專題03立體圖形與基本平面圖形（原卷版）

專題03立體圖形與基本平面圖形思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦1.正方體展開圖中相對(duì)兩面上的字2.含圖案的正方體的展開圖3.從三個(gè)方向看立方體得到的形狀4.由展開圖、三個(gè)方向看物體等信息求原幾何體的表面積或體積5.求最多或最少的小立方塊的個(gè)數(shù)6.作圖——畫直線、射線、線段7.線段中點(diǎn)與n等分的有關(guān)計(jì)算8.分類討論思想的應(yīng)用9.新定義型問題一、立體圖形的分類立體圖形：有些幾何體（圓柱、圓錐、球、長(zhǎng)方體、正方體等）各部分不在一個(gè)平面內(nèi)，這樣的圖形叫立體圖形.棱柱、棱錐是常見的立體圖形.生活中常見的物體都是立體圖形.二、從正面、左面、上面看立體圖形1.能力要求：（1）會(huì)判斷簡(jiǎn)單物體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖；（2）能根據(jù)三視圖描述基本幾何體或?qū)嵨镌?2.注意：（1）看的見得棱畫實(shí)線，看不見的棱畫虛線；（2）圓錐從上面看不要丟了圓心點(diǎn).三、正方體的表面展開圖1.正方體的表面展開圖一共有11種可能.第一類：有6種.特點(diǎn)：是4個(gè)連成一排的正方形，其兩側(cè)各有一個(gè)正方形，簡(jiǎn)稱“141型”．第二類：有3種.特點(diǎn)：是有3個(gè)連成一排的正方形，其兩側(cè)分別有1個(gè)和兩個(gè)相連的正方形，簡(jiǎn)稱“132型”．第三類：僅有一種.特點(diǎn)：是兩個(gè)連成一排的正方形的兩側(cè)又各有兩個(gè)連成一排的正方形，簡(jiǎn)稱“222型”．第四類：僅有1種，三個(gè)連成一排的正方形的一側(cè)，還有3個(gè)連成一排的正方形，簡(jiǎn)稱“33型”．注：正方體展開圖中不能出現(xiàn)“7”字，“凹”字，“田”字形，如下圖：2.正方體展開圖找相對(duì)面的方法：（1）中間隔“一”是對(duì)面：同行或同列中間相隔一個(gè)正方形的兩個(gè)正方形是相對(duì)面；（2）“Z”字兩端是對(duì)面：呈“Z”字形排列的四個(gè)正方形首尾兩個(gè)正方形是相對(duì)面；（3）間二、拐角鄰面知：間二指的是一條線上中間隔著兩個(gè)正方形的兩個(gè)正方形合成正方體時(shí)是鄰面，拐角的兩個(gè)正方形合成正方體時(shí)也是鄰面.四、其他立體圖形的展開圖掌握一些常見的幾何體的展開圖，如圓柱、圓錐、棱柱、正方體、棱錐等.特殊：球沒有展開圖．1.圓柱的表面展開圖是兩個(gè)圓（作底面）和一個(gè)長(zhǎng)方形（作側(cè)面）.2.圓錐的表面展開圖是一個(gè)圓（作底面）和一個(gè)扇形（作側(cè)面）.3.棱柱的表面展開圖是兩個(gè)完全相同的多邊形（作底面）和幾個(gè)長(zhǎng)方形（作側(cè)面）.五、點(diǎn)、線、面、體之間的轉(zhuǎn)化1.幾何體是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成的.2.線分為直線和曲線，面分為平面和曲面.3.點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系：點(diǎn)動(dòng)成線，線與線相交成點(diǎn)；線動(dòng)成面，面與面相交成線；面動(dòng)成體，體是由面組成.六、直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別區(qū)別名稱直線射線線段圖形表示方法直線AB（BA）或直線l射線AB線段AB（BA）或線段a端點(diǎn)個(gè)數(shù)012伸展性向兩方無限延伸（不可延長(zhǎng)）向一方無限延伸（可反向延長(zhǎng)）可延長(zhǎng)或反向延長(zhǎng)長(zhǎng)度不可度量不可度量可度量聯(lián)系射線和線段都是直線的一部分；線段向一方延伸就成為射線，向兩方延伸就成為直線；射線向反方向延伸就成為直線.七、基本性質(zhì)1.直線的性質(zhì):兩點(diǎn)確定一條直線．2.線段的性質(zhì):兩點(diǎn)之間，線段最短．細(xì)節(jié)剖析①本知識(shí)點(diǎn)可用來解釋很多生活中的現(xiàn)象.如：要在墻上固定一個(gè)木條，只要兩個(gè)釘子就可以了，因?yàn)槿绻涯緱l看作一條直線，那么兩點(diǎn)可確定一條直線.②連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度，叫做兩點(diǎn)間的距離.八、畫一條線段等于已知線段1.度量法：可用直尺先量出線段的長(zhǎng)度,再畫一條等于這個(gè)長(zhǎng)度的線段.2.用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB=ａ，如下圖：九、線段的比較與運(yùn)算1.線段的比較比較兩條線段的長(zhǎng)短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.2.線段的和與差如下圖，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=ABBD.3.線段的中點(diǎn)把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)．細(xì)節(jié)剖析①線段中點(diǎn)的等價(jià)表述：如上圖，點(diǎn)M在線段上，且有，則點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn).②除線段的中點(diǎn)（即二等分點(diǎn)）外，類似的還有線段的三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等.如下圖，點(diǎn)M,N,P均為線段AB的四等分點(diǎn).．十、角的度量1.角的定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.2.平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時(shí)，所形成的角叫做周角．3.角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個(gè)大寫英文字母表示，二是用角的頂點(diǎn)的一個(gè)大寫英文字母表示，三是用一個(gè)小寫希臘字母或一個(gè)數(shù)字表示.例如下圖：細(xì)節(jié)剖析①角的兩種定義是從不同角度對(duì)角進(jìn)行的定義；②當(dāng)一個(gè)角的頂點(diǎn)有多個(gè)角的時(shí)候，不能用頂點(diǎn)的一個(gè)大寫字母來表示.4.角度制及角度的換算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.細(xì)節(jié)剖析①度、分、秒的換算是按照60進(jìn)制，與時(shí)間中的小時(shí)、分鐘、秒的換算相同.②度、分、秒之間的轉(zhuǎn)化方法：由度化為度分秒的形式(即從高級(jí)單位向低級(jí)單位轉(zhuǎn)化)時(shí)用乘法逐級(jí)進(jìn)行；由度分秒的形式化成度(即低級(jí)單位向高級(jí)單位轉(zhuǎn)化)時(shí)用除法逐級(jí)進(jìn)行.③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進(jìn)一，減一成60.5.角的分類∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°6.畫一個(gè)角等于已知角（1）借助三角尺能畫出15°的倍數(shù)的角，在0～180°之間共能畫出11個(gè)角.（2）借助量角器能畫出給定度數(shù)的角.（3）用尺規(guī)作圖法.十一、角的比較與運(yùn)算1.角的比較方法:①度量法；②疊合法．2.角的平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線，例如：如下圖，因?yàn)镺C是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.類似地，還有角的三等分線等.熟記正方體的11種展開圖：考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、正方體展開圖中相對(duì)兩面上的字例題1：如圖，是正方體的一種展開圖，表面上的語句為北京2022年冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)的主題口號(hào)“一起向未來！”，那么在正方體的表面中與“來”相對(duì)的是（

）A．一 B．起 C．！ D．向【答案】D【解析】在正方體的表面中與“來”相對(duì)的是“向”，故選D．考點(diǎn)二、含圖案的正方體的展開圖例題2：如圖是一個(gè)正方體紙盒，下面哪一個(gè)可能是它的表面展開圖（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】三個(gè)圖形相鄰，而選項(xiàng)，都出現(xiàn)了兩個(gè)圖形相對(duì)，故選A.考點(diǎn)三、從三個(gè)方向看立方體得到的形狀例題3：如圖是由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)圓柱組合而成的立體圖形，從上面觀察這個(gè)圖形，得到的圖形是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】由圓柱體和長(zhǎng)方體從上面看得到的圖形可得：圓柱體從上面看是圓，長(zhǎng)方體從上面看是長(zhǎng)方形，所以，組合圖形為長(zhǎng)方形內(nèi)有一個(gè)圓的圖形，故選C．考點(diǎn)四、由展開圖、三個(gè)方向看物體等信息求原幾何體的表面積或體積例題4：如圖，是一個(gè)幾何體的表面展開圖：(1)請(qǐng)說出該幾何體的名稱；(2)求該幾何體的表面積；(3)求該幾何體的體積．【解析】（1）該幾何體展開圖中六個(gè)面均為長(zhǎng)方形，因此該幾何體為長(zhǎng)方體．（2）（平方米）．答：該幾何體的表面積為22平方米．（3）（立方米）．答：該幾何體的體積為6立方米．考點(diǎn)五、求最多或最少的小立方塊的個(gè)數(shù)例題5：（1）請(qǐng)按要求在方格內(nèi)分別畫出從這個(gè)幾何體的三個(gè)不同方向看得到的形狀圖；（2）如果在這個(gè)幾何體上再添加一些小立方塊，并保持從上面看和從左面看得到的形狀圖不變，最多可以再添加______個(gè)．【解析】（1）如圖所示∶（2）在俯視圖的相應(yīng)位置上，添加小正方體，使左視圖不變，添加的位置和最多添加數(shù)量如圖所示∶故最多可以再添加4個(gè)小立方塊．故答案為∶4．考點(diǎn)六、作圖——畫直線、射線、線段例題6：如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖（不寫作圖步驟，保留作圖痕跡，而且要求作圖時(shí)先使用鉛筆畫出，確定后再使用黑色字跡的簽字筆描黑）：(1)作射線；(2)作直線與直線相交于點(diǎn)；(3)在射線上作線段，使線段與線段相等．【解析】（1）作射線，如圖所示．

；（2）作直線與直線相交于點(diǎn)，如圖所示．（3）用圓規(guī)在射線上截取，線段即為所求．考點(diǎn)七、線段中點(diǎn)與n等分的有關(guān)計(jì)算例題7：（1）如圖1，點(diǎn)C在線段上，M，N分別是，的中點(diǎn)．若，，求的長(zhǎng)；（2）設(shè)，C是線段上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），如圖2，M，N分別是，的三等分點(diǎn)，即，，求的長(zhǎng)．【解析】（1）因?yàn)镸，N分別是，的中點(diǎn)，所以．因?yàn)?，所以．?）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以；考點(diǎn)八、分類討論思想的應(yīng)用例題8：點(diǎn)A，B，C是同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，若AB=8cm,BC=3cm,求AC的長(zhǎng)度．【解析】（1）點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間時(shí)，AC=AB+BC=8+3=11（cm）；（2）點(diǎn)C在點(diǎn)A，B之間時(shí)，AC=AB–BC=8–3=5（cm）．所以AC的長(zhǎng)度為11cm或5cm.考點(diǎn)九、新定義型問題例題9：如圖，射線在的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：，和，若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線是的“平衡線”．若，且射線是的“平衡線”，則的度數(shù)為．【答案】或或【解析】由題意，分以下四種情況：①當(dāng)時(shí)，射線是的“平衡線”，，；②當(dāng)時(shí)，射線是的“平衡線”，，，；③當(dāng)時(shí)，射線是的“平衡線”，，，，解得；④當(dāng)時(shí)，射線是的“平衡線”，，，，解得；綜上，的度數(shù)為或或，故答案為：或或．過關(guān)檢測(cè)一、選擇題1．下列四個(gè)生活中產(chǎn)生的現(xiàn)象：①用兩個(gè)釘子就可以把木條固定在墻上；②植樹時(shí)，只要定出兩棵的位置，就能確定同一行樹所在的直線；③從A地到B地架設(shè)電線，總是盡可能沿著線段AB方向架設(shè)；④把彎曲的公路改直，就能縮短路程．其中可用公理“兩點(diǎn)之間，線段最短”來解釋的現(xiàn)象有（）A．①② B．①③ C．②③ D．③④2．如圖，O是直線上一點(diǎn)，過O作任意射線，平分，平分，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．不能確定3．下列四個(gè)圖形中，經(jīng)過折疊能圍成如圖所示的幾何圖形的是（）A． B．C． D．4．已知點(diǎn)A，，在同一條直線上，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，如果，，那么線段的長(zhǎng)度為（）A． B． C．或 D．或5．六個(gè)面分別標(biāo)有“我”、“是”、“初”、“一”、“學(xué)”、“生”的正方體有三種不同的放置方式，則“是”和“學(xué)”對(duì)面的數(shù)字分別是（）A．“生”和“一” B．“初”和“生”C．“初”和“一” D．“生”和“初”二、填空題6．植樹造林時(shí)，先挖好兩個(gè)樹坑就能把一行樹種直，這一現(xiàn)象用數(shù)學(xué)道理解釋為．7．若要使圖中平面展開圖折疊成正方體后，相對(duì)面上兩個(gè)數(shù)之和為9，則．8．如圖所示，由濟(jì)南始發(fā)終點(diǎn)至青島的某一次列車，運(yùn)行途中停靠的車站依次是：濟(jì)南—淄博—濰坊—青島，那么要為這次列車制作的單程火車票有種．9．小穎將幾盒粉筆整齊地摞在講臺(tái)桌上，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)從正面，左面，上面三個(gè)方向看得到的圖形形狀相同（如圖所示），那么這摞粉筆一共有盒．10．定義：從的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引一條射線，把分成的兩部分，射線叫做的三等分線．若在中，射線是的三等分線，射線是的三等分線，設(shè)，則用含x的代數(shù)式表示為．三、解答題11．如圖，已知四點(diǎn)A，B，C，D，請(qǐng)按要求畫圖．(1)畫直線，射線交于點(diǎn)M；(2)連接交于點(diǎn)N；(3)連接，并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使．12．把棱長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的9個(gè)相同小正方體擺成簡(jiǎn)單幾何體．(1)從正面、左面、上面觀察如圖所示的幾何體，分別畫出你所看到的幾何體的形狀圖；(2)直接寫出該幾何體的表面積為_______；(3)如果在這個(gè)幾何體上再添加一些相同的小正方體，并保持這個(gè)幾何體的左視圖和俯視圖不變，那么最多可以再添加______個(gè)小正方體．13．如圖，在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a，B點(diǎn)表示數(shù)b，C點(diǎn)表示數(shù)c，b是最小的正整數(shù)，且a，c滿足．(1)______，______，______．(2)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P，Q停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到的位置恰好是線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．（注：點(diǎn)O為數(shù)軸原點(diǎn)）14．定義：從一個(gè)角（小于180°）的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所構(gòu)成的角等于這個(gè)角的，那么這兩條射線所構(gòu)成的角叫做這個(gè)角的“三分角”．如圖1所示，若∠COD＝∠AOB，則∠COD是∠AOB的“三分角”．（1）如圖1，已知∠AOD=70°，∠COB=50°，∠COD是∠AOB的“三分角”，求∠COD的度數(shù)．（2）如圖2，已知∠AOB=60°，OD是