3.7 長(zhǎng)方體、正方體體積公式的應(yīng)用（學(xué)霸課堂筆記）-2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)同步培優(yōu)講義（人教版）

3.7長(zhǎng)方體、正方體體積公式的應(yīng)用第一部分第一部分學(xué)問(wèn)清單與平面接觸的這個(gè)面叫做底面。長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬相乘就是底面的面積。長(zhǎng)方體或正方體底面的面積叫底面積。長(zhǎng)方體或正方體的體積=底面積×高V=Sh其次部分其次部分典型例題例1：玲玲家有一個(gè)長(zhǎng)方體魚(yú)缸。從里面量，長(zhǎng)是60厘米，寬是15厘米，里面盛有水，水里養(yǎng)有一條魚(yú)，此時(shí)水面高度是20厘米，假如把這條魚(yú)撈出來(lái)，水面將下降到18厘米。這條魚(yú)的體積是（

）立方厘米。A．5400 B．1800 C．16200 D．18000答案：B分析：依據(jù)題意，下降部分水的體積就等于魚(yú)的體積。長(zhǎng)方體體積＝長(zhǎng)×寬×高，由此列式解答。詳解：60×15×（20－18）＝900×2＝1800（立方厘米）所以，這條魚(yú)的體積是1800立方厘米。故答案為：B例2：一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍后，體積是64dm3，正方體原來(lái)的體積是（

）dm3。A．8 B．16 C．32 D．128答案：A分析：正方體體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍后，體積擴(kuò)大到原來(lái)的（2×2×2）倍，已知一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，求這個(gè)數(shù)用除法，據(jù)此用現(xiàn)在的體積÷擴(kuò)大到原來(lái)的倍數(shù)＝原來(lái)的體積。詳解：64÷（2×2×2）＝64÷8＝8（dm3）正方體原來(lái)的體積是8dm3。故答案為：A例3：給一個(gè)棱長(zhǎng)2厘米的正方體包裝盒四周都貼上商標(biāo)，貼商標(biāo)的面積是()平方厘米，這個(gè)正方體的體積是()立方厘米。答案：168分析：正方體的特征：6個(gè)面都是完全一樣的正方形。依據(jù)題意，假如在正方體包裝盒四周都貼上商標(biāo)，那么貼商標(biāo)的面積等于正方體4個(gè)面的面積之和；依據(jù)正方形的面積公式S＝a2，求出一個(gè)面的面積，再乘4，即可求出貼商標(biāo)的面積。依據(jù)正方體的體積公式V＝a3，即可求出這個(gè)正方體的體積。詳解：2×2×4＝16（平方厘米）2×2×2＝8（立方厘米）貼商標(biāo)的面積是16平方厘米，這個(gè)正方體的體積是8立方厘米。例4：一根長(zhǎng)方體的木料長(zhǎng)200厘米，橫截面積是0.04平方厘米，它的體積是()立方厘米。答案：8分析：橫截面積＝寬×高，依據(jù)長(zhǎng)方體體積＝橫截面×長(zhǎng)，列式計(jì)算即可。詳解：0.04×200＝8（立方厘米）它的體積是8立方厘米。：基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練一、選擇題1．一個(gè)長(zhǎng)方體水缸，長(zhǎng)20厘米，寬15厘米，將一塊石頭投入水中（石頭全部浸沒(méi)）水面上升2厘米，這塊石頭體積的計(jì)算算式是（

）。A． B．C． D．2．一個(gè)長(zhǎng)方體油箱，從里面量長(zhǎng)5分米，寬4分米，高4分米。假如每升汽油的價(jià)格為6.2元，加滿這個(gè)油箱一共要用（

）元。A．469 B．496 C．4983．把2瓶容量是2升的醬油倒入到500毫升的瓶子中，可以倒（

）瓶。A．10 B．4 C．84．有甲、乙、丙三個(gè)容器，把甲容器裝滿水倒入乙容器中，乙容器沒(méi)有倒?jié)M，把丙容器的水倒入乙容器中，丙容器的水還有剩余，問(wèn)最大的容器是（

）。A．甲容器 B．乙容器 C．丙容器 D．無(wú)法推斷5．一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)x厘米、寬y厘米、高z厘米，假如它的高增加3厘米，那么體積比原來(lái)增加（

）立方厘米。A．3xy B．3xz C．3yz D．3xyz二、填空題6．一個(gè)長(zhǎng)方體玻璃魚(yú)缸長(zhǎng)4分米，寬25厘米，魚(yú)缸內(nèi)盛有38厘米深的水。將一塊假山石完全沒(méi)入魚(yú)缸中，現(xiàn)在魚(yú)缸內(nèi)水深41厘米。這塊假山石的體積是()立方厘米。7．將兩塊正方體積木拼在一起拼成一個(gè)長(zhǎng)方體（如圖），每塊積木的棱長(zhǎng)為5厘米，拼成的長(zhǎng)方體的體積是()立方厘米。8．餃子取“更歲交子”的意思，我國(guó)北方有過(guò)春節(jié)吃餃子的習(xí)俗。一般煮一鍋餃子大約需要4()水，吃餃子需用醋調(diào)料約10()。（填合適的容積單位）9．某品牌礦泉水瓶上標(biāo)有“凈含量毫升”的字樣，表示這瓶礦泉水的標(biāo)準(zhǔn)凈含量是()升，實(shí)際每瓶最多不超過(guò)()升，最少不少于()升。10．在一個(gè)長(zhǎng)9分米、寬8分米，高5分米的長(zhǎng)方體木塊上截下一個(gè)體積最大的正方體木塊，剩余部分的體積是()立方分米。三、推斷題11．一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高同時(shí)擴(kuò)大2倍，則表面積和體積擴(kuò)大8倍。()12．若兩個(gè)長(zhǎng)方體的底面積和高分別相等，則它們的體積也相等。()13．把3塊棱長(zhǎng)為2cm的正方體木塊拼成一個(gè)長(zhǎng)方體。這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是56cm2，體積是24cm3。()14．一瓶可樂(lè)的容量是2升，雪雪和爸爸、媽媽、哥哥每人喝450毫升就把這瓶可樂(lè)喝完了。()15．一種礦泉水桶最多能裝19L水，19L是指這礦泉水桶的體積。()：培優(yōu)提升練四、解答題16．要在平地上挖一個(gè)長(zhǎng)50米、寬30米、深50厘米的長(zhǎng)方體土坑，一共要挖出多少方的土？

17．將一塊長(zhǎng)12分米，寬8分米的長(zhǎng)方形鐵皮四個(gè)角各剪下一個(gè)邊長(zhǎng)為2分米的正方形（如圖），然后焊成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體水槽。這個(gè)水槽用了多少鐵皮？水槽盛水多少升？（不計(jì)鐵皮的厚度）18．杭州亞運(yùn)會(huì)跳水競(jìng)賽在杭州奧體中心游泳館進(jìn)行。杭州奧體中心游泳館位于杭州市蕭山區(qū)，與杭州奧體中心體育館稱“化蝶”雙館。在杭州亞運(yùn)會(huì)上，中國(guó)跳水“夢(mèng)之隊(duì)”在這里包攬了全部十枚金牌。工作人員現(xiàn)在給一個(gè)長(zhǎng)50米，寬30米的長(zhǎng)方體游泳池注水，注水速度是每小時(shí)200立方米。要使水深達(dá)到1.8米。需要多長(zhǎng)時(shí)間？19．一個(gè)注滿水的長(zhǎng)方體魚(yú)缸，里面有一塊體積為27立方分米的假山石。已知這個(gè)魚(yú)缸的長(zhǎng)為4.5分米，寬為2.5分米，高為8分米。若將魚(yú)缸中的假山石取出，水位下降多少分米？20．“水立方”位于北京奧林匹克公園內(nèi)，它與一墻之隔的“鳥(niǎo)巢”一起被稱為2008年北京奧運(yùn)會(huì)兩大標(biāo)志性建筑物。你知道嗎？在水立方內(nèi)有一個(gè)國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)的長(zhǎng)方體游泳池，它的長(zhǎng)是50米，寬是25米，深是3米。（1）在內(nèi)壁沿池底向上2米處畫一條水位線。它的全長(zhǎng)是多少米？（2）假如用瓷磚貼水池的四周和底面，貼瓷磚的面積是多少平方米？（3）假如池內(nèi)水深2米，這個(gè)游泳池內(nèi)的水有多少噸？（1立方米水重1噸）21．一個(gè)鐵箱長(zhǎng)60厘米，寬50厘米，高40厘米，當(dāng)水深2分米時(shí)，鐵箱內(nèi)的水的容積是多少升？將6塊完全相同的石塊放入鐵箱內(nèi)，石塊全部潛入水底后水深2.06分米。每塊石塊的體積是多少？22．一個(gè)長(zhǎng)方體的空油箱，它的長(zhǎng)、寬、高分別是5分米、4分米、3分米，向油箱中加入56升汽油，油箱加滿了嗎？假如每升汽油7.5元，則這次加油一共需要多少錢？23．一個(gè)長(zhǎng)方體的容器（如圖），里面的水深5厘米，把這個(gè)容器蓋擰緊后豎放，使長(zhǎng)10厘米、寬8厘米的面朝下，這時(shí)里面的水深是多少厘米？

1．A分析：由于石頭完全浸沒(méi)在水中，所以石頭的體積等于上升的水的體積，上升的水的體積等于長(zhǎng)是20厘米，寬15厘米，高是2厘米的長(zhǎng)方體的體積，依據(jù)長(zhǎng)方體體積長(zhǎng)×寬×高，計(jì)算即可。詳解：20×15×2＝300×2＝600（立方厘米）這塊石頭體積的計(jì)算算式是20×15×2。故答案為：A2．B分析：依據(jù)長(zhǎng)方體容積公式：容積＝長(zhǎng)×寬×高，代入數(shù)據(jù)，求出這個(gè)長(zhǎng)方體油箱的容積，1立方分米＝1升，把立方分米換算成升，再乘6.2，即可解答。詳解：5×4×4＝20×4＝80（立方分米）80立方分米＝80升80×6.2＝496（元）一個(gè)長(zhǎng)方體油箱，從里面量長(zhǎng)5分米，寬4分米，高4分米。假如每升汽油的價(jià)格為6.2元，加滿這個(gè)油箱一共要用496元。故答案為：B3．C分析：1升＝1000毫升，即4毫升＝4000毫升，用4000除以500即可得出答案。詳解：4000÷500＝8（瓶）把2瓶容量是2升的醬油倒入到500毫升的瓶子中，可以倒（8）瓶。故答案為：C點(diǎn)睛：本題主要考查單位的換算，解答本題的關(guān)鍵在于知道二者之間的進(jìn)率。4．C分析：把甲容器裝滿水倒入乙容器中，乙容器沒(méi)有倒?jié)M可知，則甲容器的容量＜乙容器的容量；把丙容器的水倒入乙容器中，丙容器的水還有剩余，則丙容器的容量＞乙容器的容量，依此比較并選擇即可。詳解：依據(jù)分析可知，甲容器的容量＜乙容器的容量＜丙容器的容量，因此最大的容器是丙容器。故答案為：C點(diǎn)睛：嫻熟把握對(duì)容積的生疏，是解答此題的關(guān)鍵。5．A分析：由題意可知，一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)x厘米、寬y厘米、高z厘米，假如它的高增加3厘米，此時(shí)的高為（z＋3）厘米，再依據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：V＝abh，據(jù)此分別求出變化前后長(zhǎng)方體的體積，再求出它們的差即可。詳解：x×y×（z＋3）－x×y×z＝xyz＋3xy－xyz＝3xy則體積比原來(lái)增加3xy立方厘米。故答案為：A點(diǎn)睛：本題考查長(zhǎng)方體的體積，熟記公式是解題的關(guān)鍵。6．3000分析：依據(jù)題意，將一塊假山石完全沒(méi)入魚(yú)缸中，魚(yú)缸里的水面由38厘米上升到41厘米，則假山石的體積等于水上升部分的體積；水上升部分是一個(gè)長(zhǎng)4分米、寬25厘米、高（41－38）厘米的長(zhǎng)方體，先依據(jù)進(jìn)率“1分米＝10厘米”統(tǒng)一單位，再依據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，求出這塊假山石的體積。詳解：4分米＝40厘米40×25×（41－38）＝40×25×3＝1000×3＝3000（立方厘米）這塊假山石的體積是3000立方厘米。7．250分析：依據(jù)題意可知，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為（5＋5）厘米，寬和高都是5厘米，結(jié)合長(zhǎng)方體的體積公式：，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可。詳解：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)：5＋5＝10（厘米）長(zhǎng)方體的體積：10×5×5＝50×5＝250（立方厘米）所以拼成的長(zhǎng)方體的體積是250立方厘米。8．升/L毫升/mL分析：依據(jù)生活閱歷以及對(duì)容積單位和數(shù)據(jù)大小的生疏可知，一般煮一鍋餃子大約需要4升水，吃餃子需用醋調(diào)料約10毫升。詳解：依據(jù)實(shí)際狀況可知，一般煮一鍋餃子大約需要4升水，吃餃子需用醋調(diào)料約10毫升。9．0.50.5050.495分析：小單位化大單位除以進(jìn)率，依據(jù)題意可知最多是（500＋5）毫升，最少是（500－5）毫升，再把它們的單位換算成升即可。詳解：（1）1升＝1000毫升，由于500÷1000＝0.5，所以500毫升＝0.5升；（2）500＋5＝505（毫升），由于505÷1000＝0.505，所以實(shí)際每瓶最多不超過(guò)0.505升；（3）500－5＝495（毫升），由于495÷1000＝0.495，所以實(shí)際每瓶最少不超過(guò)0.495升。10．235分析：依據(jù)題意，要截下一個(gè)體積最大的正方體木塊，那么這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)等于長(zhǎng)方體的高，再利用長(zhǎng)方體和正方體的體積公式，分別求出長(zhǎng)方體木塊和正方體木塊的體積，再用長(zhǎng)方體木塊的體積減去正方體木塊的體積，即可得解。詳解：9×8×5－5×5×5＝360－125＝235（立方分米）即剩余部分的體積是235立方分米。點(diǎn)睛：此題的解題關(guān)鍵是理解正方體的棱長(zhǎng)與長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高之間的關(guān)系，再利用長(zhǎng)方體和正方體的體積公式，從而得解。11．×分析：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是a，寬是b，高是h；擴(kuò)大后長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是2a，寬是2b，高是2h；依據(jù)長(zhǎng)方體表面積公式：表面積＝（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2，長(zhǎng)方體體積公式：體積＝長(zhǎng)×寬×高，分別求出原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積和體積；擴(kuò)大后長(zhǎng)方體的表面積和體積，再用擴(kuò)大后長(zhǎng)方形體的表面積÷原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積；擴(kuò)大后長(zhǎng)方體的體積除以原來(lái)長(zhǎng)方體的體積，再進(jìn)行比較，即可解答。詳解：設(shè)原來(lái)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是a，寬是b，高是h；則擴(kuò)大后長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是2a，寬是2b，高是2h。（2a×2b＋2a×2h＋2b×2h）×2÷[（a×b＋a×h＋b×h）×2]＝（4ab＋4ah＋4bh）÷（ab＋ah＋bh）＝4×（ab＋ah＋bh）÷（ab＋ah＋bh）＝4（2a×2b×2h）÷（a×b×h）＝（4ab×2h）÷（abh）＝8abh÷abh＝8一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高同時(shí)擴(kuò)大2倍，則表面積擴(kuò)大到原來(lái)的4倍，體積擴(kuò)大到原來(lái)的8倍。原題干說(shuō)法錯(cuò)誤。故答案為：×12．√分析：底面積和高分別相等的長(zhǎng)方體，依據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式可知：V＝Sh，可得出它們的體積也是相等的，據(jù)此解答。詳解：依據(jù)分析可得，若兩個(gè)長(zhǎng)方體的底面積和高分別相等，由于它們的體積都是用底面積×高求得，所以它們的體積也是相等的，原題說(shuō)法正確。故答案為：√點(diǎn)睛：本題考查了長(zhǎng)方體體積公式，長(zhǎng)方體的體積是由底面積和高的乘積共同打算的。13．√分析：把3塊棱長(zhǎng)為2cm的正方體木塊拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，則該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2×3＝6cm，寬和高都為2cm，然后依據(jù)長(zhǎng)方體的表面積公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，長(zhǎng)方體的體積公式：V＝abh，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算并推斷即可。詳解：2×3＝6（cm）長(zhǎng)方體的表面積：（6×2＋6×2＋2×2）×2＝（12＋12＋4）×2＝28×2＝56（cm2）長(zhǎng)方體體積：6×2×2＝12×2＝24（cm3）則這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是56cm2，體積是24cm3。題干說(shuō)法正確。故答案為：√14．×分析：雪雪和爸爸、媽媽、哥哥每人喝450毫升，喝了4個(gè)450毫升，用乘法可求出喝的毫升數(shù)，把2升乘進(jìn)率1000化成2000毫升，再作比較，即可確定是否喝完了，據(jù)此解答。詳解：450×4＝1800（毫升）2升＝2000毫升1800毫升＜2000毫升所以：一瓶可樂(lè)的容量是2升，雪雪和爸爸、媽媽、哥哥每人喝450毫升沒(méi)把這瓶可樂(lè)喝完；原題說(shuō)法錯(cuò)誤。故答案為：×點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵應(yīng)明確升與毫升之間的進(jìn)率是1000。15．×分析：依據(jù)容積的意義，某容器所能容納別的物體的體積，叫做容器的容積；據(jù)此解答即可。詳解：一種礦泉水桶最多能裝19L水，19L是指這礦泉水桶的容積。所以原題說(shuō)法錯(cuò)誤。故答案為：×點(diǎn)睛：本題考查的目的是理解并把握容積的意義及應(yīng)用。16．750方分析：先依據(jù)進(jìn)率“1米＝100厘米”把50厘米換算成0.5米；然后依據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，以及進(jìn)率“1立方米＝1米”，即可求出要挖出土的體積。詳解：50厘米＝0.5米50×30×0.5＝1500×0.5＝750（立方米）750立方米＝750方答：一共要挖出750方的土。17．80平方分米；64升分析：觀看圖形可知，這個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為12－2×2＝8分米，寬是8－2×2＝4分米，高是2分米，求鐵皮的面積就是求長(zhǎng)方體五個(gè)面的面積（除去上面），五個(gè)面的面積＝（長(zhǎng)×高＋寬×高）×2＋長(zhǎng)×高，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算求出鐵皮的面積；再依據(jù)長(zhǎng)方體的容積公式：V＝abh，據(jù)此計(jì)算即可。詳解：12－2×2＝12－4＝8（分米）8－2×2＝8－4＝4（分米）（8×2＋4×2）×2＋8×4＝（16＋8）×2＋32＝24×2＋32＝48＋32＝80（平方分米）8×4×2＝32×2＝64（立方分米）64立方分米＝64升答：這個(gè)水槽用了80平方分米的鐵皮，水槽盛水64升。18．13.5小時(shí)分析：依據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，用50×30×1.8即可求出水深達(dá)到1.8米時(shí)水的體積，再除以200即可求出到達(dá)1.8米時(shí)需要的時(shí)間。詳解：50×30×1.8＝2700（立方米）

2700÷200＝13.5（小時(shí)）答：需要13.5小時(shí)。19．2.4分米分析：水位下降的體積就是假山石的體積，假山石的體積÷底面積＝水位下降的高度，據(jù)此列式解答。詳解：27÷（4.5×2.5）＝27÷11.25＝2.4（分米）答：水位下降2.4分米。20．（1）150米（2）1700平方米（3）2500噸分析：（1）水位線的全長(zhǎng)就是長(zhǎng)方體底面周長(zhǎng)，依據(jù)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)＝（長(zhǎng)＋寬）×2，列式解答即可；（2）貼瓷磚的面積＝長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高×2＋寬×高×2，據(jù)此列式解答；（3）依據(jù)長(zhǎng)方體體積＝長(zhǎng)×寬×高，求出水的體積，水的體積×1立方米水的噸數(shù)＝游泳池內(nèi)水的噸數(shù)，列式解答即可。詳解：（1）（米）答：它的全長(zhǎng)是150米。（2）（平方米）答：貼瓷磚的面積是1700平方米。（3）（噸）答：這個(gè)游泳池內(nèi)的水有2500噸。21．60升；0.3立方分米分析：（1）先依據(jù)進(jìn)率：1分米＝10厘米，將鐵箱的長(zhǎng)60厘米、寬50厘米分別換算成6分米、5分米；已知鐵箱內(nèi)水深為2分米，求水的容積，依據(jù)長(zhǎng)方體的體積