第七章　章末整合

章末整合例1已知扇形的圓心角為α,所在圓的半徑為r.(1)若α=120°,r=6,求扇形的弧長(zhǎng);(2)若扇形的周長(zhǎng)為24,當(dāng)α為多少弧度時(shí),該扇形面積S最大?并求出最大面積.方法規(guī)律弧度制下解決扇形相關(guān)問(wèn)題的步驟

(2)分析題目的已知量和待求量,靈活選擇公式.(3)根據(jù)條件列方程(組)或建立目標(biāo)函數(shù)求解.變式訓(xùn)練1用一根長(zhǎng)為10m的繩索圍成一個(gè)圓心角小于π且半徑不超過(guò)3m的扇形場(chǎng)地,設(shè)扇形的半徑為xm,面積為Sm2.(1)寫(xiě)出S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式,并求出該函數(shù)的定義域;(2)當(dāng)半徑x和圓心角α為多大時(shí),所圍扇形的面積S最大,并求出最大值.例2利用三角函數(shù)線確定滿(mǎn)足下列條件的角α的取值范圍.方法技巧利用單位圓中的三角函數(shù)線解不等式的方法(1)首先作出單位圓,然后根據(jù)各問(wèn)題的約束條件,利用三角函數(shù)線畫(huà)出角α滿(mǎn)足條件的終邊的位置.(2)角的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是該角的余弦值,與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是該角的正弦值.(3)寫(xiě)角的范圍時(shí),先抓住邊界值,再注意角的范圍的寫(xiě)法要求.變式訓(xùn)練2利用三角函數(shù)線,寫(xiě)出滿(mǎn)足|cosα|>|sinα|的角α的集合.解:如圖,作出單位圓.所以角α滿(mǎn)足的集合為名師點(diǎn)評(píng)1.sin

α+cos

α,sin

α-cos

α,sin

αcos

α三個(gè)式子中,已知其中一個(gè),可以求其他兩個(gè),即“知一求二”,它們之間的關(guān)系是(sin

α±cos

α)2=1±2sin

αcos

α.2.已知tan

α=m,求關(guān)于sin

α,cos

α的齊次式的值解決這類(lèi)問(wèn)題需注意以下兩點(diǎn):(1)一定是關(guān)于sin

α,cos

α的齊次式(或能化為齊次式)的三角函數(shù)式;(2)因?yàn)閏os

α≠0,所以可除以cos

α,這樣可將被求式化為關(guān)于tan

α的表示式,然后代入tan

α=m的值,從而完成被求式的求值.方法技巧1.確定函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式的關(guān)鍵是φ的確定,常用方法有:(1)代入法:把圖像上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)A,ω已知)或代入圖像與x軸的交點(diǎn)求解(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上).2.求形如y=Asin(ωx+φ)+b或形如y=Acos(ωx+φ)+b(其中A≠0,ω>0,b為常數(shù))的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可以借助于正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,通過(guò)解不等式求得.3.具體求解時(shí)注意兩點(diǎn):①要把ωx+φ看作一個(gè)整體,若ω<0,先用誘導(dǎo)公式將式子變形,將x的系數(shù)化為正;②在A>0,ω>0時(shí),將“ωx+φ”代入正弦(或余弦)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可以解得與之單調(diào)性一致的單調(diào)區(qū)間;當(dāng)A<0,ω>0時(shí)用同樣方法可以求得與正弦(余弦)函數(shù)單調(diào)性相反的單調(diào)區(qū)間.(1)解析:y=cos

2x+2sin

x-2=-sin

2x+2sin

x-1=-(sin

x-1)2.因?yàn)?1≤sin

x≤1,所以-4≤y≤0,所以函數(shù)y=cos

2x+2sin

x-2,x∈R的值域?yàn)閇-4,0].答案:[-4,0]規(guī)律方法三角函數(shù)最值問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及求解方法:(1)y=asin

2x+bsin

x+c(a≠0),利用換元思想設(shè)t=sin

x,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y=at2+bt+c求最值,t的范圍需要根據(jù)定義域來(lái)確定.(2)y=Asin(ωx+φ)+b,可先由定義域