專題215實際問題與二次函數(shù)（舉一反三）（滬科版）

專題21.5實際問題與二次函數(shù)【十大題型】【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1利用二次函數(shù)求最大利潤】 1【題型2利用二次函數(shù)求最優(yōu)方案】 7【題型3利用二次函數(shù)求最大面積】 11【題型4利用二次函數(shù)求最小周長】 18【題型5利用二次函數(shù)解決拱橋問題】 24【題型6利用二次函數(shù)解決隧道問題】 30【題型7利用二次函數(shù)解決圖形運動問題】 36【題型8利用二次函數(shù)解決運動員空中跳躍軌跡問題】 42【題型9利用二次函數(shù)解決球類運行的軌跡問題】 49【題型10利用二次函數(shù)解決噴頭噴出的球的軌跡問題】 53【題型1利用二次函數(shù)求最大利潤】【例1】（2023春·廣東茂名·九年級?？奸_學(xué)考試）某工廠生產(chǎn)并銷售A，B兩種型號車床共14臺，生產(chǎn)并銷售1臺A型車床可以獲利10萬元；如果生產(chǎn)并銷售不超過4臺B型車床，則每臺B型車床可以獲利17萬元，如果超出4臺B型車床，則每超出1臺，每臺B型車床獲利將均減少1萬元．設(shè)生產(chǎn)并銷售B型車床x臺．(1)當(dāng)x>4時，若生產(chǎn)并銷售B型車床比生產(chǎn)并銷售A型車床獲得的利潤多70萬元，問：生產(chǎn)并銷售B(2)當(dāng)0<x≤14時，設(shè)生產(chǎn)并銷售A，B兩種型號車床獲得的總利潤為W萬元，如何分配生產(chǎn)并銷售A，B兩種車床的數(shù)量，使獲得的總利潤【答案】(1)生產(chǎn)并銷售B型車床10臺(2)當(dāng)生產(chǎn)并銷售A，B兩種車床各為9臺、5臺或8臺、6臺時，使獲得的總利潤W最大；最大利潤為170萬元【分析】（1）根據(jù)題意，列出一元二次方程，解方程即可求解；（2）當(dāng)0<x≤4時，總利潤W=10(14-x)+17【詳解】（1）解：由題意得方程10(14-x解得x1=10，x2答：生產(chǎn)并銷售B型車床10臺；（2）當(dāng)0<x≤4時，總利潤整理得，W=7∵7>0，∴當(dāng)x=4時總利潤W最大為7×4+140=168(萬元)當(dāng)x>4W=10(14-整理得W=-∵-1<0，∴當(dāng)x=-11-又由題意x只能取整數(shù)，∴當(dāng)x=5或x∴當(dāng)x=5時，總利潤W最大為-5又∵168<170，∴當(dāng)x=5或x=6時，總利潤W最大為而14-5=9，14-6=8，答：當(dāng)生產(chǎn)并銷售A，B兩種車床各為9臺、5臺或8臺、6臺時，使獲得的總利潤W最大；最大利潤為170萬元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程和二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【變式11】（2023春·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）2022年卡塔爾世界杯足球賽開戰(zhàn)，很多商家都緊緊把握這一商機，賽場內(nèi)外隨處可見“中國制造”的身影，某商家銷售一批“中國制造”的吉祥物“拉伊卜”毛絨玩具，已知每個毛絨玩具“拉伊卜”的成本為40元，銷售單價不低于成本價，且不高于成本價的1.8倍，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，毛絨玩具“拉伊卜”每天的銷售量y（個）與銷售單價x（元）滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；(2)每個毛絨玩具“拉伊卜”的售價為多少元時，該商家每天的銷售利潤為2400元？(3)當(dāng)毛絨玩具“拉伊卜”的銷售單價為多少元時，該商家每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)y=-2x(2)70元(3)當(dāng)吉祥物“拉伊卜”的銷售單價為72元時，該商家每天獲得的利潤最大，最大利潤為2432元【分析】(1)設(shè)y=kx+b((2)根據(jù)題意即可列出一元二次方程，解方程即可求解；(3)設(shè)每天獲得的利潤為w元，根據(jù)題意即可求得二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)y=把點50,120，60,100分別代入解析式，得50k解得：k∴y=-2∵銷售單價不低于成本價，且不高于成本價的1.8倍，∴自變量x的取值范圍是：40≤x（2）解：根據(jù)題意得：-2整理得：x2解得：x1=70，∵40≤x∴x2答：每個吉祥物“拉伊卜”的售價為70元時，該商家每天的銷售利潤為2400元；（3）解：設(shè)每天獲得的利潤為w元，根據(jù)題意得：w∵-2<0∴拋物線開口向下，∵拋物線對稱軸為x=75，銷售單價不得高于72∴當(dāng)40≤x≤72時，w隨∴當(dāng)x=72時，ww最大值答：當(dāng)吉祥物“拉伊卜”的銷售單價為72元時，該商家每天獲得的利潤最大，最大利潤為2432元．【點睛】本題考查了一次函數(shù)及二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，正確求得函數(shù)解析式及方程是解決本題的關(guān)鍵．【變式12】（2023春·廣東汕頭·九年級?？计谥校┠撑l(fā)商以24元/箱的進價購進某種蔬菜，銷往零售超市，已知這種蔬菜的標(biāo)價為45元/箱，實際售價不低于標(biāo)價的八折．批發(fā)商通過分析銷售情況，發(fā)現(xiàn)這種蔬菜的銷售量y（箱）與當(dāng)天的售價x（元/箱）滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表是其中的兩組對應(yīng)值．售價x（元/箱）…3538…銷售量y（箱）…130124…(1)若某天這種蔬菜的售價為42元/箱，則當(dāng)天這種蔬菜的銷售最為________箱；(2)該批發(fā)商銷售這種蔬菜能否在某天獲利1320元？若能，請求出當(dāng)天的銷售價；若不能，請說明理由．(3)批發(fā)商搞優(yōu)惠活動，購買一箱這種蔬菜，贈送成本為6元的土豆，這種蔬菜的售價定為多少時，可獲得日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少元？【答案】(1)116(2)不能，理由見詳解(3)這種蔬菜的售價為45元，可獲得最大日利潤為1650元【分析】（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系為y=（2）根據(jù)題意列出關(guān)于x的一元二次方程，解方程求出x的值，然后根據(jù)這種蔬菜的標(biāo)價為45元/箱，實際售價不低于標(biāo)價的八折得出x的取值范圍為36≤x（3）根據(jù)每天的利潤=單箱的利潤×銷量列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值．【詳解】（1）解：設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系為y=根據(jù)題意得：35k解得：k=-2∴y∴當(dāng)x=42時，y∴當(dāng)天這種蔬菜的銷售量為116箱；故答案為116；（2）解：根據(jù)題意得：(-2x解得x1=34，∵這種蔬菜售價不低于45×0.8=36，且不高于45，∴36≤x∴34，90都不滿足題意，所以該批發(fā)商銷售這種蔬菜不能在某天獲利1320元；（3）解：設(shè)日獲得利潤為w元，則w=(-2∵a∴拋物線開口向下，∴當(dāng)x<65時，w的值隨x∵這種蔬菜售價不低于45×0.8=36，∴36≤x∴當(dāng)x=45時，W最大=-2×答：這種蔬菜的售價為45元，可獲得最大日利潤為1650元．【點睛】本題考查了銷售問題的數(shù)量關(guān)系在解決實際問題是的運用，一次函數(shù)的解析式的運用和二次函數(shù)的解析式的運用，解答時根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系是解答本題的難點和關(guān)鍵．【變式13】（2023春·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）一企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品（假設(shè)銷量與產(chǎn)量相等），已知該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本為40元，售價y（元）與產(chǎn)量xkg之間的函數(shù)關(guān)系為y(1)當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？(2)若企業(yè)每銷售該產(chǎn)品1kg需支出其他費用a元a>0，當(dāng)70≤x≤80時該企業(yè)獲得的最大利潤為【答案】(1)當(dāng)產(chǎn)品產(chǎn)量為80kg時，獲得的利潤最大，最大利潤為3200(2)10【分析】（1）設(shè)當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為xkg時，獲得的利潤為W（2）設(shè)當(dāng)產(chǎn)品產(chǎn)量為x千克時，獲得的利潤為P元，得出P=-12x2【詳解】（1）解：設(shè)當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為xkg時，獲得的利潤為W根據(jù)題意，得W=x-12x∵a=-∴當(dāng)x=80時，W有最大值，最大值為3200答：當(dāng)產(chǎn)品產(chǎn)量為80kg時，獲得的利潤最大，最大利潤為3200（2）解：設(shè)當(dāng)產(chǎn)品產(chǎn)量為x千克時，獲得的利潤為P元．根據(jù)題意，得P=即P=-其中70≤x該函數(shù)圖像的對稱軸為直線x=80-a①若a>10，則當(dāng)x=70時，即P=3150-70②若0<a≤10，則當(dāng)x=80-將x=80-a代入，得當(dāng)P=2450時，2450=解得a1=10，綜上所述，a的值為10．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【題型2利用二次函數(shù)求最優(yōu)方案】【例2】（2023春·湖南郴州·九年級統(tǒng)考期末）2022年秋天，某地發(fā)生旱情，為抗旱保豐收，當(dāng)?shù)卣贫ㄞr(nóng)戶投資購買抗旱設(shè)備的補貼方法：購買A型設(shè)備，政府補貼金額（y1：萬元）與投資的金額（x：萬元）的函數(shù)對應(yīng)關(guān)系為：y1=kx(k≠0)，當(dāng)x=5時y1=4；購買B型設(shè)備，政府補貼金額（y2：萬元）與投資的金額（(1)分別求出y1(2)有一農(nóng)戶投資10萬元同時購買A型和B型兩種設(shè)備，獲得的政府補貼為y萬元．請你設(shè)計一個能獲得最大補貼的方案，并求出按此方案能獲得的最大補貼．【答案】(1)y1=0.8(2)當(dāng)購買A型設(shè)備的金額為8萬元、B型設(shè)備的金額為2萬元時能獲得最大補貼金額，最大補貼金額為9萬元．【分析】（1）由題意可將5,4代入y1=kx進行求解，然后將(2,2.6),(4,3.2)（2）設(shè)投資購買B型設(shè)備的金額為x萬元，則A型設(shè)備的金額為(10-x)萬元，獲得的政府補貼為y萬元，由題意可得【詳解】（1）解：將5,4代入y1=kx解得：k=0.8故：y1將(2,2.6),(4,3.2)代入y22.6=4a+2解得a=-0.25,∴y2（2）解：設(shè)投資購買B型設(shè)備的金額為x萬元，則A型設(shè)備的金額為(10-x)萬元，獲得的政府補貼為y=∴a=-0.25<0，即該函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為直線x∴當(dāng)x=2時，有最大補貼為y∴當(dāng)購買A型設(shè)備的金額為8萬元、B型設(shè)備的金額為2萬元時能獲得最大補貼金額，最大補貼金額為9萬元．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)、一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【變式21】（2023春·遼寧大連·九年級統(tǒng)考期末）某班計劃購買A，B兩種花苗，根據(jù)市場調(diào)查整理出表：A種花苗盆數(shù)B種花苗盆數(shù)花費（元）35220410380(1)求A，B兩種花苗的單價；(2)經(jīng)過班級學(xué)生商討，決定購買A，B兩種花苗12盆（A，B兩種花苗都必須有），同時得到了優(yōu)惠方式：購買幾盆A種花，A種花苗每盆就降價幾元．請設(shè)計花費最少的購買方案．【答案】(1)A種花苗的單價為30元，B種花苗的單價為26元；(2)購買A種花苗11盆，購買B種花苗1盆花費最少．【分析】（1）設(shè)A種花苗的單價為x元，B種花苗的單價為y元，根據(jù)“購買A種花苗3盆，B種花苗5盆，則需220元；購買A種花苗4盆，B種花苗10盆，則需380元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)總費用等于購買A，B兩種花苗費用之和列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值．【詳解】（1）解：設(shè)A種花苗的單價為x元，B種花苗的單價為y元，依題意得：3x解得：x=30答：A種花苗的單價為30元，B種花苗的單價為26元；（2）設(shè)購買兩種花的總費用為w元，購買A種花苗m盆，則購買B種花苗（12m）盆，根據(jù)題意得：w=（30m）m+26（12m）=m2+4m+312=（m2）2+316，∵1＜0，0＜m＜12（m為整數(shù)），∴當(dāng)m=11時，w最小，最小值為235，∴購買A種花苗11盆，購買B種花苗1盆花費最少．【點睛】本題考查了二次函數(shù)和二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二次函數(shù)解析式．【變式22】（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級期末）2011年長江中下游地區(qū)發(fā)生了特大旱情．為抗旱保豐收，某地政府制定了農(nóng)戶投資購買抗旱設(shè)備的補貼辦法，其中購買Ⅰ型、Ⅱ型抗旱設(shè)備投資的金額與政府補貼的額度存在下表所示的函數(shù)對應(yīng)關(guān)系．型號金額投資金額x（萬元）Ⅰ型設(shè)備Ⅱ型設(shè)備x5x24補貼金額y（萬元）y1=kx2y2=a2.43.2(1)分別求y1和y(2)有一農(nóng)戶同時對Ⅰ型、Ⅱ型兩種設(shè)備共投資10萬元購買，請你設(shè)計一個能獲得最大補貼金額的方案，并求出按此方案能獲得的最大補貼金額．【答案】(1)y1=0.4(2)當(dāng)購買Ⅰ型用7萬元、Ⅱ型為3萬元時能獲得的最大補貼金額，最大補貼金額為5.8萬元【分析】（1）根據(jù)圖表得出函數(shù)上點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)y=y1【詳解】（1）解：設(shè)y1=kx，將（解得：k=0.4，故y設(shè)y2將（2,2.4），（4解得：a=-0.2，b∴y2（2）解：假設(shè)投資購買Ⅰ型用x萬元、Ⅱ型為10-x則：y==-0.2x∵a=0.2>0，當(dāng)x=-b2a=7此時10x=3，∴當(dāng)購買Ⅰ型用7萬元、Ⅱ型為3萬元時能獲得的最大補貼金額，最大補貼金額為5.8萬元．【點睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的最值問題，利用函數(shù)解決實際問題是考試的中熱點問題，同學(xué)們應(yīng)重點掌握．【變式23】（2023春·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期末）某公司經(jīng)銷甲、乙兩種產(chǎn)品，經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：①銷售甲產(chǎn)品所獲利潤y（萬元）與銷售x（萬件）的關(guān)系為y=0.6x②銷售乙產(chǎn)品所獲利潤y（萬元）與銷售x（萬件）的關(guān)系為y=ax2+bx；當(dāng)x＝1時y＝1.3；當(dāng)x（1）求銷售乙產(chǎn)品所獲利潤y（萬元）與銷售x（萬件）的函數(shù)關(guān)系式；（2）該公司計劃購進甲、乙兩種產(chǎn)品共20萬件，要想使銷售總利潤最大，應(yīng)如何安排經(jīng)銷方案？總利潤最大為多少？【答案】（1）y=-0.1x2+1.4x；（2【分析】（1）將當(dāng)x＝1時y＝1.3；當(dāng)x＝2時，y＝2.4代入y=（2）設(shè)購進甲的數(shù)量為m(0<m<20)萬件，總利潤為w萬元，則購進乙的數(shù)量為(20-m【詳解】（1）將當(dāng)x＝1時y＝1.3；當(dāng)x＝2時，y＝2.4代入y=a+解得：a=-0.1∴y=-0.1（2）設(shè)購進甲的數(shù)量為m(0<m<20)萬件，總利潤為w萬元，則購進乙的數(shù)量為由題意得：w=0.6=-0.1m當(dāng)m=-b2a=-最大利潤w=-0.1×答：購進甲16萬件，購進乙4萬件，利潤最大為13.6萬元．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，解題關(guān)鍵是利用基本數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)表達式．【題型3利用二次函數(shù)求最大面積】【例3】（2023春·廣東廣州·九年級廣州市第八十九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，一塊矩形區(qū)域ABCD由籬笆圍著，并且由一條與CD邊平行的籬笆EF分開．已知籬笆的總長為18米（籬笆的厚度忽略不計），求當(dāng)矩形ABCD的面積最大時AB的長．

【答案】當(dāng)AB=3米，矩形ABCD【分析】設(shè)AB=x米，矩形的面積為y平方米，根據(jù)題意可以用相應(yīng)的代數(shù)式表示出矩形的面積，從而建立x和【詳解】解：設(shè)AB=x米，矩形ABCD的面積設(shè)為則AB+∴AD=∴y=由于二次項系數(shù)小于0，所以y有最大值，∴當(dāng)AB=x=-∴當(dāng)AB=3米，矩形ABCD【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用以及矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的頂點式求函數(shù)的最值．【變式31】（2023春·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AG、AH為固定墻且∠GAH=135°，現(xiàn)利用固定墻和總長為40米的竹籬笆修建一個四邊形ABCD的儲料場，其中AD∥BC，∠C=90°．已知固定墻AG長為(1)當(dāng)CD長為18米時，求此時儲料場的面積；(2)怎樣修建才能使儲料場的面積最大．【答案】(1)270米(2)當(dāng)x=15時，儲料場的面積最大，最大面積為S'【分析】（1）過點A作AE⊥BC于點E，證明四邊形AECD為矩形，△ABE為等腰直角三角形，結(jié)合題意易得CD=18米，（2）設(shè)CD=x米，則BC=(42-x)米，AD=(42-2x)米，根據(jù)題意可列不等式組42-2x【詳解】（1）解：如下圖，過點A作AE⊥BC于點∴∠AEB又∵AD∥BC，∴∠CDA∴∠AEC∴四邊形AECD為矩形，∴∠EAD=90°，EA=∵∠GAH∴∠BAE∴∠ABE=180°-∠AEB∴EA=當(dāng)CD長為18米時，可有CD=此時BC=40+2-AD=∴儲料場的面積為S=12（2）設(shè)CD=x米，則BE=AE=由題意可知，42-2x解不等式組，可得15≤x∵儲料場的面積為S==-=-3∴該二次函數(shù)的圖像開口向下，對稱軸為x=14又∵15≤x∴當(dāng)x=15最大面積為S'=-3【點睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、一元一次不等式組的應(yīng)用以及利用二次函數(shù)解決實際問題等知識，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題是解題關(guān)鍵．【變式32】（2023春·湖北武漢·九年級校聯(lián)考期中）春回大地，萬物復(fù)蘇，又是一年花季到．某花圃基地計劃將如圖所示的一塊長40m，寬20m的矩形空地劃分成五塊小矩形區(qū)域．其中一塊正方形空地為育苗區(qū)，另一塊空地為活動區(qū)，其余空地為種植區(qū)，分別種植A，B，C三種花卉．活動區(qū)一邊與育苗區(qū)等寬，另一邊長是10m．A，B，C三種花卉每平方米的產(chǎn)值分別是2百元、3百元、4百元．(1)設(shè)育苗區(qū)的邊長為xm，用含x的代數(shù)式表示下列各量：花卉A的種植面積是_____m2，花卉B的種植面積是______m2，花卉C的種植面積是_______(2)育苗區(qū)的邊長為多少時，A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等？(3)若花卉A與B的種植面積之和不超過560m2，求A，B，【答案】(1)(x2-60(2)32m或10m(3)168000元【分析】（1）根據(jù)正方形和長方形的面積計算公式可直接得到答案；（2）根據(jù)A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案；（3）先根據(jù)花卉A與B的種植面積之和不超過560m2建立不等式，得到x≥8，再設(shè)A，B，C三種花卉的總產(chǎn)值之和y百元，得到y(tǒng)【詳解】（1）解：∵育苗區(qū)的邊長為xm，活動區(qū)的邊長為10m，∴花卉A的面積為：40-x20-x花卉B的面積為：x40-x-花卉C的面積為：x20-x=(-故答案為：(x2-60x（2）解：∵A，B花卉每平方米的產(chǎn)值分別是2百元、3百元，∴A，B兩種花卉的總產(chǎn)值分別為2×x2-∵A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等，∴200×x∴x2解方程得x=32或x∴當(dāng)育苗區(qū)的邊長為32m或10m時，A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等；（3）解：∵花卉A與B的種植面積之和為：x2-60∴-3∴x≥8∵設(shè)A，B，C三種花卉的總產(chǎn)值之和y百元，∴y=2∴y=-5∴y=-5∴當(dāng)x≥8時，y隨x∴當(dāng)x=8時，y最大，且y故A，B，C三種花卉的總產(chǎn)值之和的最大值168000元．【點睛】本題考查一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立正確的方程和函數(shù)表達式．【變式33】（2023春·陜西西安·九年級統(tǒng)考期中）問題探究：（1）如圖1，已知線段AB＝2，AC＝4，連接BC，則三角形ABC面積最大值是；（2）如圖2，矩形ABCD，對角線AC、BD相交于點O，且AC＋BD＝16，求矩形ABCD面積最大值；問題解決：（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點O，且∠AOB＝120°．若AC＋BD＝10，則四邊形ABCD的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）4；（2）32；（3）存在，253【分析】（1）作BD⊥AC于點D，根據(jù)題意可得當(dāng)BD＝AB時，S△ABC的面積最大，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可；（2）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)求出OA＝OC＝OB＝OD＝4，然后根據(jù)題意可得當(dāng)BE＝OB時，矩形ABCD面積最大，然后根據(jù)三角形面積公式求出S△AOB的的最大值，即可求出矩形ABCD面積的最大值；（3）作AF∥BD交CB的延長線于點F，作CE⊥AF于點E，設(shè)AC＝x，根據(jù)30°角所對的直角邊是斜邊的一半表示出AE的長度，然后根據(jù)勾股定理表示出CE的長度，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)表示出AF的長度，即可表示出三角形AFC的面積，根據(jù)等底等高的兩個三角形面積相等，得到四邊形ABCD的面積等于三角形AFC的面積，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABCD的面積的最大值．【詳解】解：（1）如圖1，作BD⊥AC于點D，設(shè)BD＝x，則S△ABC＝12AC?BD＝12×4x＝2∴S△ABC隨x的增大而增大，∵BD≤AB，∴當(dāng)BD＝AB，即∠A＝90°，x＝2時，S△ABC最大＝2×2＝4，故答案為：4．（2）如圖2，作BE⊥AC于點E，設(shè)BE＝x，∵四邊形ABCD是矩形，且AC+BD＝16，∴AC＝BD＝8，且OA＝OC＝12AC＝4，OB＝OD＝12BD＝∴OA＝OC＝OB＝OD＝4，∵△AOB、△BOC、△COD及△AOD等底等高，∴S△AOB＝S△BOC＝S△COD＝S△AOD＝12×4x＝2x由（1）可知，當(dāng)BE＝OB，即∠AOB＝90°，x＝4時，S△AOB最大＝2×4＝8，∴S矩形ABCD最大＝4S△AOB最大＝4×8＝32，∴矩形ABCD面積的最大值為32．（3）存在，如圖3，作AF∥BD交CB的延長線于點F，作CE⊥AF于點E，設(shè)AC＝x，∵∠AOB＝120°，∴∠EAC＝180°﹣∠AOB＝60°，∵∠AEC＝90°，∴∠ACE＝30°，∴AE＝12AC＝12∴CE＝x2-(1∵AD∥BC，∴四邊形AFBD是平行四邊形，∵AC+BD＝10，∴AF＝BD＝10﹣x，∵△ABD與△ABF等底等高，△DBC與△ABC等底等高，∴S△ABD＝S△ABF，S△DBC＝S△ABC，∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△DBC＝S△ABF+S△ABC＝S△AFC，∵S△AFC＝12AF?CE＝12×32x（10﹣x）＝-34（x﹣5∴S四邊形ABCD＝-34（x﹣5）2+∵-34（x﹣5）2∴-34（x﹣5）2+253∴當(dāng)x＝5時，S四邊形ABCD最大＝253∴四邊形ABCD面積的最大值是253【點睛】此題考查了三角形面積的表示方法，30°角直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形面積的表示方法，30°角直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定．【題型4利用二次函數(shù)求最小周長】【例4】（2023春·九年級課時練習(xí)）甲船從A處起以15nmile/h的速度向正北方向航行，這時乙船從A的正東方向20nmile的B【答案】0.64h后，兩船的距離最小，最小距離是12nmile【分析】可設(shè)x小時后，兩船相距ynmile，寫出y2于x的二次函數(shù)關(guān)系式，再把關(guān)系式配方可得到多長時間后，兩船的距離最?。徊⑶蟪鲎钚【嚯x即可．【詳解】解：根據(jù)題意畫出示意圖如下：設(shè)x小時后，兩船相距ynmile，根據(jù)題意，得：y2＝（15x）2＋（20?20x）2＝225x2＋400?800x＋400x2＝（25x?16）2＋144∴當(dāng)x＝1625=0.64h時，y2有最小值144，則y的最小值為答：0.64h后，兩船的距離最小，最小距離是12nmile【點睛】本題考查了二次函數(shù)在行程問題中的應(yīng)用及勾股定理在實際問題中的應(yīng)用，根據(jù)題意正確地列出函數(shù)關(guān)系式并配方是解題的關(guān)鍵．【變式41】（2023春·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，以直線x=1為對稱軸的拋物線y=-x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A，(1)點A的坐標(biāo)為______；(2)求拋物線的解析式；(3)如圖2，設(shè)拋物線的頂點為D，若將拋物線向下平移，使平移后的拋物線經(jīng)過原點O，且與x軸的另一個交點為E，若在y軸上存在一點F，連接DE，DF，EF，使得△DEF的周長最小，求F【答案】(1)-(2)y(3)F【分析】（1）由拋物線y=-x2+bx+c（2）利用待定系數(shù)法先求解拋物線的解析式即可；（3）先求解原拋物線的頂點坐標(biāo)為1,4，再求解平移后的拋物線的解析式為y=-x2+2x及點E的坐標(biāo)，取E關(guān)于y軸對稱的對稱點M-2,0，連接DM【詳解】（1）解：∵拋物線y=-x2+bx+c∴A的橫坐標(biāo)為：1-3-1∴A-（2）∵拋物線y=-x2+bx+c∴-b2×-∴拋物線為y=-（3）∵拋物線為y=-∴D1,4將拋物線向下平移，使平移后的拋物線經(jīng)過原點O，且與x軸的另一個交點為E，設(shè)平移后的拋物線為：y=-∴n-1=0，即∴平移后的拋物線為：y=-令y=0，則-解得：x1=0，x2如圖，取E關(guān)于y軸對稱的對稱點M-2,0，連接DM，交y軸于則C△設(shè)DM的解析式為：y=∴-2k+∴DM的解析式為：y=當(dāng)x=0時，y∴F0,【點睛】本題考查的是拋物線的對稱性的應(yīng)用，求解拋物線的解析式，一次函數(shù)的解析式，拋物線的平移，利用軸對稱的性質(zhì)求解三角形的周長的最小值時點的坐標(biāo)，掌握拋物線的相關(guān)知識是解本題的關(guān)鍵．【變式42】（2023春·江西贛州·九年級?？计谥校W(xué)以致用：問題1：怎樣用長為12cm小學(xué)時我們就知道結(jié)論：圍成正方形時面積最大，即圍成邊長為3cm的正方形時面積最大為9思考驗證：問題2：怎樣用鐵絲圍一個面積為9m小明猜測：圍成正方形時周長最?。疄榱苏f明其中的道理，小明翻閱書籍，找到下面的材料：結(jié)論：在a+b?2ab(a、b均為正實數(shù)）中，若ab為定值p，則aa+b?對于任意正實數(shù)a、b，∵(a-b)2∴a+b?解決問題：（1）若x>0，則x+4x?（當(dāng)且僅當(dāng)x=（2）運用上述結(jié)論證明小明對問題2的猜測；（3）當(dāng)x>-1時，求y【答案】（1）4，2；（2）見解析；（3）2【分析】（1）根據(jù)題意，由a+b?（2）設(shè)矩形的長、寬分別為x、y，由題意得xy=9，再根據(jù)公式證明當(dāng)x=y時，x+y有最小值，進而得結(jié)論；（3）把y=x2【詳解】解：（1）∵x∴4x∴當(dāng)x=4x∴x+4x故答案為4；2．（2）設(shè)矩形的長、寬分別為xm、ym，由題意得xy=9x+y?當(dāng)x=y=3時，x此時矩形的周長最小為：2(x∵x∴鐵絲圍一個面積為9m（3）y=∵x∴x+1>0，∴y?2∴當(dāng)x+1=4xy取最小值為：2．【點睛】本題是一個閱讀材料題，主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是讀懂題意，弄清解答的理論依據(jù)，學(xué)會對新知識進行拓展應(yīng)用，難度較大，第（3）題關(guān)鍵是把求出函數(shù)表達式轉(zhuǎn)化為兩個恰當(dāng)?shù)恼龑崝?shù)的和形式，才能應(yīng)用公式．【變式43】（2023·江蘇無錫·江蘇省錫山高級中學(xué)實驗學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，二次函數(shù)y=x2﹣4x的圖象與x軸、直線y=x的一個交點分別為點A、B，CD是線段OB上的一動線段，且CD=2，過點C、D的兩直線都平行于y軸，與拋物線相交于點F、E，連接EF．（1）點A的坐標(biāo)為，線段OB的長=；（2）設(shè)點C的橫坐標(biāo)為m．①當(dāng)四邊形CDEF是平行四邊形時，求m的值；②連接AC、AD，求m為何值時，△ACD的周長最小，并求出這個最小值．【答案】（1）A（4，0），52；（2）①m=5-22；②當(dāng)m=2-22【分析】（1）根據(jù)y=x2﹣4x中，令y=0，則0=x2﹣4x，可求得A（4，0），解方程組y=xy=x2-4x（2）①根據(jù)C（m，m），F(xiàn)（m，m2﹣4m），可得CF=m﹣（m2﹣4m），根據(jù)D（m+2，m+2），E（m+2，（m+2）2﹣4（m+2）），可得DE=m+2-[（m+2）2﹣4（m+2）]②先過點A作CD的平行線，過點D作AC的平行線，交于點G，則四邊形ACDG是平行四邊形，得出AC=DG，再作點A關(guān)于直線OB的對稱點A'，連接A'D，則A'D=AD，根據(jù)當(dāng)A'，D，G三點共線時，A'D+DG=A'G最短，可得此時AC+AD最短，然后求得直線A'G的解析式為y=-9-427x+4，解方程組可得D、C的坐標(biāo)，最后根據(jù)兩點間距離公式，求得【詳解】（1）∵y=x2﹣4x中，令y=0，則0=x2﹣4x，解得：x1=0，x2=4，∴A（4，0），解方