2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中模擬考試數(shù)學(xué)試題01（新高考地區(qū)專用集合與邏輯 不等式 函數(shù) 指數(shù)函數(shù)）（全解全析）

2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：集合與常用邏輯用語+不等式+函數(shù)+指數(shù)函數(shù)。5．難度系數(shù)：0.69。第一部分（選擇題共58分）選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．命題，，則是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【詳解】因?yàn)槊}，，所以：，.故選：C2．已知全集為R，集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】A中，顯然集合A并不是集合B的子集，錯(cuò)誤.B中，同樣集合B并不是集合A的子集，錯(cuò)誤.C中，，錯(cuò)誤.D中，由，則，，正確.故選：D．3．已知集合，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即可以推出，若，所以，得到，所以推不出，即“”是“”的充分不必要條件，故選：A.4．冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說法正確的是（

）A． B．或C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】C【詳解】函數(shù)為冪函數(shù)，則，解得或.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增，不滿足條件，排除A，B；所以，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.5．已知關(guān)于的不等式的解集是或，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】關(guān)于的不等式的解集是或，∴1和3是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且．則解得所以不等式等價(jià)于，即，解得．所以不等式的解集是故選:B．6．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】由題意得，函數(shù)為奇函數(shù)，且定義域?yàn)?，由奇函?shù)的性質(zhì)得，，解得，經(jīng)過檢驗(yàn)符合題意，所以當(dāng)時(shí)，，所以.故選：D.7．已知函數(shù)=，滿足對(duì)任意，都有成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)閷?duì)任意，都有成立，所以為上的增函數(shù)，所以，解得，即，故選：C.8．已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，且為偶函數(shù).若關(guān)于的不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由為上的奇函數(shù)，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，又為偶函數(shù)，則，故關(guān)于對(duì)稱，則，則，是周期為4的周期函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，則，因此，又關(guān)于的不等式對(duì)恒成立，則，因此，可得，，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列說法正確的是（）A．函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锽．和表示同一個(gè)函數(shù)C．函數(shù)的值域?yàn)镈．定義在上的函數(shù)滿足，則【答案】ACD【詳解】A選項(xiàng)，對(duì)于，令，則，則，所以，即的定義域?yàn)?，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，不是同一個(gè)函數(shù)，B選項(xiàng)不正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，即函?shù)的值域?yàn)椋珻選項(xiàng)正確；對(duì)于D，由可得，所以由可得，D選項(xiàng)正確；故選：ACD.10．下列說法正確的是（

）A．若，則的最大值為B．函數(shù)的最小值為C．已知，則的最小值為3D．若正數(shù)滿足，則的最小值是4【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值為3.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為3.故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以的最小值為4.故D正確.故選：ACD.11．已知定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，，則（

）A． B．為奇函數(shù)C．在R上單調(diào)遞減 D．當(dāng)時(shí)，【答案】ABD【詳解】A選項(xiàng)，中，令得，，又，故，令中，令得，令得，即，A正確；B選項(xiàng)，中，令得，解得，中，令得，故為奇函數(shù)，B正確；C選項(xiàng)，中，令，且，故，即，當(dāng)時(shí)，，故，即，故在R上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，，又，故，又在R上單調(diào)遞增，所以，D正確.故選：ABD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知，，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【詳解】解：，，因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以，則，即.經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件.故答案為：.13．已知函數(shù)，則.【答案】3【詳解】，，故答案為：314．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：對(duì)于實(shí)數(shù)，符號(hào)表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，，定義函數(shù)，則下列命題中正確的序號(hào)是．①函數(shù)的最大值為；

②函數(shù)的最小值為；③函數(shù)的圖象與直線有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)；

④.【答案】②③④【詳解】由題意得：，由解析式可得函數(shù)圖形如下圖所示，

對(duì)于①，函數(shù)，①錯(cuò)誤；對(duì)于②：函數(shù)的最小值為，②正確；對(duì)于③，函數(shù)的圖象與直線有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)，③正確；對(duì)于④，函數(shù)滿足，④正確；故答案為：②③④四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）（1）求值：；（2）已知，求值：.【詳解】（1）原式...........................6分（2）由，而，.................................................9分則，故..........................................................13分16．（15分）已知集合，集合.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求的取值范圍．【詳解】（1）由題設(shè)，則，........................................................3分或，則...............................................................................6分（2）由，.....................................................................................................8分若時(shí)，，滿足；.............................................................................10分若時(shí)，；..................................................................................14分綜上，..................................................................................................................................15分17．（15分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在軸左側(cè)的圖象如圖所示，請(qǐng)根據(jù)圖象；(1)畫出在軸右側(cè)的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)寫出函數(shù)的解析式；(3)若函數(shù)，求函數(shù)的最小值.【詳解】（1）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，即函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)圖象如圖所示．...............................................................2分故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；....4分（2）根據(jù)題意，令，則，則，又因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，....................................................................................6分所以.........................................................................8分（3）當(dāng)時(shí)，，則，其對(duì)稱軸為，..............................................................................9分當(dāng)時(shí)，即，則，...........................11分當(dāng)時(shí)，即，則，............................13分故.............................................................................15分18．（17分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)判斷在定義域上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；(3)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)椋?定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令，所以，故，...................................................................2分則，，所以為定義在上的奇函數(shù)，故...................................................................4分（2）是上的增函數(shù).證明：任取，且，，......6分因?yàn)?，所以，，，所以，，所以，即，所以是上的增函?shù)........................................................................................................9分（3）當(dāng)時(shí)，不等式即，...................................11分故，則令，由題意可知，，....................................................13分因?yàn)楹瘮?shù)，為上的增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，故，所以....................................................................................................................................17分19．（17分）歐拉對(duì)函數(shù)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)，除特殊符號(hào)、概念名稱的界定外，歐拉還基于初等函數(shù)研究了抽象函數(shù)的性質(zhì)，例如，歐拉引入倒函數(shù)的定義：對(duì)于函數(shù)，如果對(duì)于其定義域中任意給定的實(shí)數(shù)，都有，并且，就稱函數(shù)為倒函數(shù)．(1)已知,,判斷和是不是倒函數(shù)，并說明理由；(2)若是上的倒函數(shù)，其函數(shù)值恒大于0，且在上是嚴(yán)格增函數(shù)．記，證明：是的充要條件．【詳解】（1）對(duì)于，定義域?yàn)?，顯然定義域中任意實(shí)數(shù)有成立，又，是倒函數(shù)，............................................................................................................3分對(duì)于，定義域?yàn)椋十?dāng)時(shí)，，不符合倒函數(shù)的定義，所以不是倒函數(shù)；.....................................................................................................6分（2）因?yàn)?，又是上的倒函?shù)，所以，所以，故，.................................................................9分充分性：當(dāng)時(shí)，且，又在上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，，所以，，故..