2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第08講：拓展一：分離變量法解決導(dǎo)數(shù)問題(學(xué)生版+解析)

第08講：拓展一：分離變量法解決導(dǎo)數(shù)問題目錄TOC\o"1-2"\h\u類型一：恒成立（存在問題）求解參數(shù)范圍 1角度1：完全分離參數(shù)法 1角度2：部分分離參數(shù)法 3類型二：已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍 4角度1：完全分離參數(shù)法 4角度2：部分分離參數(shù)法 5高頻考點(diǎn)類型一：恒成立（存在問題）求解參數(shù)范圍角度1：完全分離參數(shù)法典型例題例題1．（23-24高二下·四川廣元·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.例題2．（23-24高二下·河北張家口·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例題3．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若函數(shù)在處取得極值，且對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）若不等式恒成立，則a的取值范圍是.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)且時(shí)，不等式在上恒成立，求的最大值.（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，在上恒成立，求整數(shù)k的最大值.類型二：已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍角度1：完全分離參數(shù)法典型例題例題1．（23-24高二下·廣東廣州·階段練習(xí)）若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（23-24高二下·湖南長沙·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，證明：當(dāng)時(shí)，；(3)若在有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.例題3．（23-24高三上·陜西安康·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.練透核心考點(diǎn)1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝aex－x，a∈R.若f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.2．（23-24高二下·陜西西安·階段練習(xí)）已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求的解析式；(2)若方程（m為常數(shù)）有兩個(gè)根，求實(shí)數(shù)m的范圍.3．（23-24高三上·重慶南岸·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.角度2：部分分離參數(shù)法典型例題例題1．（2024高三上·河南·專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的值.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三上·北京·開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，判斷在零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由．第08講：拓展一：分離變量法解決導(dǎo)數(shù)問題目錄TOC\o"1-2"\h\u類型一：恒成立（存在問題）求解參數(shù)范圍 1角度1：完全分離參數(shù)法 1角度2：部分分離參數(shù)法 7類型二：已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍 11角度1：完全分離參數(shù)法 11角度2：部分分離參數(shù)法 16高頻考點(diǎn)類型一：恒成立（存在問題）求解參數(shù)范圍角度1：完全分離參數(shù)法典型例題例題1．（23-24高二下·四川廣元·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】恒成立求參數(shù)的取值范圍，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題求解即可.【詳解】函數(shù)，因?yàn)樵诤愠闪?，所以，在恒成立，在恒成立，令，所以，，得，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：例題2．（23-24高二下·河北張家口·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)函數(shù)的極小值為，無極大值；(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，先判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求函數(shù)的極值；（2）首先不等式化簡為恒成立，再利用參變分離，轉(zhuǎn)化為最值問題，即可求解.【詳解】（1），令，得，，和的關(guān)系，如下表所示，0單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)的極小值為，無極大值；（2）不等式恒成立，即恒成立，即，，恒成立，所以，，設(shè)，，，其中，設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以存在，使，即，即，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，由，可得，所以，所以.例題3．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若函數(shù)在處取得極值，且對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而得出，；再根據(jù)點(diǎn)斜式方程即可求解.（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；再分和兩種情況，在每一種情況中借助導(dǎo)數(shù)即可解答.（3）先根據(jù)函數(shù)在處取得極值得出；再將問題“對(duì)，恒成立”轉(zhuǎn)化為“對(duì)，恒成立”；最后構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)求出即可解答.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，則，.所以在處的切線方程為，即.（2）由可得：函數(shù)定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.綜上可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（3）因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以，即，解得.此時(shí)，令，解得；令，解得，所以函數(shù)在處取得極值，故.所以.因?yàn)閷?duì)，恒成立，所以對(duì)，恒成立.令，則.令，解得；令，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.則，解得：.所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）若不等式恒成立，則a的取值范圍是.【答案】【分析】分類討論去解析式中的絕對(duì)值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最大值，從而即可得解.【詳解】若不等式恒成立，也就是恒成立，函數(shù)，定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，在為減函數(shù)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，綜上可知，則a的取值范圍是.故答案為：.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)且時(shí)，不等式在上恒成立，求的最大值.【答案】3【分析】依題意參變分離可得在上恒成立，則，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，從而求出參數(shù)的取值范圍，即可得解．【詳解】當(dāng)時(shí)，，又不等式在上恒成立，則在上恒成立，所以，令，，則，令，，則，在上單調(diào)遞增，，存在唯一，使，所以，當(dāng)時(shí)即，當(dāng)時(shí)即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，即，所以，所以，又，．3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，在上恒成立，求整數(shù)k的最大值.【答案】3【分析】分離參數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為()．設(shè)()，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，得解.【詳解】由題意，在上恒成立，即()．設(shè)()，則，令()，則，所以，在上為增函數(shù)．因?yàn)?，，，所以在上有唯一?shí)數(shù)根，使得.當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即.即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，且，所以.由，得整數(shù)k的最大值為3.角度2：部分分離參數(shù)法典型例題例題1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知關(guān)于的不等式解集中恰有3個(gè)不同的正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得的解集中恰有3個(gè)不同的正整數(shù)解，設(shè)，，作出兩函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象分，分別求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?設(shè)，，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；又因?yàn)槭沁^點(diǎn)的直線，如圖所示：

由此可得當(dāng)時(shí)，的解集中有若干個(gè)不同的正整數(shù)解，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，要使不等式的解集中恰有3個(gè)不同的正整數(shù)解，

當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，取最小值，因?yàn)?，此時(shí)，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，取最大值，因?yàn)?，此時(shí)，所以的取值范圍為.故選：D.例題2．（22-23高二下·浙江杭州·階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集中恰有個(gè)整數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性和最值，根據(jù)題意利用數(shù)形結(jié)合，列式求解即可.【詳解】因?yàn)?，且，可得，?gòu)建，則，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，且，由題意可得，解得，所以的取值范圍是.故選：C.

練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若有且只有兩個(gè)整數(shù)使得，且，則的取值范圍是【答案】【分析】將不等式等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)性質(zhì)，作出函數(shù)圖象，結(jié)合已知列出不等式組，求解即得.【詳解】當(dāng)時(shí)，由，得，設(shè)，，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)上，，為增函數(shù)，的圖象恒過點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)，的圖象，顯然，即，由于有且只有兩個(gè)整數(shù)，使得，則這兩個(gè)整數(shù)要么是2，3，不是1，要么是1，2，不能是3，當(dāng)時(shí)，即，解得，此時(shí)，，顯然至少有3個(gè)整數(shù)使得對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大于0，不符合題意，因此這兩個(gè)整數(shù)是1，2，不能是3，于是，解得，所以的取值范圍是．故答案為：2．（22-23高二下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知不等式的解集中有且只有個(gè)整數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】因?yàn)?設(shè),,本題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在直線上方的范圍中有且只有個(gè)整數(shù).先利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的圖像,再與直線的圖像結(jié)合列出不等式組求解即可.【詳解】,設(shè),則,當(dāng),即當(dāng)時(shí),函數(shù)為增函數(shù);當(dāng),即當(dāng)時(shí),函數(shù)為減函數(shù);當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,則滿足題意的函數(shù)的圖像與直線圖像如圖:,

所以,即,解得.故答案為:.類型二：已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍角度1：完全分離參數(shù)法典型例題例題1．（23-24高二下·廣東廣州·階段練習(xí)）若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，得到，令，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得出函數(shù)值的變化，即可求出結(jié)果.【詳解】令，得到，令，則，由得到，由，得到，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，，所以，當(dāng)函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，故選：A.例題2．（23-24高二下·湖南長沙·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，證明：當(dāng)時(shí)，；(3)若在有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)條件，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，求出在區(qū)間的單調(diào)性，再求出的最小值，即可證明結(jié)果；（3）通過分離常量，得到，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)得到的單調(diào)性，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，又，所以函?shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）當(dāng)時(shí)，，則，令，則，由，得到，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，所以，即恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，命題得證.（3）因?yàn)?，令，得到，又，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，又當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，又在有兩個(gè)零點(diǎn)，所以.例題3．（23-24高三上·陜西安康·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，得到進(jìn)而求出切線方程；（2），故只需當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)實(shí)根，參變分離，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)只有1個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)，得到的單調(diào)性，畫出其圖象，數(shù)形結(jié)合得到參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）顯然，要使方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，只需當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，由方程，得.令，則直線與的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)..又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，又當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以作出的大致圖象如圖所示.

由圖象，知要使直線與的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，只需或.綜上，若有兩個(gè)不等的實(shí)根，則的取值范圍為.練透核心考點(diǎn)1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝aex－x，a∈R.若f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【詳解】(解法1)因?yàn)閒′(x)＝aex－1.①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＜0，f(x)在R上單調(diào)遞減，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，舍去；②當(dāng)a＞0時(shí)，令f′(x)＝0?x＝－lna.且當(dāng)x∈(－∞，－lna)時(shí)，f′(x)＜0，此時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(－lna，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，此時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.因?yàn)閒(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以f(x)min＝f(－lna)＝1＋lna＜0，解得0＜a＜.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0，).(解法2)由f(x)＝aex－x＝0，則a＝.令g(x)＝，g′(x)＝，所以g(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以g(x)max＝g(1)＝.當(dāng)x→－∞時(shí)，g(x)＜0；當(dāng)x→＋∞時(shí)，g(x)＞0，根據(jù)函數(shù)的圖象，若方程a＝有兩個(gè)不同的解，則a∈(0，).2．（23-24高二下·陜西西安·階段練習(xí)）已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求的解析式；(2)若方程（m為常數(shù)）有兩個(gè)根，求實(shí)數(shù)m的范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線方程為，得到切點(diǎn)坐標(biāo)，列出方程組，求得的值，即可求得函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)橐阎瘮?shù)在處的切線為，即切點(diǎn)為，所以，解之得，，所以函數(shù)的解析式為.（2）因?yàn)?，所以，令，解得，?dāng)，，在為增函數(shù)，且時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)，，在為減函數(shù)，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若方程（m為常數(shù)）有兩個(gè)根，則.故實(shí)數(shù)m的范圍為..3．（23-24高三上·重慶南岸·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)減區(qū)間是，增區(qū)間是(2)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；（2）由（1）得出的極值及變化趨勢(shì)，利用的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)可得參數(shù)范圍．【詳解】（1）由已知，時(shí)，，時(shí)，，所以的減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2）由（1）知時(shí)，取得極小值也是最小值，即，令，，則.由，得，由，得，由，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.又函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故