141整式乘法（講練）-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊重要考點(diǎn)(人教版)（原卷版）

14.1整式乘法單項(xiàng)式的乘法法則單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個因式.注意：（1）單項(xiàng)式的乘法法則的實(shí)質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應(yīng)用.（2）單項(xiàng)式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項(xiàng)式的系數(shù)交換到一起進(jìn)行有理數(shù)的乘法計(jì)算，先確定符號，再計(jì)算絕對值；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進(jìn)行計(jì)算；只在一個單項(xiàng)式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個因式.（3）運(yùn)算的結(jié)果仍為單項(xiàng)式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.（4）三個或三個以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用以上法則.題型1：單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式計(jì)算1.計(jì)算3x2?(-2A．6x5 B．-6x5 C．【變式11】計(jì)算：（1）＝；（2）6b2?4ab＝；（3）2m3n?（﹣mn2）＝；（4）﹣4a3b2c?3ab3＝．【變式12】計(jì)算：（1）5a2?a4﹣3（a3）2+（﹣a3）2．（2）（﹣ab）?（﹣4a2b）+6a?（﹣2ab）2．題型2：單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式科學(xué)計(jì)數(shù)法2.光的速度約為3×105km/s，太陽光射到地球上需要的時間約是5×102s，地球與太陽的距離約是多少千米？【變式21】經(jīng)天文學(xué)家測算，太陽系外離地球最近的恒星系是南門二，其中比鄰星發(fā)出的光到達(dá)地球的時間約為4.22年，光的速度是3×105km/s，求比鄰星到地球的距離s．（結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示，1年按3.15×107秒計(jì)算）【變式22】市環(huán)保局將一個長為2×106分米，寬為4×104分米，高為8×102分米的長方體廢水池中的滿池廢水注入正方體貯水池凈化，那么請你想一想，能否恰好有一個正方體貯水池將這些廢水剛好裝滿？若有，求出正方體貯水池的棱長；若沒有，請說明理由．單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.注意：（1）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的計(jì)算方法，實(shí)質(zhì)是利用乘法的分配律將其轉(zhuǎn)化為多個單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的問題.（2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積仍是一個多項(xiàng)式，項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同.（3）計(jì)算的過程中要注意符號問題，多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)包括它前面的符號，同時還要注意單項(xiàng)式的符號.（4）對混合運(yùn)算，應(yīng)注意運(yùn)算順序，最后有同類項(xiàng)時，必須合并，從而得到最簡的結(jié)果.題型3：單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式計(jì)算3.已知﹣4a與一個多項(xiàng)式的積是16a3+12a2+4a，則這個多項(xiàng)式是（）A．﹣4a2+3a B．4a2﹣3a C．4a2﹣3a+1 D．﹣4a2﹣3a﹣1【變式31】計(jì)算：（1）（﹣2a2b）3?（3b2﹣4a+6）；（2）（﹣2m）2?（m2﹣5m﹣3）．【變式32】計(jì)算：（1）．（2）6a2（ab﹣b2）﹣2a2b（a﹣b）．多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.注意：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式.在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該等于兩個多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的最后結(jié)果需化簡，有同類項(xiàng)的要合并.特殊的二項(xiàng)式相乘：.題型4：多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式計(jì)算4.計(jì)算（x+5）（x﹣3）的結(jié)果是（）A．x2﹣15 B．x2+15 C．x2+2x﹣15 D．x2﹣2x﹣15【變式41】（1）（2a+b）（2b﹣a）．（2）（2）．（3）（2x﹣7y）（3x+4y﹣1）．【變式42】（1）計(jì)算：（x+3）（x﹣7）﹣x（x﹣1）．（2）（x+1）（x﹣2）+x（x+1）+1．（3）2x（x﹣3）+（x﹣2）（x+7）．題型5：整式乘法與求字母的值5.若（x+3）（2x﹣m）＝2x2+nx﹣15，則（）A．m＝﹣5，n＝1 B．m＝﹣5，n＝﹣1 C．m＝5，n＝1 D．m＝5，n＝﹣1【變式51】已知A=（a+3）（a2）+a（2a）．

（1）化簡A；

（2）若a的值是不等式組的最大整數(shù)解，求A的值．【變式52】已知（m+n）xnym2（3xy2+5x2y）=21xmyn+1+35xm+1yn，求m和n.題型6：整式乘法與化簡求值6.先化簡，再求值：（x+y）2﹣y（2x+y）﹣8y，其中x=﹣1，y=2．【變式61】．先化簡，再求值：（2a+b）（﹣b+2a）﹣（2a﹣3b）2﹣5b（3a﹣2b），其中a=﹣12，b=13【變式62】先化簡，再求值：（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2，其中x=﹣4，y=12題型7：整式乘法錯看問題7.某同學(xué)在計(jì)算一個多項(xiàng)式乘以﹣3x2時，因抄錯運(yùn)算符號，算成了加上﹣3x2，得到的結(jié)果是x2﹣4x+1，那么正確的計(jì)算結(jié)果是多少？【變式71】在計(jì)算(x+a)(x+b)時，甲把錯b看成了6，得到結(jié)果是：x2+8x+12；（1）求出a,b（2）在（1）的條件下，計(jì)算(x+a【變式72】在計(jì)算（x+a）（x+b）時，甲把b錯看成了6，得到結(jié)果是：x2+8x+12；乙錯把a(bǔ)看成了a,得到結(jié)果：x2+x6．

（1）求出a,b的值；

（2）在（1）的條件下，計(jì)算（x+a）（x+b）的結(jié)果．題型8：整式乘法遮擋問題8.在復(fù)習(xí)“整式的乘除與因式分解”時，老師在黑板上書與了一道練習(xí)題并正確地計(jì)算出結(jié)果，隨后用手遮住了一個多項(xiàng)式，形式如下：?（﹣22x）＝﹣8x3﹣4x2+4x（1）設(shè)老師遮住的多項(xiàng)式為A，求多項(xiàng)式A．（2）求多項(xiàng)式A與多項(xiàng)式x﹣的乘積．【變式81】李老師給同學(xué)們講了一道題，小明認(rèn)真地把它抄在筆記本上，放學(xué)后回到家拿出課堂筆記本，突然這道題的被除式的第二項(xiàng)和商的第一項(xiàng)被墨水污染了，污染后的習(xí)題如下：（21x4y3﹣+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝+5xy﹣y．你能復(fù)原被污染的地方嗎？請你試一試．【變式82】莜莜不小心將墨水滴到了課本上，剛好把數(shù)學(xué)題（9x5y2﹣2x3y）■xy的運(yùn)算符號遮?。?）若被墨水遮住的運(yùn)算符號為乘號，求該數(shù)學(xué)題的計(jì)算結(jié)果；（2）若該數(shù)學(xué)題的結(jié)果為9x4y﹣2x2，求被墨水遮住的運(yùn)算符號．題型9：整式乘法不含某項(xiàng)問題9.已知（x2+nx）與（x2﹣3x+m）的乘積中不含x2和x3的項(xiàng)，求m，n的值．【變式91】已知將（x3+ax+b）（x2﹣3x+4）展開的結(jié)果不含x2和x3項(xiàng)，求a，b的值．【變式92】關(guān)于x的代數(shù)式（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m化簡后不含有x2項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，且an+mn＝﹣5，求﹣4n2+3m的值．【分析】先利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則化簡整式，再根據(jù)化簡后不含有x2項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)求出a、m，代入方程an+mn＝﹣5求出n，最后求出﹣4n2+3m的值．【變式93】（1）已知計(jì)算（x2+mx+n）（x24x+2）的結(jié)果不含x3和x2項(xiàng)，求m、n的值．

（2）已知△ABC三邊分別為a、b、c,化簡：|a2bc|+|bca|+|cab|．題型10：整式乘法新定義問題10.將4個數(shù)a，b，c，d排成2行2列，兩邊各加一條豎線記成，定義＝ad﹣bc，上述記號叫做二階行列式，若＝5x，求x的值．【變式101】定義：一個多項(xiàng)式A乘以另一個多項(xiàng)式B化簡得到新的多項(xiàng)式C，若C的項(xiàng)數(shù)比A的項(xiàng)數(shù)多不超過1項(xiàng)，則稱B是A的“友好多項(xiàng)式”．特別地，當(dāng)C的項(xiàng)數(shù)和A相同時，則稱B是A的“特別友好多項(xiàng)式”．（1）若A＝x﹣2，B＝x+3，那么B是否是A的“友好多項(xiàng)式”？請說明理由；（2）若A＝x﹣2，B是A的“特別友好多項(xiàng)式”，①請舉出一個符合條件的二項(xiàng)式B＝．②若B是三項(xiàng)式，請舉出一個符合條件的B，并說明理由；（3）若A是三項(xiàng)式，是否存在同樣是三項(xiàng)式的B，使得B是A的“友好多項(xiàng)式”？若存在，請舉例說明，若不存在，請說明理由．【變式102】給出如下定義：我們把有序?qū)崝?shù)對（a，b，c）叫做關(guān)于x的二次多項(xiàng)式ax2+bx+c的特征系數(shù)對，把關(guān)于x的二次多項(xiàng)式ax2+bx+c叫做有序?qū)崝?shù)對（a，b，c）的特征多項(xiàng)式．（1）關(guān)于x的二次多項(xiàng)式3x2+2x﹣1的特征系數(shù)對為；（2）求有序?qū)崝?shù)對（1，4，4）的特征多項(xiàng)式與有序?qū)崝?shù)對（1，﹣4，4）的特征多項(xiàng)式的乘積；（3）若有序?qū)崝?shù)對（p，q，﹣1）的特征多項(xiàng)式與有序?qū)崝?shù)對（m，n，﹣2）的特征多項(xiàng)式的乘積的結(jié)果為2x4+x3﹣10x2﹣x+2，直接寫出（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值為．題型11：整式乘法與規(guī)律問題11.觀察下面的幾個算式，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？①16×14＝224＝1×（1+1）×100+6×4②23×27＝621＝2×（2+1）×100+3×7③32×38＝1216＝3×（3+1）×100+2×8（1）按照上面的規(guī)律，依照上面的書寫格式，迅速寫出81×89的結(jié)果；（2）用公式（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab證明上面所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律[提示：可設(shè)這個兩位數(shù)分別是（10n+a）、（10n+b），其中a+b＝10]；（3）簡單敘述以上所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．【變式111】觀察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…（1）根據(jù)上面各式的規(guī)律可得（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x2+x+1）＝（其中n為正整數(shù)）；（2）利用上述規(guī)律，求1+2+22+23+…+250的值．【變式112】探究應(yīng)用：（1）計(jì)算：（x﹣1）（x2+x+1）＝；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝．（2）上面的乘法計(jì)算結(jié)果很簡潔，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律（公式）？用含字母a、b的等式表示該公式為：．（3）下列各式能用第（2）題的公式計(jì)算的是．A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）C．（3﹣n）（9+3n+n2）D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）設(shè)A＝109﹣1，利用上述規(guī)律，說明A能被37整除．單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只有被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：先把多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個單項(xiàng)式，再把所得的商相加.即注意：（1）法則包括三個方面：①系數(shù)相除；②同底數(shù)冪相除；③只在被除式里出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個因式.（2）單項(xiàng)式除法的實(shí)質(zhì)即有理數(shù)的除法（系數(shù)部分）和同底數(shù)冪的除法的組合，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的結(jié)果仍為單項(xiàng)式.注意：（1）由法則可知，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式來解決，其實(shí)質(zhì)是將它分解成多個單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式.（2）利用法則計(jì)算時，多項(xiàng)式的各項(xiàng)要包括它前面的符號，要注意符號的變化.題型12：整式除法的運(yùn)算與求值12.計(jì)算：（1）（3a2b3）?（﹣2ab4）÷（6a2b3）．（2）a?a2?a3+（﹣2a3）2﹣（2a4）2÷a2．（3）計(jì)算：a2?a4﹣6a8÷2a2+（﹣3a3）2．（2）（12x3﹣18x2+6x）÷（﹣6x）．【變式121】計(jì)算：[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y．計(jì)算：（8x4﹣6x3﹣4x2+10x）÷（﹣2x）．【變式122】若某多項(xiàng)式除以2x2﹣3，得到的商式為x+4，余式為3x+1，求此多項(xiàng)式．【變式123】如果，求m，a，b的值．一、單選題1．下列各式正確的是（）.A．4=22 B．20=0 C．32．下列計(jì)算結(jié)果是x6的是（）A．x3+x3 B．x4÷x23．已知(x-1)3=axA．1 B．0 C．1 D．不能確定4．下列運(yùn)算中，結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)3÷a3=a B．a(chǎn)2+a2=a4 5．下列運(yùn)算正確的是（）A．（x3）3=x9 B．（﹣2x）3=﹣6x3C．2x2﹣x=x D．x6÷x3=x26．下列運(yùn)算正確的是（）A．7a3-3C．a(chǎn)6÷a3二、填空題7．計(jì)算(a2)3÷a

8．計(jì)算：-9-π09．有兩塊總面積相等的場地，左邊場地為正方形，由四部分構(gòu)成，各部分的面積數(shù)據(jù)如圖所示，右邊場地為長方形，長為12(a+b)10．按下面程序計(jì)算，輸入x=3，則輸出的答案是。三、計(jì)算題11．計(jì)算：（1）（x﹣5）（x+3）．（2）﹣5a5b3c÷15a4b．12．計(jì)算．（1）（4x2y﹣8x3y2）÷（4x2y）；（2）（5x2y3﹣4x3y2+6x）÷（6x）；（3）(2a2b（4）[x（3﹣4x）+2x2（x﹣1）]÷（﹣2x）．四、解答題13．已知2a2+3a﹣6=0．求代數(shù)式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．14．（﹣2a2）?（﹣ab2）3?（2a2b3）15．提出問題：怎么運(yùn)用矩形面積表示(y+2)(y+3)與2y+5的大小關(guān)系