《測(cè)度論》課程教學(xué)大綱

測(cè)度論教學(xué)大綱課程編號(hào)：120502B課程類(lèi)型：□通識(shí)教育必修課□通識(shí)教育選修課□學(xué)科基礎(chǔ)課專(zhuān)業(yè)核心課□專(zhuān)業(yè)提升課□專(zhuān)業(yè)拓展課總學(xué)時(shí)：32講課學(xué)時(shí)：32實(shí)驗(yàn)（上機(jī)）學(xué)時(shí)：0學(xué)分：2考試類(lèi)型：□考試考查適用對(duì)象：統(tǒng)計(jì)學(xué)專(zhuān)業(yè)□是否適合作為其他專(zhuān)業(yè)學(xué)生的個(gè)性化選修課先修課程：數(shù)學(xué)分析、概率論教學(xué)目標(biāo)測(cè)度論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，同時(shí)也是現(xiàn)代概率理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。其在抽象空間上建立的包括積分和微分的一整套分析系統(tǒng)，已成為數(shù)學(xué)各分支的有力工具，在遍歷論、隨機(jī)過(guò)程、微分方程、微分幾何、統(tǒng)計(jì)與金融數(shù)學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛而深刻的應(yīng)用。本課程旨在介紹測(cè)度論的基本概念和基本理論。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能初步掌握抽象空間上的測(cè)度與積分理論以及概率論的公理化體系，同時(shí)領(lǐng)會(huì)抽象概念和定理的直觀涵義，為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和研究提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。目標(biāo)1：初步掌握抽象空間上測(cè)度和積分的一般理論； 目標(biāo)2；以實(shí)空間和概率空間為例，掌握測(cè)度論中簡(jiǎn)單證明方法的一些基本技巧；目標(biāo)3：掌握統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的經(jīng)驗(yàn)測(cè)度、計(jì)數(shù)測(cè)度、相合性等概念的理論基礎(chǔ)，為統(tǒng)計(jì)學(xué)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)；目標(biāo)4：學(xué)習(xí)測(cè)度論公理化體系建立過(guò)程中的曲折歷史，培育學(xué)生實(shí)事求是的研究精神。通過(guò)比較測(cè)度論與實(shí)變函數(shù)以及概率論相關(guān)內(nèi)容的關(guān)系，讓同學(xué)們更深刻理解唯物辯證法中具體和抽象的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系。二、教學(xué)內(nèi)容及其與畢業(yè)要求的對(duì)應(yīng)關(guān)系（一）教學(xué)內(nèi)容可測(cè)空間與單調(diào)類(lèi)定理，測(cè)度空間與擴(kuò)張定理，可測(cè)函數(shù)的積分與積分收斂定理，符號(hào)測(cè)度、不定積分、Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)與Lebesgue分解定理，乘積空間與Fubini定理。（二）教學(xué)方法和手段教師課上講授理論知識(shí)內(nèi)容及相關(guān)基本例題，學(xué)生課下練習(xí)及教師答疑、輔導(dǎo)相結(jié)合。（三）考核方式開(kāi)卷，平時(shí)成績(jī)占30%，期末成績(jī)占70%。（四）學(xué)習(xí)要求課上聽(tīng)講，并獨(dú)立完成課后作業(yè)。三、各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時(shí)分配以表格方式表現(xiàn)各章節(jié)的學(xué)時(shí)分配，表格如下：教學(xué)課時(shí)分配序號(hào)章節(jié)內(nèi)容講課實(shí)驗(yàn)其他合計(jì)1可測(cè)空間442測(cè)度空間553可測(cè)函數(shù)的積分10104符號(hào)測(cè)度與R-N導(dǎo)數(shù)885乘積空間55合計(jì)3232四、教學(xué)內(nèi)容第一章可測(cè)空間第一節(jié)集類(lèi)1. 集合代數(shù)2. 集合代數(shù)的結(jié)構(gòu)第二節(jié)可測(cè)空間1. 西格瑪代數(shù)2. 可測(cè)空間的結(jié)構(gòu)第三節(jié)單調(diào)類(lèi)定理1. 單調(diào)類(lèi)2. 單調(diào)類(lèi)定理教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：集類(lèi)、可測(cè)空間的結(jié)構(gòu)、單調(diào)類(lèi)定理。課程的考核要求：了解集類(lèi)的概念，理解可測(cè)空間的結(jié)構(gòu)、掌握單調(diào)類(lèi)定理的證明與應(yīng)用。課程思政切入點(diǎn)：了解測(cè)度論的發(fā)展歷史，學(xué)習(xí)測(cè)度論嚴(yán)格化過(guò)程中相關(guān)數(shù)學(xué)家實(shí)事求是的科學(xué)精神。復(fù)習(xí)思考題：1. 可列可加性在可測(cè)空間的定義中起什么作用？2. 如何應(yīng)用單調(diào)類(lèi)定理？第二章測(cè)度空間第一節(jié)測(cè)度空間的定義與性質(zhì)1. 測(cè)度空間定義2. 測(cè)度空間性質(zhì)第二節(jié)外測(cè)度與測(cè)度擴(kuò)張1. 外測(cè)度2. 測(cè)度擴(kuò)張定理第三節(jié)測(cè)度空間的完備化1. 完備測(cè)度空間2. 測(cè)度空間的完備化第四節(jié)實(shí)可測(cè)空間1. Borel代數(shù)2. 實(shí)可測(cè)空間上的L-S測(cè)度教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：測(cè)度空間的定義與性質(zhì)、測(cè)度擴(kuò)張定理、實(shí)可測(cè)空間上的測(cè)度。課程的考核要求：理解測(cè)度空間的定義與性質(zhì)、掌握測(cè)度空間的構(gòu)造方法、了解測(cè)度的逼近與完備化。課程思政切入點(diǎn)：了解抽象空間測(cè)度論與實(shí)空間理論、概率論等具體學(xué)科的相互關(guān)系，明白理論和實(shí)踐的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系。復(fù)習(xí)思考題：1. 復(fù)習(xí)在可測(cè)空間上構(gòu)造測(cè)度的一般方法。2. 從分析學(xué)的角度，該如何把握任意可測(cè)集的測(cè)度？第三章可測(cè)函數(shù)的積分第一節(jié)可測(cè)映射與可測(cè)函數(shù)1. 可測(cè)函數(shù)的定義與結(jié)構(gòu)2. 可測(cè)函數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算3. 函數(shù)形式的單調(diào)類(lèi)定理第二節(jié)積分的定義與性質(zhì)1. 可測(cè)函數(shù)的積分定義2. 可測(cè)函數(shù)的積分性質(zhì)第三節(jié)積分收斂定理1. 單調(diào)收斂定理2. Fatou引理3. 控制收斂定理第四節(jié)積分變換公式1. 積分變換公式2. 隨機(jī)變量數(shù)字特征的L-S積分表示教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：可測(cè)函數(shù)定義與性質(zhì)、積分定義與性質(zhì)、積分收斂定理、積分變換公式。課程的考核要求：掌握積分定義與性質(zhì)、掌握積分收斂定理和變換公式。復(fù)習(xí)思考題：1. 思考勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系？2. 為什么要研究積分收斂定理？第四章符號(hào)測(cè)度與R-N導(dǎo)數(shù)第一節(jié)符號(hào)測(cè)度1. 符號(hào)測(cè)度2. 不定積分第二節(jié)Hahn分解Jordan分解1. Hahn分解2. Jordan分解第三節(jié)Lebesgue分解與R-N導(dǎo)數(shù)1. Lebesgue分解定理2. R-N導(dǎo)數(shù)第四節(jié)條件期望與條件概率1. 條件期望2. 條件概率教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：符號(hào)測(cè)度、Hahn分解、Jordan分解、R-N導(dǎo)數(shù)、Lebesgue分解定理、條件期望。課程的考核要求：掌握符號(hào)測(cè)度的定義與性質(zhì)、R-N導(dǎo)數(shù)、理解Hahn分解與Jordan分解、Lebesgue分解定理、理解條件期望的定義和性質(zhì)。課程思政切入點(diǎn)：通過(guò)比較抽象空間微積分和實(shí)空間微積分的區(qū)別與聯(lián)系,讓同學(xué)們理解事物發(fā)展過(guò)程中螺旋式發(fā)展，否定之否定的哲學(xué)規(guī)律.復(fù)習(xí)思考題：1. 思考條件期望的直觀涵義。2. 利用Lebesgue分解來(lái)解釋概率論中隨機(jī)變量的分類(lèi)問(wèn)題。第五章乘積空間第一節(jié)有限維乘積空間1. 二維乘積空間2. Fubini定理第二節(jié)無(wú)窮維乘積空間1. 無(wú)限維乘積空間2. Kolmogorov相容性定理。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：二維乘積空間、Fubini定理、無(wú)限維乘積空間、Kolmogorov相容性定理。課程的考核要求：掌握二維乘積空間上測(cè)度的構(gòu)造、Fubini定理，了解無(wú)限維乘積空間、Kolmogorov相容性定理。課程思政切入點(diǎn):理解無(wú)窮乘積空間和有限乘積空間的關(guān)系,理解唯物辯證法中從量變到質(zhì)變的哲學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程.復(fù)習(xí)思考題：1. 比較測(cè)度論與實(shí)分析的聯(lián)系與區(qū)別。2. 用測(cè)度論語(yǔ)言構(gòu)建概率論的公理化體系。五、考核方式、成績(jī)?cè)u(píng)定本課程一般按閉卷、開(kāi)卷或論文方式考核，卷面一般占70%，考勤與平時(shí)作業(yè)一般占30%。六、主要參考書(shū)及其他內(nèi)容[1]程士宏.測(cè)度論與概率論.北京：北京大學(xué)出版社.2004[2]繆柏其,胡太忠.概率論教程.