3.7 長方體、正方體體積公式的應用（學霸課堂筆記）-2023-2024學年數(shù)學五年級下冊同步培優(yōu)講義（人教版）

3.7長方體、正方體體積公式的應用第一部分第一部分學問清單與平面接觸的這個面叫做底面。長方體的長和寬相乘就是底面的面積。長方體或正方體底面的面積叫底面積。長方體或正方體的體積=底面積×高V=Sh其次部分其次部分典型例題例1：玲玲家有一個長方體魚缸。從里面量，長是60厘米，寬是15厘米，里面盛有水，水里養(yǎng)有一條魚，此時水面高度是20厘米，假如把這條魚撈出來，水面將下降到18厘米。這條魚的體積是（

）立方厘米。A．5400 B．1800 C．16200 D．18000答案：B分析：依據(jù)題意，下降部分水的體積就等于魚的體積。長方體體積＝長×寬×高，由此列式解答。詳解：60×15×（20－18）＝900×2＝1800（立方厘米）所以，這條魚的體積是1800立方厘米。故答案為：B例2：一個正方體的棱長擴大到原來的2倍后，體積是64dm3，正方體原來的體積是（

）dm3。A．8 B．16 C．32 D．128答案：A分析：正方體體積＝棱長×棱長×棱長，正方體的棱長擴大到原來的2倍后，體積擴大到原來的（2×2×2）倍，已知一個數(shù)的幾倍是多少，求這個數(shù)用除法，據(jù)此用現(xiàn)在的體積÷擴大到原來的倍數(shù)＝原來的體積。詳解：64÷（2×2×2）＝64÷8＝8（dm3）正方體原來的體積是8dm3。故答案為：A例3：給一個棱長2厘米的正方體包裝盒四周都貼上商標，貼商標的面積是()平方厘米，這個正方體的體積是()立方厘米。答案：168分析：正方體的特征：6個面都是完全一樣的正方形。依據(jù)題意，假如在正方體包裝盒四周都貼上商標，那么貼商標的面積等于正方體4個面的面積之和；依據(jù)正方形的面積公式S＝a2，求出一個面的面積，再乘4，即可求出貼商標的面積。依據(jù)正方體的體積公式V＝a3，即可求出這個正方體的體積。詳解：2×2×4＝16（平方厘米）2×2×2＝8（立方厘米）貼商標的面積是16平方厘米，這個正方體的體積是8立方厘米。例4：一根長方體的木料長200厘米，橫截面積是0.04平方厘米，它的體積是()立方厘米。答案：8分析：橫截面積＝寬×高，依據(jù)長方體體積＝橫截面×長，列式計算即可。詳解：0.04×200＝8（立方厘米）它的體積是8立方厘米。：基礎過關練一、選擇題1．一個長方體水缸，長20厘米，寬15厘米，將一塊石頭投入水中（石頭全部浸沒）水面上升2厘米，這塊石頭體積的計算算式是（

）。A． B．C． D．2．一個長方體油箱，從里面量長5分米，寬4分米，高4分米。假如每升汽油的價格為6.2元，加滿這個油箱一共要用（

）元。A．469 B．496 C．4983．把2瓶容量是2升的醬油倒入到500毫升的瓶子中，可以倒（

）瓶。A．10 B．4 C．84．有甲、乙、丙三個容器，把甲容器裝滿水倒入乙容器中，乙容器沒有倒?jié)M，把丙容器的水倒入乙容器中，丙容器的水還有剩余，問最大的容器是（

）。A．甲容器 B．乙容器 C．丙容器 D．無法推斷5．一個長方體長x厘米、寬y厘米、高z厘米，假如它的高增加3厘米，那么體積比原來增加（

）立方厘米。A．3xy B．3xz C．3yz D．3xyz二、填空題6．一個長方體玻璃魚缸長4分米，寬25厘米，魚缸內盛有38厘米深的水。將一塊假山石完全沒入魚缸中，現(xiàn)在魚缸內水深41厘米。這塊假山石的體積是()立方厘米。7．將兩塊正方體積木拼在一起拼成一個長方體（如圖），每塊積木的棱長為5厘米，拼成的長方體的體積是()立方厘米。8．餃子取“更歲交子”的意思，我國北方有過春節(jié)吃餃子的習俗。一般煮一鍋餃子大約需要4()水，吃餃子需用醋調料約10()。（填合適的容積單位）9．某品牌礦泉水瓶上標有“凈含量毫升”的字樣，表示這瓶礦泉水的標準凈含量是()升，實際每瓶最多不超過()升，最少不少于()升。10．在一個長9分米、寬8分米，高5分米的長方體木塊上截下一個體積最大的正方體木塊，剩余部分的體積是()立方分米。三、推斷題11．一個長方體的長、寬、高同時擴大2倍，則表面積和體積擴大8倍。()12．若兩個長方體的底面積和高分別相等，則它們的體積也相等。()13．把3塊棱長為2cm的正方體木塊拼成一個長方體。這個長方體的表面積是56cm2，體積是24cm3。()14．一瓶可樂的容量是2升，雪雪和爸爸、媽媽、哥哥每人喝450毫升就把這瓶可樂喝完了。()15．一種礦泉水桶最多能裝19L水，19L是指這礦泉水桶的體積。()：培優(yōu)提升練四、解答題16．要在平地上挖一個長50米、寬30米、深50厘米的長方體土坑，一共要挖出多少方的土？

17．將一塊長12分米，寬8分米的長方形鐵皮四個角各剪下一個邊長為2分米的正方形（如圖），然后焊成一個無蓋的長方體水槽。這個水槽用了多少鐵皮？水槽盛水多少升？（不計鐵皮的厚度）18．杭州亞運會跳水競賽在杭州奧體中心游泳館進行。杭州奧體中心游泳館位于杭州市蕭山區(qū)，與杭州奧體中心體育館稱“化蝶”雙館。在杭州亞運會上，中國跳水“夢之隊”在這里包攬了全部十枚金牌。工作人員現(xiàn)在給一個長50米，寬30米的長方體游泳池注水，注水速度是每小時200立方米。要使水深達到1.8米。需要多長時間？19．一個注滿水的長方體魚缸，里面有一塊體積為27立方分米的假山石。已知這個魚缸的長為4.5分米，寬為2.5分米，高為8分米。若將魚缸中的假山石取出，水位下降多少分米？20．“水立方”位于北京奧林匹克公園內，它與一墻之隔的“鳥巢”一起被稱為2008年北京奧運會兩大標志性建筑物。你知道嗎？在水立方內有一個國際標準的長方體游泳池，它的長是50米，寬是25米，深是3米。（1）在內壁沿池底向上2米處畫一條水位線。它的全長是多少米？（2）假如用瓷磚貼水池的四周和底面，貼瓷磚的面積是多少平方米？（3）假如池內水深2米，這個游泳池內的水有多少噸？（1立方米水重1噸）21．一個鐵箱長60厘米，寬50厘米，高40厘米，當水深2分米時，鐵箱內的水的容積是多少升？將6塊完全相同的石塊放入鐵箱內，石塊全部潛入水底后水深2.06分米。每塊石塊的體積是多少？22．一個長方體的空油箱，它的長、寬、高分別是5分米、4分米、3分米，向油箱中加入56升汽油，油箱加滿了嗎？假如每升汽油7.5元，則這次加油一共需要多少錢？23．一個長方體的容器（如圖），里面的水深5厘米，把這個容器蓋擰緊后豎放，使長10厘米、寬8厘米的面朝下，這時里面的水深是多少厘米？

1．A分析：由于石頭完全浸沒在水中，所以石頭的體積等于上升的水的體積，上升的水的體積等于長是20厘米，寬15厘米，高是2厘米的長方體的體積，依據(jù)長方體體積長×寬×高，計算即可。詳解：20×15×2＝300×2＝600（立方厘米）這塊石頭體積的計算算式是20×15×2。故答案為：A2．B分析：依據(jù)長方體容積公式：容積＝長×寬×高，代入數(shù)據(jù)，求出這個長方體油箱的容積，1立方分米＝1升，把立方分米換算成升，再乘6.2，即可解答。詳解：5×4×4＝20×4＝80（立方分米）80立方分米＝80升80×6.2＝496（元）一個長方體油箱，從里面量長5分米，寬4分米，高4分米。假如每升汽油的價格為6.2元，加滿這個油箱一共要用496元。故答案為：B3．C分析：1升＝1000毫升，即4毫升＝4000毫升，用4000除以500即可得出答案。詳解：4000÷500＝8（瓶）把2瓶容量是2升的醬油倒入到500毫升的瓶子中，可以倒（8）瓶。故答案為：C點睛：本題主要考查單位的換算，解答本題的關鍵在于知道二者之間的進率。4．C分析：把甲容器裝滿水倒入乙容器中，乙容器沒有倒?jié)M可知，則甲容器的容量＜乙容器的容量；把丙容器的水倒入乙容器中，丙容器的水還有剩余，則丙容器的容量＞乙容器的容量，依此比較并選擇即可。詳解：依據(jù)分析可知，甲容器的容量＜乙容器的容量＜丙容器的容量，因此最大的容器是丙容器。故答案為：C點睛：嫻熟把握對容積的生疏，是解答此題的關鍵。5．A分析：由題意可知，一個長方體長x厘米、寬y厘米、高z厘米，假如它的高增加3厘米，此時的高為（z＋3）厘米，再依據(jù)長方體的體積公式：V＝abh，據(jù)此分別求出變化前后長方體的體積，再求出它們的差即可。詳解：x×y×（z＋3）－x×y×z＝xyz＋3xy－xyz＝3xy則體積比原來增加3xy立方厘米。故答案為：A點睛：本題考查長方體的體積，熟記公式是解題的關鍵。6．3000分析：依據(jù)題意，將一塊假山石完全沒入魚缸中，魚缸里的水面由38厘米上升到41厘米，則假山石的體積等于水上升部分的體積；水上升部分是一個長4分米、寬25厘米、高（41－38）厘米的長方體，先依據(jù)進率“1分米＝10厘米”統(tǒng)一單位，再依據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，求出這塊假山石的體積。詳解：4分米＝40厘米40×25×（41－38）＝40×25×3＝1000×3＝3000（立方厘米）這塊假山石的體積是3000立方厘米。7．250分析：依據(jù)題意可知，長方體的長為（5＋5）厘米，寬和高都是5厘米，結合長方體的體積公式：，代入數(shù)據(jù)計算即可。詳解：長方體的長：5＋5＝10（厘米）長方體的體積：10×5×5＝50×5＝250（立方厘米）所以拼成的長方體的體積是250立方厘米。8．升/L毫升/mL分析：依據(jù)生活閱歷以及對容積單位和數(shù)據(jù)大小的生疏可知，一般煮一鍋餃子大約需要4升水，吃餃子需用醋調料約10毫升。詳解：依據(jù)實際狀況可知，一般煮一鍋餃子大約需要4升水，吃餃子需用醋調料約10毫升。9．0.50.5050.495分析：小單位化大單位除以進率，依據(jù)題意可知最多是（500＋5）毫升，最少是（500－5）毫升，再把它們的單位換算成升即可。詳解：（1）1升＝1000毫升，由于500÷1000＝0.5，所以500毫升＝0.5升；（2）500＋5＝505（毫升），由于505÷1000＝0.505，所以實際每瓶最多不超過0.505升；（3）500－5＝495（毫升），由于495÷1000＝0.495，所以實際每瓶最少不超過0.495升。10．235分析：依據(jù)題意，要截下一個體積最大的正方體木塊，那么這個正方體的棱長等于長方體的高，再利用長方體和正方體的體積公式，分別求出長方體木塊和正方體木塊的體積，再用長方體木塊的體積減去正方體木塊的體積，即可得解。詳解：9×8×5－5×5×5＝360－125＝235（立方分米）即剩余部分的體積是235立方分米。點睛：此題的解題關鍵是理解正方體的棱長與長方體的長寬高之間的關系，再利用長方體和正方體的體積公式，從而得解。11．×分析：設長方體的長是a，寬是b，高是h；擴大后長方體的長是2a，寬是2b，高是2h；依據(jù)長方體表面積公式：表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，長方體體積公式：體積＝長×寬×高，分別求出原來長方體的表面積和體積；擴大后長方體的表面積和體積，再用擴大后長方形體的表面積÷原來長方體的表面積；擴大后長方體的體積除以原來長方體的體積，再進行比較，即可解答。詳解：設原來長方體的長是a，寬是b，高是h；則擴大后長方體的長是2a，寬是2b，高是2h。（2a×2b＋2a×2h＋2b×2h）×2÷[（a×b＋a×h＋b×h）×2]＝（4ab＋4ah＋4bh）÷（ab＋ah＋bh）＝4×（ab＋ah＋bh）÷（ab＋ah＋bh）＝4（2a×2b×2h）÷（a×b×h）＝（4ab×2h）÷（abh）＝8abh÷abh＝8一個長方體的長、寬、高同時擴大2倍，則表面積擴大到原來的4倍，體積擴大到原來的8倍。原題干說法錯誤。故答案為：×12．√分析：底面積和高分別相等的長方體，依據(jù)長方體的體積公式可知：V＝Sh，可得出它們的體積也是相等的，據(jù)此解答。詳解：依據(jù)分析可得，若兩個長方體的底面積和高分別相等，由于它們的體積都是用底面積×高求得，所以它們的體積也是相等的，原題說法正確。故答案為：√點睛：本題考查了長方體體積公式，長方體的體積是由底面積和高的乘積共同打算的。13．√分析：把3塊棱長為2cm的正方體木塊拼成一個長方體，則該長方體的長為2×3＝6cm，寬和高都為2cm，然后依據(jù)長方體的表面積公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，長方體的體積公式：V＝abh，據(jù)此進行計算并推斷即可。詳解：2×3＝6（cm）長方體的表面積：（6×2＋6×2＋2×2）×2＝（12＋12＋4）×2＝28×2＝56（cm2）長方體體積：6×2×2＝12×2＝24（cm3）則這個長方體的表面積是56cm2，體積是24cm3。題干說法正確。故答案為：√14．×分析：雪雪和爸爸、媽媽、哥哥每人喝450毫升，喝了4個450毫升，用乘法可求出喝的毫升數(shù)，把2升乘進率1000化成2000毫升，再作比較，即可確定是否喝完了，據(jù)此解答。詳解：450×4＝1800（毫升）2升＝2000毫升1800毫升＜2000毫升所以：一瓶可樂的容量是2升，雪雪和爸爸、媽媽、哥哥每人喝450毫升沒把這瓶可樂喝完；原題說法錯誤。故答案為：×點睛：本題解答的關鍵應明確升與毫升之間的進率是1000。15．×分析：依據(jù)容積的意義，某容器所能容納別的物體的體積，叫做容器的容積；據(jù)此解答即可。詳解：一種礦泉水桶最多能裝19L水，19L是指這礦泉水桶的容積。所以原題說法錯誤。故答案為：×點睛：本題考查的目的是理解并把握容積的意義及應用。16．750方分析：先依據(jù)進率“1米＝100厘米”把50厘米換算成0.5米；然后依據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，以及進率“1立方米＝1米”，即可求出要挖出土的體積。詳解：50厘米＝0.5米50×30×0.5＝1500×0.5＝750（立方米）750立方米＝750方答：一共要挖出750方的土。17．80平方分米；64升分析：觀看圖形可知，這個無蓋的長方體的長為12－2×2＝8分米，寬是8－2×2＝4分米，高是2分米，求鐵皮的面積就是求長方體五個面的面積（除去上面），五個面的面積＝（長×高＋寬×高）×2＋長×高，據(jù)此進行計算求出鐵皮的面積；再依據(jù)長方體的容積公式：V＝abh，據(jù)此計算即可。詳解：12－2×2＝12－4＝8（分米）8－2×2＝8－4＝4（分米）（8×2＋4×2）×2＋8×4＝（16＋8）×2＋32＝24×2＋32＝48＋32＝80（平方分米）8×4×2＝32×2＝64（立方分米）64立方分米＝64升答：這個水槽用了80平方分米的鐵皮，水槽盛水64升。18．13.5小時分析：依據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，用50×30×1.8即可求出水深達到1.8米時水的體積，再除以200即可求出到達1.8米時需要的時間。詳解：50×30×1.8＝2700（立方米）

2700÷200＝13.5（小時）答：需要13.5小時。19．2.4分米分析：水位下降的體積就是假山石的體積，假山石的體積÷底面積＝水位下降的高度，據(jù)此列式解答。詳解：27÷（4.5×2.5）＝27÷11.25＝2.4（分米）答：水位下降2.4分米。20．（1）150米（2）1700平方米（3）2500噸分析：（1）水位線的全長就是長方體底面周長，依據(jù)長方形周長＝（長＋寬）×2，列式解答即可；（2）貼瓷磚的面積＝長×寬＋長×高×2＋寬×高×2，據(jù)此列式解答；（3）依據(jù)長方體體積＝長×寬×高，求出水的體積，水的體積×1立方米水的噸數(shù)＝游泳池內水的噸數(shù)，列式解答即可。詳解：（1）（米）答：它的全長是150米。（2）（平方米）答：貼瓷磚的面積是1700平方米。（3）（噸）答：這個游泳池內的水有2500噸。21．60升；0.3立方分米分析：（1）先依據(jù)進率：1分米＝10厘米，將鐵箱的長60厘米、寬50厘米分別換算成6分米、5分米；已知鐵箱內水深為2分米，求水的容積，依據(jù)長方體的體積