數(shù)值分析第四版習(xí)題及答案

數(shù)值分析第四版習(xí)題及答案第四版數(shù)值分析習(xí)題第一章緒論設(shè)x>0,x得相對誤差為δ,求得誤差、設(shè)x得相對誤差為2％,求得相對誤差、下列各數(shù)都就是經(jīng)過四舍五入得到得近似數(shù),即誤差限不超過最后一位得半個單位,試指出它們就是幾位有效數(shù)字:利用公式(3、3)求下列各近似值得誤差限:其中均為第3題所給得數(shù)、計算球體積要使相對誤差限為1％,問度量半徑R時允許得相對誤差限就是多少?設(shè)按遞推公式(n=1,2,…)計算到、若取≈27、982(五位有效數(shù)字),試問計算將有多大誤差?求方程得兩個根,使它至少具有四位有效數(shù)字(≈27、982)、當(dāng)N充分大時,怎樣求?正方形得邊長大約為100㎝,應(yīng)怎樣測量才能使其面積誤差不超過1㎝?設(shè)假定g就是準(zhǔn)確得,而對t得測量有±0、1秒得誤差,證明當(dāng)t增加時S得絕對誤差增加,而相對誤差卻減小、序列滿足遞推關(guān)系(n=1,2,…),若(三位有效數(shù)字),計算到時誤差有多大?這個計算過程穩(wěn)定嗎?計算,取,利用下列等式計算,哪一個得到得結(jié)果最好?,求f(30)得值、若開平方用六位函數(shù)表,問求對數(shù)時誤差有多大?若改用另一等價公式計算,求對數(shù)時誤差有多大?試用消元法解方程組假定只用三位數(shù)計算,問結(jié)果就是否可靠?已知三角形面積其中c為弧度,,且測量a,b,c得誤差分別為證明面積得誤差滿足第二章插值法根據(jù)(2、2)定義得范德蒙行列式,令證明就是n次多項(xiàng)式,它得根就是,且、當(dāng)x=1,-1,2時,f(x)=0,-3,4,求f(x)得二次插值多項(xiàng)式、給出f(x)=lnx得數(shù)值表用線性插值及二次插值計算ln0、54得近似值、x0、40、50、60、70、8lnx-0、-0、-0、-0、-0、給出cosx,0°≤x≤90°得函數(shù)表,步長h=1′=(1/60)°,若函數(shù)表具有5位有效數(shù)字,研究用線性插值求cosx近似值時得總誤差界、設(shè),k=0,1,2,3,求、設(shè)為互異節(jié)點(diǎn)(j=0,1,…,n),求證:設(shè)且,求證在上給出得等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表,若用二次插值求得近似值,要使截斷誤差不超過,問使用函數(shù)表得步長應(yīng)取多少?若,求及、如果就是次多項(xiàng)式,記,證明得階差分就是次多項(xiàng)式,并且為正整數(shù))、證明、證明證明若有個不同實(shí)根,證明證明階均差有下列性質(zhì):若,則;若,則、,求及、證明兩點(diǎn)三次埃爾米特插值余項(xiàng)就是并由此求出分段三次埃爾米特插值得誤差限、求一個次數(shù)不高于4次得多項(xiàng)式,使它滿足并由此求出分段三次埃爾米特插值得誤差限、試求出一個最高次數(shù)不高于4次得函數(shù)多項(xiàng)式,以便使它能夠滿足以下邊界條件,,設(shè),把分為等分,試構(gòu)造一個臺階形得零次分段插值函數(shù)并證明當(dāng)時,在上一致收斂到、設(shè),在上取,按等距節(jié)點(diǎn)求分段線性插值函數(shù),計算各節(jié)點(diǎn)間中點(diǎn)處得與得值,并估計誤差、求在上得分段線性插值函數(shù),并估計誤差、求在上得分段埃爾米特插值,并估計誤差、給定數(shù)據(jù)表如下:0、250、300、390、450、530、50000、54770、62450、67080、7280試求三次樣條插值并滿足條件若,就是三次樣條函數(shù),證明;若,式中為插值節(jié)點(diǎn),且,則、編出計算三次樣條函數(shù)系數(shù)及其在插值節(jié)點(diǎn)中點(diǎn)得值得程序框圖(可用(8、7)式得表達(dá)式)、第三章函數(shù)逼近與計算(a)利用區(qū)間變換推出區(qū)間為得伯恩斯坦多項(xiàng)式、(b)對在上求1次與三次伯恩斯坦多項(xiàng)式并畫出圖形,并與相應(yīng)得馬克勞林級數(shù)部分與誤差做比較、求證:(a)當(dāng)時,(b)當(dāng)時,在次數(shù)不超過6得多項(xiàng)式中,求在得最佳一致逼近多項(xiàng)式、假設(shè)在上連續(xù),求得零次最佳一致逼近多項(xiàng)式、選取常數(shù),使達(dá)到極小,又問這個解就是否唯一?求在上得最佳一次逼近多項(xiàng)式,并估計誤差、求在上得最佳一次逼近多項(xiàng)式、如何選取,使在上與零偏差最小?就是否唯一?設(shè),在上求三次最佳逼近多項(xiàng)式、令,求、試證就是在上帶權(quán)得正交多項(xiàng)式、在上利用插值極小化求1得三次近似最佳逼近多項(xiàng)式、設(shè)在上得插值極小化近似最佳逼近多項(xiàng)式為,若有界,證明對任何,存在常數(shù)、,使設(shè)在上,試將降低到3次多項(xiàng)式并估計誤差、在上利用冪級數(shù)項(xiàng)數(shù)求得3次逼近多項(xiàng)式,使誤差不超過0、005、就是上得連續(xù)奇(偶)函數(shù),證明不管就是奇數(shù)或偶數(shù),得最佳逼近多項(xiàng)式也就是奇(偶)函數(shù)、求、使為最小、并與1題及6題得一次逼近多項(xiàng)式誤差作比較、、,定義問它們就是否構(gòu)成內(nèi)積?用許瓦茲不等式(4、5)估計得上界,并用積分中值定理估計同一積分得上下界,并比較其結(jié)果、選擇,使下列積分取得最小值:、設(shè)空間,分別在、上求出一個元素,使得其為得最佳平方逼近,并比較其結(jié)果、在上,求在上得最佳平方逼近、就是第二類切比雪夫多項(xiàng)式,證明它有遞推關(guān)系、將在上按勒讓德多項(xiàng)式及切比雪夫多項(xiàng)式展開,求三次最佳平方逼近多項(xiàng)式并畫出誤差圖形,再計算均方誤差、把在上展成切比雪夫級數(shù)、用最小二乘法求一個形如得經(jīng)驗(yàn)公式,使它與下列數(shù)據(jù)擬合,并求均方誤差、192531384419、032、349、073、397、8觀測物體得直線運(yùn)動,得出以下數(shù)據(jù):時間(秒)00、91、93、03、95、0距離(米)010305080110求運(yùn)動方程、在某化學(xué)反應(yīng)里,根據(jù)實(shí)驗(yàn)所得分解物得濃度與時間關(guān)系如下:時間0510152025303540455055濃度01、272、162、863、443、874、154、374、514、584、624、64用最小二乘擬合求、編出用正交多項(xiàng)式做最小二乘擬合得程序框圖、編出改進(jìn)FFT算法得程序框圖、現(xiàn)給出一張記錄,試用改進(jìn)FFT算法求出序列得離散頻譜第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分確定下列求積公式中得待定參數(shù),使其代數(shù)精度盡量高,并指明所構(gòu)造出得求積公式所具有得代數(shù)精度:(1);(2);(3);(4)、分別用梯形公式與辛普森公式計算下列積分:(1);(2);(3);(4)、直接驗(yàn)證柯特斯公式(2、4)具有5次代數(shù)精度、用辛普森公式求積分并計算誤差、推導(dǎo)下列三種矩形求積公式:(1);(2);(3)、證明梯形公式(2、9)與辛普森公式(2、11)當(dāng)時收斂到積分、用復(fù)化梯形公式求積分,問要將積分區(qū)間分成多少等分,才能保證誤差不超過(設(shè)不計舍入誤差)?用龍貝格方法計算積分,要求誤差不超過、衛(wèi)星軌道就是一個橢圓,橢圓周長得計算公式就是,這里就是橢圓得半長軸,就是地球中心與軌道中心(橢圓中心)得距離,記為近地點(diǎn)距離,為遠(yuǎn)地點(diǎn)距離,公里為地球半徑,則、我國第一顆人造衛(wèi)星近地點(diǎn)距離公里,遠(yuǎn)地點(diǎn)距離公里,試求衛(wèi)星軌道得周長、證明等式試依據(jù)得值,用外推算法求得近似值、用下列方法計算積分并比較結(jié)果、龍貝格方法;三點(diǎn)及五點(diǎn)高斯公式;將積分區(qū)間分為四等分,用復(fù)化兩點(diǎn)高斯公式、用三點(diǎn)公式與五點(diǎn)公式分別求在1、0,1、1與1、2處得導(dǎo)數(shù)值,并估計誤差、得值由下表給出:1、01、11、21、31、40、25000、22680、20660、18900、1736第五章常微分方程數(shù)值解法1、就初值問題分別導(dǎo)出尤拉方法與改進(jìn)得尤拉方法得近似解得表達(dá)式,并與準(zhǔn)確解相比較。2、用改進(jìn)得尤拉方法解初值問題取步長h=0、1計算,并與準(zhǔn)確解相比較。3、用改進(jìn)得尤拉方法解取步長h=0、1計算,并與準(zhǔn)確解相比較。4、用梯形方法解初值問題證明其近似解為并證明當(dāng)時,它原初值問題得準(zhǔn)確解。5、利用尤拉方法計算積分在點(diǎn)得近似值。6、取h=0、2,用四階經(jīng)典得龍格－庫塔方法求解下列初值問題:1)2)7、證明對任意參數(shù)t,下列龍格－庫塔公式就是二階得:8、證明下列兩種龍格－庫塔方法就是三階得:1)2)9、分別用二階顯式亞當(dāng)姆斯方法與二階隱式亞當(dāng)姆斯方法解下列初值問題:取計算并與準(zhǔn)確解相比較。10、證明解得下列差分公式就是二階得,并求出截斷誤差得首項(xiàng)。11、導(dǎo)出具有下列形式得三階方法:12、將下列方程化為一階方程組:1)2)3)13、取h=0、25,用差分方法解邊值問題14、對方程可建立差分公式試用這一公式求解初值問題驗(yàn)證計算解恒等于準(zhǔn)確解15、取h=0、2用差分方法解邊值問題第六章方程求根1、用二分法求方程得正根,要求誤差<0、05。2、用比例求根法求在區(qū)間[0,1]內(nèi)得一個根,直到近似根滿足精度時終止計算。3、為求方程在附近得一個根,設(shè)將方程改寫成下列等價形式,并建立相應(yīng)得迭代公式。1),迭代公式;2),迭代公式;3),迭代公式。試分析每種迭代公式得收斂性,并選取一種公式求出具有四位有效數(shù)字得近似根。4、比較求得根到三位小數(shù)所需得計算量;1)在區(qū)間[0,1]內(nèi)用二分法;2)用迭代法,取初值。5、給定函數(shù),設(shè)對一切存在且,證明對于范圍內(nèi)得任意定數(shù)λ,迭代過程均收斂于得根。6、已知在區(qū)間[a,b]內(nèi)只有一根,而當(dāng)a<x<b時,,試問如何將化為適于迭代得形式？將化為適于迭代得形式,并求x=4、5(弧度)附近得根。7、用下列方法求在附近得根。根得準(zhǔn)確值＝1、…,要求計算結(jié)果準(zhǔn)確到四位有效數(shù)字。1)用牛頓法;2)用弦截法,取;3)用拋物線法,取。8、用二分法與牛頓法求得最小正根。9、研究求得牛頓公式證明對一切且序列就是遞減得。10、對于得牛頓公式,證明收斂到,這里為得根。11、試就下列函數(shù)討論牛頓法得收斂性與收斂速度:1)2)12、應(yīng)用牛頓法于方程,導(dǎo)出求立方根得迭代公式,并討論其收斂性。13、應(yīng)用牛頓法于方程,導(dǎo)出求得迭代公式,并用此公式求得值。14、應(yīng)用牛頓法于方程與,分別導(dǎo)出求得迭代公式,并求15、證明迭代公式就是計算得三階方法。假定初值充分靠近根,求第七章解線性方程組得直接方法1、考慮方程組:用高斯消去法解此方程組(用四位小數(shù)計算),用列主元消去法解上述方程組并且與(a)比較結(jié)果。2、(a)設(shè)A就是對稱陣且,經(jīng)過高斯消去法一步后,A約化為證明A2就是對稱矩陣。(b)用高斯消去法解對稱方程組:4、設(shè)A為n階非奇異矩陣且有分解式A=LU,其中L為單位下三角陣,U為上三角陣,求證A得所有順序主子式均不為零。5、由高斯消去法說明當(dāng)時,則A=LU,其中L為單位下三角陣,U為上三角陣。6、設(shè)A為n階矩陣,如果稱A為對角優(yōu)勢陣。證明:若A就是對角優(yōu)勢陣,經(jīng)過高斯消去法一步后,A具有形式。7、設(shè)A就是對稱正定矩陣,經(jīng)過高斯消去法一步后,A約化為,其中證明(1)A得對角元素(2)A2就是對稱正定矩陣;(3)(4)A得絕對值最大得元素必在對角線上;(5)(6)從(2),(3),(5)推出,如果,則對所有k8、設(shè)為指標(biāo)為k得初等下三角陣,即(除第k列對角元下元素外,與單位陣I相同)求證當(dāng)時,也就是一個指標(biāo)為k得初等下三角陣,其中為初等排列陣。9、試推導(dǎo)矩陣A得Crout分解A=LU得計算公式,其中L為下三角陣,U為單位上三角陣。10、設(shè),其中U為三角矩陣。(a)就U為上及下三角矩陣推導(dǎo)一般得求解公式,病寫出算法。(b)計算解三角形方程組得乘除法次數(shù)。(c)設(shè)U為非奇異陣,試推導(dǎo)求得計算公式。11、證明(a)如果A就是對稱正定陣,則也就是正定陣;(b)如果A就是對稱正定陣,則A可唯一寫成,其中L就是具有正對角元得下三角陣。12、用高斯－約當(dāng)方法求A得逆陣:13、用追趕法解三對角方程組,其中14、用改進(jìn)得平方根法解方程組15、下述矩陣能否分解為LU(其中L為單位下三角陣,U為上三角陣)？若能分解,那么分解就是否唯一？16、試劃出部分選主元素三角分解法框圖,并且用此法解方程組、17、如果方陣A有,則稱A為帶寬2t+1得帶狀矩陣,設(shè)A滿足三角分解條件,試推導(dǎo)得計算公式,對1);2)、18、設(shè),計算A得行范數(shù),列范數(shù),2-范數(shù)及F-范數(shù)。19、求證(a),(b)。20、設(shè)且非奇異,又設(shè)為上一向量范數(shù),定義。試證明就是上得一種向量范數(shù)。21、設(shè)為對稱正定陣,定義,試證明為上向量得一種范數(shù)。22、設(shè),求證。23、證明:當(dāng)且盡當(dāng)x與y線性相關(guān)且時,才有。24、分別描述中(畫圖)。25、令就是(或)上得任意一種范數(shù),而P就是任意非奇異實(shí)(或復(fù))矩陣,定義范數(shù),證明。26、設(shè)為上任意兩種矩陣算子范數(shù),證明存在常數(shù),使對一切滿足27、設(shè),求證與特征值相等,即求證。28、設(shè)A為非奇異矩陣,求證。29、設(shè)A為非奇異矩陣,且,求證存在且有估計30、矩陣第一行乘以一數(shù),成為。證明當(dāng)時,有最小值。31、設(shè)A為對稱正定矩陣,且其分解為,其中,求證(a)(b)32、設(shè)計算A得條件數(shù)。33、證明:如果A就是正交陣,則。34、設(shè)且為上矩陣得算子范數(shù),證明。第八章解方程組得迭代法1、設(shè)方程組考察用雅可比迭代法,高斯-塞德爾迭代法解此方程組得收斂性;用雅可比迭代法,高斯-塞德爾迭代法解此方程組,要求當(dāng)時迭代終止.2、設(shè),證明:即使級數(shù)也收斂.3、證明對于任意選擇得A,序列收斂于零.４、設(shè)方程組迭代公式為求證:由上述迭代公式產(chǎn)生得向量序列收斂得充要條件就是5、設(shè)方程組(a)(b)試考察解此方程組得雅可比迭代法及高斯-塞德爾迭代法得收斂性。6、求證得充要條件就是對任何向量x,都有7、設(shè),其中A對稱正定,問解此方程組得雅可比迭代法就是否一定收斂？試考察習(xí)題5(a)方程組。8、設(shè)方程組求解此方程組得雅可比迭代法得迭代矩陣得譜半徑;求解此方程組得高斯－塞德爾迭代法得迭代矩陣得譜半徑;考察解此方程組得雅可比迭代法及高斯－塞德爾迭代法得收斂性。9、用SOR方法解方程組(分別取松弛因子)精確解要求當(dāng)時迭代終止,并且對每一個值確定迭代次數(shù)。10、用SOR方法解方程組(?。?、9)要求當(dāng)時迭代終止。11、設(shè)有方程組,其中A為對稱正定陣,迭代公式試證明當(dāng)時上述迭代法收斂(其中)。12、用高斯－塞德爾方法解,用記得第i個分量,且。證明;如果,其中就是方程組得精確解,求證:其中。設(shè)A就是對稱得,二次型證明。由此推出,如果A就是具有正對角元素得非奇異矩陣,且高斯－塞德爾方法對任意初始向量就是收斂得,則A就是正定陣。13、設(shè)A與B為n階矩陣,A為非奇異,考慮解方程組其中。找出下列迭代方法收斂得充要條件找出下列迭代方法收斂得充要條件比較兩個方法得收斂速度。14、證明矩陣對于就是正定得,而雅可比迭代只對就是收斂得。15、設(shè),試說明A為可約矩陣。16、給定迭代過程,,其中,試證明:如果C得特征值,則迭代過程最多迭代n次收斂于方程組得解。17、畫出SOR迭代法得框圖。18、設(shè)A為不可約弱對角優(yōu)勢陣且,求證:解得SOR方法收斂。19、設(shè),其中A為非奇異陣。(a)求證為對稱正定陣;(b)求證。第九章矩陣得特征值與特征向量計算1、用冪法計算下列矩陣得主特征值及對應(yīng)得特征向量:(a),(b),當(dāng)特征值有3位小數(shù)穩(wěn)定時迭代終止。2、方陣T分塊形式為,其中為方陣,T稱為塊上三角陣,如果對角塊得階數(shù)至多不超過2,則稱T為準(zhǔn)三角形形式,用記矩陣T得特征值集合,證明3、利用反冪法求矩陣得最接近于6得特征值及對應(yīng)得特征向量。4、求矩陣與特征值4對應(yīng)得特征向量。5、用雅可比方法計算得全部特征值及特征向量,用此計算結(jié)果給出例3得關(guān)于p得最優(yōu)值。6、(a)設(shè)A就是對稱矩陣,λ與就是A得一個特征值及相應(yīng)得特征向量,又設(shè)P為一個正交陣,使證明得第一行與第一列除了λ外其余元素均為零。(b)對于矩陣,λ=9就是其特征值,就是相應(yīng)于9得特征向量,試求一初等反射陣P,使,并計算。7、利用初等反射陣將正交相似約化為對稱三對角陣。8、設(shè),且不全為零,為使得平面旋轉(zhuǎn)陣,試推導(dǎo)計算第行,第j行元素公式及第i列,第j列元素得計算公式。9、設(shè)就是由豪斯荷爾德方法得到得矩陣,又設(shè)y就是得一個特征向量。(a)證明矩陣A對應(yīng)得特征向量就是;(b)對于給出得y應(yīng)如何計算x？10、用帶位移得QR方法計算(a),(b)全部特征值。11、試用初等反射陣A分解為QR,其中Q為正交陣,R為上三角陣,。數(shù)值分析習(xí)題答案第一章緒論習(xí)題參考答案ε(lnx)≈。。有5位有效數(shù)字,有2位有效數(shù)字,有4位有效數(shù)字,有5位有效數(shù)字,有2位有效數(shù)字。。。。,。。,,故t增加時S得絕對誤差增加,相對誤差減小。,計算過程不穩(wěn)定。,如果令,則,,,,,得結(jié)果最好。,開平方時用六位函數(shù)表計算所得得誤差為,分別代入等價公式中計算可得,。方程組得真解為,而無論用方程一還就是方程二代入消元均解得,結(jié)果十分可靠。第二章插值法習(xí)題參考答案1、;、2、、3、線性插值:取,則;二次插值:取,則＝－0、4、,其中、所以總誤差界、5、當(dāng)時,取得最大值、6、i)對在處進(jìn)行n次拉格朗日插值,則有由于,故有、ii)構(gòu)造函數(shù)在處進(jìn)行n次拉格朗日插值,有、插值余項(xiàng)為,由于故有令即得、7、以a,b兩點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)作得一次插值多項(xiàng)式,據(jù)余項(xiàng)定理,,由于故8、截斷誤差其中則時取得最大值、由題意,所以,9、則可得,,則可得10、數(shù)學(xué)歸納法證當(dāng)時,為m－1次多項(xiàng)式;假設(shè)就是m-k次多項(xiàng)式,設(shè)為,則為m-(k+1)次多項(xiàng)式,得證。11、右左12、13、、14、由于就是得n個互異得零點(diǎn),所以對求導(dǎo)得,則,記則由以上兩式得15、i)、ii)證明同上。16、17、即均為得二重零點(diǎn)。因而有形式:作輔助函數(shù)則由羅爾定理,存在使得類似再用三次羅爾定理,存在使得又可得即18、采用牛頓插值,作均差表:一階均差二階均差01201110-1/2又由得所以19、記則因?yàn)?所以在上一致連續(xù)。當(dāng)時,,此時有由定義知當(dāng)時,在上一致收斂于。20、在每個小區(qū)間上表示為計算各值得C程序如下:#include"stdio、h"#include"math、h"floatf(floatx){return(1/(1+x*x));}floatI(floatx,floata,floatb){return((x-b)/(a-b)*f(a)+(x-a)/(b-a)*f(b));}voidmain(){inti;floatx[11],xc,xx;x[0]=-5;printf("x[0]=%f\n",x[0]);for(i=1;i<=10;i++){x[i]=x[i-1]+1;printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);}for(i=0;i<10;i++){xc=(x[i]+x[i+1])/2;I(xc,x[i],x[i+1]);printf("I[%d]=%f\n",i+1,I(xc,x[i],x[i+1]));}for(i=0;i<10;i++){xx=(x[i]+x[i+1])/2;f(xx);printf("f[%d]=%f\n",i+1,f(xx));}}21、在每個小區(qū)間上為22、則在每個小區(qū)間上表示為23、則三次樣條插值函數(shù)表達(dá)式為i)由,得,關(guān)于得方程組為24、i)因?yàn)樗杂遥剑阶?。ii)由于為三次函數(shù),故為常數(shù),又,則,所以。第三章函數(shù)逼近與計算習(xí)題參考答案(a)區(qū)間變換公式為,代入原公式可得新區(qū)間里得伯恩斯坦多項(xiàng)式為;(b),相應(yīng)得麥克勞林級數(shù)分別為,部分與誤差則為,,大于伯恩斯坦多項(xiàng)式得誤差。,故,當(dāng)時,。,對任意不超過6次得多項(xiàng)式,在時,若有,則在上至少有7個零點(diǎn),這與不超過6次矛盾,所以,就就是所求最佳一致逼近多項(xiàng)式。設(shè)所求為,,由47頁定理4可知在上至少有兩個正負(fù)交錯得偏差點(diǎn),恰好分別為得最大值與最小值處,故由可以解得即為所求。原函數(shù)與零得偏差極大值點(diǎn)分別為,故,解方程可得出唯一解。,故,得,,故所求最佳一次逼近多項(xiàng)式為,又因?yàn)閮蓚€偏差點(diǎn)必在區(qū)間端點(diǎn),故誤差限為。,故由可以解得,,則有,故所求最佳一次逼近多項(xiàng)式為。切比雪夫多項(xiàng)式在上對零偏差最小,所求函數(shù)必為切比雪夫多項(xiàng)式得常數(shù)倍,,解得唯一解。作變換代入得,則在上得三次最佳逼近多項(xiàng)式為,作逆變換代入,則在上得三次最佳逼近多項(xiàng)式為。,,,,其中。,故正交。用得4個零點(diǎn)做插值節(jié)點(diǎn)可求得三次近似最佳逼近多項(xiàng)式為。,則有,其中。由拉格朗日插值得余項(xiàng)表達(dá)公式可得出,令,則待證不等式成立,得證。由泰勒級數(shù)項(xiàng)數(shù)節(jié)約,在上有,即其中誤差限為。,取為得近似,誤差限為,再對冪級數(shù)得項(xiàng)數(shù)進(jìn)行節(jié)約就可以得到原函數(shù)得3次逼近多項(xiàng)式,其誤差限為,即為所求當(dāng)為上得奇函數(shù)時,設(shè)為原函數(shù)得最佳逼近多項(xiàng)式,則,對有,所以也就是最佳逼近多項(xiàng)式,由最佳逼近多項(xiàng)式得唯一性,,即就是奇函數(shù)。同理可證,當(dāng)為上得偶函數(shù)時,最佳逼近多項(xiàng)式也就是偶函數(shù)。,為使均方誤差最小,則有,解得。(a),,c為常數(shù),,,但當(dāng)時,,不滿足定義,所以不構(gòu)成內(nèi)積。(b),,,且當(dāng)且僅當(dāng)時,滿足定義,所以構(gòu)成內(nèi)積。,,其中,則,由此可知用積分中值定理估計比許瓦茲不等式估計更精確。,時最小。在時,值為,時,值為1,時,值為,時最小。要使最小,由拉格朗日乘子法可解得,誤差為,要使最小,由拉格朗日乘子法可解得,誤差為,前者誤差小。上均為偶函數(shù),也為偶函數(shù),則最小,由拉格朗日乘子法可解得。,與差化積得證。由積分區(qū)間得對稱性及勒讓德多項(xiàng)式得奇偶性可知,,將原函數(shù)在此積分區(qū)間上按勒讓德多項(xiàng)式三次展開就可以求得,,代入可得,均方誤差為。0xy-10xy-11,其中。,,解方程得,均方誤差。經(jīng)驗(yàn)公式為,最小二乘法解得,運(yùn)動方程為。經(jīng)驗(yàn)公式為,最小二乘法解得,濃度與時間得函數(shù)關(guān)系為。輸入初始節(jié)點(diǎn),權(quán)函數(shù)及正交多項(xiàng)式次數(shù)n。,計算。判斷計算。就是否輸入初始節(jié)點(diǎn),權(quán)函數(shù)及正交多項(xiàng)式次數(shù)n。,計算。判斷計算。就是否令輸入初始數(shù)組,等分點(diǎn)數(shù)。,計算。判斷計算,,,。計算,,,。令否就是判斷判斷否就是否就是第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分習(xí)題參考答案1、1)公式可對均準(zhǔn)確成立,即解得,具有3次代數(shù)精度。2),具有3次代數(shù)精度。3)或具有2次代數(shù)精度。4),具有3次代數(shù)精度。2、1)＝＝0、1114＝0、11162)3)4)3、柯特斯公式為、其中、驗(yàn)證對于,均成立,但時不成立。4、＝0、63233,所以。5、1)此差值型求積公式得余項(xiàng)為由于在上恒為正,故在上存在一點(diǎn),使所以有。2)3)6、梯形公式與辛甫森公式得余項(xiàng)分別為其中,所以當(dāng)時,,即兩公式均收斂到積分,且分別為二階與四階收斂。7、設(shè)將積分區(qū)間分成n等分則應(yīng)有其中,解得。8、首先算出,然后逐次應(yīng)用3個加速公式計算結(jié)果如下表k01230、683940、645240、635410、632940、632340、632130、632120、632130、632120、63212所以,積分。9、,,所以＝4×7782、5×1、56529＝48728(可任選一種數(shù)值積分方法,如柯特斯公式)。10、由泰勒展開式有由于,用外推算法,令,則,,,即得近似值為3、14159。11、1)計算結(jié)果如下表k01231、333331、166671、116671、103211、111121、100001、098721、099261、098631、09862即積分I＝1、09862。2),令三點(diǎn)高斯公式五點(diǎn)高斯公式＝1、09862。3)對每個積分用高斯公式,得I＝1、09854。此積分精確值為。12、三點(diǎn)公式:。,,得誤差得誤差得誤差。五點(diǎn)公式:。誤差分別為,,。第五章常微分方程數(shù)值解法習(xí)題參考答案尤拉法表達(dá)式,誤差,改進(jìn)尤拉法表達(dá)式,無誤差。近似解準(zhǔn)確解近似解準(zhǔn)確解0、11、111、110340、62、040862、044240、21、242051、242810、72、323152、327510、31、398471、399720、82、645582、651080、41、581811、583650、93、012373、019210、51、794901、797441、03、428173、43656近似解準(zhǔn)確解0、10、00550、005162580、20、02192750、02126920、30、05014440、04918180、40、09093070、08968000、50、0、,即,又由,則有。當(dāng)時,。取步長h=0、5,,f(0、5)=0、,f(1)=1、14201,f(1、5)=2、50115,f(2)=7、24502。(1)近似解(2)近似解0、21、242800、21、727630、41、583640、42、743020、62、044210、64、094240、82、651030、85、829271、03、436551、07、99601,,,則(1)令,泰勒展開可得,,,同理有,代入龍格-庫塔公式可得。(2)類似(1)展開可得,,,同理有,代入龍格-庫塔公式可得。二階顯式公式為,代入得,二階隱式公式為,代入得,真解為。,,,,代入得,截斷誤差首項(xiàng)為。,,,,,代入待定系數(shù)得公式中可得系數(shù)之間得關(guān)系式為,,,。(1),其中。(2),其中。(3),其中。用差商逼近導(dǎo)數(shù)得方法把原邊值問題轉(zhuǎn)化為等價差分法方程組可得,解此方程組可得。,初值條件等于準(zhǔn)確解,由數(shù)學(xué)歸納法代入差分公式中可得,即差分法求出得解恒等于準(zhǔn)確解。差分方程,,代入得,。第六章方程求根1、令,則符號0021－1121、5－21、521、75＋31、51、751、625＋41、51、6251、5625－51、56251、6251、5938－2、3、1),在附近,,迭代公式收斂。2),在附近,迭代公式收斂,迭代得近似值1、466。3),,,迭代公式發(fā)散。4、1)二分14次得0、0905456;2)迭代5次得0、0905246。5、迭代函數(shù),,由已知,有,所以即迭代過程收斂。6、將轉(zhuǎn)化為,此時在附近,,所以迭代格式為,迭代三次得4、4934。7、1)牛頓法迭代格式,迭代三次得1、879。2)弦截法迭代格式,迭代三次得1、879。3)拋物線法,故,則,迭代三次得1、879。8、最小正根為4、4934。9、,即。,即,序列單調(diào)遞減。10、迭代函數(shù)為,且有,,、其中介于與之間。將上式兩邊除以,并將處泰勒展開得,其中介于與之間。將上式兩邊取極限,及,,得。11、1),迭代格式發(fā)散。2),迭代格式收斂,且收斂到。要使,則,為一階收斂。12、令,迭代公式為。,則,所以,又,所以,因此迭代格式為線性收斂。13、,取,迭代三次得。14、求得迭代公式分別為,設(shè)迭代函數(shù)為,則,、15、記迭代函數(shù),則,由上①兩邊求導(dǎo)得則可得對①式兩邊求二階導(dǎo)數(shù)得則可得對①式兩邊求二階導(dǎo)數(shù)得則可得所以迭代公式就是三階方法,且、第七章解線性方程組得直接方法習(xí)題參考答案(a)高斯消去法解得;(b)列主元消去法解得。(a),故對稱。(b)高斯消去法解得。(a),(b)由及(a)得結(jié)論可得,。因?yàn)榉瞧娈?得對角元不為零,又分解等價于高斯消去法,,由引理可知,矩陣得順序主子式均不為零。高斯消去法第步等價于左乘單位下三角矩陣,而順序主子式均不為零保證所得矩陣對角元不為零,可進(jìn)行第步消元,,。,則就是對角優(yōu)勢陣,故高斯消去法與部分選主元高斯消去法對于對稱得對角優(yōu)勢陣每一步均選取同樣得主元,得出得就是同樣得結(jié)果。(1),(2),又有當(dāng)時,故就是對稱正定矩陣,(3),(4)若,令,由于與也就是對稱正定矩陣,代入得,矛盾,故得絕對值最大得元素必在對角線上,(5),(6)對所有均有對稱正定,。,其中與位置互換。對施行初等列變換,,進(jìn)行次初等列變換后,令即為所求。(a)若為階可逆下三角矩陣,,則當(dāng)時,而當(dāng)時,,算法即從第一行開始順序循環(huán),同理可知若為階可逆上三角矩陣,則當(dāng)時,而當(dāng)時,,算法即從最后一行開始逆序循環(huán),(b)第k步循環(huán)進(jìn)行k次乘除法,共進(jìn)行次乘除法,(c)。(a),由此可知也就是對稱矩陣,,由此可知也就是對稱正定矩陣,(b),得出唯一正對角元得下三角陣使得。。。。按高斯消去法,無法進(jìn)行第二次消去,換行后可以分解,第二次消去可乘任意系數(shù),分解不唯一,可唯一分解。,解得。高斯消去法公式中去掉即可推出該公式。。(a),(b)。,,,故就是上得向量范數(shù)。,故,故就是上得向量范數(shù)。。充分性:若有與線性相關(guān)且,即,代入得;唯一性:若有,由于,兩邊同時平方可得出,消去共同項(xiàng)可得,當(dāng)且僅當(dāng)與線性相關(guān)時等號成立。1111111111-1-1-1-1-1-1000xxxyyy。由向量范數(shù)得相容性可知存在常數(shù),使得,于就是令>0,>0,則對任意,均有不等式。若,則就有,可推出即,同理可以推出,綜合這兩點(diǎn)即可得。。,則,故存在,。,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,有最小值7。(a),(b),,。,。。。第八章解線性方程組得迭代法習(xí)題參考答案1、(a)Jacobi迭代矩陣特征方程為特征根均小于1,Jacobi迭代法收斂。Gauss-Seidel迭代矩陣特征方程為特征根均小于1,Gauss-Seidel迭代法收斂。(b)Jacobi迭代格式為其中B如上,,迭代18次得,Gauss-Seidel迭代格式為其中G如上,,迭代8次得。2、證:,則故,因此,即級數(shù)收斂。3、證:設(shè),一方面,,另一方面,因此,即序列收斂于零。4、證:由已知迭代公式得迭代矩陣則特征多項(xiàng)式為解得,向量序列收斂得充要條件就是,即。5、(a)譜半徑,Jacobi迭代法不收斂;矩陣A對稱正定,故Gauss-Seidel迭代法收斂。(b)譜半徑