浙江省A9協(xié)作體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題

浙江省A9協(xié)作體2023學(xué)年第二學(xué)期期中聯(lián)考高一數(shù)學(xué)試題命題：桐鄉(xiāng)風(fēng)鳴高級中學(xué)饒彬、李新華審題：慈溪實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)傅依寧海知恩中學(xué)辛振雷校稿：沈阿琴考生須知：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字；3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位）對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】，所以其對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A.2.已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示，列式計算即得.【詳解】平面向量，，由，得，所以.故選：A3.如圖所示的點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系，用符號語言表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，及其符號表示逐一判斷即可.【詳解】點(diǎn)和面、點(diǎn)和線的關(guān)系用“”或“”表示，故A錯誤；線面關(guān)系用“”或“”表示，故BD錯誤；根據(jù)圖形有，C正確.故選：C4.在中，角，，的對邊分別是，，.若，，，則角等于（）A.30° B.45° C.135° D.90°【答案】A【解析】【分析】由正弦定理求解即可.【詳解】由正弦定理得,,得出，所以.故選：A.5.在平行四邊形中，，，則用，表示向量和分別（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】C【解析】【詳解】因?yàn)槎?，，所以則故選：C.6.已知圓臺的上、下半徑分別為，，.若一個球與圓臺上、下底面及側(cè)面均相切，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)內(nèi)切球的半徑為，設(shè)圓臺上、下底面圓心分別為，則圓臺內(nèi)切球的球心一定在的中點(diǎn)處，由已知可得，可求得，進(jìn)而可求球的表面積.【詳解】如圖，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，設(shè)圓臺上、下底面圓心分別為，則圓臺內(nèi)切球的球心一定在的中點(diǎn)處，設(shè)球與母線切于點(diǎn)，所以，所以，所以與全等，所以，同理，所以，過作，垂足為，則，所以，所以該圓臺的表面積為.故選：B.7.在銳角中，角，，的對邊分別為，，.若，，則邊上中線的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量加法運(yùn)算及數(shù)量積模的運(yùn)算，推導(dǎo)出，然后利用正弦定理與三角恒等變換公式，將表示為角的三角函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)算出的取值范圍．【詳解】因?yàn)槭沁吷系闹芯€，所以，則，由正弦定理得，可得，，所以，而，，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，，則，即，所以，所以，所以當(dāng)時，取得最大值，的最小值大于，所以的最大值為，最小值大于，即的取值范圍為．故選：B．8.折扇深受各階層人民喜愛.古人曾有詩贊曰：“開合清風(fēng)紙半張，隨機(jī)舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉棚齊編鳳翅長”.折扇平面圖為下圖的扇形，其中，，，動點(diǎn)在弧上（含端點(diǎn)），連接交扇形的弧于點(diǎn)，且，則下列說法錯誤的是（）A.若，則 B.C. D.若，則【答案】D【解析】【分析】若，可得，兩邊平方可求得，可判斷A；利用，計算可判斷B；取的中點(diǎn)，連接，利用，計算可判斷C；，計算可判斷D.【詳解】對于A：若，則可得，兩邊平方可得，所以，所以，顯然，所以，所以，故A正確；對于B：，故B正確對于C：取的中點(diǎn)，連接，則可得，在，易得，所以，所以，故C正確對于D：若，，故D錯誤.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：考查數(shù)量積的計算，通常數(shù)量積的計算可用定義法，坐標(biāo)法，轉(zhuǎn)化法求解，本題主要是轉(zhuǎn)化法的應(yīng)用.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如果，是兩個單位向量，那么下列四個結(jié)論中錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)向量相等、向量的模、向量的數(shù)量積等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，向量，是兩個單位向量，因?yàn)閱挝幌蛄康姆较虿灰欢ㄏ嗤蔄選項(xiàng)錯誤；兩個單位向量的夾角不一定是，故B選項(xiàng)錯誤；單位向量的模為1，故C選項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以?dāng)，的夾角不為0時，其數(shù)量積不等于1，故D選項(xiàng)錯誤.故選：ABD.10.對于，有如下判斷，其中正確的是（）A.若，則為等腰三角形B.若，則為等腰或直角三角形C.若，則D.若，則【答案】ABC【解析】【分析】對于A，由正弦定理可得即可判斷；對于B，由三角形中的角之間的關(guān)系，判斷出該三角形的形狀，進(jìn)而判斷真假；對于C，由余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷；對于D，舉反例判斷.【詳解】對于A：在中，若，由正弦定理得，則為等腰三角形，A正確；對于B，因?yàn)?，在中，可得或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，B正確；對于C，在三角形中，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，C正確；對于D，當(dāng)為鈍角，為銳角時，此時，，D錯誤；故選：ABC.11.已知棱長為2的正方體的棱切球（與正方體的各條棱都相切）為球，則下列說法正確的是（）A.球的體積為B.球內(nèi)接圓柱的側(cè)面積的最大值為C.球在正方體外部的體積小于D.球在正方體外部的面積大于【答案】BCD【解析】【分析】由棱切球的半徑為,再依次判斷即可.【詳解】A.依題意，得棱切球的半徑為，則球的體積為，錯誤B.記球的內(nèi)接圓柱的底面半徑為，則內(nèi)接圓柱的高為：，則內(nèi)接圓柱的側(cè)面積為：，等號成立時，故球的內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大值為：，正確C.球在正方體外部體積小于球體積與正方體內(nèi)切球體積之差，即，正確D.球在正方體外部的面積等于正方體外6個球冠的表面積.每一個球冠的表面積大于這個球冠中內(nèi)接圓錐的側(cè)面積，則內(nèi)接圓錐的底面半徑為，高為，得圓錐的母線長為：，得內(nèi)接圓錐的側(cè)面積為：，所以6個球冠的表面積大于，正確故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D項(xiàng)中球在正方體外部的面積等于正方體外6個球冠的表面積.每一個球冠的表面積大于這個球冠中內(nèi)接圓錐的側(cè)面積.第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若復(fù)數(shù)滿足（其中是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算進(jìn)行計算可求,再寫出其共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由，可得，所以.故答案為：.13.已知平面向量，，不共線，且兩兩所成角相等，若，，，則的值為______.【答案】6【解析】【分析】利用兩兩所成角相等可得，它們兩兩向量的夾角是，再由向量的乘法運(yùn)算，即可求得結(jié)果.【詳解】由平面向量，，不共線，且兩兩所成角相等可得，它們兩兩向量的夾角是，再由，，可得：，，，所以，故答案為：.14.如圖，2024年元宵節(jié)在浙江桐鄉(xiāng)鳳凰湖舉行“放孔明燈”活動.為了測量孔明燈的高度，在地上測量了一根長為200米的基線，在點(diǎn)處測量這個孔明燈的仰角為，在處測量這個孔明燈的仰角為，在基線上靠近的四等分點(diǎn)處有一點(diǎn)，在處測量這個孔明燈的仰角為，則這個孔明燈的高度______.【答案】##【解析】【分析】通過三個仰角解三個直角三角形可得三邊與高的關(guān)系，再利用余弦定理建立一個方程，就可以解得高.【詳解】設(shè)孔明燈的高度，通過解直角三角形得：在點(diǎn)處測量這個孔明燈的仰角為，則，在點(diǎn)處測量這個孔明燈仰角為，則，在點(diǎn)處測量這個孔明燈的仰角為，則，由基線上靠近的四等分點(diǎn)處有一點(diǎn)，且，則，由余弦定理得：，，又因?yàn)?，所以，即，可得，所以由，得，故答案為?四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知復(fù)數(shù)，，是虛數(shù)單位.（1）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，求的值；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求的取值范圍.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）由純虛數(shù)的概念列方程組，求解可得答案；（2）由復(fù)數(shù)z在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限可得，解不等式組可得答案.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，從?【小問2詳解】因?yàn)?，所以，從?16.如圖，在正方體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接BD與AC交于點(diǎn)O，根據(jù)O，E為為中點(diǎn)，易得,再利用線面平行的判定定理證明；（2）根據(jù)（1），由得到異面直線與所成的角，然后證得，得到是直角三角形求解.【詳解】（1）如圖所示：，連接BD與AC交于點(diǎn)O，因?yàn)镺，E為為中點(diǎn)，所以,又平面，平面，所以平面；（2）由（1）知，則異面直線與所成的角，在正方體中，因?yàn)椋?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，所以是直角三角形，設(shè)正方體的棱長為a,則，，所以，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移．17.如圖，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)且滿足，，.（1）試用向量，表示，；（2）若，，求向量，夾角的余弦值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量線性運(yùn)算法則計算出答案；（2）解法一：在（1）基礎(chǔ)上，得到，，得到；解法二：建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量夾角余弦公式求出答案.【小問1詳解】，；【小問2詳解】解法一：基底法因?yàn)椋?，，，所以解法二：建系坐標(biāo)法，如圖建系，則，，，，.，，故，，，所以.18.在正方體中，面對角線，上各有一個動點(diǎn)，，使得直線平面.（1）當(dāng)，為對角線，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)時，證明：平面平面；（2）當(dāng)正方體棱長為2時，求線段長度的最小值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）應(yīng)用面面平行的判定定理證明即可；（2）應(yīng)用面面平行的性質(zhì)定理得出線線平行再由勾股定理求出二次函數(shù)最值計算即得.【小問1詳解】因?yàn)?，分別是線段，的中點(diǎn)，所以.又，從而.因?yàn)?，平面，平面，所以平面因?yàn)槠矫妫制矫?，，，平面，所以平面平面【小?詳解】過點(diǎn)作的垂線，垂足為，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，連接.因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，又平面，，，平面，所以平面平面因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所?設(shè)，，則，，又棱長為2，則.在梯形中，，，時，線段的最小值為.19.在中，角，，的對邊分別為，，.若，.（1）若為銳角三角形時，求邊的取值范圍；（2）求面積的最大值；（3）在（1）的條