湖南省郴州市部分學校2024-2025學年高二上學期第一次月考數(shù)學試題

高二數(shù)學試卷注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：人教A版必修第一、二冊占60%，選擇性必修第一冊第一章至第二章第4節(jié)占40%.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用補集與交集的定義可求解.【詳解】因為全集，，所以，又因為，.故選：D.2.已知復數(shù)（），且，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復數(shù)的模的定義即可求解.【詳解】因為，，所以，解得，因為，所以.故選：D,3.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關系得出余弦值，再結合誘導公式化簡后應用二倍角正弦公式計算即可.【詳解】因為,又因為,所以,所以.故選：A.4.已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，則（）A.2 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用題意結合奇函數(shù)定義判斷是奇函數(shù)，再利用奇函數(shù)的性質求解即可.【詳解】因為定義在上的函數(shù)滿足，所以是奇函數(shù)，且，故，解得，故當時，，由奇函數(shù)性質得，而，故，故A正確.故選：A5.在正方體中，二面角的正切值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取的中點，連接，可得是二面角的平面角，求解即可.【詳解】取的中點，連接，由正方體，可得，所以，所以是二面角的平面角，設正方體的棱長為2，可得，所以，在中，,所以二面角的正切值為.故答案為：D.6.已知線段的端點B的坐標是，端點A在圓上運動，則線段的中點的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設出動點和動點的坐標，找到動點和動點坐標的關系，再利用相關點法求解軌跡方程即可.【詳解】設，，由中點坐標公式得，所以，故，因為A在圓上運動，所以，化簡得，故B正確.故選：B7.我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，將底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的棱柱稱為塹堵.已知在塹堵中，，，分別是所在棱的中點，則下列3個直觀圖中滿足的有（）A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間位置關系的向量證明逐個判斷即可.【詳解】在從左往右第一個圖中，因為，所以，因為側棱垂直于底面，所以面，如圖，以為原點建立空間直角坐標系，設，因為分別是所在棱中點，所以所以，，故，即得證，在從左往右第二個圖中，我們建立同樣的空間直角坐標系，此時，所以，，故，所以不垂直，在從左往右第三個圖中，我們建立同樣的空間直角坐標系，此時，故，，即，所以不垂直，則下列3個直觀圖中滿足的有個，故B正確.故選：B8.已知過點的直線l與x軸正半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B，O為坐標原點，則的最小值為（）A.12 B.8 C.6 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知直線的斜率存在設為，分別解出兩點的坐標，表示出的表達式由基本不等式即可求得最小值.【詳解】由題意知直線的斜率存在．設直線的斜率為，直線的方程為，則，所以，當且僅當，即時，取等號.所以的最小值為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關于直線對稱C.的圖象關于點中心對稱D.的值域為【答案】ABD【解析】【分析】求得最小正周期判斷A；求得對稱軸判斷B；求得對稱中心判斷C；求得值域判斷D.【詳解】因為，所以的最小正周期為，故A正確；由，可得，所以圖象的對稱軸為，當時，圖象的關于對稱，故B正確；由，可得，所以圖象的對稱中心為，當時，圖象的關于點對稱，故C不正確；由，故的值域為，故D正確.故選：ABD.10.若數(shù)據(jù)，，和數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)、方差、極差均相等，則（）A.數(shù)據(jù)，，，，，與數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)相等B.數(shù)據(jù)，，，，，與數(shù)據(jù)，，的方差相等C.數(shù)據(jù)，，，，，與數(shù)據(jù)，，的極差相等D.數(shù)據(jù)，，，，，與數(shù)據(jù)，，的中位數(shù)相等【答案】ABC【解析】【分析】運用平均數(shù)，方差，極差，中位數(shù)的計算方法和公式計算，通過已知兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差、極差均相等這個條件，來分析這兩組數(shù)據(jù)組合后的相關統(tǒng)計量與原數(shù)據(jù)的關系.【詳解】設數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，數(shù)據(jù)的平均數(shù)也為.那么數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，A選項正確.設數(shù)據(jù)的方差為，數(shù)據(jù)的方差也為.對于數(shù)據(jù)，其方差計算為,所以數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)的方差相等，B選項正確.設數(shù)據(jù)的極差為，數(shù)據(jù)的極差也為.對于數(shù)據(jù)，其極差是這六個數(shù)中的最大值減去最小值，由于前面兩組數(shù)據(jù)的極差相等，所以組合后數(shù)據(jù)的極差依然是，所以數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)的極差相等，C選項正確.設數(shù)據(jù)按從小到大排列為，中位數(shù)為.設數(shù)據(jù)按從小到大排列為，中位數(shù)為.對于數(shù)據(jù)按從小到大排列后，中位數(shù)不一定是，所以數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定相等，D選項錯誤.故選：ABC11.已知四棱柱底面是邊長為6的菱形，平面，，，點P滿足，其中，，，則（）A.當P為底面的中心時，B.當時，長度的最小值為C.當時，長度的最大值為6D.當時，為定值【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意，利用空間向量進行逐項進行分析求解判斷.【詳解】對于A，當為底面的中心時，由，則故，故A錯誤；對于B，當時，當且僅當，取最小值為，故B正確;對于C，當時，，則點在及內部，而是以為球心，以為半徑的球面被平面所截圖形在四棱柱及內的部分，當時，，當時，，可得最大值為，故C正確；對于D，，，而，所以，則為定值，故D正確.故答案選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，.若，則__________.【答案】【解析】【分析】利用平面向量的坐標運算結合平面向量垂直的性質建立方程，求解參數(shù)即可.【詳解】因為向量，，所以，因為，所以，解得.故答案為：13.已知在正四棱臺中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為__________.【答案】【解析】【分析】利用向量的線性運算求得，根據(jù)向量的夾角公式可求異面直線與所成角的余弦值.【詳解】，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：14.已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】令，可得或，函數(shù)有三個零點，則需方程有兩個解，則y=gx與的圖象有兩個交點，數(shù)形結合可求解.【詳解】令，可得，所以，所以或，由，又，可得，解得或，方程無解，方程有一解，故有一解，要使函數(shù)有三個零點，則有兩解，即y=gx與的圖象有兩個交點，作出函數(shù)y=gx由圖象可得，解得.所以的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）若，求B；（2）若，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再結合內角和定理與兩角和與差的正弦公式化簡等式得，代入求解可得；（2）由根據(jù)角的范圍得，由正弦定理結合二倍角公式可得，從而得，再利用余弦定理求邊，由面積公式可求結果.【小問1詳解】因為，所以由正弦定理得，，又代入上式得，所以，由，則為銳角，且，所以.【小問2詳解】由（1）知，，因為，，所以，則，，故，或（舍去）所以，又，，由正弦定理得，則，則，由余弦定理得，則，化簡得，解得，所以.故的面積為.16.甲、乙、丙三人打臺球，約定：第一局由甲、乙對打，丙輪空；每局比賽的勝者與輪空者進行下一局對打，負者下一局輪空，如此循環(huán).設甲、乙、丙三人水平相當，每場比賽雙方獲勝的概率都為.（1）求甲連續(xù)打四局比賽的概率；（2）求在前四局中甲輪空兩局的概率；（3）求第四局甲輪空的概率.【答案】（1）18（2）（3）【解析】【分析】（1）由題意知甲前三局都要打勝，計算可得甲連續(xù)打四局比賽的概率；（2）甲輪空兩局的情況為，第一局甲敗，第二局輪空，第三局甲敗，第四局輪空，計算即可；（3）分析可得甲第四輪空有兩種情況：第1種情況，第一局甲敗，第二局輪空，第三局甲敗，第四局輪空，第2種情況，第一局甲勝，第二局甲勝，第三局甲敗，第四局輪空，計算即可.【小問1詳解】若甲連續(xù)打四局，根據(jù)比賽規(guī)則可知甲前三局都要打勝，所以甲連續(xù)打四局比賽的概率；【小問2詳解】在前四局中甲輪空兩局的情況為，第一局甲敗，第二局輪空，第三局甲敗，第四局輪空，故在前四局中甲輪空兩局的概率；【小問3詳解】甲第四輪空有兩種情況：第1種情況，第一局甲敗，第二局輪空，第三局甲敗，第四局輪空，第2種情況，第一局甲勝，第二局甲勝，第三局甲敗，第四局輪空，第1種情況的概率；第2種情況的概率；由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲輪空的概率為.17.如圖，在幾何體中，平面，，，，，分別為棱，的中點.（1）證明：平面．（2）證明：.（3）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）構造線線平行，證明線面平行.（2）先證平面，得到，結合（1）中的結論，可得.（3）問題轉化為直線與平面所成角的正弦值.設，表示的長，利用體積法求到平面的距離，則問題可解.【小問1詳解】如圖，連接.在中，，分別為棱，的中點，所以,，又平面，平面.所以平面.【小問2詳解】因為平面，平面，所以，又,平面，且，所以平面.因為平面，所以.又因為，所以.【小問3詳解】因為，所以直線與平面所成角與直線與平面所成角相等，設為.不妨設，則.設到平面的距離為.則.又.在中，，，所以.所以.所以.故直線與平面所成角的正弦為.18.設A是由若干個正整數(shù)組成的集合，且存在3個不同的元素a，b，，使得，則稱A為“等差集”．（1）若集合，，且B是“等差集”，用列舉法表示所有滿足條件的B；（2）若集合是“等差集”，求m的值；（3）已知正整數(shù)，證明：不是“等差集”．【答案】（1）答案見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等差集定義結合子集的定義求解即可；（2）根據(jù)等差集定義應用，即逐個計算判斷即可；（3）應用反證法證明集合不是等差集.【小問1詳解】因為集合，，存在3個不同的元素a，b，，使得，則或或.【小問2詳解】因為集合是“等差集”，所以或或,計算可得或或或，又因為正整數(shù),所以.【小問3詳解】假設是“等差集”，則存在,成立，化簡可得,因為,所以,所以x=1與集合的互異性矛盾，所以不是“等差集”．【點睛】方法點睛：解題方法是定義的理解，應用反證法設集合是等差集，再化簡計算得出矛盾即可證明.19.過點作斜率分別為，的直線，，若，則稱直線，是定積直線或定積直線．（1）已知直線：，直線：，試問是否存在點，使得直線，是定積直線？請說明理由．（2）在中，為坐標原點，點與點均在第一象限，且點在二次函數(shù)的圖象上．若直線與直線是定積直線，直線與直線是定積直線，直線與直線是定積直線，求點的坐標．（3）已知直線與是定積直線，設點到直線，的距離分別為，，求的取值范圍．【答案】（1）存在，理由見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由定積直線的定義運算可求結論；（2）設直線的斜率為，則直線的斜率為，利用定積直線的定義可得或，進而，計算即可；（3）設直線，直線，其中，計算得，利用基本不等式可求的取值范圍.【小問