3.6 長方體、正方體體積公式的推導(dǎo)（學(xué)霸課堂筆記）-2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)五年級下冊同步培優(yōu)講義（人教版）

3.6長方體、正方體體積公式的推導(dǎo)第一部分第一部分學(xué)問清單長方體的體積=長×寬×高V=abh正方體的體積=棱長×棱長×棱長V=a3其次部分其次部分典型例題例1：一個(gè)長方體的長、寬、高分別為am、bm、hm。假如長、寬不變，高增加3m，那么新長方體的體積比原來增加（

）m3。A．3ab B．3abh C．（3＋h）ab D．3h答案：A分析：長方體的高增加3m，體積增加了一個(gè)長方體，長×寬×增加的高＝增加的體積，據(jù)此表示出增加的體積即可。詳解：a×b×3＝3ab（m3）那么新長方體的體積比原來增加（3ab）m3。故答案為：A例2：把一個(gè)棱長為1米的正方體木塊切成棱長為1厘米的正方體小木塊，再把這些切成的小木塊拼成一排放在地面上，共占地（

）平方米。A．1 B．10 C．100 D．1000答案：C分析：一個(gè)棱長為1米的正方體體積是1立方米，棱長為1厘米的正方體的體積為1立方厘米，1立方米＝1000000立方厘米，故可以切1000000個(gè)這樣的正方體小木塊，邊長1厘米的正方形面積是1平方厘米，1000000個(gè)這樣的小正方體占地1000000平方厘米，1平方米＝10000平方厘米，將1000000平方厘米換算成平方米即可解答。詳解：由分析可知，每個(gè)小正方體占地面積為1平方厘米，1000000個(gè)棱長為1厘米的小正方體占地面積為1000000平方厘米，1平方米＝10000平方厘米，1000000÷10000＝100，所以1000000平方厘米＝100平方米，即把這些切成的小木塊拼成一排放在地面上，共占地100平方米；故答案為：C例3：把一根長3米的長方體木料鋸成三段，變成三個(gè)小長方體，表面積增加了60平方厘米，原來長方體木料的體積是()立方厘米。答案：4500分析：鋸成3段，增加了4個(gè)面的面積。將60平方厘米除以4，求出底面積。再依據(jù)“長方體體積＝底面積×高”列式求出這塊木料的體積。詳解：3米＝300厘米60÷4×300＝15×300＝4500（立方厘米）所以，原來長方體木料的體積是4500立方厘米。例4：一個(gè)正方體的棱長和是48厘米，表面積是()平方厘米，體積是()立方厘米。答案：9664分析：正方體有12條棱，且長度都相等，已知正方體的棱長和是48厘米，用48除以12即可求出正方體的棱長。正方體的表面積＝棱長×棱長×6，正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，據(jù)此代入數(shù)據(jù)計(jì)算。詳解：48÷12＝4（厘米）4×4×6＝96（平方厘米）4×4×4＝64（立方厘米）則表面積是96平方厘米，體積是64立方厘米。：基礎(chǔ)過關(guān)練一、選擇題1．下圖中，三組圖形在數(shù)學(xué)本質(zhì)上有共同特征，描述精確?????的是（

）。A．每組中兩個(gè)圖形的位置不同。B．每組中，大圖形表示的數(shù)量不同。C．每組中都有一個(gè)圖形和一個(gè)能測量該圖形的單位。D．每組中都有一個(gè)小圖形和一個(gè)大圖形。2．一種牛奶的外包裝是長方體，量得外包裝盒的尺寸如圖（單位：厘米）。依據(jù)圖中數(shù)據(jù)推斷，牛奶的實(shí)際含量可能是（

）毫升。

A．520 B．540 C．500 D．6003．圖中容積最大的盒子是（

）。

A．1號 B．2號 C．3號4．查字典也可幫我們學(xué)數(shù)學(xué)，我們經(jīng)常見到毫米和毫升。你認(rèn)為“毫”是什么意思？（

）A．瘦長而尖的毛 B．毛筆 C．千分之一5．現(xiàn)在將正方體的棱長擴(kuò)大為原來的2倍，下列表述正確的是（

）。A．?dāng)U大后這個(gè)正方體的棱長和是擴(kuò)大前的12倍 B．?dāng)U大后這個(gè)正方體的表面積是擴(kuò)大前的6倍C．?dāng)U大后這個(gè)正方體的體積是擴(kuò)大前的8倍 D．?dāng)U大后這個(gè)正方體的體積是擴(kuò)大前的4倍二、填空題6．()毫升＝140立方厘米

2.03米＝()米()厘米8.09升＝()升()毫升

100.2cm2＝()dm2＝()m27．從三個(gè)方向看一個(gè)空心零件，三種視圖如圖所示。算一算，這個(gè)空心零件的體積是()cm3，表面積是()。（單位：cm）

8．王阿姨帶100元去藥房買單價(jià)7.8元/瓶的乙醇消毒液，最多可以買()瓶；李阿姨買了一大瓶1升的84消毒液，預(yù)備分裝到容量180毫升的小瓶中，她至少需要()個(gè)這樣的小瓶才能分裝完。9．請認(rèn)真閱讀下面的材料，在括號里填上合適的單位名稱。登機(jī)時(shí)間為起飛前45()，假如是國內(nèi)航班，至少需要提前1.5()到機(jī)場辦理登機(jī)手續(xù)。小件行李是可以直接帶上飛機(jī)的，無需托運(yùn)。隨身攜帶的行李，長55()，寬40()內(nèi)，重量限制是5()；容積小于100()的液體也可以隨身攜帶。10．一個(gè)透亮?????的塑料盆里裝滿了l立方厘米的小正方體。李老師從盒里拿出一些預(yù)備在數(shù)學(xué)課上用，還剩下一部分（如圖）。李老師拿出了()個(gè)小正方體。11．明明用一些完全相同的小正方體木塊搭出了一個(gè)長方體模型（如圖），假如用這些木塊搭一個(gè)底層有3行、每行有3個(gè)木塊的新長方體模型，那么這個(gè)新模型應(yīng)當(dāng)有()層。

三、推斷題12．小軍用的橡皮擦體積是27立方分米。()13．1盒牛奶的體積是250立方厘米，里面能裝250mL的牛奶。()14．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，集中而正確在給出了立體圖形的體積計(jì)算公式。()15．保溫杯的體積比水壺的體積大，所以保溫杯的容積肯定比這個(gè)水壺大。()16．與這兩個(gè)量中，更大。()：培優(yōu)提升練四、計(jì)算題17．計(jì)算下面各立體圖形的體積。五、解答題18．說一說：你在生活中見過的體積最大的物體是什么？體積最小的物體是什么？在生活中能找出哪些體積分別是1立方厘米、1立方分米、1立方米的物體？19．我們知道了長度單位間、面積單位間的進(jìn)率，體積單位間的進(jìn)率是多少呢？20．迎接建黨100周年，學(xué)校要新建一間黨員活動室，這間活動室從室內(nèi)量長是10米，寬是8米，高是3米。它的容積是多少？21．一個(gè)長6分米，寬5分米，高4分米的長方體魚缸，魚缸里水深3分米，將魚缸里的一條魚撈出后，水面高度下降到2.8分米，這條魚的體積是多少？22．如圖所示，用混凝土澆筑一個(gè)無蓋的長方體水槽，從外面量，長10分米、寬8分米、高4分米，混凝土厚1分米，依據(jù)以上信息計(jì)算出這個(gè)水槽的容積。23．一個(gè)長方體容器如圖所示：里面水深5.6分米。把一個(gè)西瓜全部浸沒在水中后，容器中溢出5升水。這個(gè)西瓜的體積是多少立方分米？24．小明把672毫升的牛奶倒入一個(gè)底面積為96平方厘米的長方體容器中，牛奶在這個(gè)長方體容器中深多少厘米？

1．C分析：由圖可知，第一組中，有一種圖形和一個(gè)能測量長短的單位；其次組中，有一種圖形和一個(gè)能測量面積的單位；第三組中，有一種圖形和一個(gè)能測量體積的單位，據(jù)此選擇。詳解：由分析可得：三組圖形在數(shù)學(xué)本質(zhì)上有共同特征，描述精確?????的是每組中都有一個(gè)圖形和一個(gè)能測量該圖形的單位。故答案為：C2．C分析：長方體的體積＝長×寬×高，把長8厘米、寬5厘米、高13厘米代入公式即可計(jì)算出包裝盒的體積。長方體容器容積的計(jì)算方法，跟體積的計(jì)算方法相同，但要從容器里面量長、寬、高，所以牛奶的實(shí)際含量小于包裝盒的體積。據(jù)此選擇即可。詳解：包裝盒的體積：8×5×13＝40×13＝520（立方厘米）520立方厘米＝520毫升520＝520，540＞520，500＜520，600＞520，由于牛奶的實(shí)際含量小于包裝盒的體積，所以牛奶的實(shí)際含量可能是500毫升。故答案為：C點(diǎn)睛：計(jì)算長方體容器的體積要從外面量長、寬、高，而計(jì)算它的容積則要從里面量長、寬、高。同一個(gè)長方體容器，體積比容積大。3．B分析：容器所能容納物體的體積是容器的容積，由于每個(gè)盒子里裝的罐子是一樣大的，則哪個(gè)盒子內(nèi)裝的東西更多，它的容積就越大，據(jù)此解答。詳解：第一個(gè)盒子裝6個(gè)，其次個(gè)盒子裝9個(gè)，第三個(gè)盒子裝8個(gè)，所以其次個(gè)盒子容積大。故答案為：B點(diǎn)睛：本題考查了容積，明確容積的定義是解題的關(guān)鍵。4．C分析：毫米是長度單位，用來計(jì)量物體的長度；毫升是容積單位，用來計(jì)量容器的容積，1米＝1000毫米，1升＝1000毫升，則“毫”應(yīng)表示千分之一。詳解：由分析可知：我們經(jīng)常見到毫米和毫升。你認(rèn)為“毫”表示千分之一。故答案為：C點(diǎn)睛：本題考查長度和容積，明確長度和容積單位是解題的關(guān)鍵。5．C分析：假設(shè)正方體的棱長為1，擴(kuò)大到原來的2倍，依據(jù)正方體的棱長和＝棱長×12；正方體的表面積＝棱長×棱長×6，正方體的體積＝棱長×棱長×棱長；分別求出擴(kuò)大前后正方體的棱長和、表面積和體積，進(jìn)而求出它們變化前后的關(guān)系。詳解：假設(shè)正方體的棱長為1，擴(kuò)大到原來的2倍，擴(kuò)大后的棱長：1×2＝2原來的棱長總和：1×12＝12擴(kuò)大后的棱長總和：2×12＝2424÷12＝2擴(kuò)大后這個(gè)正方體的棱長和是擴(kuò)大前的2倍；原來的表面積：1×1×6＝6擴(kuò)大后的表面積：2×2×6＝2424÷6＝4擴(kuò)大后這個(gè)正方體的表面積是擴(kuò)大前的4倍；原來的體積：1×1×1＝1擴(kuò)大后的體積：2×2×2＝88÷1＝8擴(kuò)大后這個(gè)正方體的體積是擴(kuò)大前的8倍。故答案為：C點(diǎn)睛：本題主要考查了正方體的棱長和公式、表面積公式、體積公式的機(jī)敏應(yīng)用，要嫻熟把握相關(guān)公式。6．140238901.0020.01002分析：依據(jù)進(jìn)率：1立方厘米＝1毫升，1米＝100厘米，1升＝1000毫升，1m2＝100dm2，1dm2＝100cm2；從高級單位向低級單位轉(zhuǎn)換，乘進(jìn)率；從低級單位向高級單位轉(zhuǎn)換，除以進(jìn)率；據(jù)此解答。詳解：（1）140毫升＝140立方厘米（2）2.03米＝2米＋0.03米0.03×100＝3（厘米）2.03米＝2米3厘米（3）8.09升＝8升＋0.09升0.09×1000＝90（毫升）8.09升＝8升90毫升（4）100.2÷100＝1.002（dm2）1.002÷100＝0.01002（m2）100.2cm2＝1.002dm2＝0.01002m27．220005800分析：通過觀看三種視圖可知：這個(gè)空心零件是從一個(gè)長40cm，寬30cm，高20cm的長方體里挖去了一個(gè)長10cm，寬10cm，高20cm的長方體（如下圖）。

依據(jù)“長方體的體積＝長×寬×高”分別求出外面大長方體的體積及里面小長方體的體積，再相減即可求出這個(gè)空心零件的體積。先求出外面大長方體的表面積，再求出邊長10cm的正方形的面積，再求出里面小長方體的4個(gè)側(cè)面的面積和，最終用大長方體的表面積－2個(gè)邊長10cm的正方形的面積＋里面小長方體的4個(gè)側(cè)面的面積和，即可求出這個(gè)零件的表面積。詳解：40×30×20－10×10×20＝24000－2000＝22000（cm3）（40×30＋40×20＋30×20）×2－10×10×2＋10×20×4＝（1200＋800＋600）×2－200＋800＝2600×2－200＋800＝5200－200＋800＝5000＋800＝5800（cm2）所以這個(gè)空心零件的體積是22000cm3，表面積是5800cm2。點(diǎn)睛：解決此題關(guān)鍵是依據(jù)三視圖確定幾何體的外形。8．126分析：第一個(gè)空，最終無論剩下多少錢，只要不夠一瓶乙醇消毒液的錢數(shù)，就無法購買一瓶乙醇消毒液，帶的錢數(shù)÷乙醇消毒液單價(jià)，結(jié)果用去尾法保留近似數(shù)即可；其次個(gè)空，最終無論剩下多少84消毒液，都得需要一個(gè)小瓶來裝，84消毒液的體積÷小瓶容積，結(jié)果用進(jìn)一法保留近似數(shù)即可。詳解：100÷7.8≈12（瓶）1升＝1000毫升1000÷180≈6（個(gè)）王阿姨帶100元去藥房買單價(jià)7.8元/瓶的乙醇消毒液，最多可以買12瓶；李阿姨買了一大瓶1升的84消毒液，預(yù)備分裝到容量180毫升的小瓶中，她至少需要6個(gè)這樣的小瓶才能分裝完。點(diǎn)睛：關(guān)鍵是理解用去尾法和進(jìn)一法保留近似數(shù)的實(shí)際意義。9．分鐘/min小時(shí)/h厘米/cm厘米/cm千克/kg毫升/mL分析：依據(jù)生活閱歷以及對時(shí)間單位、長度單位、質(zhì)量單位、容積單位和數(shù)據(jù)大小的生疏，結(jié)合實(shí)際狀況選擇合適的單位即可。詳解：登機(jī)時(shí)間為起飛前45分鐘，假如是國內(nèi)航班，至少需要提前1.5小時(shí)到機(jī)場辦理登機(jī)手續(xù)。隨身攜帶的行李長55厘米，寬40厘米內(nèi)，重量限制是5千克；容積小于100毫升的液體也可以隨身攜帶。點(diǎn)睛：本題主要考查依據(jù)情境選擇合適的計(jì)量單位，要留意聯(lián)系生活實(shí)際、計(jì)量單位和數(shù)據(jù)的大小，機(jī)敏的選擇。10．124分析：棱長是1厘米的正方體體積是1立方厘米，觀看題意可知，透亮?????的塑料盆的長是7厘米，寬是5厘米，高是4厘米，依據(jù)長方體的體積公式，用7×5×4即可求出全部正方體的體積，已知1個(gè)小正方體是1立方厘米，所以7×5×4÷1全部正方體的個(gè)數(shù)；已知剩下16個(gè)小正方體，用全部的正方體個(gè)數(shù)減去16個(gè)小正方體，即可求出拿出的長方體個(gè)數(shù)。詳解：7×5×4÷1＝140（個(gè)）140－16＝124（個(gè)）李老師拿出了124個(gè)小正方體。點(diǎn)睛：本題主要考查了長方體、正方體體積公式的計(jì)算和應(yīng)用，留意觀看長方體對應(yīng)的長、寬、高有幾個(gè)小正方體，就可以推斷長、寬、高的長度。11．8分析：從圖中可知，長方體模型的長有6個(gè)小正方體，寬有4個(gè)小正方體，高有3個(gè)小正方體組成；依據(jù)長方體的體積公式V＝abh，即可求出搭成這個(gè)長方體模型所用小正方體的總個(gè)數(shù)；假如用這些木塊搭一個(gè)底層有3行、每行有3個(gè)木塊的新長方體模型，求這個(gè)新模型的層數(shù)，依據(jù)長方體的高h(yuǎn)＝V÷a÷b，即可求解。詳解：小正方體的總個(gè)數(shù)：6×4×3＝24×3＝72（個(gè)）層數(shù)：72÷3÷3＝24÷3＝8（層）這個(gè)新模型應(yīng)當(dāng)有8層。點(diǎn)睛：本題考查長方體體積公式的機(jī)敏運(yùn)用，關(guān)鍵是得出圖形拼組所用小正方體的總個(gè)數(shù)。12．×分析：常見的體積單位有立方厘米、立方分米、立方米，1立方厘米相當(dāng)于一個(gè)手指尖的體積，一個(gè)粉筆盒的體積接近1立方分米，棱長為1米的正方體的體積是1立方米，據(jù)此選擇合適的體積單位。詳解：分析可知，小軍用的橡皮擦體積是27立方厘米，不是27立方分米。故答案為：×點(diǎn)睛：本題主要考查依據(jù)情境選擇合適的計(jì)量單位，結(jié)合題中數(shù)據(jù)聯(lián)系生活實(shí)際選擇合適的體積單位是解答題目的關(guān)鍵。13．×分析：一個(gè)物體的體積是從外面進(jìn)行測量的，容積是從里面測量的，一般狀況，一個(gè)物體的體積肯定大于它的容積，由于物體都有肯定的厚度。據(jù)此推斷即可。詳解：由分析可知：1盒牛奶的體積是250立方厘米，所以里面能裝的牛奶肯定小于250mL，原題干說法錯誤。故答案為：×點(diǎn)睛：本題考查體積和容積，明確體積和容積的定義是解題的關(guān)鍵。14．√分析：我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，集中而正確地給出了立體圖形的體積計(jì)算公式。書中在求底面是正方形的長方體體積時(shí)，是這樣說的：“方自乘，以高乘之即積尺?！本褪钦f先用邊長乘邊長得底面積，再乘高就得到長方體的體積。詳解：由分析可知：我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，集中而正確在給出了立體圖形的體積計(jì)算公式。說法正確。故答案為：√點(diǎn)睛：本題考查常識學(xué)問，平常應(yīng)多留意積累。15．×分析：容積是指容器所能容納液體的體積，容積是從里面量長、寬、高；由此推斷即可。詳解：保溫杯的體積比水壺的體積大，并不能說明保溫杯的容積肯定比這個(gè)水壺大，由于容積是容器所能容納物體的體積，容積是從里面量長、寬、高，所以題干的說法是錯誤的。故答案為：×點(diǎn)睛：本題考查容積，明確容積是從里面測量長、寬、高是解題的關(guān)鍵。16．×分析：和這兩個(gè)量中，前者是體積單位，后者是面積單位，由于單位不同，所以無法比較，據(jù)此解答。詳解：與這兩個(gè)量中，由于單位不同，一個(gè)是體積單位，一個(gè)是面積單位，因此無法比較大小，所以原題干的說法是錯誤的。故答案為：×點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是理解和把握體積單位和面積單位是不同的。17．800m3；729dm3；90cm3分析：依據(jù)正方體的體積公式V＝a3，長方體的體積公式V＝abh，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，求出各立體圖形的體積。詳解：（1）16×5×10＝80×10＝800（m3）這個(gè)立體圖形的體積是800m3。（2）9×9×9＝81×9＝729（dm3）這個(gè)立體圖形的體積是729dm3。（3）3×3×10＝9×10＝90（cm3）這個(gè)立體圖形的體積是90cm3。18．見詳解分析：體積是指物體所占空間的大小。依據(jù)生活閱歷以及對體積單位的生疏，一個(gè)手指尖的體積約1立方厘米，一個(gè)粉筆盒的體積約1立方分米，棱長為1米的正方體的體積是1立方米；據(jù)此解答。詳解：我在生活中見過的體積最大的物體是樓房，體積最小的物體是鹽粒。體積是1立方厘米的物體：骰子、糖塊；體積是1立方分米的物體：粉筆盒、魔方；體積是1立方米的物體：洗衣機(jī)、冰柜。（答案不唯一）19．見詳解詳解：（1）棱長為1分米的正方體，體積是1立方分米，也可看作是棱長10厘米的正方體，由正方體體積的計(jì)算公式可以算出它的體積是1000立方厘米，由此得出：1立方分米＝1000立方厘米。（2）棱長為1米的正方體，體積是1立方