專題12解直角三角形（全章分層練習(xí)）（基礎(chǔ)練）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（浙教版）

專題1.2解直角三角形（全章分層練習(xí)）（基礎(chǔ)練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2019·天津·統(tǒng)考一模）化簡（

）A． B． C． D．2．（2023上·山東濰坊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若銳角滿足，則（）A． B． C． D．3．（2019·浙江杭州·九年級(jí)）若為銳角，且，則（

）A．0°<<30° B．30°<<45°C．45°<<60° D．60°<<90°4．（2018下·九年級(jí)單元測試）等腰三角形的一腰長為6cm，底邊長為6cm，則其底角為（）A．30° B．60° C．90° D．120°5．（2022下·海南?？凇ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）小華將一張紙對(duì)折后做成的紙飛機(jī)如圖1，紙飛機(jī)機(jī)尾的橫截是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，其示意圖如圖2，若，，則的長為（）A． B． C． D．6．（2018上·海南?？凇ぞ拍昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，則的面積為（）A．6 B．12 C．12 D．247．（2015上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，某游樂場有一個(gè)長的蹺蹺板，的支撐柱垂直地面于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，當(dāng)?shù)囊欢酥貢r(shí)，，則支撐柱的長可表示為（

）A． B． C． D．8．（2019上·甘肅張掖·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知為銳角，且，則等于（

）A． B． C． D．9．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．如圖，小明把矩形沿折疊，使點(diǎn)C落在邊的點(diǎn)F處，其中，且，則矩形的面積為（

）A．80 B．64 C．36 D．1810．（2023上·河北石家莊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）汽車在沿坡比為的斜坡上前進(jìn)150米，則汽車上升的高度為（

）A．75米 B．米 C．米 D．150米填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2016上·江蘇鹽城·九年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果．12．（2020上·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，，，，則．13．（2022上·山東泰安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）銳角中，，則的形狀是.14．（2022下·九年級(jí)單元測試）如圖，在中，．

15．（2022上·北京昌平·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，海中有個(gè)小島A，一艘輪船由西向東航行，在點(diǎn)B處測得小島A位于它的東北方向，此時(shí)輪船與小島相距20海里，繼續(xù)航行至點(diǎn)D處，測得小島A在它的北偏西60°方向，此時(shí)輪船與小島的距離為海里．16．（2023·河南信陽·?？既＃┮阎c(diǎn)，，，平分，交于點(diǎn)E，則直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是．17．（2019上·江蘇無錫·九年級(jí)無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，某活動(dòng)小組利用無人機(jī)航拍校園，已知無人機(jī)的飛行速度為，從A處沿水平方向飛行至B處需，同時(shí)在地面C處分別測得A處的仰角為，B處的仰角為．則這架無人機(jī)的飛行高度大約是（，結(jié)果保留整數(shù)）18．（2023上·安徽滁州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A在軸的正半軸上，拋物線與直線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，則的值為．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023·四川成都·校考三模）（1）計(jì)算： （2）化簡：．20．（8分）（2022·黑龍江哈爾濱·?？寄M預(yù)測）先化簡，再求代數(shù)式（）÷的值，其中.21．（10分）（2023上·河南南陽·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，，是邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)，，，求的長．22．（10分）（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖：已知一次函數(shù)圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B．，．

（1）求直線的解析式；（2）若點(diǎn)C在x軸上方的直線上，的面積為15，求．23．（10分）（2019下·全國·九年級(jí)統(tǒng)考期末）我南海巡邏船接到有人落水求救信號(hào)，如圖，巡邏船觀測到，同時(shí)，巡邏船觀測到，，兩巡邏船相距海里，求此時(shí)巡邏船與落水人之間的距離是多少海里？（結(jié)果精確到海里．參考數(shù)據(jù)：，，，）24．（12分）（2017·安徽六安·統(tǒng)考一模）綜合與實(shí)踐[問題情境]學(xué)習(xí)完《解直角三角形的應(yīng)用》后，同學(xué)們對(duì)如何建立解直角三角形的模型測量物體的實(shí)際高度產(chǎn)生了濃厚的興趣，數(shù)學(xué)老師決定開展一次主題為《測量學(xué)校旗桿高度》的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，并為各小組準(zhǔn)備了卷尺、測角儀等工具，要求各小組建立測高模型并測量學(xué)校旗桿的高度．[問題探究]第一小組的同學(xué)經(jīng)過討論，制定出了如下測量實(shí)施方案：第一步，建立測高模型，畫出測量示意圖（如圖1），明確需要測量的數(shù)據(jù)和測量方法：用卷尺測量測角儀的高度和測角儀底部與旗桿底部之間的距離，用測角儀測量旗桿頂端的仰角；第二步，進(jìn)行組員分工，制作測量數(shù)據(jù)記錄表；第三步，選擇不同的位置測量三次，依次記錄測量數(shù)據(jù)；第四步，整理數(shù)據(jù)，計(jì)算旗桿的高，撰寫研究報(bào)告．如表是該組同學(xué)研究報(bào)告中的數(shù)據(jù)記錄和計(jì)算結(jié)果：測量組別的長（米）的長（米）仰角計(jì)算的高（米）位置1位置2位置3平均值研究結(jié)論：旗桿的高為米（1）表中的值為；該小組選擇不同的位置測量三次，再以三次測量計(jì)算的旗桿高度的平均數(shù)作為研究結(jié)論，這樣做的目的是．（2）該測量模型中，若，仰角為，用含的代數(shù)式表示旗桿的高度為．[拓展應(yīng)用]（3）第二小組同學(xué)設(shè)計(jì)的是另外一種測量方案，他們畫出的測量示意圖如圖2，測量時(shí)，固定測角儀的高度為m，先在點(diǎn)C處測得旗桿頂端B的仰角，然后朝旗桿方向前進(jìn)m到達(dá)點(diǎn)H處，再次測得旗桿頂端B的仰角，請(qǐng)你幫他們求出旗桿的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．參考答案：1．A【分析】利用＝a（a≥0）、tan30°=計(jì)算即可．解：∵tan30°=＜1，∴原式=1tan30°=．故答案選A.【點(diǎn)撥】本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計(jì)算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握二次根式等考點(diǎn)的運(yùn)算．2．C【分析】先根據(jù)得到，則．解：∵，∴，∴，故選C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角度，求特殊角的三角函數(shù)值，熟知30度和60度的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．3．D【分析】首先根據(jù)銳角余弦函數(shù)值，隨角度的增大而減小，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，確定在哪兩個(gè)特殊值之間即可．解：∵cos60°=，cos90°=0，∵0＜＜，∴cos90°＜cosA＜cos60°，∴60°＜A＜90°．故選D．【點(diǎn)撥】本題考查了余弦函數(shù)的增減性，熟記特殊角的三角函數(shù)值，了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．4．A解：如圖，作AD⊥BC于D點(diǎn)，則BD=DC=．∵AC=6，∴cos∠C=，∴∠C=30°．故選A．5．B【分析】作于點(diǎn)F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后利用銳角三角函數(shù)即可解決問題解：作于點(diǎn)F，如圖，∵，，∴，，∴，∴，故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形．6．C【分析】過A做的高，然后根據(jù)的三角函數(shù)值求出高，進(jìn)而求出面積。解：過A點(diǎn)作AE⊥BC，垂足為E，，∴，在中，，∵，∴，∴平行四邊形的面積，．故選C．【點(diǎn)撥】本題考查了利用三角函數(shù)求線段長度，構(gòu)造直角三角形，并掌握特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．7．C【分析】根據(jù)題意得出，在中，，，即可求解．解：∵為的中點(diǎn)，，∴，在中，，∴，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．8．B【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案．解：由，得：∴α10°=45°，∴α=55°，故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．9．A【分析】首先根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，然后根據(jù)同角的余角相等得到，進(jìn)而得到，設(shè)，，則，，根據(jù)定理求出，，最后利用矩形面積公式求解即可．解：∵矩形沿折疊，使點(diǎn)C落在邊的點(diǎn)F處，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴設(shè)，，則，，∴，∵，∴，∵，，∴，即，∴解得：，負(fù)值舍去，∴，，∴矩形的面積．故選：A．【點(diǎn)撥】此題考查了矩形和折疊問題，勾股定理，三角形函數(shù)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．10．A【分析】首先根據(jù)題意作圖，然后根據(jù)汽車在沿坡比為的斜坡上前進(jìn)，即可求出∠B的度數(shù)，再根據(jù)在直角三角形中，30°所對(duì)的斜邊等于直角邊的2倍即可得到答案．解：根據(jù)題意作圖，∵汽車在沿坡比為的斜坡上前進(jìn)，∴AE∶AB=，∴，∴∠B=30°，在直角三角形ABE中，（米），故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了坡角坡度問題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有含30°角的直角三角形的性質(zhì)、特殊三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是能正確畫出輔助圖．11．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值及二次根式的性質(zhì)化簡計(jì)算即可.解：原式=

=故答案為：【點(diǎn)撥】本題是一道基礎(chǔ)計(jì)算題，主要考查了特殊角的三角函數(shù)值及二次根式加減，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.12．10【分析】根據(jù)正弦的定義列式計(jì)算，即可得到答案．解：如圖，∵，，∴sinA=，即，∴AB=10．故答案為：10．【點(diǎn)撥】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角∠A的對(duì)邊BC與斜邊AB的比叫做∠A的正弦是解題的關(guān)鍵．13．等邊三角形【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)判斷和的大小，再斷三角形的形狀即可．解：∵，∴，，又∵，，∴，，∴，∴，∴的形狀是等邊三角形，故答案為：等邊三角形．【點(diǎn)撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值和等邊三角形的判定，根據(jù)已知角的三角函數(shù)值判斷出角的大小是解答本題的關(guān)鍵．14．【分析】先根據(jù)，設(shè)出關(guān)于兩邊的代數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)勾股定理求出第三邊長的表達(dá)式即可推出的值．解：∵，，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．15．20【分析】過點(diǎn)A作AC⊥BD，根據(jù)方位角及三角函數(shù)即可求解．解：如圖，過點(diǎn)A作AC⊥BD，依題意可得∠ABC=45°∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20（海里）∴AC=BC=ABsin45°=10（海里）在Rt△ACD中，∠ADC=90°60°=30°∴AD=2AC=20（海里）故答案為：20．【點(diǎn)撥】此題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知特殊角的三角函數(shù)值．16．/【分析】先求E點(diǎn)坐標(biāo)，再求直線解析式．解：根據(jù)勾股定理可得：，，，∴，∴．∵平分，∴．

∵，∴，則，∴．設(shè)直線的解析式是，根據(jù)題意得：，解得：，則直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)的意義以及與圖形相結(jié)合的具體運(yùn)用．要把點(diǎn)的坐標(biāo)有機(jī)的和圖形結(jié)合起來求解．17．20【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作水平線的垂線，垂足為點(diǎn)，先解直角三角形求出的長，從而可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出的長即可得．解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作水平線的垂線，垂足為點(diǎn)，由題意得：，，，在中，，，在中，，，在中，，即這架無人機(jī)的飛行高度大約是，故答案為：20．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．18．【分析】把代入求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)即可求出結(jié)果．解：當(dāng)時(shí)，，解得，舍去，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了求一個(gè)角的正切值，一次二次函數(shù)值求自變量的值，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．19．（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)、零指數(shù)冪、絕對(duì)值、二次根式的加減的運(yùn)算法則求解即可．（2）根據(jù)完全平方公式、分式的運(yùn)算性質(zhì)求解即可．解：（1）原式．（2）原式．【點(diǎn)撥】本題主要考查銳角三角函數(shù)、零指數(shù)冪、絕對(duì)值、二次根式的加減、分式的混合運(yùn)算等，牢記分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．，【分析】先通分計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，將除法變成乘法，再約分化成最簡，然后計(jì)算x的值，最后代入計(jì)算即可．解：．∵，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了分式的化簡求值，理解分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．21．【分析】根據(jù)題意得，根據(jù)，求得，在在中，，得出，進(jìn)而即可求解．解：∵在中，，，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．22．（1）；（2）【分析】（1）利用求出，再利用待定系數(shù)法求的解析式；（2）過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)H，根據(jù)的面積求出，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出，則．（1）解：，點(diǎn)B在y軸正半軸上，，，，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，，設(shè)直線的解析式為，將，代入，得：，解得，直線的解析式為，（2）解：如圖，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)H，則，

，，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為5，點(diǎn)C在直線上，將代入，得，解得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，即，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)造直角三角形．23．52海里【分析】過點(diǎn)作，垂足為．設(shè)海里，在中，可得AC=，在中，可得，再根據(jù)，可解得x的值，最后根據(jù)可得出答案．解：如圖，過點(diǎn)作，垂足為，設(shè)海里．在中，，在中，，，，解得．海里，（海里）．巡邏船與落水人的距離約為海里．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，找到合適的直角三角形是解題的關(guān)鍵．24．（1）；減小誤差；（2）；（3）旗桿的高度為m【分析】（1）表中n的值為三次測量的平均值：；該小組選擇不同的位置測量三次，再以