、3、9、13．動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿?cái)?shù)軸以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C后，立即按原來的速度返回．動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿?cái)?shù)軸以每秒1個(gè)単位的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

(1)點(diǎn)A與原點(diǎn)O的距離是______．(2)點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離是______（用含t的代數(shù)式表示）．(3)點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離恰好等于點(diǎn)P與點(diǎn)Q的距離時(shí)，求t的值．(4)在點(diǎn)P、Q的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，若將數(shù)軸在點(diǎn)O和點(diǎn)P處各折一下，使點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，如圖②所示，當(dāng)所構(gòu)成的三角形OPQ中恰好有兩條邊相等時(shí)，直接寫出t的值．【答案】(1)8(2)2t+3(3)t=1(4)1，52，【分析】（1）由點(diǎn)A表示的數(shù)是?8，得OA=|?8|=8，于是得到問題的答案；（2）由OB=|3|=3，BP=2t，得OP=BP+OB=2t+3，于是得到問題的答案；（3）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，則2t=9?3，求得t=3，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，0≤t≤3，由OP=2t+3，PQ=9+t?(2t+3)=6?t，且OP=PQ，得2t+3=6?t，求得t=1；（4）當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，則t=13?9=4，所以0≤t≤4，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C按原來的速度返回時(shí)，點(diǎn)P表示的數(shù)是9?2(t?3)，即15?2t(3<t≤4)，所以O(shè)P=15?2t，PQ=9+t?(15?2t)=3t?6，可知三角形OPQ的三邊長分別為OQ=OA=8，OP=2t+3，PQ=6?t，或OP=15?2t，PQ=3t?6，再按OP=OQ，OP=PQ，PQ=OQ分別列方程，求出符合題意的t值即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A表示的數(shù)是?8，∴OA=|?8|=8，故答案為：8．（2）∵點(diǎn)B表示的數(shù)是3，∴OB=|3|=3，∵BP=2t，∴OP=BP+OB=2t+3，故答案為：2t+3．（3）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，則2t=9?3，解得t=3，∴當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，0≤t≤3，∵點(diǎn)P表示的數(shù)是2t+3，點(diǎn)Q表示的數(shù)是9+t，且點(diǎn)Q在點(diǎn)P右側(cè)，∴PQ=9+t?(2t+3)=6?t，∵OP=2t+3，且OP=PQ，∴2t+3=6?t，解得t=1，∴t的值是1．（4）t的值是52或7當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，則t=13?9=4，∴0≤t≤4，∴當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C按原來的速度返回時(shí)，點(diǎn)P表示的數(shù)是9?2(t?3)，即15?2t(3<t≤4)，∴OP=15?2t，PQ=9+t?(15?2t)=3t?6，∴三角形OPQ的三邊長分別為OQ=OA=8，OP=2t+3，PQ=6?t，或OP=15?2t，PQ=3t?6，當(dāng)OP=OQ時(shí)，則2t+3=8或15?2t=8，解得t=52或當(dāng)OP=PQ且點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，由（3）得t=1；當(dāng)OP=PQ且點(diǎn)P從點(diǎn)C按原來的速度返回時(shí)，則15?2t=3t?6，解得t=21當(dāng)PQ=OQ=8且點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，則6?t=8，解得t=?2，不符合題意，舍去；當(dāng)PQ=OQ=8且點(diǎn)P從點(diǎn)C按原來的速度返回時(shí)，則3t?6=8，解得t=14綜上所述，t的值是52或7【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解應(yīng)用題、數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題的求解、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確地用代數(shù)式表示點(diǎn)P和點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式63】將一條數(shù)軸在原點(diǎn)O和點(diǎn)B處各折一下，得到如圖所示的“折線數(shù)軸”，圖中點(diǎn)A表示?10，點(diǎn)B表示10，點(diǎn)C表示18．我們稱點(diǎn)A和點(diǎn)C在數(shù)軸上的“友好距離”為28個(gè)單位長度．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2單位長度/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”向其正方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O與點(diǎn)B之間時(shí)速度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?jīng)過點(diǎn)B后立刻恢復(fù)原速；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1單位長度/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”向其負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B與點(diǎn)O之間時(shí)速度變?yōu)樵瓉淼膬杀?，?jīng)過O后也立刻恢復(fù)原速．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

(1)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C需要秒，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A需要秒；(2)P，Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，求出相遇點(diǎn)M在“折線數(shù)軸”上所對(duì)應(yīng)的數(shù)；(3)是否存在t值，使得點(diǎn)P和點(diǎn)Q任“折線數(shù)軸”上的“友好距離”等于點(diǎn)A和點(diǎn)B在“折線數(shù)軸”上的“友好距離”？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)19，23(2)16(3)存在；t的值為83秒或53【分析】（1）先求出AC、QC的長度，再根據(jù)路程除以速度等于時(shí)間即可解答；（2）根據(jù)相遇時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q所用的時(shí)間相等，列方程即可解答；（3）由路程、速度、時(shí)間三者關(guān)系，根據(jù)PQ=AB列方程求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C需要的時(shí)間是：10÷2+10÷1+8÷2=19（秒），動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A需要的時(shí)間是：10÷1+10÷2+8÷1=23（秒）；（2）解：根據(jù)題意可知，P、Q兩點(diǎn)在OB上相遇于M點(diǎn)，設(shè)OM=x,則10÷2+x÷1=8÷1+10?x解得x=16即點(diǎn)M在“折線數(shù)軸”上所對(duì)應(yīng)的數(shù)是163（3）解：設(shè)存在t使得點(diǎn)P和點(diǎn)Q任“折線數(shù)軸”上的“友好距離”等于點(diǎn)A和點(diǎn)B在“折線數(shù)軸”上的“友好距離”，即PQ=AB，當(dāng)點(diǎn)P在AO，點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，依題意得：10?2t+10+8?t=20，解得t=8當(dāng)點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)都在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ<AB，不符合題意；當(dāng)P在BC上，Q在OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，依題意得：t?18?10?10÷2+10+2∴存在，t的值為83秒或53【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系、一元一次方程在數(shù)軸上的應(yīng)用以及路程、速度、時(shí)間三者的關(guān)系等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，掌握一元一次方程的應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵．【題型7一元一次方程的新定義問題】【例7】已知x＝m與x＝n分別是關(guān)于x的方程ax+b＝0（a≠0）與cx+d＝0（c≠0）的解．（1）若關(guān)于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解與方程6x7＝4x5的解相同，求m的值；（2）當(dāng)n＝1時(shí)，求代數(shù)式3c2+cd+2c2（12cd+32（3）若|mn|=12，則稱關(guān)于x的方程ax+b＝0（a≠0）與cx+d＝0（c≠0）為“差半點(diǎn)方程”．試判斷關(guān)于x的方程4042x【答案】（1）m＝1；（2）0；（3）是“差半點(diǎn)方程”，理由見解析．【分析】（1）解方程6x7＝4x5，結(jié)合題意，即可求出m的值；（2）根據(jù)方程解的定義求得c+d＝0，然后化簡代數(shù)式，把c+d＝0代入即可求得代數(shù)式的值；（3）分別解出兩個(gè)一元一次方程的解（都用t的式子來表示），求出兩個(gè)解的差絕對(duì)值即可．【詳解】（1）6x7＝4x5解得：x＝1∵關(guān)于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解與方程6x7＝4x5的解相同，∴m＝1；（2）∵x＝1是關(guān)于x的方程cx+d＝0（c≠0）的解∴c+d＝0則3c2+cd+2c2（12cd+32＝3c2+cd+2ccd3c2+2d＝2c+2d＝2（c+d）＝0；（3）4042x?92解得：x=4040x+4＝8×20212020tx解得：x=∵9×2020?2020t+====∴關(guān)于x的方程4042x?92=9×2020【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程、絕對(duì)值、有理數(shù)混合運(yùn)算、整式加減的知識(shí)；準(zhǔn)確把握題意和熟知解一元一次方程的知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．【變式71】定義：若整數(shù)k的值使關(guān)于x的方程x+42+1=kx的解為整數(shù)，則稱(1)判斷當(dāng)k=1時(shí)是否為方程x+42(2)方程x+42【答案】(1)1(2)有限個(gè)，分別為1，0，2，1【分析】（1）把k=1代入x+42+1=kx，解方程得（2）解關(guān)于x方程x+42+1=kx得x=62k?1，得到當(dāng)2k?1=±1，2k?1=±2，2k?1=±3，2k?1=±6時(shí)，滿足方程的解x為整數(shù)，求出k的值為：1，0，32，?12，2，1，【詳解】（1）解：當(dāng)k=1時(shí)，原方程化為：x+42整理得：x+6=2x，解得：x=6，即當(dāng)k=1時(shí)，方程的解為整數(shù)．根據(jù)新定義可得：k=1是方程x+42（2）解：x+42去分母得：x+4+2=2kx，整理得：2k?1x=6方程的解為：x=6當(dāng)2k?1=±1，2k?1=±2，2k?1=±3，2k?1=±6時(shí)，滿足方程的解x為整數(shù)，此時(shí)k的值為：1，0，32，?12，2，1，7經(jīng)檢驗(yàn)，取上述k的值，2k?1均不為0，其中k為整數(shù)才稱為“友好系數(shù)”，所以k的值為：1，0，2，1．所以方程x+42分別為1，0，2，1．【點(diǎn)睛】本題為新定義問題，考查了一元一次方程的解法，理解新定義“友好系數(shù)”，正確解出含有字母系數(shù)的一元一次方程是解題關(guān)鍵，注意當(dāng)x=62k?1時(shí)，若x為整數(shù)，則【變式72】我們規(guī)定：若關(guān)于x的一元一次方程ax=b的解為x=b+a，則稱該方程為“和解方程”．例如：方程2x=?4的解為x=?2，而?2=?4+2，則方程2x=?4為“和解方程”．請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：(1)下列關(guān)于x的一元一次方程是“和解方程”的有．①12x=?12；②(2)已知關(guān)于x的一元一次方程2x+2=?m是“和解方程”，求(3)若關(guān)于x的一元一次方程3x=mn+m和?3x=mn+n都是“和解方程”，求代數(shù)式5?4m+4n的值．【答案】(1)②(2)m=0(3)32【分析】（1）求出方程的解，再根據(jù)和解方程的意義得出即可；（2）先解方程得出方程的解，再根據(jù)和解方程的含義建立方程即可求得答案；（3）根據(jù)和解方程得出方程的解與m?n=?9【詳解】（1）解：①12x＝?1∵?1≠1∴①不是“和解方程”；②?3x=94的解是∵?3∴②是“和解方程”；③5x=?2的解是x=?2∵?2∴③不是“和解方程”；故答案為：②．（2）∵2x+2∴x+2=?m∴x=?m∵2x+2=?m即∴2?4?m=?m∴m=0；（3）∵3x=mn+m，∴x=1而3x=mn+m是“和解方程”，∴3+mn+m=1∴mn+m=?9∵?3x=mn+n，∴x=?1而?3x=mn+n是“和解方程”，∴?3+mn+n=?1∴mn+n=9由①②得：m?n=?9∴5?4m+4n=5?4m?n=5?4×?=5+27=32．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解的應(yīng)用，新定義運(yùn)算，求解代數(shù)式的值，正確理解新定義再建立新的方程求解是解題的關(guān)鍵．【變式73】在學(xué)習(xí)一元一次方程后，我們給一個(gè)定義：若x0是關(guān)于x的一元一次方程ax+b=0a≠0的解，y0是關(guān)于y的方程的所有解的其中一個(gè)解，且x0，y0滿足x0+y0=99，則稱關(guān)于y的方程為關(guān)于x的一元一次方程的“久久方程”．例如：一元一次方程3x?2x?98=0的解是x0=98，方程y+1=2(1)已知關(guān)于y的方程：①2y?2=4，②y=2，其中哪個(gè)方程是一元一次方程3(2)若關(guān)于y的方程2y?2+2=4是關(guān)于x的一元一次方程x?3x?2a4(3)若關(guān)于y的方程ay?49+a+b=ay+650是關(guān)于x【答案】(1)②(2)a=48或47(3)11【分析】（1）分別求出三個(gè)方程的解，再驗(yàn)證即可；（2）先解方程2y?2+2=4，求得y=0或y=2，再求出關(guān)于x的方程的解，根據(jù)題意可分別求得a（3）由ax+50b=55a及x+y=99，可求得y=44+50ba，代入ay?49+a+b=a【詳解】（1）解：解2y?2=4得：y=3；解y=2得，y=±2；解3x?1=2x+98得：x=101，而101+(?2)=99，所以y故答案為：②；（2）解：∵2y?2+2=4∴2y?2=2即2y?2=2或2y?2=?2，解得：y=0或y=2；對(duì)于x?3x?2a4=a+去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：x=2a+3；由題意，當(dāng)y=0時(shí)，2a+3+0=99，解得：a=48；當(dāng)y=2時(shí)，2a+3+2=99，解得：a=47；

所以a=48或47；（3）解：由題意，x+y=99，即ax+ay=99a由ax+50b=55a得：ax=55a?50b，所以55a?50b+ay=99a，則y=44+50b把上式代入ay?49+a+b=a即a50b?5a∴50b?5a=0，∴a=10b，∴a+bb【點(diǎn)睛】本題是新定義題，考查了解一元一次方程及含絕對(duì)值的方程，求代數(shù)式的值等知識(shí)，有一定的綜合性，理解題中新定義，會(huì)解含有參量的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．【題型8一元一次方程的應(yīng)用】【例8】篝火晚會(huì)，學(xué)年統(tǒng)一為各班準(zhǔn)備了發(fā)光手環(huán)，每名同學(xué)一個(gè)，1班有50人，2班有48人，考慮到發(fā)光手環(huán)易壞，學(xué)年又額外給1班、2班共18個(gè)手環(huán)．(1)要使1班、2班的手環(huán)數(shù)一樣多，請(qǐng)問應(yīng)額外給1班多少個(gè)手環(huán)？(2)為營造氛圍，各班還需要集體購買發(fā)光頭飾．姜經(jīng)理看到商機(jī)，準(zhǔn)備尋找進(jìn)貨途徑．他在甲、乙兩個(gè)批發(fā)商處，發(fā)現(xiàn)了同款高端發(fā)光頭飾，均標(biāo)價(jià)20元甲說：“如果你在我這里買，一律九折”，乙說：“如果你在我這里買，超出40個(gè)，則超出部分一律八折”（每次只能在一個(gè)批發(fā)商處進(jìn)貨）．①請(qǐng)問購進(jìn)多少個(gè)發(fā)光頭飾，去兩個(gè)批發(fā)商處的進(jìn)貨價(jià)一樣多？②姜經(jīng)理第一次購進(jìn)60個(gè)發(fā)光頭飾，正好全部售出．第二次購進(jìn)的數(shù)量比第一次的3倍還多20個(gè)．兩次均以最優(yōu)惠的方式購進(jìn)．如果第一次的總售價(jià)為1150元，且兩批發(fā)光頭飾全部售完后，總利潤恰好為總進(jìn)價(jià)的25%【答案】(1)8(2)①80，②22【分析】（1）先設(shè)出應(yīng)額外給1班x個(gè)手環(huán)，然后根據(jù)題意列出一元一次方程求解即可；（2）①設(shè)未知數(shù)，根據(jù)題意列出一元一次方程進(jìn)行求解即可；②由①可得當(dāng)進(jìn)購數(shù)量少于80時(shí)，選擇甲進(jìn)貨商，當(dāng)進(jìn)購數(shù)量多于80時(shí)，選擇乙進(jìn)貨商，再根據(jù)兩批發(fā)光頭飾全部售完后，總利潤恰好為總進(jìn)價(jià)的25%【詳解】（1）解：設(shè)應(yīng)額外給1班x個(gè)手環(huán)，則額外給2班18?x個(gè)手環(huán)，∵要使1班、2班的手環(huán)數(shù)一樣多，∴50+x=48+18?x解得：x=8，所以應(yīng)額外給1班8個(gè)手環(huán)；（2）解：①設(shè)購進(jìn)y個(gè)發(fā)光頭飾，去兩個(gè)批發(fā)商處的進(jìn)貨價(jià)一樣多，對(duì)于甲批發(fā)商處進(jìn)貨價(jià)為：20y×0.9元，對(duì)于乙批發(fā)商處進(jìn)貨價(jià)為：40×20+y?40∵去兩個(gè)批發(fā)商處的進(jìn)貨價(jià)一樣多，∴20y×0.9=40×20+y?40解得：y=80，所以購進(jìn)80個(gè)發(fā)光頭飾時(shí)，去兩個(gè)批發(fā)商處的進(jìn)貨價(jià)一樣多；②設(shè)第二次每個(gè)發(fā)光頭飾的售價(jià)為z元時(shí)兩批發(fā)光頭飾全部售完后，總利潤恰好為總進(jìn)價(jià)的25%由①可得當(dāng)進(jìn)購數(shù)量少于80時(shí)，選擇甲進(jìn)貨商，當(dāng)進(jìn)購數(shù)量多于80時(shí)，選擇乙進(jìn)貨商，第一次進(jìn)購60個(gè)，所以第一次進(jìn)價(jià)為：60×20×0.9=1080元，∵第二次購進(jìn)的數(shù)量比第一次的3倍還多20個(gè)，∴第二次進(jìn)購了200個(gè)，第二次進(jìn)價(jià)為：40×20+200?40∵兩批發(fā)光頭飾全部售完后，總利潤恰好為總進(jìn)價(jià)的25%∴1150+200z?解得：z=22，所以第二次每個(gè)發(fā)光頭飾的售價(jià)為22元時(shí)兩批發(fā)光頭飾全部售完后，總利潤恰好為總進(jìn)價(jià)的25%【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)際問題與一元一次方程，根據(jù)題意列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．【變式81】輪船沿江從A港順流行駛到B港，比從B港返回A港少用3?，若靜水時(shí)船速為26km/h，水速為2km/h，則A港和B港相距【答案】504【分析】根據(jù)逆流速度等于靜水速度減水流速度，順流速度等于靜水速度加水流速度，表示出逆流速度與順流速度，根據(jù)題意列出方程，求出方程的解，即可得到答案．【詳解】解：設(shè)A港和B港相距xkmx26+2解得：x=504，則A港和B港相距504km故答案為：504．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找出題中的等量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．【變式82】某次籃球聯(lián)賽共有十支隊(duì)伍參賽，部分積分表如下．根據(jù)表格提供的信息解答下列問題：隊(duì)名比賽場次勝場負(fù)場積分A1814432B1811729C189927（1）列一元一次方程求出勝一場、負(fù)一場各積多少分？（2）某隊(duì)的勝場總積分能等于它的負(fù)場總積分嗎？若能，試求勝場數(shù)和負(fù)場數(shù)；若不能，說出理由．（3）試就某隊(duì)的勝場數(shù)求出該隊(duì)的負(fù)場總積分是它的勝場總積分的正整數(shù)倍的情況？【答案】（1）勝一場積2分，負(fù)一場積1分．（2）勝6場，負(fù)12場．（3）勝2場時(shí)，負(fù)場總積分是它的勝場總積分的4倍；勝6場時(shí)，負(fù)場總積分是它的勝場總積分的1倍．【分析】（1）依題意找出等量關(guān)系，設(shè)勝一場積為x分，則負(fù)一場積29?11x7（2）依題意找出等量關(guān)系，設(shè)勝場數(shù)是a，負(fù)場數(shù)是（18﹣a），列方程，如果有解，即某隊(duì)的勝場總積分能等于它的負(fù)場總積分；無解則某隊(duì)的勝場總積分不能等于它的負(fù)場總積分.（3）依題意找出等量關(guān)系，設(shè)勝場數(shù)是a，負(fù)場數(shù)是（18﹣a），某隊(duì)的勝場數(shù)它的勝場總積分的k倍，列方程，解出a＝182k+1，2k+1是奇數(shù)，依題意找到符合題意的數(shù)，解出k【詳解】解：（1）設(shè)勝一場積x分，則負(fù)一場積29?11x7依題意得：14x+4×29?11x7

解得：x＝2此時(shí)29?11x7∴勝一場積2分，負(fù)一場積1分．（2）答：能．理由如下：設(shè)勝場數(shù)是a，負(fù)場數(shù)是（18﹣a），依題意得：

2a＝18﹣a

解得：a＝618﹣a＝18﹣6＝12答：勝6場，負(fù)12場．（3）設(shè)勝場數(shù)是a，負(fù)場數(shù)是（18﹣a），依題意得：18﹣a＝2ka解得：a＝18顯然，k是正整數(shù)，2k+1是奇數(shù)符合題意的有：2k+1＝9，k＝4，a＝2；2k+1＝3，k＝1，a＝6．答：勝2場時(shí)，負(fù)場總積分是它的勝場總積分的4倍；勝6場時(shí)，負(fù)場總積分是它的勝場總積分的1倍．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列一元一次方程和解方程，正確找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【變式83】小真、小善和小美三人是好朋友，同住幸福小區(qū)．為了鼓勵(lì)節(jié)約用水，幸福小區(qū)對(duì)自來水的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)作如下規(guī)定：用水量（立方米）018～40以上的部分費(fèi)用（元/立方米）33.54.5另外：每立方米收污水處理費(fèi)1元．(1)11月小真家用水10立方米，交費(fèi)___________元；小善家用水26立方米，交費(fèi)___________元．(2)幸福小區(qū)某個(gè)家庭用水量記為x18≤x≤40立方米，請(qǐng)列式表示應(yīng)交費(fèi)___________元？(3)已知小美家12月份繳水費(fèi)204元，他家12月用水多少立方米？【答案】(1)40，108(2)4.5x?9(3)小美家12月用水46立方米【分析】（1）用水量在0～18的供水價(jià)格加污水處理費(fèi)用，即可求得小真家的交費(fèi)金額，用水量為18立方米的供水價(jià)格加污水處理費(fèi)用與用水量（2）當(dāng)用水量18≤x≤40時(shí)，可求得應(yīng)交費(fèi)用為4.5x?9（3）由（2）知，小美家12月份用水量超過40立方米，設(shè)小美家12月用水x立方米，可得到方程5.5x=253，即可求得小美家12月份用水量【詳解】（1）∵11月小真家用水10立方米，∴小真家交費(fèi)為：3×10+1×10=40（元）∵小善家用水26立方米，∴小善家交費(fèi)為：3×18+3.5×26?18故答案為：40，108（2）當(dāng)18≤x≤40時(shí)，應(yīng)交費(fèi)用為：3×18+3.5x?18故答案為：4.5x?9（3）由（2）知，當(dāng)用水量為40立方米時(shí)，應(yīng)交費(fèi)用為：4.5×40?9=171（元），∵204>171，∴小美家12月份用水量超過40立方米，設(shè)小美家12月用水x立方米，∴3×18+3.540?18整理得：5.5x=253，解得：x=46，答：小美家12月用水46立方米【點(diǎn)睛】本題考查了電費(fèi)和水費(fèi)問題(一元一次方程的應(yīng)用)及有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次方程【題型9二元一次方程的整數(shù)解】【例9】方程x+y=7的正整數(shù)解的對(duì)數(shù)是（

）A．5 B．7 C．6 D．無數(shù)對(duì)【答案】C【分析】要求方程x+y=7的正整數(shù)解，就要先將方程做適當(dāng)變形，根據(jù)解為正整數(shù)確定其中一個(gè)未知數(shù)的取值，再進(jìn)一步求得另一個(gè)未知數(shù)的值．【詳解】解：由已知，得y=7?x，要使x，y都是正整數(shù)，合適的x值只能是1，2，3，4，5，6，相應(yīng)的y=6，5，4，3，2，1．共6對(duì)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題是求不定方程的整數(shù)解，先將方程做適當(dāng)變形，然后列舉出其中一個(gè)未知數(shù)的適合條件的所有整數(shù)值，再求出另一個(gè)未知數(shù)的值．【變式91】二元一次方程2x+y=?6的負(fù)整數(shù)解是．【答案】x=?1y=?4或【分析】要求2x+y=?6的負(fù)整數(shù)解，就要先將方程做適當(dāng)?shù)淖冃?，根?jù)解為負(fù)整數(shù)，求解即可．【詳解】解：由2x+y=?6可得，y=?6?2x因?yàn)槎淮畏匠?x+y=?6的負(fù)整數(shù)解，則當(dāng)x=?1時(shí)，y=?4；當(dāng)x=?2時(shí)y=?2；當(dāng)x=?3時(shí)，y=0（不符合題意，舍去）則二元一次方程2x+y=?6的負(fù)整數(shù)解是x=?1y=?4或故答案為：x=?1y=?4或【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程的求解，解題的關(guān)鍵是將一個(gè)未知數(shù)看作已知數(shù)求出另一個(gè)未知數(shù)．【變式92】在方程3x+5y＝143的正整數(shù)解中，使|x﹣y|的值最小的解是．【答案】x=16【分析】要求方程3x+5y＝143的正整數(shù)解，就要先將方程做適當(dāng)變形，確定其中一組解，進(jìn)一步得到通解，然后確定出所有的解，即可求得使|x﹣y|的值最小的解．【詳解】解：由3x+5y＝143，得y＝28+3?3x5∴x=1y=28是方程組的一個(gè)解，其通解為x=1?5ty=28+3t（∵x，y都是正整數(shù)，∴x=1y=28，x=6y=25，x=11y=22，x=16y=19，x=21y=16，x=26y=13，x=31y=10∴使|x﹣y|的值最小的解是x=16故答案為x=16y=19【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值、二元一次方程的正整數(shù)解，解題關(guān)鍵是確定二元一次方程的正整數(shù)解，再判斷符合題意值.【變式93】如果將二元一次方程：y=?2x+7的一組正整數(shù)解x=1y=5寫成1,5的形式，并稱1,5為方程y=?2x+7的一個(gè)正整數(shù)點(diǎn)，請(qǐng)寫出方程y=?2x+7剩下的正整數(shù)點(diǎn)【答案】(2，3)，(3，1)【分析】根據(jù)題意得出x，y的取值范圍，以及x，y為整數(shù)，找到符合條件的x的值，代入方程y=?2x+7，即可求解．【詳解】由題意可得：x>0y>0，即x>0?2x+7>0，且x，解得：0<x<3.5且x，y為整數(shù)，則x=1或2或3，當(dāng)x=1時(shí)，y=2×1+7=5，當(dāng)x=2時(shí)，y=2×2+7=3，當(dāng)x=3時(shí)，y=2×3+7=1，那么方程y=2x+7的正整數(shù)點(diǎn)為(1，5)，(2，3)，(3，1)．則方程y=2x十7的剩余的正整數(shù)點(diǎn)為(2，3)，(3，1)．故答案為：(2，3)，(3，1)．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的整數(shù)解，以及一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是弄清題意，掌握正整數(shù)點(diǎn)的求解方法，找出符合條件的正整數(shù)點(diǎn)．【題型10由方程組的錯(cuò)解問題求參數(shù)的值】【例10】（23·24八年級(jí)上·陜西西安·期中）甲、乙兩人都解方程組ax+y=22x?by=1，甲看錯(cuò)a解得x=1y=2，乙看錯(cuò)b解得x=1y=1【答案】x=【分析】根據(jù)甲看錯(cuò)a則求得的解滿足b，乙看錯(cuò)了b則求得的解滿足a，據(jù)此求出a、b的值進(jìn)而得到原方程組，再利用代入消元法求解即可．【詳解】解：∵甲、乙兩人在解方程組ax+y=2①甲看錯(cuò)了方程①中的a，解得x=1y=2∴2×1?2b=1，解得b=1∵乙看錯(cuò)了方程②中的b，解得x=1y=1∴a+1=2，解得a=1，∴原方程組為x+y=2①由①得：x=2?y③把③代入②得22?y?1將y=65代入③得∴方程組的解為x=4故答案為：x=4【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組錯(cuò)解復(fù)原問題，正確理解題意求出a、b的值是解題的關(guān)鍵．【變式101】已知▲x+?y=1□x?7y=1是一個(gè)被墨水污染的方程組．圓圓說：“這個(gè)方程組的解是x=3y=?1，而我由于看錯(cuò)了第二個(gè)方程中的x的系數(shù)，求出的解是【答案】2x+5y=1【分析】設(shè)被墨水污染的三角形為a，圓點(diǎn)為b，正方形為c，利用方程組解的意義列出關(guān)于a，b，c的方程組，解方程組即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)被墨水污染的三角形為a，圓點(diǎn)為b，正方形為c，∵這個(gè)方程組的解是x=3y=?1∴3a?b=13c+7=1∴c=?2．∵看錯(cuò)了第二個(gè)方程中的x的系數(shù)，求出的解是x=?2y=1∴?2a+b=1，∴?2a+b=13a?b=1解得：a=2b=5∴原方程組為2x+5y=1?2x?7y=1【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的解以及解法，熟練掌握二元一次方程組的解的意義是解題的關(guān)鍵．【變式102】小朋同學(xué)在解方程組y?ax=by=?2x的過程中，錯(cuò)把b看成了6，他其余的解題過程沒有出錯(cuò)，解得此方程組的解為x=?1y=2．又已知方程y?ax=b的一個(gè)解是x=?2y=1，則b【答案】9【分析】根據(jù)題意，把x=?1y=2代入y?ax=6，求出a的值，再把x=?2y=1和a的值代入【詳解】解：由題意，得：x=?1y=2是y?ax=6∴2+a=6，∴a=4，把a(bǔ)=4和x=?2y=1代入y?ax=b，得：1+2×4=b∴b=9；故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程的解．熟練在為方程的解是使方程成立的未知數(shù)的值，是解題的關(guān)鍵．【變式103】一個(gè)星期天，小明和小文兩人同解關(guān)于x、y的二元一次方程組ax+by=16①bx+ay=2②由于小明抄錯(cuò)了方程①，得到方程組的解為x=3y=2；小文抄錯(cuò)了方程②，得到方程組的解為x=?1y=2【答案】6084【分析】根據(jù)題意將小明所得方程組的解代入方程②，將小文所得方程組的解代入方程①，即可得關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組，即可求解．【詳解】解：由題意得：?a+2b=163b+2a=2解方程組得a=?44∴a【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的知識(shí)，理解抄錯(cuò)了方程①，得到方程組的解即只滿足方程②，同理抄錯(cuò)了方程②，得到方程組的解即只滿足方程①，是解答本題的關(guān)鍵．【題型11解含參數(shù)的二元一次方程組】【例11】已知方程組3x?y=5?2kx+3y=k+5，那么x+y=【答案】3【分析】把k看做常數(shù)解二元一次方程組，求得x=2?12k【詳解】解：3x?y=5?2k由①×3+②，得解得：x=2?1把x=2?12k∴x+y=2?1故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握用加減法求解二元一次方程是解題的關(guān)鍵．【變式111】整數(shù)a為時(shí)，方程組2x+ay=4x+4y=8【答案】?4【分析】先求出方程組的解，再根據(jù)方程組有正整數(shù)解，求出a的值．【詳解】解：∵2x+ay=4①∴①?②×2，得a?8y=?12∴y=12將y=12x=8?48又∵方程組是正整數(shù)解，∴8?a=12時(shí)滿足x、y均為正整數(shù)，解得：a=?4，故答案為：?4．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的解，解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式112】已知x，y是整數(shù)，且滿足x?y+3=0，ax?y?1=0，則整數(shù)a的所有可能值有（

）個(gè)A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】先聯(lián)立兩個(gè)方程組成方程組，再消去y可得x=4【詳解】解：由題意得：{x?y=?3②①得：(a?1)x=4,當(dāng)a≠1時(shí)，x=4∵a,x都為整數(shù)，∴a=?3或a=?1或a=0或a=2或a=3或a=5,此時(shí)y=x+3也為整數(shù)，所以a的所有的可能的值有6個(gè)，故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組的整數(shù)解問題，掌握“二元一次方程組的解法及整數(shù)解的含義”是解本題的關(guān)鍵．【變式113】已知關(guān)于x，y的方程組x+my=7mx?y=2+m，將此方程組的兩個(gè)方程左右兩邊分別對(duì)應(yīng)相加，得到一個(gè)新的方程，當(dāng)m每取一個(gè)值時(shí)，就有一個(gè)方程，這些方程有一個(gè)公共解，這個(gè)公共解為【答案】x=5【分析】根據(jù)題意①+②得xy9+m（x+y1）=0，然后根據(jù)題意列出方程組即可求得公共解．【詳解】解：x+my=7①x+my+mxy=9+m，則xy9+mx+mym=0，則xy9+m（x+y1）=0，根據(jù)題意，這些方程有一個(gè)公共解，與m的取值無關(guān)，x?y?9=0x+y?1=0解得x=5y=?4故答案為：x=5y=?4【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解的問題和解二元一次方程組，解集本題的關(guān)鍵是理解題意，明確這些方程的解與m的取值無關(guān)．同時(shí)應(yīng)掌握二元一次方程組的基本解法——代入消元法和加減消元法．【題型12根據(jù)二元一次方程方程有公共解求解】【例12】若2a?b=0，且關(guān)于x，y的二元一次方程a?1x+by+5?2a=0，當(dāng)a取不同值時(shí)，方程都有一個(gè)公共解，那么這個(gè)公共解為（

A．x=3y=?1 B．x=1y=?12 C．【答案】C【分析】由2a?b=0得：b=2a，把b=2a代入a?1x+by+5?2a=0得a?1x+2ay+5?2a=0，整理得：x+2y?2a?x+5=0，根據(jù)當(dāng)a取不同值時(shí)，方程都有一個(gè)公共解，得出x+2y?2=0?x+5=0，解關(guān)于【詳解】解：由2a?b=0得：b=2a，∴關(guān)于x，y的二元一次方程a?1x+by+5?2a=0a?1x+2ay+5?2a=0整理得：x+2y?2a?x+5=0∵當(dāng)a取不同值時(shí)，方程都有一個(gè)公共解，∴x+2y?2=0?x+5=0解得：x=5y=?故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是根據(jù)當(dāng)a取不同值時(shí)，方程都有一個(gè)公共解，得出x+2y?2=0?x+5=0【變式121】關(guān)于x，y的二元一次方程y=kx?2k+3（k為常數(shù)），當(dāng)k取一個(gè)確定的值時(shí)就得到一個(gè)方程，所有這些方程有一個(gè)公共解，則這個(gè)公共解是（

）A．x=3y=1 B．x=2y=3 C．x=1y=3【答案】B【分析】由題意可令x=2時(shí)，代入進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由y=kx?2k+3可變形為y=kx?2∵當(dāng)k取一個(gè)確定的值時(shí)就得到一個(gè)方程，所有這些方程有一個(gè)公共解，∴當(dāng)x=2時(shí)，則y=3，∴這個(gè)公共解為x=2y=3故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程的解，熟練掌握二元一次方程的解是解題的關(guān)鍵．【變式122】已知關(guān)于x、y的二元一次方程m?2x+m?3y+2m?3=0，當(dāng)mA．x=3y=?1 B．x=1y=?3 C．x=?1y=3【答案】D【分析】把原方程整理得：m（x+y+2）（2x+3y+3）=0，根據(jù)“當(dāng)m每取一個(gè)值時(shí)就有一個(gè)方程，而這些方程有一個(gè)公共解”，可知這個(gè)公共解與m無關(guān)，得到關(guān)于x和y的二元一次方程組，解之即可．【詳解】解：原方程可整理得：m（x+y+2）（2x+3y+3）=0，根據(jù)題意得：x+y+2=0解得x=?3y=1故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解以及解二元一次方程組，正確掌握解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式123】定義一種新的運(yùn)算：a☆b=2a?b，例如：3☆?1=2×3??1=7．若a☆b=0，且關(guān)于x，y的二元一次方程a+1x?by?a+3=0，當(dāng)a【答案】x=?3【分析】根據(jù)公式求得b=2a，將方程轉(zhuǎn)化得到(x?2y?1)a=?3?x，由當(dāng)a，b取不同值時(shí)，方程都有一個(gè)公共解，得到x?2y?1=0?3?x=0【詳解】解：∵a☆b=0，∴2a?b=0，∴b=2a，則方程a+1x?by?a+3=0可轉(zhuǎn)化為a+1∴(x?2y?1)a=?3?x，∵當(dāng)a，b取不同值時(shí)，方程都有一個(gè)公共解，∴x?2y?1=0?3?x=0解得x=?3y=?2故答案為：x=?3y=?2【點(diǎn)睛】此題考查解二元一次方程組，正確理解由當(dāng)a，b取不同值時(shí)，方程都有一個(gè)公共解是解題的關(guān)鍵．【題型13整體思想解二元一次方程組】【例13】若關(guān)于m，n的二元一次方程組3m?an=162m?bn=15的解是m=7n=3,那么關(guān)于x，y的二元一次方程組3【答案】x=5【分析】把關(guān)于x、y的二元一次方程3(x+y)?a(x?y)=162(x+y)+b(x?y)=15看作關(guān)于x+y和x+y的二元一次方程組，利用關(guān)于m,n的二元一次方程組3m?an=162m+bn=15的解為m=7n=3,得到x+y=7，x?y=3，從而求出【詳解】解：∵關(guān)于m,n的二元一次方程組3m?an=162m+bn=15的解為m=7把關(guān)于x、y的二元一次方程3(x+y)?a(x?y)=162(x+y)+b(x?y)=15看作關(guān)于x+y和x+y

∴x+y=7x?y=3∴關(guān)于x,y的二元一次方程3(x+y)?a(x?y)=162(x+y)+b(x?y)=15的解為x=5故答案為：x=5y=2【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解，也考查了解二元一次方程組．【變式131】綜合與實(shí)踐問題情境：小明同學(xué)在學(xué)習(xí)二元一次方程組時(shí)遇到了這樣一個(gè)問題：解方程組：4x+3y3觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如果用代入消元法或加減消元法求解，運(yùn)算量比較大，容易出錯(cuò)．如果把方程組中的(4x+3y)看成一個(gè)整體，把(6x?y)看成一個(gè)整體，通過換元，可以解決問題．設(shè)4x+3y=m，6x?y=n，則原方程組可化為，解關(guān)于m，n的方程組，得m=18n=16所以4x+3y=186x?y=16，解方程組，得探索猜想：（2）運(yùn)用上述方法解下列方程組：32x+y【答案】（1）m3+n8【分析】（1）根據(jù)換元法和加減消元法可得答案；（2）利用換元法將原方程組變形，解關(guān)于m，n的方程組，然后得到關(guān)于x，y的新的二元一次方程組，再解方程組可得答案；【詳解】解：（1）設(shè)4x+3y=m，6x?y=n，則原方程組可化為m3解關(guān)于m，n的方程組，得m=18n=16所以4x+3y=186x?y=16解方程組，得x=3y=2故答案為：m3+n（2）設(shè)2x+y=m，x?2y=n，則原方程組可化為3m?2n=262m+3n=13解關(guān)于m，n的方程組，得m=8n=?1所以2x+y=8x?2y=?1解方程組，得x=3y=2【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法以及換元法的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式132】閱讀理解，并根據(jù)所得規(guī)律答題解二元一次方程組的基本方法有“代入法”、“加減法”兩種消元策略，有一種方程組，不是二元一次方程組，但結(jié)構(gòu)類似，如2x+3y=5①5x?2y=3②，我們分析x≠0，y≠0，可以采用“換元法”來解：設(shè)1(1)直接寫出滿足方程3x(2)解方程組3x【答案】(1)x=1y=2(2)x=1【分析】（1）根據(jù)方程解的定義，先假定x等于一個(gè)數(shù)，再求出對(duì)應(yīng)的y即可；（2）仿照例題，設(shè)1x=m，1y=n，，則原方程組可變形為關(guān)于m、n的方程組，求出【詳解】（1）解：當(dāng)x=1y=2時(shí)，3故方程的解可以是：x=1y=2故答案為：x=1y=2（2）設(shè)1x=m，1y解得m=1n=∴1x=1，1y【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成關(guān)于m，n的方程組是解此題的關(guān)鍵．【變式133】問題：已知關(guān)于x，y的方程組3x+7y=5m?32x+3y=8的解滿足方程x+2y=5，求m甲同學(xué)說：可以先解關(guān)于x，y的方程組3x+7y=5m?32x+3y=8，再求m乙同學(xué)說：可以先將方程組3x+7y=5m?32x+3y=8中的兩個(gè)方程相加，再求m丙同學(xué)說：可以先解方程組x+2y=52x+3y=8，再求m…請(qǐng)用2種不同的方法解決上面的問題．【答案】m=4【分析】解法1：利用加減法求出x=13?3my=2m?6，再代入x+2y=5，即可得到m解法2：①+②得，5x+10y=5m+5，則x+2y=m+1，由x+2y=5得到m+1=5，即可得到解法3：解方程組x+2y=52x+3y=8得到x=1y=2，把x=1y=2代入3x+7y=5m?3【詳解】解法1：3x+7y=5m?3①×2?②×3解得y=2m?6，把y=2m?6代入②得，2x+32m?6解得x=13?3m，∴x=13?3my=2m?6∵x+2y=5，∴13?3m+22m?6解得m=4；解法2：3x+7y=5m?3①+②得，則x+2y=m+1，∵x+2y=5，∴m+1=5，解得m=4；解法3：x+2y=5①×2?②得，把y=2代入①得，x+4=5，解得x=1，∴x=1y=2把x=1y=2代入3x+7y=5m?33+14=5m?3，解得m=4．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二元一次方程組的解法，熟練掌握加減法是解題的關(guān)鍵．【題型14二元一次方程組的新定義問題】【例14】定義：數(shù)對(duì)x，y經(jīng)過一種運(yùn)算可以得到數(shù)對(duì)x′，y′，將該運(yùn)算記作：dx，y=x，y（1）當(dāng)a=2，b=1時(shí)，d3，（2）如果組成數(shù)對(duì)x，y的兩個(gè)數(shù)x，y滿足二元一次方程x?3y=0時(shí)，總有dx，y=?x，【答案】7，5?【分析】（1）由題意可得：x′=2x+yy（2）由題意可得：3a+b=?33a?b=?1【詳解】解：（1）當(dāng)a=2，b=1時(shí)，∵x∴d（2）∵dx∴d3y∴3ay+by=?3y化簡得：3a+b=?33a?b=?1解得：a=?2故答案為：?23，【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握解二元一次方程組的方法，弄清定義，能將所求的問題轉(zhuǎn)化為二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式141】定義：如果兩個(gè)一元一次方程的解互為相反數(shù)，我們就稱這兩個(gè)方程為“關(guān)聯(lián)方程”．如方程2x=4和3x+6=0為“關(guān)聯(lián)方程”．(1)若關(guān)于x的方程5x+a=0與方程2x?4=x+1是“關(guān)聯(lián)方程”，求a的值；(2)若兩個(gè)“關(guān)聯(lián)方程”的兩個(gè)解的差為8，若兩個(gè)“關(guān)聯(lián)方程”的兩個(gè)解分別為m、n，求m、n的值；(3)若關(guān)于x的方程2x+3b?2=0和3x?5b+4=0是“關(guān)聯(lián)方程”，求b的值．【答案】(1)a=25(2)m=4n=?4或(3)b=2【分析】（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)方程”的定義求解即可；（2）根據(jù)“關(guān)聯(lián)方程”的定義和已知條件得到m?n=8或n?m=8，再結(jié)合m+n=0，解方程組即可；（3）分別求出方程的解，再由“關(guān)聯(lián)方程”的定義解答．【詳解】（1）解：解方程2x?4=x+1得：x=5，將x=?5代入方程5x+a=0得：5×?5解得：a=25；（2）解：由題意得：m+n=0m?n=8或m+n=0解兩個(gè)二元一次方程組得：m=4n=?4或m=?4∴m、n的值為：m=4n=?4或m=?4（3）解：解方程2x+3b?2=0得：x=?3b+2解：方程3x?5b+4=0得：x=5b?4∵方程2x+3b?2=0和3x?5b+4=0是關(guān)于x的“關(guān)聯(lián)方程”，∴?3b+22解得：b=2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程的應(yīng)用，和解二元一次方程組的應(yīng)用，正確掌握解一元一次方程的解法和解二元一次方程組的方法，是解題的關(guān)鍵．【變式142】定義：若一個(gè)兩位數(shù)十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為m、n，我們可將這個(gè)兩位數(shù)記為mn，即mn=10m+n(1)若2x?x3=?1(2)若x2+y3=45【答案】(1)x=2(2)x=3【分析】（1）先按定義列出方程化成一元一次方程求解即可；（2）先按定義列出二元一次方程組求解即可．【詳解】（1）解：∵2x?∴2×10+x?x×10?3=?1，解得：x=2．（2）解：∵x2+∴x×10+2+y×10+3=45x?y=2，即x+y=4x?y=2，解得：【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程、解二元一次方程組等知識(shí)點(diǎn)，理解新定義是解答本題的關(guān)鍵．【變式143】對(duì)于有理數(shù)x，y，定義新運(yùn)算：x?y=ax+by，x?y=ax?by，其中a，b是常數(shù)．已知(1)求a，b的值；(2)若關(guān)于x，y的方程組x?y=4?mx?y=5m的解也滿足方程x+y=5，求m(3)若關(guān)于x，y的方程組2a1x?b1y=c12【答案】(1)a=2(2)m=(3)x=【分析】（1）根據(jù)定義新運(yùn)算得出關(guān)于a、b的二元一次方程組，再解方程組即可；（2）根據(jù)題意得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，求出方程組的解，再代入方程x+y=5求解即可；（3）根據(jù)定義新運(yùn)算得出相關(guān)方程組，根據(jù)方程組的解的定義，利用整體代入的方法解答即可．【詳解】（1）解：由題意得a+b=13a?2b=8解得：a=2b=?1（2）解：依題意得2x?y=4?m2x+y=5m解得：x=m+1y=3m?2∵x+y=5，∴m+1+3m?2=5，解得：m=3（3）解：由題意得：方程組2a1x?∴由方程組a1x+yx?∴方程組2a1x+y解得x=9【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解、定義新運(yùn)算、“整體思想”等知識(shí)；熟練掌握“整體思想”，找出等量關(guān)系列出方程組是解題的關(guān)鍵．【題型15二元一次方程組的規(guī)律探究】【例15】下面反映了，按一定規(guī)律排列的方程組和它們解之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：序號(hào)123……n方程組{{{方程組解{{{按此規(guī)律，第n個(gè)方程組為___________，它的解為___________（n為正整數(shù)）.【答案】{2x+y=2n+1x?2ny=4【詳解】試題分析：仔細(xì)分析所給方程組可得第一個(gè)方程的左邊不變，均為，右邊為從3