河北省承德市聯(lián)校高三上學期期末考試數(shù)學（文）試題

承德市聯(lián)校2017～2018學年上學年期末考試卷高三數(shù)學（文科）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合,，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意結(jié)合交集的定義有：.本題選擇B選項.2.設(shè)復數(shù)滿足，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由復數(shù)的運算法則有：，則：.本題選擇C選項.3.某城市收集并整理了該市2017年1月份至10月份各月最低氣溫與最高氣溫（單位；）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖。已知該市的各月最低氣溫與最高氣溫具有較好的線性關(guān)系，則根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是A.最低氣溫與最高氣溫為正相關(guān)B.10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫C.月溫差（最高氣溫減最低氣溫）的最大值出現(xiàn)在1月D.最低氣溫低于的月份有4個【答案】D【解析】由圖可以看出，當最低氣溫較大時，最高氣溫也較大，故A正確；10月份的最高氣溫大于20，而5月份的最高氣溫為不超過20，故B正確；從各月的溫差看，1月份的溫差最大，故C正確；而最低氣溫低于的月份是1，2，4三月份，故D錯，選D.4.設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為,，，若，，，則（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】由余弦定理可得：，即：，整理可得：，結(jié)合可得：.本題選擇A選項.5.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有陽馬，廣五尺，褒七尺，高八尺，問積幾何?”其意思為：“今有底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長、寬分別為7尺和5尺，高為8尺，問它的體積是多少?”若以上的條件不變，則這個四棱錐的外接球的表面積為（）A.平方尺B.平方尺C.平方尺D.平方尺【答案】C【解析】將該幾何體補形為長方體，外接球的直徑即為長方體的對角線，即，故其表面積是.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（）A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】，故輸出.7.已知函數(shù)的最小正周期為，且其圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，則等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由最小正周期公式可得：，函數(shù)的解析式為：，將函數(shù)圖像向右平移個單位后得到的函數(shù)圖像為：，據(jù)此可得：，令可得.本題選擇B選項.點睛：由y＝sinx的圖象，利用圖象變換作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)(x∈R)的圖象，要特別注意：當周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象沿x軸的伸縮量的區(qū)別．先平移變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|φ|個單位；而先周期變換(伸縮變換)再平移變換，平移的量是個單位．8.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為，若直線上存在區(qū)城內(nèi)的點，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】畫出可行域如下圖，直線恒過定點，由圖可知，，及.9.函數(shù)的部分圖像大致是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除；當時，設(shè)，則，即在區(qū)間上遞增，且，又在區(qū)間上，排除B；當時，，排除C，故選D.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意的選項一一排除.10.某幾何體的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則該幾何體的表面積為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由三視圖可知，該幾何體為四棱錐.故其表面積為.【點睛】本題主要考查三視圖還原回直觀圖，考查椎體的表面積等知識.三視圖主俯長對正、主左高平齊、俯左寬相等,即：,主視圖和俯視圖的長要相等,主視圖和左視圖的高要相等,左視圖和俯視圖的寬要相等。首先要注意三視圖的一些性質(zhì),主視圖和左視圖如果都是三角形的必然是椎體，要么是棱錐要么是圓錐。11.過拋物線的焦點作斜率大于0的直線交拋物線于，兩點（在的上方），且與準線交于點，若，則（）A.B.C.3D.2【答案】A【解析】分別過作準線的垂線，垂足分別為，設(shè)，則，，故選A.12.已知，函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).若函數(shù)與有相同的值域，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意可得：，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)可知是單調(diào)遞增函數(shù)，且，則：當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；當時，，且，故函數(shù)的值域為，函數(shù)與有相同的值域，則：，即，結(jié)合可得的取值范圍是.本題選擇B選項.點睛：導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度，從高考來看，對導數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.在中，，，若邊的中點的坐標為，點的坐標為，則________．【答案】3【解析】由可得：,即△ABC是等腰三角形，由等腰三角形三線合一可知：，且，據(jù)此可得：.14.一只蜜蜂在一個正方體箱子里面自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持在該正方體內(nèi)切球范圍內(nèi)飛行，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為________．【答案】【解析】設(shè)正方體箱子棱長為，由已知條件可知，蜂蜜只能在一個半徑為的球內(nèi)飛行，結(jié)合幾何概型知識可得蜂蜜“安全飛行”的概率，故答案為.【方法點睛】本題題主要考查“體積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與體積有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計算問題題的總體積（總空間)以及事件的體積(事件空間)；幾何概型問題還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關(guān)注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導致錯誤；（2）基本裏件對應(yīng)的區(qū)域測度把握不準導致錯誤；（3）利用幾何概型的概率公式時,忽視驗證事件是否等可能性導致錯誤.15.若，，則________．【答案】【解析】由題意結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系有：，則：.16.設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線分別交于點，，且在第一象限，若為等邊三角形，則雙曲線的實軸長為________．【答案】【解析】在第二象限，設(shè)，則，又，所以，所以，所以且，故，整理得到且．又，所以，所以，解得，所以實軸長為，填．點睛：圓錐曲線中，與一個焦點有關(guān)的問題，可以轉(zhuǎn)化到另一個焦點的距離．另外，如果點為雙曲線上的點，焦點為，則．三、解答題:本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知正項數(shù)列滿足，.數(shù)列的前項和滿足.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）,（2）.【解析】試題分析：(1)由題意結(jié)合所給的遞推公式可得數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，利用前n項和與通項公式的關(guān)系可得的通項公式為.(2)結(jié)合(1)中求得的通項公式裂項求和可得數(shù)列的前項和.試題解析：（1）因為，所以，，因為，所以，所以，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，當時，，當時也滿足，所以.（2）由（1）可知，所以.18.唐三彩，中國古代陶瓷燒制工藝的珍品，它吸取了中國國畫、雕塑等工藝美術(shù)的特點，在中國文化中占有重要的歷史地位，在中國的陶瓷史上留下了濃墨重彩的一筆，唐三彩的生產(chǎn)至今已有1300多年的歷史，對唐三彩的復制和仿制工藝，至今也有百余年的歷史。某陶瓷廠在生產(chǎn)過程中，對仿制的100件工藝品測得其重量（單位；）數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)分組如下表：分組頻數(shù)頻率42628102合計100（1）在答題卡上完成頻率分布表；（2）以表中的頻率作為概率，估計重量落在中的概率及重量小于2.45的概率是多少?（3）統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值（例如區(qū)間的中點值是作為代表.據(jù)此，估計這100個數(shù)據(jù)的平均值.【答案】（1）見解析（2），（3）.【解析】試題分析：(1)由題意計算的頻數(shù)為30，據(jù)此計算頻率值完成頻率分布表即可；(2)由題意結(jié)合古典概型計算公式可得重量落在中的概率為0.94，重量小于2.45的概率是0.45.(3)由題意結(jié)合頻率分布直方圖中的平均值計算方法計算可得這100個數(shù)據(jù)的平均值是.試題解析：（1）分組頻數(shù)頻率40．04260.26300.30280.28100.1020.02合計1001.00（2）重量落在中的概率約為，或.重量小于2.45的概率約為.（3）這100個數(shù)據(jù)的平均值約為.19.如圖，在三棱臺中，，分別是，的中點，，平面,且.（1）證明：平面；（2）若，為等邊三角形，求四棱錐的體積.【答案】（1）見解析（2）.【解析】試題分析：（1）設(shè)與相交于，連接，根據(jù)三角形中位線定理可得，由線面平行的判定定理可得平面；（2）四棱錐的體積等于三棱柱的體積減去三棱錐的體積，先證明是棱柱與棱錐的高，再求出三棱柱的體積及三棱錐的體積，從而可得四棱錐的體積．試題解析：（1）設(shè)與相交于，連接，由題意可知，，，所以四邊形是平行四邊形，從而是的中點．又是的中點，所以．又平面，平面，所以平面．（2）易證，是三棱柱，又因為平面，所以是此三棱柱的高，同理也是三棱錐的高．因為，為等邊三角形，所以，，，又，所以．20.已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為，若直線的斜率為1，且與橢圓的另一個交點為，的周長為.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點的直線（直線斜率不為1)與橢圓交于，兩點，點在點的上方，若，求直線的斜率.【答案】（1）（2）.【解析】試題分析：（1）由的周長為，可得，由直線的斜率為可得，由直線的斜率，得，結(jié)合求出從而可得橢圓的標準方程；（2）先求出，由可得，直線的方程為，則，聯(lián)立，所以，根據(jù)韋達定理列出關(guān)于的方程求解即可.試題解析：（1）因為的周長為，所以，即，由直線的斜率，得，因為，所以，所以橢圓的標準方程為.（2）由題意可得直線方程為，聯(lián)立得，解得，所以，因為，即，所以，當直線的斜率為時，不符合題意，故設(shè)直線的方程為，由點在點的上方，則，聯(lián)立，所以，所以，消去得，所以，得，又由畫圖可知不符合題意，所以，故直線的斜率為.【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和數(shù)量積公式，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.21.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若對任意的，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）當時，，根據(jù)點斜式得直線方程（2）恒成立，等價于.令，則，設(shè)，求導研究在上遞減.又，所以，存在，使得.函數(shù)在上遞增，在上遞減.因為對任意的恒成立，所以，則，解不等式組求解.試題解析：（1）當時，，，所以所求切線方程為，即.（2），即，等價于.令，則，設(shè)，則，因為，所以，所以在上遞減.又，所以，存在，使得.因此，當時，；當時，.即函數(shù)在上遞增，在上遞減.因為對任意的恒成立，所以，則，即.又，所以，即點睛：本題考查了利用導數(shù)求在某點處切線方程，不等式恒成立問題采用了變量分離，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，注意當確定所研究的最值在端點處取到時,可以不用討論誰是最值,列不等式組同時限制即可.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.22.[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程]在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)程為（為參數(shù)），設(shè)直線與的交點為,當變化時點的軌跡為曲線.（1）求出曲線的普通方程；（2）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，點為曲線的動點，求點到直線的距離的最小值.【答案】（1）.（2）.【解析】【試題分析】（1）利用加減消元法，消去參數(shù)，可將轉(zhuǎn)化為普通方程.將兩方程聯(lián)立，消去可得的普通方程.（2）先將直線的極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程，寫出的參數(shù)方程，利用點到直線的距離公式和三角函數(shù)輔助角公式，可求得距離的最小值.【試題解析】（1）將，的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，①，②①×②消可得：，因為，所以，所以的普通方程為.（2）直線的直角坐標方程為：.由（1)知曲線與直線無公共點，由于的參數(shù)方程為（為參數(shù)，，），所以曲線上的點到直線的距離為，所以當時，的最小值為.23.[選修4—5：不等式選講]已知函數(shù)，.（1）求不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式的解集非空，求的取值范圍.【答案】（1）