數(shù)字信號(hào)處理（第2版）課件 第2章-離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)

第2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)2.4離散時(shí)間系統(tǒng)2.3離散時(shí)間信號(hào)的z變換2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換(DTFT)2.1離散時(shí)間信號(hào)------序列2024/10/25dsp-chap2-201812.6用Matlab分析和實(shí)現(xiàn)離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)2.5離散時(shí)間系統(tǒng)處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)2024/10/25dsp-chap2-20182學(xué)習(xí)目標(biāo)：熟練描述離散時(shí)間信號(hào)x[n]（時(shí)間域及變換域），區(qū)分離散時(shí)間信號(hào)與連續(xù)時(shí)間信號(hào)的差異；

（a）離散時(shí)間信號(hào)的時(shí)域描述方法及序列

[n]和u[n]的應(yīng)用；

（b）序列的傅里葉變換及其性質(zhì)；

（c）序列的z變換及其性質(zhì)。2.理解線性時(shí)不變性（LTI）離散時(shí)間系統(tǒng)及其描述方法

（a）LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h[n]及其應(yīng)用；

（b）線性常系數(shù)非齊次差分方程及其求解；（c）系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)；（d）LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性。第2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)2.1離散時(shí)間信號(hào)—序列2.1.1離散時(shí)間信號(hào)的表示

只在某些離散瞬時(shí)給出函數(shù)值的時(shí)間函數(shù)，稱為離散時(shí)間信號(hào)，簡(jiǎn)稱為離散信號(hào)或序列（sequence）。用符號(hào)表示為：f(tn),x(tn)；若tn=nT（n=0,

1,

2,…），則表示為f(nT)或x(nT)或進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：f[n]，x[n]注：n只能取整數(shù)，表示各函數(shù)值在序列中出現(xiàn)的先后序號(hào)。稱f[n]（或x[n]）為信號(hào)在第n個(gè)樣點(diǎn)的“樣本”或“樣值”（sample）。2024/10/25dsp-chap2-201832.1.1離散時(shí)間信號(hào)的表示2024/10/25dsp-chap2-20184x1[n]12340

1n例：當(dāng)n=0時(shí)，x1[n]|n=0=0；或：x1[0]=01．單位樣值信號(hào)

[n]12340

1n1或：

[nm]1230

1n1mm

12．單位階躍序列2024/10/25dsp-chap2-201852.1.1離散時(shí)間信號(hào)的表示u[n]12340

1n1

23．矩形序列RN[n]12340

1n1

2N

1N明顯地：RN[n]=u[n]

u[n

N]

RN[n]稱為長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)度序列。4.單邊實(shí)指數(shù)序列2024/10/25dsp-chap2-201862.1.1離散時(shí)間信號(hào)的表示5．單邊正弦序列若

0

=

/10

周期N0

=20

2024/10/25dsp-chap2-201872.1.1離散時(shí)間信號(hào)的表示若

0

=

，設(shè)x2[n]=cos

0n=(1)nx2[n]12340

1n1

2

1

周期N2

=2若

0

=2，設(shè)x3[n]=cos2n----非周期序列對(duì)正弦序列如果：2

/

0

=p/q（p,q為互質(zhì)整數(shù)）為有理數(shù)，則正弦序列為周期序列；如果：2/

0是無(wú)理數(shù)，則正弦序列是非周期序列。

0為序列正弦包絡(luò)的振蕩頻率，也稱為正弦序列的頻率。例：2024/10/25dsp-chap2-201882.1.1離散時(shí)間信號(hào)的表示6．復(fù)指數(shù)序列2024/10/25dsp-chap2-201892.1.1離散時(shí)間信號(hào)的表示復(fù)數(shù)值：直角坐標(biāo)表示：即x[n]=cos

0n+jsin

0n

極坐標(biāo)表示：即2.1.2周期序列周期序列應(yīng)滿足：x[n]=x[n+rN]，0

n

N

1，r是任意整數(shù)設(shè)正弦序列：x[n]=cos

0n則?。簒[n+rN]=cos(

0n+rN

0)，所以當(dāng)且僅當(dāng)

0rN=2

k（k是整數(shù)）時(shí)，正弦序列是周期序列，且周期為2024/10/25dsp-chap2-2018102.1.2周期序列例2.1-1

判斷下列序列的周期性，若是周期序列，求出其周期。解：周期N1=8周期N2=10非周期序列N3=周期N4=42024/10/25dsp-chap2-2018112.1.2周期序列例1

比較下列連續(xù)周期信號(hào)與離散周期序列的頻率特點(diǎn)(其中k是整數(shù))：解：周期T1k=T1/k周期N2k=mN/rk隨著整數(shù)k的增加，信號(hào)x1k(t)的周期T1k減小，

而頻率k1增加；隨著整數(shù)k的增加，序列x2k[n]的周期N2k不總是減小，

因而頻率k1也不總是增加；2024/10/25dsp-chap2-2018122.1.2周期序列如：周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)：當(dāng)整數(shù)k=0,1,2，…,7變化時(shí)，其圖形如下，可見(jiàn)其周期N2k不單調(diào)減小，因而頻率k1也不單調(diào)增加；而當(dāng)k=8,9,10，…,15等等變化時(shí)，其圖形變化重復(fù)上述的序列變化。1n0816

1cosk

0n(a)

0=0，k=02461012141n0816

1cosk

0n(b)

0=

/4，k=1

12024/10/25dsp-chap2-2018132.1.2周期序列1n0816

1cosk

0n(d)

0=

/4，k=3

11n0816

1cosk

0n(f)

0=

/4，k=5

11n0816

1cosk

0n(c)

0=

/4，k=2

11n0816

1cosk

0n(e)

0=

/4，k=4

11n0816

1cosk

0n(h)

0=

/4，k=7

11n0816

1cosk

0n(g)

0=

/4，k=6

12.1.3序列的運(yùn)算及參數(shù)特征（1）序列的加減：

x[n]=x1[n]

x2[n] （2）序列的乘積和數(shù)乘：

x[n]=x1[n]x2[n]

y[n]=ax[n]（3）序列移位：

y[n]=x[n–m] 從而有這樣2024/10/25dsp-chap2-2018141、序列的基本運(yùn)算：（4）序列的差分和累加運(yùn)算：序列的一階前向差分定義為：

x[n]=x[n+1]-x[n]序列的一階后向差分定義為：

x[n]=x[n]

-

x[n-1]序列的累加運(yùn)算定義為：

（5）序列的反褶：y[n]=x[-n]2024/10/25dsp-chap2-201815（6）序列的單位脈沖疊加運(yùn)算：

2.1.3序列的運(yùn)算及參數(shù)特征（7）序列的卷積和2024/10/25dsp-chap2-2018162.1.3序列的運(yùn)算及參數(shù)特征卷積和的計(jì)算方法也類似于卷積積分的四個(gè)步驟，即反褶、時(shí)移、相乘、求和。例2.1-2

假設(shè)兩序列分別為：求下列序列并畫出它們的圖形：（2）v[n]=2x[n

1]·y[n+2]（3）z[n]=y[n+2]+y[n2]解：2024/10/25dsp-chap2-2018172.1.3序列的運(yùn)算及參數(shù)特征或通過(guò)表格列表法求解：x[n]322

1y[n]20

1

3

2

21644

2s[n]641

4

21（a）例2.1-2中卷積和序列s[n]4611

4

2

101234ns[n]（2）v[n]=2x[n

1]·y[n+2]={}=6

[n]（3）z[n]=y[

n+2]+y[n+2]={2，0，

，0，2}v[n]

6

10123nz[n]212

2

102n

22024/10/25dsp-chap2-2018182.1.3序列的運(yùn)算及參數(shù)特征2、序列的特征：（1）奇序列和偶序列奇序列xod[n]滿足：

xod[n]=

xod[

n]偶序列xev[n]滿足：

xev[n]=xev[

n]x[n]=xod[n]+xev[n]其中：xod[n]={x[n]

x

n]}/2；

xev[n]={x[n]+x

n]}/2（2）序列的能量E和功率P序列的能量定義為：序列的功率定義為：當(dāng)M

時(shí)，2024/10/25dsp-chap2-2018192.1.3序列的運(yùn)算及參數(shù)特征2、序列的特征：（3）序列的長(zhǎng)度N有限長(zhǎng)度序列和無(wú)限長(zhǎng)序列（4）因果序列如果n<0時(shí)，序列x[n]=0，則稱序列x[n]是因果序列。例如：序列x[n]=｛1,2,3,0,0,0,

2,

1｝,

3

n

4，

則此序列的長(zhǎng)度為N=8。有界序列：如果|x[n]|A（常數(shù)），稱序列x[n是有界序列。例如：等幅變化的正弦序列x[n]=Acos(

0n+

0)是有界序列

（無(wú)線長(zhǎng)度的）。2024/10/25dsp-chap2-2018202.1.4序列的產(chǎn)生（1）本質(zhì)離散的自然序列如：人口統(tǒng)計(jì)數(shù)字，每年太陽(yáng)黑子的平均數(shù)等等（統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)）（2）對(duì)連續(xù)信號(hào)的采樣x[n]=xa(nT)=xa(t)|t=nTT----采樣周期。在本章第5節(jié)具體討論，更詳細(xì)的分析可以參閱《信號(hào)與系統(tǒng)》教材。2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換（DTFT）2.2.1序列DTFT的定義2024/10/25dsp-chap2-201821序列x[n]的DTFTX(ej

)定義為X(ej

)是

的連續(xù)函數(shù)，且還是周期函數(shù)，周期為2

。

稱為數(shù)字角頻率，量綱為弧度（rad）。DTFT存在的充分條件：序列x[n]絕對(duì)可和，即例2.2-1

求下列序列的DTFT。（1）x1[n]=

[n]；

（2）x2[n]=u[n]

u[n

N]；

（3）x3[n]=anu[n]，（|a|<1）2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換（DTFT）2024/10/25dsp-chap2-201822解：根據(jù)DTFT的定義，有由于X(ej

)是以2

為周期的周期函數(shù)，從而其逆變換，即IDTFT為：序列x[n]及其DTFTX(ej

)總是一一對(duì)應(yīng)的，通常記作DTFT變換對(duì)，即：2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換（DTFT）2.2.2DTFT的特點(diǎn)與性質(zhì)2024/10/25dsp-chap2-2018231.DTFT的特點(diǎn)X(ej

)的變量

是實(shí)的頻率變量；X(ej

)是以2

為周期的周期函數(shù)；X(ej

)的函數(shù)值一般是復(fù)數(shù)值：直角坐標(biāo)表示：

X(ej

)=Xre(ej

)+jXim(ej

)極坐標(biāo)表示：

X(ej

)=|X(ej

)|ej

(

)，

其中：

|X(ej

)|----稱為幅度頻譜函數(shù)（簡(jiǎn)稱幅度譜）

(

)=arg[X(ej

)]----稱為相位頻譜函數(shù)定義相位譜

(

)的取值范圍為：

(

)<

，稱該區(qū)間為相位譜的主值區(qū)間。2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換（DTFT）2024/10/25dsp-chap2-201824例2.2-2

已知一周期連續(xù)譜如圖2.2-2所示，求其對(duì)應(yīng)的序列x[n]。X(ej

)

2

2

c1

c2

c2

c110解：根據(jù)IDTFT計(jì)算式，有當(dāng)n=0時(shí)，當(dāng)n

0時(shí)，2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換（DTFT）2.2.2DTFT的特點(diǎn)與性質(zhì)2024/10/25dsp-chap2-2018252.DTFT的性質(zhì)記：x1[n]=x*[n]=xre[n]

jxim[n]x2[n]=x[

n]=xre[

n]+jxim[

n]則：證明：2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換（DTFT）2024/10/25dsp-chap2-201826所以：Xcs(ej

)稱為共軛對(duì)稱函數(shù)，

其實(shí)部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù)；

且幅度譜是偶函數(shù)，相位譜是奇函數(shù)；Xca(ej

)為共軛反對(duì)稱函數(shù)，正好與Xcs(ej

)相反，

其實(shí)部是奇函數(shù)，而虛部是偶函數(shù)。這一對(duì)關(guān)系也表明：實(shí)序列的DTFT是共軛對(duì)稱函數(shù)Xcs(ej

)，因而幅度譜是偶函數(shù)，相位譜是奇函數(shù)。2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換（DTFT）2024/10/25dsp-chap2-201827類似地：這一對(duì)關(guān)系也表明：共軛對(duì)稱序列的DTFT是實(shí)函數(shù)Xre(ej

)，而共軛反對(duì)稱序列的DTFT是純虛函數(shù)jXim(ej

)。例2

求下列序列的DTFT，其中|a|<1。2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換（DTFT）2024/10/25dsp-chap2-201828解：根據(jù)DTFT的定義，有2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換（DTFT）2.2.3DTFT定理2024/10/25dsp-chap2-201829由于傅里葉變換對(duì)的一一映射關(guān)系，因此頻域中傅里葉變換對(duì)信號(hào)的描述與時(shí)域中的時(shí)間函數(shù)對(duì)信號(hào)的描述具有等價(jià)性，那么序列x[n]在時(shí)域所做的各種運(yùn)算(見(jiàn)2.1.3節(jié))必然引起其頻域函數(shù)X(ej

)產(chǎn)生相應(yīng)的變化。為便于講述，假設(shè)有兩對(duì)DTFT對(duì)：1.線性定理：若x[n]=

g[n]+

h[n]，則

X(ej

)=

G(ej

)+

H(ej

)。2.序列移位：若x[n]=g[n

m]，

則

X(ej

)=e

jm

G(ej

)。3.頻譜移位：

若4.卷積定理：若x[n]=g[n]*h[n]，

則

X(ej

)=G(ej

)H(ej

)。5.調(diào)制定理：

若x[n]=g[n]h[n]6.頻域微分：

若x[n]=ng[n]，

則2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換（DTFT）2.2.3DTFT定理2024/10/25dsp-chap2-2018307.帕斯瓦爾定理：或用信號(hào)的能量表示為(即如果：g[n]=h[n])例2.2-3

計(jì)算序列x[n]=(n+1)anu[n]，（|a|<1）的DTFTX(ej

)。解：記x1[n]=anu[n]，則

x[n]=nx1[n]+x1[n]根據(jù)例2.2-1，根據(jù)頻域微分性質(zhì)，有再根據(jù)線性性質(zhì)，則得到2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換（DTFT）2024/10/25dsp-chap2-201831例2.2-4

若序列x[n]=sin(

cn)/(

n)，證明：證明：根據(jù)帕斯瓦爾定理，知由例2.2-2的求解，得到從而例2.2-5

若序列x[n]=｛42

15

31

242｝，

6

n

2。

其DTFT為X(ej

)，求下列表達(dá)式的值。（1）X(ej0)，

（2）X(ej

)，2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換（DTFT）2024/10/25dsp-chap2-201832解：（1）根據(jù)DTFT的定義，直接計(jì)算（2）類似（1）（3）根據(jù)IDTFT（4）根據(jù)帕斯瓦爾定理（5）根據(jù)頻域微分定理和帕斯瓦爾定理2.3離散時(shí)間信號(hào)的z變換2.3.1z變換定義及其收斂域2024/10/25dsp-chap2-2018331.序列的z變換（也稱雙邊z變換）定義為其中z是復(fù)變量，記為z=rejw，可以用復(fù)平面（z平面）上的點(diǎn)來(lái)定義：RezjImzz=ej

單位圓

j

11jz平面圖2.3-1z平面及復(fù)變量z=ej

例2.3-1求下列序列的z變換：解：2.3離散時(shí)間信號(hào)的z變換2024/10/25dsp-chap2-201834RezjImz|z|=|a|z平面O解：RezjImz|z|=|a|z平面O對(duì)任意給定的序列，使z變換收斂的z值集合稱為收斂域(ROC)。一般情況，雙邊z變換的收斂域是一個(gè)環(huán)形區(qū)域：R+<|z|<R

。2.z變換的收斂域（ROC）例3求下列序列的z變換：2.3離散時(shí)間信號(hào)的z變換2024/10/25dsp-chap2-201835解：其中如果，0<|a|<1，則如果，|a|

1，則2.3離散時(shí)間信號(hào)的z變換2024/10/25dsp-chap2-2018362.z變換的收斂域（ROC）（1）有限長(zhǎng)序列：設(shè)x[n]=0，

n

<

n1且n>n2，則其z變換的ROC至少

為0<|z|<

，但有時(shí)可能會(huì)包括z=0或z=

；（2）右邊序列：設(shè)x[n]=0，n<n1，則其z變換的ROC是z平面上一個(gè)

以原點(diǎn)為圓心、半徑為R+的圓的外部，即|z|>R+；（3）左邊序列：設(shè)x[n]=0，n>n2，則其z變換的ROC是z平面上一個(gè)

以原點(diǎn)為圓心、半徑為R

的圓的內(nèi)部，即|z|<R

；（4）雙邊序列：設(shè)x[n]=0，n取任意值，則其z變換的ROC是z平面上

的一個(gè)圓環(huán)，即

R+<|z|<R

。3.常見(jiàn)z變換的函數(shù)形式：2.3離散時(shí)間信號(hào)的z變換2024/10/25dsp-chap2-2018373.常見(jiàn)z變換的函數(shù)形式：其中系數(shù)ai，bi都是實(shí)數(shù)，也即一般的常見(jiàn)z變換是一個(gè)分式形式，其分子和分母分別是z的高次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，又稱為有理分式。根據(jù)多項(xiàng)式分解理論，又可以寫為右端的因式分解表達(dá)，那么：零點(diǎn)：當(dāng)z=zi時(shí)，X(zi)=0，則zi稱為X(z)的零點(diǎn)；極點(diǎn)：當(dāng)z=pi時(shí)，X(pi)=(或1/X(pi)=0)，則pi稱為X(z)的極點(diǎn)。零點(diǎn)：極點(diǎn)：2.3離散時(shí)間信號(hào)的z變換2.3.2逆z變換及其求解2024/10/25dsp-chap2-201838----部分分式展開(kāi)法例2.3-3

求z變換函數(shù)的逆z變換：解：將展開(kāi)成部分分式為其中：2.3離散時(shí)間信號(hào)的z變換2024/10/25dsp-chap2-2018392.3離散時(shí)間信號(hào)的z變換2.3.3z變換定理2024/10/25dsp-chap2-201840假設(shè)z變換對(duì)：g[n]

G(z)，Rg+<|z|<Rg_，h[n]

H(z)，Rh+<|z|<Rh_1.線性定理：若x[n]=

g[n]+

h[n]，則

X(z)=

G(z)+

H(z)，max{Rg+，Rh+}<|z|<min{Rg_，Rh_}。2.序列移位：若x[n]=g[n

m]，則X(z)=z

mG(z)，Rg+<|z|<Rg_。3.z域尺度變換：若x[n]=

ng[n]，則X(z)=G(z/

)，Rg+<|z/

|<Rg_。4.序列共軛：若x[n]=g*[n]，則X(z)=G*(z*)，Rg+<|z|<Rg_。5.序列反轉(zhuǎn)：若x[n]=g[

n]，則X(z)=G(1/z)，Rg+<|1/z|<Rg_。6.卷積定理：若x[n]=g[n]*h[n]，則X(z)=G(z)H(z)，

max{Rg+，Rh+}<|z|<min{Rg_，Rh_}。7.z域微分：

若x[n]=ng[n]，則2.3離散時(shí)間信號(hào)的z變換2.3.3z變換的性質(zhì)2024/10/25dsp-chap2-201841假設(shè)z變換對(duì)：g[n]

G(z)，Rg+<|z|<Rg_，h[n]

H(z)，Rh+<|z|<Rh_8.初值定理：因果序列x[n]，其z變換為X(z)，則序列x[n]的初值為：9.終值定理：因果序列x[n]，其z變換為X(z)，則序列x[n]的終值為：10.調(diào)制定理：若x[n]=g[n]h[n]，則11.帕斯瓦爾定理：2.3離散時(shí)間信號(hào)的z變換2.3.3z變換的性質(zhì)2024/10/25dsp-chap2-201842例2.3-4求z變換，設(shè)X(z)=Z

[x[n]]。(1)求Y(z)，已知(2)求

W(z)，已知w[n]=rncos(

0n)x[n]。解：（1）由于根據(jù)z變換的移位性質(zhì)和線性性質(zhì)，有：Y(z)

z

1Y(z)=X(z)，（2）利用Eular公式：由z域尺度變換性質(zhì)：2.3離散時(shí)間信號(hào)的z變換2.3.3z變換的性質(zhì)2024/10/25dsp-chap2-201843單邊z變換移位序列x[n

m]的單邊z變換也要做相應(yīng)的修正Z

[x[n-1]]=z-1X(z)+x[-1]，Z

[x[n-2]]=z-2X(z)+z-1x[-1]+x[-2]Z

[x[n+1]]=zX(z)-zx[0]，

Z

[x[n+2]]=z2X(z)-z2x[0]-zx[1]例2.3-5利用z變換求差分方程在不同條件下的解y[n]，n

0。

y[n]+2y[n-1]-

3y[n-2]=x[n]+

x[n-1]（1）y[-1]=0，y[-2]=0，x[n]=

[n]；(2)y[-1]=1，y[-2]=-1，x[n]=u[n]解：對(duì)差分方程兩邊分別取單邊z變換，2.3離散時(shí)間信號(hào)的z變換2.3.3z變換的性質(zhì)2024/10/25dsp-chap2-201844(1)代入條件(1)，即X(z)=1，y[-1]=0，

y[-2]=0(2)代入條件(2)，即y[-1]=1，

y[-2]=-1，右端第一項(xiàng)記為2.3離散時(shí)間信號(hào)的z變換2.3.3z變換的性質(zhì)2024/10/25dsp-chap2-201845右端第二項(xiàng)記為2.3離散時(shí)間信號(hào)的z變換2.3.4z變換與DTFT的關(guān)系2024/10/25dsp-chap2-201846在序列x[n]的z變換X(z)中，如果ROC包含復(fù)變量z=ej

，則X(ej

)存在，即例2.3-6分別求序列

x[n]=u[n]-u[n-8]的z變換和DTFT。解：序列x[n]的z變換為可以看到，X(z)的極點(diǎn)為p=0(7階)，零點(diǎn)為，k=1，2，…，7。其DTFT為2.4離散時(shí)間系統(tǒng)2.4.1離散時(shí)間系統(tǒng)及其性質(zhì)離散時(shí)間系統(tǒng)可以看成為一個(gè)離散信號(hào)的變換器，當(dāng)輸入信號(hào)x[n]經(jīng)過(guò)該離散系統(tǒng)后，將變換成另一個(gè)序列------輸出信號(hào)y[n]，其框圖如圖所示。最基本的一類系統(tǒng)：線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)線性離散系統(tǒng)是指滿足疊加性與均勻性的離散系統(tǒng)。2024/10/25dsp-chap2-201847時(shí)不變離散系統(tǒng)是指在同樣起始狀態(tài)下，系統(tǒng)響應(yīng)與激勵(lì)施加于系統(tǒng)的時(shí)刻無(wú)關(guān)。即：若激勵(lì)信號(hào)x[n]產(chǎn)生的響應(yīng)為y[n]，則激勵(lì)信號(hào)x[n

m]產(chǎn)生的響應(yīng)為y[n

m]，即發(fā)生同步延遲。2024/10/25dsp-chap2-2018482.4.1離散時(shí)間系統(tǒng)及其性質(zhì)例2.4-1

判斷滑動(dòng)平均濾波器的線性特性及時(shí)不變特性。廣義的滑動(dòng)平均系統(tǒng)的輸出y[n]與輸入x[n]滿足以下關(guān)系解：假設(shè)y1[n]=T[x1[n]]和y2[n]=T[x2[n]]，即y1[n]和y2[n]分別為輸入x1[n]和x2[n]時(shí)的輸出信號(hào)。（1）當(dāng)輸入信號(hào)為x3[n]=ax1[n]時(shí)，輸出信號(hào)為因而該系統(tǒng)滿足均勻性。2024/10/25dsp-chap2-2018492.4.1離散時(shí)間系統(tǒng)及其性質(zhì)（2）輸入信號(hào)為x4[n]=x1[n]+x2[n]時(shí)，輸出信號(hào)為該系統(tǒng)滿足疊加性，所以該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。2024/10/25dsp-chap2-2018502.4.1離散時(shí)間系統(tǒng)及其性質(zhì)51（3）假設(shè)輸入信號(hào)為x5[n]=x1[n

m]，則輸出信號(hào)為因而該系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。綜合以上討論，該系統(tǒng)是一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)。2024/10/25dsp-chap2-2018512.4.1離散時(shí)間系統(tǒng)及其性質(zhì)例2.4-2

判斷下式表示的系統(tǒng)是否具有線性特性及時(shí)不變特性解：假設(shè)y1[n]=T[x1[n]]和y2[n]=T[x2[n]]，即y1[n]和y2[n]分別為輸入x1[n]和x2[n]時(shí)的輸出信號(hào)。因而該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。2024/10/25dsp-chap2-2018522.4.1離散時(shí)間系統(tǒng)及其性質(zhì)（1）當(dāng)輸入信號(hào)為時(shí)，輸出信號(hào)為x3[n]=a1x1[n]+a2x2[n]53（2）假設(shè)輸入信號(hào)為x4[n]=x1[n

m]，則輸出信號(hào)為因而該系統(tǒng)是時(shí)變系統(tǒng)。綜合以上討論，該系統(tǒng)是一個(gè)非線性時(shí)變系統(tǒng)。2024/10/25dsp-chap2-2018532.4.1離散時(shí)間系統(tǒng)及其性質(zhì)54因果離散系統(tǒng)與穩(wěn)定離散系統(tǒng)如果系統(tǒng)的輸出信號(hào)y[n]在n=n0時(shí)刻的輸出樣本y[n0]僅由輸入信號(hào)x[n]在n

n0時(shí)刻的樣本值，即{x[n]|n

n0}決定，而與n>

n0時(shí)的樣本值x[n]無(wú)關(guān)，則該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。當(dāng)且僅當(dāng)每一個(gè)有界的輸入信號(hào)x[n]激勵(lì)系統(tǒng)時(shí)，產(chǎn)生的輸出信號(hào)y[n]也是有界的，則系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)（BIBO）。2024/10/25dsp-chap2-2018542.4.1離散時(shí)間系統(tǒng)及其性質(zhì)例4

判斷滑動(dòng)平均濾波器的因果性與穩(wěn)定性解：（1）如果M2>M1

0，則系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，如取M1=0，M2=1，則y[n]=(x[n]+x[n

1])/2，即輸出樣本僅取決于現(xiàn)在的輸入樣本x[n]和過(guò)去的輸入樣本x[n

1]。如果M1<M2

0，則系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)，如取M1=

1，M2=0，則y[n]=(x[n+1]+x[n])/2，即輸出樣本取決于包括現(xiàn)在的輸入樣本x[n]和未來(lái)的輸入樣本x[n+1]。2024/10/25dsp-chap2-201855（2）如果M1，M2是有限數(shù)值，則系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。2.4.1離散時(shí)間系統(tǒng)及其性質(zhì)系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，以單位脈沖信號(hào)

[n]作為激勵(lì)，所產(chǎn)生的響應(yīng)稱為“單位脈沖響應(yīng)”，也稱單位沖激響應(yīng)，或者樣值響應(yīng)，以h[n]表示。類似地，系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，以單位階躍信號(hào)u[n]作為激勵(lì)，系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)稱為“單位階躍響應(yīng)”，以g[n]或s[n]表示。定義2024/10/25dsp-chap2-2018562.4.2LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)首先，如果LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為h[n]，則系統(tǒng)對(duì)任意輸入信號(hào)x[n]產(chǎn)生的響應(yīng)為y[n]=T[x[n]]，由于2024/10/25dsp-chap2-2018572.4.2LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)例5

求下式所表示的滑動(dòng)平均濾波器的單位脈沖響應(yīng)。解：令x[n]=

[n]，則如果：M1=0，M2=M1，則即在上述條件下，滑動(dòng)平均濾波器的脈沖響應(yīng)是一個(gè)長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列。脈沖響應(yīng)是有限長(zhǎng)序列（長(zhǎng)度為M）的離散系統(tǒng)，又稱為有限沖激響應(yīng)濾波器（FIR數(shù)字濾波器，且其階數(shù)為(M1)）。2024/10/25dsp-chap2-2018582.4.2LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)例6

求5階滑動(dòng)平均濾波器的輸出響應(yīng)，設(shè)輸入信號(hào)x[n]=6{u[n]

u[n6]}。解：5階滑動(dòng)平均濾波器的單位樣值響應(yīng)為：從而系統(tǒng)的輸出信號(hào)為：2024/10/25dsp-chap2-2018592.4.2LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)例7

求下式所表示累加器的單位脈沖響應(yīng)。解：令x[n]=

[n]，則即累加器的脈沖響應(yīng)是單位階躍序列，是無(wú)限長(zhǎng)度的序列。脈沖響應(yīng)是無(wú)限長(zhǎng)序列的離散系統(tǒng)，又稱為無(wú)限沖激響應(yīng)濾波器（IIR數(shù)字濾波器）。將上式中累加器的輸出-輸入方程進(jìn)行變形，可以得到：LTI離散系統(tǒng)的輸出-輸入關(guān)系一般可以用上述的差分方程表示。LTI離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型----線性常系數(shù)差分方程：1.沖激響應(yīng)h[n]的求解將x[n]=

[n]及h[i]=0，i=1，2

，3，…，

N代入上式差分方程，（為便于計(jì)算，假設(shè)系數(shù)aN=1）得2024/10/25dsp-chap2-2018602.4.3LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的線性常系數(shù)差分方程其中系數(shù)ai，bi都是實(shí)數(shù)。

上述利用迭代的方法比較簡(jiǎn)單，但難以給出閉式的解。2024/10/25dsp-chap2-201861可以利用通用的時(shí)域經(jīng)典解法：由于輸入x[n]=

[n]=0,n>0,故其強(qiáng)迫響應(yīng)部分yp[n]=0,n>0。而系數(shù)Ak可以由初始狀態(tài)h[n]，n=0,1,2,…,N1求出。2.4.3LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的線性常系數(shù)差分方程可以利用z變換域解法：例8：求差分方程y[n]

0.4y[n

1]+0.03y[n

2]=2x[n]所表示系統(tǒng)

的單位樣值響應(yīng)h[n]2024/10/25dsp-chap2-201862解：方程兩邊作z變換，得到Y(jié)(z)

0.4z

1Y(z)+0.03z

2Y(z)=2X(z)2.4.3LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的線性常系數(shù)差分方程a)如果收斂域ROC取：|z|>0.3，則b)如果收斂域ROC取：|z|<0.1，則c)如果收斂域ROC取：0.1<|z|<0.3，則2024/10/25dsp-chap2-2018632.4.3LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的線性常系數(shù)差分方程2.求任意輸入信號(hào)和任意狀態(tài)下的系統(tǒng)響應(yīng)可以利用通用的時(shí)域經(jīng)典解法：其中：yh[n]是自由響應(yīng)（齊次解），反應(yīng)系統(tǒng)特性，由系統(tǒng)決定；yp[n]是強(qiáng)迫響應(yīng)，反應(yīng)輸入信號(hào)經(jīng)系統(tǒng)處理后發(fā)生的變化；而系統(tǒng)的起始狀態(tài)y[i]，i=

1,

2,…,

N求出確定輸出信號(hào)的幅度等具體參數(shù)?？梢岳脝芜厇變換求解法（見(jiàn)2.3.3節(jié)）：上式中：第一項(xiàng)稱為是零狀態(tài)響應(yīng)yzs[n]（起始狀態(tài)為零時(shí)的響應(yīng)）；第二項(xiàng)稱為是零輸入響應(yīng)yzi[n]（不加輸入信號(hào)，由起始狀態(tài)延續(xù)的響應(yīng)）。例9：求差分方程y[n]

0.4y[n

1]+0.03y[n

2]=2x[n]所示系統(tǒng)的響應(yīng)。

已知條件：x[n]=(0.3)nu[n]，

y[1]=1，y[2]=2。2024/10/25dsp-chap2-201864解：方程兩邊作單邊z變換，得到Y(jié)(z)

0.4{z

1Y(z)+y[

1]}+0.03{z

2Y(z)+z

1y[

1]+y[

2]}=2X(z)2.4.3LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的線性常系數(shù)差分方程收斂域ROC取：|z|>0.3，則2024/10/25dsp-chap2-2018652.4.3LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的線性常系數(shù)差分方程3.系統(tǒng)差分方程的建立利用系統(tǒng)對(duì)信號(hào)處理運(yùn)算的過(guò)程與關(guān)系而建立，如：圖2.4-5例2.4-3的系統(tǒng)框圖

x[n]y[n]E

10.9E

1

0.232w[n]解：設(shè)左邊加法器輸出為w[n]，則：w[n]=x[n]+0.9w[n-1]

0.2w[n-2]而右邊加法器輸出信號(hào)（y[n]）可表示為：y[n]=3w[n]+2w[n-1]從而：y[n]

0.9y[n-1]+0.2y[n-2]=3x[n]+2x[n-1]例2.4-3

考察圖2.4-5所示的離散系統(tǒng)，試寫出其激勵(lì)x[n]和響應(yīng)y[n]之間的差分方程式（其中符號(hào)

表示加法器，做加法運(yùn)算；表示延時(shí)器，作延時(shí)1個(gè)時(shí)間單元運(yùn)算；

表示數(shù)a和信號(hào)相乘，稱為數(shù)乘器或乘法器。）E

1

2024/10/25dsp-chap2-201866

例：銀行的儲(chǔ)蓄與貸款業(yè)務(wù)描述：

以銀行存款業(yè)務(wù)為例：零存整取存款方式儲(chǔ)蓄

設(shè)每月的存款額為R[n]，存款時(shí)間N個(gè)月，存款月利率為I，計(jì)算到期后賬戶款總額P。

設(shè)第n

1個(gè)月末賬戶款額為y[n

1]，第n個(gè)月末存款款額為y[n]，則它們之間的關(guān)系為y[n]=y[n

1]

+

R[n]+Iy[n

1]y[0]=R[0],R[n],0n

N12.4.3LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的線性常系數(shù)差分方程2024/10/25dsp-chap2-2018672.4.4LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng)1.系統(tǒng)函數(shù)脈沖響應(yīng)為h[n]的LTI離散系統(tǒng)，對(duì)輸入信號(hào)x[n]產(chǎn)生的響應(yīng)y[n]可由卷積和計(jì)算得到，即由z變換的卷積定理Y(z)=X(z)H(z)或者－－稱為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)（也稱傳輸函數(shù)）系統(tǒng)函數(shù)與單位樣值響應(yīng)是一對(duì)ｚ變換對(duì)的關(guān)系，即2024/10/25dsp-chap2-2018682.4.4LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng)1.系統(tǒng)函數(shù)當(dāng)LTI離散系統(tǒng)由差分方程表示為：則系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為－－系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)形式表示2024/10/25dsp-chap2-2018692.4.4LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng)2.頻率響應(yīng)特性脈沖響應(yīng)為h[n]的LTI離散系統(tǒng)，對(duì)輸入信號(hào)x[n]產(chǎn)生的響應(yīng)y[n]可由卷積和計(jì)算得到，即由DTFT變換的卷積定理Y(ej

)=X(ej

)H(ej

)或者－－稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，簡(jiǎn)稱頻響特性系統(tǒng)函數(shù)與單位樣值響應(yīng)是一對(duì)DTFT變換對(duì)的關(guān)系，即很顯然，只有當(dāng)脈沖響應(yīng)h[n]絕對(duì)可和時(shí)，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)方有意義。2024/10/25dsp-chap2-2018702.4.4LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng)2.頻率響應(yīng)特性另一方面，根據(jù)z變換與DTFT的關(guān)系：上式要求系統(tǒng)函數(shù)的收斂域包含單位圓，即例2.4-5

分析一階差分方程

y[n]-ay[n-1]=x[n]，|a|<1

所描述的

離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性。解：系統(tǒng)函數(shù)為其零點(diǎn)為0，極點(diǎn)為a，所以其零點(diǎn)矢量為極點(diǎn)矢量為2024/10/25dsp-chap2-2018712.4.４LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng)假設(shè)

1<a<0，且系統(tǒng)函數(shù)的ROC為|z|>|a|，則系統(tǒng)函數(shù)的ROC包含單位圓周，其幅頻特性：|H(ej

)|=1/A，

相頻特性：

(

)=

例2.4-6設(shè)FIR系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為h[n]=an{u[n]-u[n-N]}，0<a<1，

求其頻率響應(yīng)特性。。解：系統(tǒng)函數(shù)為其零點(diǎn)為zi=aej(

/N)i，i=0，1，

，N

1；極點(diǎn)為pi=0(i=1，2，

，N

1，重極點(diǎn))和p0

=a；2024/10/25dsp-chap2-2018722.4.4LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng)所以其零點(diǎn)矢量為極點(diǎn)矢量為圖2.4-7例2.4-6FIR系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖及頻響特性(a)RezjImz10|z|=a(4)

1(b)

2

2

0

|H(ej

)|

2

2

0

(c)

(

)2024/10/25dsp-chap2-2018732.4.5LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性1.因果性因果系統(tǒng)是指系統(tǒng)的輸出信號(hào)是由輸入信號(hào)的作用才產(chǎn)生的，因而輸出信號(hào)的出現(xiàn)不會(huì)超前于輸入信號(hào)。對(duì)于LTI離散系統(tǒng)，表現(xiàn)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h[n]是因果序列，即

h[n]=0，n<0，或者：h[n]=h[n]u[n]。對(duì)于LTI離散系統(tǒng)，表現(xiàn)在系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)上，則要求其收斂域滿足：|z|>R+

，且要求有理分式H(z)的分子多項(xiàng)式方次不高于分母多項(xiàng)式的方次。2024/10/25dsp-chap2-2018742.4.5LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性2.穩(wěn)定性穩(wěn)定系統(tǒng)是指當(dāng)輸入信號(hào)有界時(shí)，輸出信號(hào)也有界的系統(tǒng)，即是有界輸入有界輸出（BIBO，BoundedInputBoundedOutput）意義上的穩(wěn)定。對(duì)于LTI離散系統(tǒng)，表現(xiàn)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h[n]具有絕對(duì)可和的特點(diǎn)，即對(duì)于LTI離散系統(tǒng)，表現(xiàn)在系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)上，則要求其收斂域包含z平面上的單位圓，或者說(shuō)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)存在。對(duì)于因果穩(wěn)定的LTI離散系統(tǒng)，則其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的所有極點(diǎn)pi必定在z平面上單位圓的內(nèi)部，即|pi|<1。2024/10/25dsp-chap2-201875解：(1)因?yàn)閔1[

1]=

2

0，因而該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)；例2.4-7設(shè)LTI離散系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為下述序列，

判斷這些系統(tǒng)的穩(wěn)定性和因果性因而該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)；再看其系統(tǒng)函數(shù)：(2)因?yàn)閔2[

1]=1/2

0，因而該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)；因而該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)；2.4.5LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性2024/10/25dsp-chap2-201876再看其系統(tǒng)函數(shù)：(3)因?yàn)楫?dāng)n<0時(shí)，h3[n]=0，因而該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)；因而該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)；(4)因?yàn)楫?dāng)n<0時(shí)，h4[n]=0，因而該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)；不收斂，因而該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)；再看其系統(tǒng)函數(shù)：其極點(diǎn)為p1,2=

j，收斂域|z|>1，因而系統(tǒng)不穩(wěn)定，但是因果的。備注：由于其極點(diǎn)剛好落在單位圓周上，且是一階的，因而屬于臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。2.4.5LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性2.5離散時(shí)間系統(tǒng)處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)2.5.1連續(xù)時(shí)間信號(hào)的數(shù)字化處理1.前置濾波器。保證后續(xù)數(shù)字化處理的有效性。2024/10/25dsp-chap2-201877前置預(yù)濾波器A/D轉(zhuǎn)換器數(shù)字信號(hào)處理器D/A轉(zhuǎn)換器模擬濾波器圖1數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的簡(jiǎn)單方框圖xa(t)ya(t)x[n]y[n]2.A/D轉(zhuǎn)換器。完成對(duì)滿足采樣定理的模擬信號(hào)進(jìn)行采樣、量化、編碼等

操作得到數(shù)字信號(hào)，為后面的數(shù)字信號(hào)處理器提供條件。3.數(shù)字信號(hào)處理器。是整個(gè)信號(hào)處理系統(tǒng)的核心環(huán)節(jié)，

可以在頻域進(jìn)行，也可以在時(shí)域進(jìn)行。2024/10/25dsp-chap2-2018782.5.1連續(xù)時(shí)間信號(hào)的數(shù)字化處理4.D/A轉(zhuǎn)換器。將處理后后的數(shù)字信號(hào)還原為模擬信號(hào)以供應(yīng)用。5.平滑濾波器。由于D/A轉(zhuǎn)換器的輸出信號(hào)是階梯狀信號(hào)，

包含有大量的高頻信號(hào)，通過(guò)平滑濾波器可以去

除這些高頻信號(hào)的影響，而得到平滑的模擬信號(hào)。2.5.2連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣及采樣定理1、采樣的等效過(guò)程沖激串轉(zhuǎn)換為序列x[n]xa(t)xs(t)x[n]=xa(nT)圖2.5-1兩步完成的連續(xù)信號(hào)采樣框圖第一步：xa(t)經(jīng)采樣得到?jīng)_激串信號(hào)xs(t)，其中T是采樣周期，即2024/10/25dsp-chap2-2018792.5.2連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣及采樣定理1、采樣的等效過(guò)程沖激串轉(zhuǎn)換為序列x[n]xa(t)xs(t)x[n]=xa(nT)圖2.5-1兩步完成的連續(xù)信號(hào)采樣框圖第二步：取出沖激串信號(hào)xs(t)的幅度序列得到離散序列x[n]，即：x[n]=xa(nT)xa(t)xs(t)0t2T3T

T

2T

TT=T1

xa(t)xs(t)0T2T3T

T

2TtT=2T1x[n]=xa(nT1)0n23

1

2

145687

3

4

5

6

0n