專題321雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程-

專題3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程【基本知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：雙曲線的定義一般地，把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．【特別注意】(1)常數(shù)要小于兩個(gè)定點(diǎn)的距離．(2)如果沒有絕對(duì)值，點(diǎn)的軌跡表示雙曲線的一支．(3)當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條方向相反的射線(包括端點(diǎn))．(4)當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在．(5)當(dāng)2a＝0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段F1F2的垂直平分線．知識(shí)點(diǎn)2：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1_(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1_(a>0，b>0)焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系b2＝c2－a2注意點(diǎn)：(1)若x2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在x軸上；若y2項(xiàng)的系數(shù)為正，那么焦點(diǎn)在y軸上．(2)a與b沒有大小關(guān)系．(3)a，b，c的關(guān)系滿足c2＝a2＋b2.知識(shí)點(diǎn)3：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，若焦點(diǎn)位置不確定，可按焦點(diǎn)在x軸和y軸上兩種情況討論求解．或設(shè)其方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)，通過方程組確定m，n.(2)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦點(diǎn)的雙曲線的方程為eq\f(x2,a2＋λ)－eq\f(y2,b2－λ)＝1(－a2<λ<b2)；與雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦點(diǎn)的雙曲線的方程為eq\f(y2,a2＋λ)－eq\f(x2,b2－λ)＝1(－a2<λ<b2)．知識(shí)點(diǎn)4：方程表示雙曲線的條件(1)對(duì)于方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1，當(dāng)mn<0時(shí)表示雙曲線，當(dāng)m>0，n<0時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；當(dāng)m<0，n>0時(shí)表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．(2)對(duì)于方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1，當(dāng)mn>0時(shí)表示雙曲線，且當(dāng)m>0，n>0時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；當(dāng)m<0，n<0時(shí)表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．知識(shí)點(diǎn)5：焦點(diǎn)三角形(1)雙曲線中與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題可以根據(jù)定義結(jié)合余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算，在運(yùn)算中要注意整體思想和一些變形技巧的靈活運(yùn)用．(2)若雙曲線中焦點(diǎn)三角形的頂角∠F1PF2＝θ，則焦點(diǎn)三角形的面積S＝eq\f(b2,tan\f(θ,2)).【題型1雙曲線的定義及其理解】【例1】（20232024?高二上?浙江?期中）“”是“方程表示的曲線是雙曲線”A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合充分、必要條件的概念即可求解.【詳解】若，則，所以方程表示雙曲線；若方程表示雙曲線，則，解得或，所以“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件.故選：A【變式11】（20232024?高二上?山東德州?期中）若為雙曲線，則【答案】或【解析】【分析】利用方程式雙曲線，解出不等式即可.【詳解】若為雙曲線，則或，故答案為：或【變式12】（20232024?高二上?江蘇徐州?期中）（多選）已知曲線C：（其中，為參數(shù)），下列說法正確的是（A.若，則曲線C表示圓B.若，則曲線C表示橢圓C.若，則曲線C表示雙曲線D.若，，則曲線C表示兩條直線【答案】ACD【解析】【分析】利用圓、橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一一判定即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由，是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，顯然時(shí)，不是橢圓，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，若，若，兩種情況都表示雙曲線，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，若，若，兩種情況均表示兩條直線，故D正確.故選：ACD.【變式13】（20232024?高二上?湖北武漢?期中）（多選）A.存在實(shí)數(shù)，使得該方程對(duì)應(yīng)的圖形是圓B.存在實(shí)數(shù)，使得該方程對(duì)應(yīng)的圖形是平行于軸的兩條直線C.存在實(shí)數(shù)，使得該方程對(duì)應(yīng)的圖形是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線D.存在實(shí)數(shù)，使得該方程對(duì)應(yīng)的圖形是焦點(diǎn)在軸上的橢圓【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)ACD采用舉例法即可判斷其正確，對(duì)B分析出為定值，顯然不可能.【詳解】對(duì)A，取，此時(shí)方程為，表示的圖形為圓，故A正確；對(duì)B，，若要該方程對(duì)應(yīng)的圖形是平行于軸的兩條直線，則必須滿足為一個(gè)定值，顯然不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，取，則方程為，其對(duì)應(yīng)的圖形是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，故C正確；對(duì)D，取，此時(shí)方程為，其對(duì)應(yīng)的圖形是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故D正確.故選：ACD.【變式14】（20232024?高二上?山東聊城?期末）（多選）若平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足，則（）A.時(shí)，點(diǎn)的軌跡為圓B.時(shí)，點(diǎn)的軌跡為圓C.時(shí)，點(diǎn)的軌跡為橢圓D.時(shí)，點(diǎn)的軌跡為雙曲線【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)條件，結(jié)合選項(xiàng)，利用圓、橢圓、雙曲線的定義，逐一分析判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，由，得到，其表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為，由圓的定義知點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，由，得到，整理得到，即，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，由，得到，其表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離之和為，又兩定點(diǎn)，間的距離為，所以點(diǎn)的軌跡為線段上的點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，由，得到，其表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離之差的絕對(duì)值為，又，由雙曲線的定義知，點(diǎn)的軌跡為雙曲線，故選：ABD.【題型2利用雙曲線的定義求線段長度、三角形周長和面積】【例2】（20232024?高二上?四川成都?期中）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是，，是雙曲線上一點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合焦半徑的范圍，即可求解．【詳解】由已知，又，所以，故選：D．【變式21】（20232024?高二上?山東臨沂?月考）已知，分別是雙曲線的上、下焦點(diǎn)，過的直線交的上支于A，B兩點(diǎn)，若=12，則的周長為．【答案】36【分析】結(jié)合雙曲線的定義即可得結(jié)果.【詳解】由題意=12，則，所以的周長為．故答案為：36.【變式22】（20232024?高二上?湖南長沙?期中）已知分別足雙曲線的上?下焦點(diǎn)，過的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，若，則的值為__________.【答案】29【變式23】（20232024?高二上?四川達(dá)州?期中）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若到原點(diǎn)的距離，則的面積是___________.【答案】【解析】【分析】由可得點(diǎn)在圓上，且，利用雙曲線定義和勾股定理可得，即可知的面積為.【詳解】如下圖所示：不妨取點(diǎn)在雙曲線的右支上，由可得點(diǎn)在圓上，又易知，所以即為圓的直徑，所以，利用雙曲線定義可得，利用勾股定理可得，所以，可得，因此的面積為.故答案為：【題型3利用雙曲線的定義求最值】【例3】（20232024?高二上?江蘇宿遷?期中）已知是雙曲線上的點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值是________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)已知求出的值.結(jié)合圖象可知點(diǎn)應(yīng)在雙曲線的右支上，根據(jù)雙曲線的定義可得.結(jié)合圖象，以及兩點(diǎn)間的距離公式，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，，所以，，，.如圖，設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線右支內(nèi)部，要使最小，則點(diǎn)應(yīng)在雙曲線的右支上.根據(jù)雙曲線的定義可得，，所以，.所以，.由圖象可知，當(dāng)三點(diǎn)共線且如圖示位置時(shí)，有最小值.又，所以，所以，有最小值，即有最小值.故答案為：.【變式31】（20222023?高二上?吉林?期中）已知雙曲線C:y24?x25A．?2 B．2 C．1 D．?1【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線定義得PF?PA=4+PF【詳解】由題意得雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，a2=4，b2所以下焦點(diǎn)F0,?3，設(shè)上焦點(diǎn)為F1，則根據(jù)雙曲線定義：PF|?|PF1=2a=4，|PF|=4+|PF1|在△PF1A|AF1∴PF故選：D.【變式32】（20232024?高三下?山西太原?模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為0,?6，若動(dòng)點(diǎn)P位于y軸右側(cè)，且到兩定點(diǎn)F1A．3+45 B．3+65 C．4+45【答案】D【分析】先根據(jù)雙曲線的定義，判斷P點(diǎn)軌跡為雙曲線的右支，并求出方程；再根據(jù)PF1?PF2=2a和A【詳解】由動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1?3,0，結(jié)合雙曲線定義可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F1?3,0，易得c=3，2a=4，由c2=a2+b2如圖：又PF1?P故△APF1的周長為:當(dāng)且僅當(dāng)P，A，F(xiàn)2三點(diǎn)共線且P點(diǎn)位于A、F2之間時(shí)等號(hào)成立，故△APF故選：D【變式33】（20232024?高二上?山東泰安?期末）已知圓C:x2+(y?4)2=1上有一動(dòng)點(diǎn)A．42?1 B．42?5 C．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】∵在雙曲線M:x29?y2∴c2=16，∴設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F2，則F∵Q在雙曲線的右支上，∴QF?QF由題知，圓心C0,4，半徑r=1，P在圓C∴PQ≥則PQ+當(dāng)C，Q，F(xiàn)2三點(diǎn)共線且Q位于另兩點(diǎn)之間時(shí)，QC+Q此時(shí)PQ+∴PQ+QF的最小值為故選：D.【變式34】（20232024?高二下?上海靜安區(qū)?期末）已知點(diǎn)P是雙曲線x216?y2A．3 B．5 C．7 D．9【答案】B【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)分析可得PA?【詳解】由雙曲線x216?且圓(x+6)2+y2=4(x?6)2+y2=1由圓的性質(zhì)可知：PA≥可得PA?可知F1?6,0，F(xiàn)2可得PA?所以PA?故選：B.【題型4求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】【例4】（20232024?高二上?山西?期中）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)A滿足A． B．C． D．【答案】B因?yàn)?，所以A的軌跡為雙曲線．設(shè)該雙曲線的方程為，則，，，所以A的軌跡方程為．【變式41】（20232024?高二上?廣東肇慶?期末）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三邊邊長分別稱為“勾”“股”“弦”．如圖一直角三角形ABC的“勾”“股”分別為6，8，以AB所在的直線為軸，AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則以A，B為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)C的雙曲線方程為（A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線的實(shí)半軸長、半焦距即可求解.【詳解】依題意，雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，焦距，即，實(shí)軸長，即，于是虛半軸長，所以所求雙曲線方程為.故選：A【變式42】方程可化簡(jiǎn)為（）A.B. C. D.【答案】D【變式43】（20232024?高考?天津?真題）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可利用三邊斜率問題與正弦定理，轉(zhuǎn)化出三邊比例，設(shè)，由面積公式求出，由勾股定理得出，結(jié)合第一定義再求出.【詳解】如下圖：由題可知，點(diǎn)必落在第四象限，，設(shè)，，由，求得，因?yàn)?，所以，求得，即，，由正弦定理可得：，則由得，由得，則，由雙曲線第一定義可得：，，所以雙曲線的方程為.故選：C【題型5求雙曲線的軌跡方程】【例5】（20232024?高二上?廣東東莞?月考）設(shè)F1、F2是兩定點(diǎn)，F(xiàn)1F2=6，動(dòng)點(diǎn)A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．一條射線 D．軌跡不存在【答案】B【分析】由PF【詳解】依題意，F(xiàn)1、F2是兩個(gè)定點(diǎn)，且P滿足PF1?故選：B【變式51】（20232024?高二上?福建三明?期中）動(dòng)圓P過定點(diǎn)M(0，2)，且與圓N：相內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是（A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，結(jié)合雙曲線的定義得出動(dòng)圓圓心P的軌跡方程.【詳解】圓N：的圓心為，半徑為，且設(shè)動(dòng)圓的半徑為，則，即.即點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，焦距長為，實(shí)軸長為，虛軸長為的雙曲線上，且點(diǎn)在靠近于點(diǎn)這一支上，故動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是故選：A【變式52】（20232024?高二下?上海?階段測(cè)試）已知圓A:(x+2)2+y2=9，圓B:(x?2)2+【答案】x【分析】設(shè)圓C的半徑為r，根據(jù)題意可得CA=r+3,【詳解】設(shè)圓C的半徑為r，圓A:(x+2)2+y2圓B:(x?2)2+y2因?yàn)閳AC與圓A、圓B外切，則CA=r+3,所以CA?所以點(diǎn)C的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，又2c=4,2a=2，則c=2,a=1,b所以其軌跡方程為x2故答案為：x2【變式53】（20232024?高二上?四川綿陽?期末）如圖，定圓O的半徑為定長r，A是圓O外一個(gè)定點(diǎn)，P是圓O上任意一點(diǎn).線段AP的垂直平分線l與直線OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是（

A．射線 B．橢圓 C．雙曲線 D．圓【答案】C【難度】0.65【分析】連接QA、OA，由題意可得QA=QP，所以【詳解】連接QA、OA，如圖所示：

因?yàn)閘為PA的垂直平分線，所以QA=所以QA?又因?yàn)辄c(diǎn)A在圓外，所以O(shè)A>根據(jù)雙曲線定義，點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn)，r為實(shí)軸長的雙曲線.故選：C.【變式54】（20232024?高二上?江蘇泰州?期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)的距離是到直線的距離的．（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；（2）設(shè)，直線與M的軌跡方程相交于兩點(diǎn)，若直線與M的軌跡方程交于另一個(gè)點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)．解:(1)設(shè)點(diǎn)（2）由題意；直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，，，，聯(lián)立消去整理得，，直線的方程為，令直線過定點(diǎn)（3，0）【題型6雙曲線中的焦點(diǎn)三角形問題】【例6】（20232024?高二上?山東泰安?月考）設(shè)F1,F2是雙曲線x25?【答案】12【分析】由利用雙曲線的定義，得到PF1=45,【詳解】由雙曲線x25?y2因?yàn)镻是該雙曲線上一點(diǎn)，且PF1:即PF在△PF1F可得sin∠所以△PF1F故答案為：12.【變式61】（20232024?高二上?福建龍巖?月考）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x24?y2A．143 B．715 C．153【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線定義得到PF1=10【詳解】設(shè)PF1=5x，PF2=3x，則由雙曲線的定義可得：PF1?PF2=5x?3x=2x=2a=4，所以x=2，故P故選：C.【變式62】（20232024?高二上?山