2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章概率3.3.2均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生課時素養(yǎng)評價含解析新人教A版必修3

PAGE勻稱隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生(20分鐘35分)1.設(shè)x1是[0，1]內(nèi)的勻稱隨機(jī)數(shù)，x2是[-2，1]內(nèi)的勻稱隨機(jī)數(shù)，則x1與x2的關(guān)系是()A.x2=2x1-2 B.x2=3x1-2C.x2=3x1+2 D.x2=x1-2【解析】選B.留意到x2的區(qū)間長度是x1的區(qū)間長度的3倍，因此設(shè)x2=3x1+b(b是常數(shù))，再用兩個區(qū)間中點(diǎn)的對應(yīng)值，得當(dāng)x1=QUOTE時，x2=-QUOTE，所以-QUOTE=3×QUOTE+b，得b=-2.因此x1與x2的關(guān)系式是x2=3x1-2.2.函數(shù)f(x)=x2-x-2，x∈[-5，5]，用計算器上的隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生一個[-5，5]上的隨機(jī)數(shù)x0，那么使f(x0)≤0的概率為()A.0.1B.QUOTEC.0.3D.0.4【解析】選C.用計算器產(chǎn)生的x0∈[-5，5]，其區(qū)間長度為10.使f(x0)≤0，即QUOTE-x0-2≤0，得-1≤x0≤2，其區(qū)間長度為3，所以使f(x0)≤0的概率為QUOTE=0.3.3.如圖，扇形AOB的半徑為1，圓心角為90°，點(diǎn)C，D，E將弧AB等分成四份.連接OC，OD，OE，從圖中全部扇形中隨機(jī)取出一個，面積恰為QUOTE的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.題圖中共有10個不同的扇形，分別為扇形AOB，AOC，AOD，AOE，EOB，EOC，EOD，DOC，DOB，COB，其中面積恰為QUOTE的扇形(即相應(yīng)圓心角恰為45°的扇形)共有3個(即扇形AOD，EOC，BOD)，因此所求的概率等于QUOTE.4.部分與整體以某種相像的方式呈現(xiàn)稱為分形.謝爾賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1915年提出.詳細(xì)操作是取一個實(shí)心三角形，沿三角形的三邊中點(diǎn)連線，將它分成4個小三角形，去掉中間的那一個小三角形后，對其余3個小三角形重復(fù)上述過程逐次得到各個圖形，如圖.現(xiàn)在上述圖(3)中隨機(jī)選取一個點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為______.

【解析】設(shè)題圖(3)中最小黑色三角形面積為S，由題圖可知圖(3)中最大三角形面積為16S，圖(3)中，陰影部分的面積為9S，依據(jù)幾何概型概率公式可得，圖(3)中隨機(jī)選取一個點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為QUOTE.答案：QUOTE5.實(shí)數(shù)m是區(qū)間[0，6]上的隨機(jī)數(shù)，則方程x2-mx+4=0有實(shí)根的概率是______.

【解析】由QUOTE解得4≤m≤6，故所求的概率為P=QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE6.用隨機(jī)模擬方法求函數(shù)y=QUOTE與x軸和直線x=1圍成的圖形的面積.【解析】如圖所示，陰影部分是函數(shù)y=QUOTE的圖象與x軸和直線x=1圍成的圖形，設(shè)陰影部分的面積為S.隨機(jī)模擬的步驟：(1)利用計算機(jī)產(chǎn)生兩組[0，1]內(nèi)的勻稱隨機(jī)數(shù)，x1=RAND，y1=RAND；(2)統(tǒng)計試驗(yàn)總數(shù)N和落在陰影內(nèi)的點(diǎn)數(shù)N1(滿意條件y<QUOTE的點(diǎn)(x，y)的個數(shù))；(3)計算頻率QUOTE，即為點(diǎn)落在陰影部分的概率的近似值；(4)直線x=1，y=1和x，y軸圍成的正方形面積為1，由幾何概型概率的計算公式得，點(diǎn)落在陰影部分的概率為QUOTE=S.則S=QUOTE，即陰影部分面積的近似值為QUOTE.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1.要產(chǎn)生[-3，3]上的勻稱隨機(jī)數(shù)y，現(xiàn)有[0，1]上的勻稱隨機(jī)數(shù)x，則y可取為()A.-3x B.3xC.6x-3 D.-6x-3【解析】選C.方法一：利用伸縮和平移變換進(jìn)行推斷.方法二：由0≤x≤1，得-3≤6x-3≤3，故y可取6x-3.2.用隨機(jī)模擬方法，近似計算由曲線y=x2及直線y=1所圍成部分的面積S.利用計算機(jī)產(chǎn)生N組數(shù)，每組數(shù)由區(qū)間[0，1]上的兩個勻稱隨機(jī)數(shù)a1=RAND，b=RAND組成，然后對a1進(jìn)行變換a=2(a1-0.5)，由此得到N個點(diǎn)(xi，yi)(i=1，2，…，N).再數(shù)出其中滿意QUOTE≤yi≤1(i=1，2，…，N)的點(diǎn)數(shù)N1，那么由隨機(jī)模擬方法可得到的近似值為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.由題意，對a1進(jìn)行變換a=2(a1-0.5)，由此得到N個點(diǎn)(xi，yi)(i=1，2，…，N).再數(shù)出其中滿意QUOTE≤yi≤1(i=1，2，…，N)的點(diǎn)數(shù)N1，所以由隨機(jī)模擬方法可得到的近似值為QUOTE.3.如圖所示，在墻上掛著一塊邊長為16cm的正方形木板，上面畫了小、中、大三個同心圓，半徑分別為2cm，4cm，6cm，某人站在3m之外向此木板投鏢，設(shè)鏢擊中線上或沒有投中木板時不算，可重投，記事務(wù)A={投中大圓內(nèi)}，事務(wù)B={投中小圓與中圓形成的圓環(huán)內(nèi)}，事務(wù)C={投中大圓之外}.(1)用計算機(jī)產(chǎn)生兩組[0，1]內(nèi)的勻稱隨機(jī)數(shù)，a1=RAND，b1=RAND.(2)經(jīng)過伸縮和平移變換，a=16a1-8，b=16b1-8，得到兩組[-8，8]內(nèi)的勻稱隨機(jī)數(shù).(3)統(tǒng)計投在大圓內(nèi)的次數(shù)N1(即滿意a2+b2<36的點(diǎn)(a，b)的個數(shù))，投中小圓與中圓形成的圓環(huán)次數(shù)N2(即滿意4<a2+b2<16的點(diǎn)(a，b)的個數(shù))，投中木板的總次數(shù)N(即滿意上述-8<a<8，-8<b<8的點(diǎn)(a，b)的個數(shù)).則概率P(A)，P(B)，P(C)的近似值分別是()A.QUOTE，QUOTE，QUOTE B.QUOTE，QUOTE，QUOTEC.QUOTE，QUOTE，QUOTE D.QUOTE，QUOTE，QUOTE【解析】選A.P(A)的近似值為QUOTE，P(B)的近似值為QUOTE，P(C)的近似值為QUOTE.4.在區(qū)間[0，10]內(nèi)任取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)的平方和也在區(qū)間內(nèi)的概率為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.將取出的兩個數(shù)分別用(x，y)表示，則0≤x≤10，0≤y≤10，要求這兩個數(shù)的平方和也在區(qū)間內(nèi)，即要求0≤x2+y2≤10，故此題可以轉(zhuǎn)化為求0≤x2+y2≤10在區(qū)域0≤x≤10，0≤y≤10內(nèi)的面積問題，如圖所示：即由幾何概型學(xué)問可得到概率為QUOTE=QUOTE.5.P為圓C1：x2+y2=9上隨意一點(diǎn)，Q為圓C2：x2+y2=25上隨意一點(diǎn)，PQ中點(diǎn)組成的區(qū)域?yàn)镸，在C2內(nèi)部任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在區(qū)域M上的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.設(shè)Q(x0，y0)，中點(diǎn)(x，y)，則P(2x-x0，2y-y0)，代入x2+y2=9，得(2x-x0)2+(2y-y0)2=9，化簡得QUOTE+QUOTE=QUOTE，故中點(diǎn)的軌跡是以QUOTE為圓心，以QUOTE為半徑的圓，又因?yàn)辄c(diǎn)Q(x0，y0)在圓x2+y2=25上，所以區(qū)域M為在以原點(diǎn)為圓心、寬度為3的圓環(huán)帶，即應(yīng)有x2+y2=r2(1≤r≤4)，所以在C2內(nèi)部任取一點(diǎn)落在M內(nèi)的概率為QUOTE=QUOTE.二、填空題(每小題5分，共15分)6.由于計算器不能干脆產(chǎn)生[a，b]上的勻稱隨機(jī)數(shù)，只能通過線性變換得到.假如x是[0，1]上的勻稱隨機(jī)數(shù)，則a+(b-a)x就是[a，b]上的勻稱隨機(jī)數(shù)，據(jù)此，[0，1]上的勻稱隨機(jī)數(shù)0.8對應(yīng)于[3，5]上的勻稱隨機(jī)數(shù)為______.

【解析】因?yàn)閤是[0，1]上的勻稱隨機(jī)數(shù)，則[a+(b-a)x]就是[a，b]上的勻稱隨機(jī)數(shù)，所以[0，1]上的勻稱隨機(jī)數(shù)0.8對應(yīng)于[3，5]上的勻稱隨機(jī)數(shù)為3+(5-3)×0.8=4.6.答案：4.67.利用計算器在0～1上產(chǎn)生勻稱隨機(jī)數(shù)x，經(jīng)過變換y=mx+2，使得x=QUOTE時，對應(yīng)的變換出的勻稱隨機(jī)數(shù)為4，則m的值為______.

【解析】當(dāng)x=QUOTE時，y=m×QUOTE+2=4，解得m=3.答案：38.用計算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)二元數(shù)組組成區(qū)域QUOTE對每個二元數(shù)組(x，y)，用計算機(jī)計算x2+y2的值，記“(x，y)滿意x2+y2<1”為事務(wù)A，則事務(wù)A發(fā)生的概率為______.

【解析】由題意知本題是一個幾何概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事務(wù)對應(yīng)的集合是Ω={(x，y)|-1<x<1，-2<y<2}，它的面積是2×4=8，滿意條件的事務(wù)對應(yīng)的集合是{(x，y)|-1<x<1，-2<y<2，x2+y2<1}，該集合對應(yīng)的圖形的面積是圓的內(nèi)部，面積是π，所以依據(jù)幾何概型的概率公式得到P=QUOTE.答案：QUOTE三、解答題(每小題10分，共20分)9.用隨機(jī)模擬的方法估算邊長是2的正方形內(nèi)切圓的面積，并估計π的近似值.【解析】(1)利用計算機(jī)產(chǎn)生兩組[0，1]上的勻稱隨機(jī)數(shù)a1，b1.(2)平移和伸縮變換，a=(a1-0.5)×2，b=(b1-0.5)×2，得到兩組[-1，1]上的勻稱隨機(jī)數(shù).(3)統(tǒng)計試驗(yàn)總次數(shù)N和點(diǎn)落在圓內(nèi)的次數(shù)N1(滿意a2+b2≤1的點(diǎn)(a，b)的個數(shù)).(4)計算頻率QUOTE，即為點(diǎn)落在圓內(nèi)的概率.(5)如圖，設(shè)圓面積為S，則由幾何概型概率公式得P=QUOTE.所以QUOTE≈QUOTE，即S≈QUOTE，即圓面積的近似值為QUOTE.又因?yàn)镾圓=πr2=π，所以π=S≈QUOTE，即為圓周率π的近似值.10.現(xiàn)向如圖所示正方形內(nèi)隨機(jī)地投擲飛鏢，用隨機(jī)模擬的方法計算飛鏢落在陰影部分的概率，陰影部分由直線6x-3y-4=0和x=1，y=-1圍成.【解題指南】要確定飛鏢落點(diǎn)位置，須要確定兩個坐標(biāo)x，y，可用兩組勻稱隨機(jī)數(shù)來表示點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】記事務(wù)A={飛鏢落在陰影部分}.(1)用計算機(jī)或計算器產(chǎn)生兩組0～1上的勻稱隨機(jī)數(shù)，x1=RAND，y1=RAND.(2)經(jīng)過平移和伸縮變換，x=2(x1-0.5)，y=2(y1-0.5)得到兩組上的勻稱隨機(jī)數(shù).(3)統(tǒng)計試驗(yàn)總次數(shù)N及落在陰影部分的點(diǎn)數(shù)N1(滿意6x-3y-4>0的點(diǎn)(x，y)的個數(shù)).(4)計算頻率fn(A)=QUOTE，即為飛鏢落在陰影部分的概率的近似值.【一題多解】本題還可以采納以下方法，利用幾何概型的公式：由于隨機(jī)地投擲飛鏢，飛鏢落在正方形內(nèi)每一個點(diǎn)的機(jī)會是等可能的，且結(jié)果有無限多個，所以是幾何概型.陰影部分的面積為S1=QUOTE·QUOTE·QUOTE=QUOTE，又正方形的面積S=4.所以飛鏢落在陰影部分的概率為P=QUOTE=QUOTE.1.如圖，在△AOB中，已知∠AOB=60°，OA=2，OB=5，在線段OB上任取一點(diǎn)C，則△AOC為鈍角三角形的概率為()A.0.6 B.0.4 C.0.2 D.0.1【解析】選B.試驗(yàn)發(fā)生包含的事務(wù)對應(yīng)的是長度為5的一條線段，滿意條件的事務(wù)是組成鈍角三角形，包括兩種狀況：第一種∠ACO為鈍角，這種狀況的邊界是∠ACO=90°的時候，此時OC=1，所以這種狀況下，滿意要求的是0<OC<1.其次種∠OAC為鈍角，這種狀況的邊界是∠OAC=90°的時候，此時OC=4，所以這種狀況下，滿意要求的是4<OC<5.綜合兩種狀況，若△AOC為鈍角三角形，則0<OC<1或4<OC<5.所以概率P=QUOTE=0.4.2.一個投針試驗(yàn)的模板如圖所示，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓上，且CA=CB.現(xiàn)向模板內(nèi)任投一針，則該針恰好落在△ABC內(nèi)(圖中的陰影區(qū)域)的概率是______.

【解析】設(shè)半圓O的半徑為r，則半圓O的面積S半圓=QUOTEπr2，在△ABC中，AB=2r，CA=CB=QUOTEr，所以S△ABC=QUOTE·QUOTEr·QUOTEr=r2.據(jù)題意可知該概率模型是幾何概型，所以所求的概率為P=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE3.利用隨機(jī)模擬法近似計算圖中陰影部分(曲線y=9-