專題平行四邊形中的最值問題（原卷版）

八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十八章平行四邊形》專題平行四邊形中的最值問題題型一與平行四邊形有關(guān)的最值問題題型一與平行四邊形有關(guān)的最值問題【例題1】（2022秋?榆樹市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB=82，點(diǎn)P為BC上任意一點(diǎn)，連結(jié)PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連結(jié)PQ，則PQA．4 B．8 C．42 D．【變式11】（2022春?溧水區(qū)期中）如圖，∠AOB＝30°，OB＝4，點(diǎn)P為射線OA上任意一點(diǎn)，連接PB．以PO、PB為鄰邊作平行四邊形POQB，連接PQ，則線段PQ的最小值為．【變式12】（2021秋?泰山區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD＝120°，AB＝2，BC＝4，點(diǎn)E是直線BC上的點(diǎn)，點(diǎn)F是直線CD上的點(diǎn)，連接AF，AE，EF，點(diǎn)M，N分別是AF，EF的中點(diǎn)．連接MN，則MN的最小值為（）A．1 B．3?1 C．32 【變式13】（2021春?雁塔區(qū)校級(jí)月考）在平行四邊形ABCD中，BC＝4，∠B＝60°，過點(diǎn)A分別作BC，CD的垂線，垂足分別為M、N，連接MN，則MN的最小值為（）A．3 B．3 C．23 D．2【變式14】（2022?瑤海區(qū)校級(jí)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，BD⊥AD，AB=2AD，E是AB的中點(diǎn)，P是邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，若AD＝2，則PE+PBA．22 B．23 C．10 D．210【變式15】（2021秋?海州區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝12，AB＝6，以AD為底邊向右作腰長(zhǎng)為10的等腰△ADP，Q為邊BC上一點(diǎn)，BQ＝4，連接PQ，則PQ的最小值為．【變式16】（2022?榆林模擬）如圖，在Rt△ABC中，AC＝23，BC＝2．點(diǎn)P是斜邊AB上任意一點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)．連接PD并延長(zhǎng)，使DE＝PD．以PE，PC為邊構(gòu)造平行四邊形PCQE，則對(duì)角線PQ的最小值．【變式17】（2021?沂水縣一模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝3，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，則對(duì)角線PQ的最小值為．【變式18】（2021?房縣模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，點(diǎn)H、G分別是邊CD、BC上的動(dòng)點(diǎn)．連接AH、HG，點(diǎn)E為AH的中點(diǎn)，點(diǎn)F為GH的中點(diǎn)，連接EF，則EF的最大值與最小值的差為．【變式19】如圖，在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，點(diǎn)P，Q分別是AC，BC上的動(dòng)點(diǎn)，在P，Q運(yùn)動(dòng)過程中，PB+PQ的最小值是．題型二與矩形有關(guān)的最值問題題型二與矩形有關(guān)的最值問題【例題2】（2021?內(nèi)江模擬）如圖，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，點(diǎn)P是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，則OP的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式21】（2022春?永春縣期末）如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM、ON上，AB＝6，BC＝2．當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)B與O不重合），A隨之在OM上運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)E在AB邊上，AE＝2EB，四邊形OADE的面積為263，則OA+OBA．7 B．50 C．8 D．8.5【變式22】（2022秋?南安市期末）如圖，點(diǎn)P是長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知AB＝7，BC＝15，若△PBC的面積等于30，則點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)距離之和PB+PC的最小值是．【變式23】（2021?阜新）如圖，折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在CD邊上，GH為折痕，已知AB＝6，BC＝10．當(dāng)折痕GH最長(zhǎng)時(shí)，線段BH的長(zhǎng)為．【變式24】（2021春?沭陽縣期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以BC為斜邊在矩形的外部作直角三角形BEC，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，則EF的最大值為（）A．8 B．9 C．10 D．241【變式25】（2022春?儀征市期中）如圖，矩形ABCD的邊AB＝7，BC＝3，點(diǎn)E在邊AB上，且AE＝1，F(xiàn)為AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，將線段EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EG，連接CG，則CG的最小值為（）A．2 B．3 C．10 D．13【變式26】（2022春?晉安區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)Q在BC上，且AP＝CQ，連接CP，QD，則PC+QD的最小值為（）A．8 B．10 C．12 D．20【變式27】（2022春?瑤海區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)N、O、P．M分別是邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），若AN＝CP、BO＝DM，且AB＝2BC＝2，則四邊形MNOP周長(zhǎng)的最小值等于（）A．25 B．23 C．5 D．3【變式28】（2021秋?松山區(qū)期末）如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC＝3，P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，則PA+PB+PCA．23+3 B．25 C．23 D．題型三與菱形有關(guān)的最值問題題型三與菱形有關(guān)的最值問題【例題3】（2021春?玉州區(qū)期中）如圖，在菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝62，CE＝4，點(diǎn)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值（）A．42 B．6 C．210 D．45【變式31】如圖，將兩張長(zhǎng)為5，寬為1的矩形紙條交叉，讓兩個(gè)矩形對(duì)角線交點(diǎn)重合，且使重疊部分成為一個(gè)菱形．當(dāng)兩張紙條垂直時(shí)，菱形周長(zhǎng)的最小值是4，把一個(gè)矩形繞兩個(gè)矩形重合的對(duì)角線交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，在旋轉(zhuǎn)過程中，得出所有重疊部分為菱形的四邊形中，周長(zhǎng)的最大值是（）A．8 B．10 C．10.4 D．12【變式32】（2022?花都區(qū)二模）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AC＝8，BD＝6，點(diǎn)P為邊AB上一點(diǎn)，且點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合．過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，連接EF，則EF的最小值為（）A．2 B．2.4 C．2.5 D．3【變式33】（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為3，且∠ABC＝60°，E、F是對(duì)角線BD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF＝2，連接AE、AF，則AE+AF的最小值為（）A．23 B．6 C．32 D．13【變式34】（2022春?興寧區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)M是對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠ADC＝120°，則MA+MB+MD的最小值是（）A．43 B．83 C．8+3 D．4+4【變式35】（2022春?惠民縣期末）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠DAB＝60°，E為BC的中點(diǎn)，在對(duì)角線AC上存在一點(diǎn)P，使△PBE的周長(zhǎng)最小，則△PBE的周長(zhǎng)的最小值為（）A．2+23 B．4 C．43 D．6【變式36】（2022?安徽一模）如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長(zhǎng)度的最小值是（）A．7 B．7?1 C．3 【變式37】如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC＝6，BD＝8，點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC，PE，求|PC﹣PE|的最大值．【變式38】如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，BD＝4，E、F分別是邊AD、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且AE+CF＝4，連接BE、EF、FB．（1）證明：BE＝BF；（2）求△BEF面積的最小值．題型四與正方形有關(guān)的最值問題題型四與正方形有關(guān)的最值問題【例題4】（2022春?海州區(qū)校級(jí)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)M為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，則EF的最小值為（）A．32 B．62 C．3【變式41】（2022春?潼南區(qū)期末）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是BC上任意一點(diǎn)，PE⊥BD于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，若AC＝22，則EF的長(zhǎng)的最小值為（）A．2 B．1 C．2 D．2【變式42】（2021春?萊州市期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在AB上，且BE＝1，F(xiàn)為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則△BFE周長(zhǎng)的最小值為．【變式43】（2021春?惠山區(qū)期中）如圖，平面內(nèi)三點(diǎn)A、B、C，AB＝5，AC＝4，以BC為對(duì)角線作正方形BDCE，連接AD，則AD的最大值是（）A．5 B．9 C．92 D．9【變式44】（2022?揚(yáng)州三模）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接ED，將ED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到EF，連接DF，CF，則DF+CF的最小值是（）A．35 B．43 C．52 D．213【變式45】如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，點(diǎn)E在BC邊上，且BE＝2，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊作等邊△EFG，且點(diǎn)G在矩形ABCD內(nèi)，連接CG，則CG的最小值為（）A．3 B．2.5 C．4 D．23【變式46】如圖，正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG．點(diǎn)H是CD上一點(diǎn)，且DH=23CD，連接GH，CG，則∠DCG＝度，運(yùn)動(dòng)變化過程中，GH的最小值為【變式47】如圖，正方形