湖北省“金太陽(yáng)大聯(lián)考”2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)湖北省“金太陽(yáng)大聯(lián)考”2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.命題“?a>0，a2+1<2”的否定為(

)A.?a>0，a2+1≥2 B.?a≤0，a2+1≥2

C.?a>0，a22.已知集合A={x|x2?3<0}，B={x|0<x+1<3}，則A∩B=A.(?1,3) B.(?3,2)3.已知函數(shù)f(x)=ex?f′(1)x，則A.f(1)=?e2 B.f′(1)=?e2 C.4.已知函數(shù)f(x)=(x?2)n，n∈N?，則“n=1”是“f(x)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.若對(duì)任意的x，y∈R，函數(shù)f(x)滿足f(x+y)2=f(x)+f(y)，則f(4)=(

)A.6 B.4 C.2 D.06.某公司引進(jìn)新的生產(chǎn)設(shè)備投入生產(chǎn)，新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)s(單位：百萬元)與新設(shè)備運(yùn)行的時(shí)間t(單位：年，t∈N?)滿足s=?2tA.6 B.7 C.8 D.97.如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是BC邊上靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則AE?CD的取值范圍為(

)A.[?77,103] B.8.已知函數(shù)f(x)=x3+3x+1，若關(guān)于x的方程f(sinx)+f(m+cosA.[?1,2] B.[?1,1] C.[0,1]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在等比數(shù)列{an}中，a1a2A.{an}的公比為2 B.{an}的公比為2

C.10.已知函數(shù)f(x)=12tan(ωx?φ)(ω>0,0<φ<π)A.ω=2

B.φ=π3

C.f(x)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,?33)

11.已知a=2log4?1100，b=A.c>a B.a>b C.c>b D.b>a三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知平面向量m，n滿足m?n=3，且m⊥(m?213.若α∈(?π2,0)，且cos2α=cos(α+14.已知正實(shí)數(shù)a，b滿足2a+3b=2，則ab?a2+2b+4的最大值為四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)在公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a1=1，且a(1)求{an(2)若bn=2an，cn=a16.(本小題12分)在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a(1)證明：B=2C．(2)若點(diǎn)D在邊AC上，且CD=BD=4，求a的取值范圍．17.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=x(1)若a=4，求f(x)的極值點(diǎn);(2)討論f(x)的單調(diào)性．18.(本小題12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求{an(2)證明：S2S19.(本小題12分)當(dāng)一個(gè)函數(shù)值域內(nèi)任意一個(gè)函數(shù)值y都有且只有一個(gè)自變量x與之對(duì)應(yīng)時(shí)，可以把這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值y作為一個(gè)新的函數(shù)的自變量，而這個(gè)函數(shù)的自變量x作為新的函數(shù)的函數(shù)值，我們稱這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù).例如，由y=3x，x∈R，得x=y3，y∈R，通常用x表示自變量，則寫成y=x3，x∈R，我們稱y=3x，x∈R與y=x3，x∈R互為反函數(shù).已知函數(shù)f(x)與g(x)互為反函數(shù)，若A，B兩點(diǎn)在曲線y=f(x)上，C，D兩點(diǎn)在曲線y=g(x)上，以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為矩形，且該矩形的其中一條邊與直線(1)若函數(shù)f(x)=x，且點(diǎn)A(1(ⅰ)求曲線y=f(x)在點(diǎn)A處的切線方程;(ⅱ)求以點(diǎn)A為一個(gè)頂點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)矩形”的面積．(2)若函數(shù)f(x)=lnx，且f(x)與g(x)的“關(guān)聯(lián)矩形”是正方形，記該“關(guān)聯(lián)矩形”的面積為S.證明：S>2(參考答案1.C

2.A

3.C

4.A

5.D

6.B

7.C

8.D

9.BC

10.AD

11.ACD

12.613.?π14.12615.解：(1)設(shè){an}的公差為d(d≠0)，因?yàn)閍5是a2與a14的等比中項(xiàng)，所以a52=a2a14，

即(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)，整理得d2=2a1d.

又a1=1，d≠0，所以16.(1)證明：因?yàn)閍c=b2?c2b2?ac，所以ab2?a2c=b2c?c3，

整理得b2(a?c)=c(a+c)(a?c)，

又ac≠1，所以a?c≠0，從而b2=ac+c2=a2+c2?2accosB，

整理得a=c(1+2cosB)，則sinA=sinC(1+2cosB)，

由sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，得sinBcosC?cos17.解：(1)因?yàn)閍=4，所以f(x)=x2?4ln(x+1)，x>?1，

則f′(x)=2x?4x+1=2(x+2)(x?1)x+1．

當(dāng)x∈(?1,1)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．

故f(x)的極小值點(diǎn)為1，無極大值點(diǎn)．

(2)由f(x)=x2?aln(x+1)，x>?1，得f′(x)=2x?ax+1=2x2+2x?ax+1．

令2x2+2x?a=0，若4+8a≤0，即a≤?12，

則方程2x2+2x?a=0無解或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，

從而2x2+2x?a≥0恒成立，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?1,+∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間．

若4+8a>0，即a>?12，則方程2x2+2x?a=0的解為x1=?1+1+2a2，x2=?1?1+2a2．18.(1)解：∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=12，Sn=(2n?1)an．

∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?1=(2n?1?1)an?1，則an=Sn?Sn?1=(2n?1)an?(2n?119.(1)解：(i)因?yàn)辄c(diǎn)A(14,y1)在曲線f(x)=x上，所以y1=14=12．

由f(x)=x得，f′(x)=12x，f′(14)=1，

則曲線y=f(x)在點(diǎn)A處的切線方程為y=x+14．

(ii)由f(x)=x得，g(x)=x2(x≥0)．

根據(jù)對(duì)稱性可設(shè)A，D關(guān)于直線y=x對(duì)稱，可得D(12,14)，

則|AD|=(12?14)2+(14?12)2=24，kAD=?1．

若AB