祖暅原理在體積推導(dǎo)中的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

教學(xué)設(shè)計(jì)教師姓名陳詩韻名稱《祖暅原理在體積推導(dǎo)中的應(yīng)用》知識(shí)點(diǎn)來源學(xué)科：數(shù)學(xué)□年級(jí)：高三□教材版本：人教A版□所屬章節(jié)：必修第二冊第八章第三節(jié)、選擇性必修第一冊第三章第二節(jié)錄制工具和方法CamtasiaStudio錄屏PPT設(shè)計(jì)思路《祖暅原理在體積推導(dǎo)中的應(yīng)用》先通過生活實(shí)例（一摞書本不同堆放方式）激發(fā)學(xué)生對祖暅原理的思考，進(jìn)而介紹祖暅原理；再者通過球體體積公式的推導(dǎo)再次體會(huì)原理的應(yīng)用，最后通過高考模擬題加深學(xué)生對祖暅原理在求解旋轉(zhuǎn)體體積時(shí)的應(yīng)用理解。教學(xué)設(shè)計(jì)內(nèi)容教學(xué)目的了解球的表面積與體積公式的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和思維能力；通過作截面，尋找旋轉(zhuǎn)體類的大小及等量關(guān)系，深入理解祖暅原理的應(yīng)用.教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：1.理解祖暅原理2.理解祖暅原理推導(dǎo)球的體積公式；3.掌握祖暅原理推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)體的體積.難點(diǎn)：祖暅原理的應(yīng)用教學(xué)過程一、祖暅原理的引入及介紹引導(dǎo)觀察：一沓書在改變其疊放形狀的時(shí)候，體積是否發(fā)生變化導(dǎo)入：【祖暅原理】夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截面面積都相等，那么兩個(gè)幾何體的體積一定相等。生活實(shí)例原理化：由生活實(shí)例過渡到抽象原理，體會(huì)并明白祖暅原理的本質(zhì)，是任意高度的截面面積相等?！驹O(shè)計(jì)意圖】由生活實(shí)例感受祖暅原理的本質(zhì)，通過祖暅原理的引入，進(jìn)一步為后續(xù)體積公式的推導(dǎo)作鋪墊。祖暅原理的應(yīng)用——球體體積推導(dǎo)引發(fā)猜想：高等于底面半徑的三種旋轉(zhuǎn)體的體積對比，已知，，猜想。進(jìn)一步提出：三者之間是否存在等量關(guān)系？學(xué)生猜想：等量關(guān)系：提出問題1：根據(jù)猜想的，半球和圓柱挖掉一個(gè)同底圓錐截面面積是否相同？預(yù)設(shè)故障：圓柱挖掉一個(gè)同底圓錐的截面面積直接用大圓面積減去小圓面積；但難度在于半球截面面積的求解，需要提示球體的任意一個(gè)截面形狀都是圓。解決推導(dǎo)難點(diǎn)：運(yùn)用勾股定理，半球截面的半徑為；利用相似三角形，得到小圓半徑為h，大圓半徑為R，圓環(huán)面積為.回答問題1：半球和圓柱挖掉一個(gè)同底圓錐截面面積均為.跟進(jìn)問題2：由任意截面面積相同，是否可以運(yùn)用祖暅定理？半球的體積如何計(jì)算？回答問題2：由任意截面面積相同，可以運(yùn)用祖暅定理。且有，則.跟進(jìn)問題：由任意截面面積相同，是否可以運(yùn)用祖暅定理？半球的體積如何計(jì)算？總結(jié)公式：球的體積公式為，歸納公式特點(diǎn).【設(shè)計(jì)意圖】由猜想的三者間的等量關(guān)系，引入祖暅原理的應(yīng)用，通過構(gòu)造圓柱挖掉一個(gè)同底圓錐的幾何體，達(dá)成與半球任意高度截面相同的目的，從而對公式進(jìn)行合理推導(dǎo)。祖暅原理的應(yīng)用——高考解題【2022深二模16題】祖窯是我國南北朝時(shí)期偉大的科學(xué)家，他于5世紀(jì)末提出了“冪勢既同，則積不容異”的體積計(jì)算原理，即“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”.現(xiàn)已知直線y=±2與雙曲線x2y2=1及其漸近線圍成的平面圖形G如圖所示．若將圖形G被直線y=t（2≤t≤2）所截得的兩條線段繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成的旋轉(zhuǎn)面的面積S=_______；若將圖形G繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成的旋轉(zhuǎn)體的體積V=_________.圖1圖2解題思路：將已知直線y=±2與雙曲線x2y2=1及其漸近線圍成的平面圖形G具體化，如圖2所示；計(jì)算得到雙曲線x2y2=1及其漸近線被y=t所截得的線段端點(diǎn)坐標(biāo)，如圖3所示；圖3線段繞y軸旋轉(zhuǎn)得到環(huán)形，計(jì)算環(huán)形面積:引導(dǎo)學(xué)生觀察y=t隨著t的改變時(shí)，截面形狀不斷變化，但截面面積為定值。5.由祖暅原理可得，該旋