七年級數(shù)學(xué)動角問題2(教師版)

動角問題1．已知：O為直線AB上一點，一個三角板COD的直角頂點放在點O上，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，當(dāng)三角形COD繞O點旋轉(zhuǎn)到如圖所示時，下列結(jié)論不正確的是（）CA．∠AOD－∠EOC＝90° B．∠AOC－∠BOD＝90°C．∠AOE－∠BOF＝45° D．∠EOF＝135°2．如圖1，已知∠AOC＝2∠BOC，∠AOB與∠BOC互補(1)求∠AOB的度數(shù)(2)經(jīng)過點O在∠AOC內(nèi)部作射線OD，OE、OF分別為∠AOD和∠BOC的平分線，當(dāng)OD繞點O在∠AOC內(nèi)部轉(zhuǎn)動時，請寫出∠AOB、∠COD和∠EOF之間的等量關(guān)系，并說明理由(3)如圖，P在BO的延長線上，若∠POD＝50°，將∠AOC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，使AC與直線OB相交，在旋轉(zhuǎn)的過程中，那么∠AOD－∠BOC的值是否發(fā)生變化？請說明理由解：(1)∵∠AOB與∠BOC互補∴∠AOB＋∠BOC＝180°∵∠AOC＝2∠BOC∴∠BOC＝∠AOB∴∠AOB＋∠AOB＝∠AOB＝180°∴∠AOB＝135°（當(dāng)然：設(shè)未知數(shù)可能會更直觀）(2)∠AOB＋∠COD＝2∠EOF（基本結(jié)論）(3)由(1)可知，∠AOC＝∠AOB＝90°設(shè)∠BOC＝x∴∠AOB＝90°－x，AOD＝180°－50°－(90°－x)＝40°＋x∴∠AOD－∠BOC＝40°＋x－x＝40°1、角度問題的?？碱}型：角度的基本概念、角度的轉(zhuǎn)換與計算、角平分線與方位角的計算、方程思想求角度、選擇壓軸的角度多結(jié)論問題，分類討論及定值問題。2、常用方法：設(shè)元法、方程思想、分類討論等。1．如圖1，已知∠AOC＝2∠BOC，∠AOB與∠BOC互補(1)求∠AOB的度數(shù)(2)經(jīng)過點O在∠AOC內(nèi)部作射線OD，OE、OF分別為∠AOD和∠BOC的平分線，當(dāng)OD繞點O在∠AOC內(nèi)部轉(zhuǎn)動時，請寫出∠AOB、∠COD和∠EOF之間的等量關(guān)系，并說明理由(3)如圖，P在BO的延長線上，若∠POD＝50°，將∠AOC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，使AC與直線OB相交，在旋轉(zhuǎn)的過程中，那么∠AOD－∠BOC的值是否發(fā)生變化？請說明理由解：(1)∵∠AOB與∠BOC互補∴∠AOB＋∠BOC＝180°∵∠AOC＝2∠BOC∴∠BOC＝∠AOB∴∠AOB＋∠AOB＝∠AOB＝180°∴∠AOB＝135°（當(dāng)然：設(shè)未知數(shù)可能會更直觀）(2)∠AOB＋∠COD＝2∠EOF（基本結(jié)論）(3)由(1)可知，∠AOC＝∠AOB＝90°設(shè)∠BOC＝x∴∠AOB＝90°－x，AOD＝180°－50°－(90°－x)＝40°＋x∴∠AOD－∠BOC＝40°＋x－x＝40°2．已知，O是直線AB上的一點，∠COD是直角，OE平分∠BOC(1)如圖1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度數(shù)(2)在如圖1中，若∠AOC＝α，直接寫出∠DOE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）(3)將圖1中的∠DOC繞頂點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置①探究∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由②在∠AOC的內(nèi)部有一條射線OF，滿足2∠AOF＋∠BOE＝(∠AOC－∠AOF)，試確定∠AOF與∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，說明理由(1)∠DOE=20°(2)(3)（1）設(shè)∠DOE=則∠COE=90°-∵ OE平分∠BOC∴∠BOC=2∠COE=180°-2∴∠AOC=180°-∠BOC=2即∠AOC=2DOE（2）設(shè)∠DOE=，∠AOC=2∵ OE平分∠BOC，∠COD=90°∴∠BOE=∠COE=90°-∵2∠AOF+∠BOE=(∠AOC-∠AOF∴2∠AOF+90°-=(2-∠AOF)∴∠AOF=2-90°即4∠DOE-5∠AOF=180°3．∠AOB＝90°，∠COD＝60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD(1)如圖1，當(dāng)A、O、D三點共線時，則∠EOF＝__________(2)將∠COD繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)至如圖2所示位置，∠COD的兩邊OC、OD都在∠AOB的內(nèi)部，求∠EOF的度數(shù)(3)當(dāng)∠COD旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置，作∠EOF的角平分線ON，求∠EON的度數(shù)解：(1)75°(2)設(shè)∠AOE＝∠COE＝x，∠BOF＝∠DOF＝y(tǒng)∵∠AOB＝90°∴2x＋2y＋60°＝90°，x＋y＝15°∴∠EOF＝x＋y＋60°＝75°(2)設(shè)∠AOE＝∠COE＝x，∠BOF＝∠DOF＝y(tǒng)∵∠DOC＝60°∴∠COF＝y(tǒng)－60°∵∠AOB＋∠BOF＋∠COF＋∠AOC＝360°∴90°＋y＋y－60＋2x＝360°，x＋y＝165°∴∠EOF＝x＋y－60°＝105°∵ON平分∠EOF∴∠EON＝∠EOF＝52.5°4．已知∠AOB和∠COD均為銳角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，將∠COD繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使∠BOC＝α（0≤α＜180°）（1）若∠AOB＝60°，∠COD＝40°，①當(dāng)α＝0°時，如圖1，則∠POQ＝____________．②當(dāng)α＝80°時，如圖2，求∠POQ的度數(shù)．③當(dāng)α＝130°時，如圖3，請先補全圖形，然后求出∠POQ的度數(shù)．（2）若∠AOB＝m°，∠COD＝n°，m＞n，則∠POQ＝____________．解：（1）①∠POQ＝___50°___．………2分②解：∵∠AOB＝60°，∠BOC＝α＝80°∴∠AOC＝140°∵OP平分∠AOC∴∠POC＝eq\f(1,2)∠AOC＝70°∵∠COD＝40°，∠BOC＝α＝80°且OQ平分∠BOD同理可求∠DOQ＝60°∴∠COQ＝∠DOQ－∠DOC＝20°∴∠POQ＝∠POC－∠COQ＝70°－20°＝50°………5分③解：∵∠AOB＝60°，∠BOC＝α＝130°∴∠AOC＝170°∵OP平分∠AOC∴∠POC＝eq\f(1,2)∠AOC＝85°∵∠COD＝40°，∠BOC＝α＝130°且OQ平分∠BOD同理可求∠DOQ＝85°∴∠COQ＝∠DOQ－∠DOC＝85°－40°＝45°∴∠POQ＝∠POC＋∠COQ＝85°＋45°＝130°………8分(2)當(dāng)∠AOB＝m°，∠COD＝n°時，∠POQ＝eq\f(1,2)m°＋eq\f(1,2)n°或180°－eq\f(1,2)m°－eq\f(1,2)n°………12分5．已知∠AOD＝α，射線OB、OC在∠AOD的內(nèi)部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD(1)如圖1，當(dāng)射線OB與OC重合時，求∠MON的大小(2)在(1)的條件下，若射線OC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度θ，如圖2，求∠MON的大小(3)在(2)的條件下，射線OC繞點O繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)到與射線OA的反向延長線重合為止，在這一旋轉(zhuǎn)過程中，∠MON＝__________【課堂練習(xí)】1.如果兩個角的差的絕對值等于900，就稱這兩個角互為垂角，例如：∠1=1200，∠2=300，｜∠1—∠2｜=900，則∠1和∠2互為垂角（本題中所有角都是指大于00且小于1800的角）.（1）如圖1，O為直線AB上一點，∠AOC=900，∠EOD=900，直接指出圖中所有互為余角的角，所有互為垂角的角；（2）如果一個角的垂角等于這個角的補角的，求這個角的度數(shù)；（3）如圖2，O為直線AB上一點，若∠AOC=900,∠BOD=300，且射線OC繞點O以90/s的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，射線OD繞點O以60/s的速度順時針旋轉(zhuǎn)，兩條射線OC、OD同時運動，運動時間為ts(0＜t＜30).試求當(dāng)t為何值時，∠AOC和∠AOD互為垂角？24.解：(1)互為余角的角:∠AOE與∠COE,∠AOE與∠BOD,∠COD與∠COE,∠COD與∠BOD (寫錯一個扣0.5分)……2分互為垂角的角:∠AOD與∠AOE,∠AOD與∠COD,∠BOE與∠COE,∠BOE與∠BOD (寫錯一個扣0.5分) ……4分 (2)設(shè)這個角的度數(shù)為x,則①當(dāng)00＜x＜900時，900+x=(1800-x)x=300 ……6分②當(dāng)900＜x＜1800時，x-900=(1800-x)x=1300∴這個角的度數(shù)為300或1300.……8分 （3）=1\*GB3①當(dāng)0＜t＜5時,∠AOC=90-9t∠AOD=150+6t（150+6t）-（90-9t）=90 t=2 ……9分 =2\*GB3②當(dāng)5＜t＜10時,∠AOC=90-9t∠AOD=210-6t (210-6t)-（90-9t）=90t=-10(舍去) ……10分 =3\*GB3③當(dāng)10＜t＜20時,∠AOC=9t-90∠AOD=210-6t (210-6t)-（9t-90）=90 t=14 ……11分 =4\*GB3④當(dāng)20＜t＜30時,∠AOC=9t-90∠AOD=210-6t （9t-90）-(210-6t)=90t=26 ……12分 ∴當(dāng)t為2或14或26時∠AOC與∠AOD互為垂角.2．如圖，AB、CD交于點O，∠AOE=4∠DOE，∠AOE的余角比∠DOE小10°.(1)求∠AOE的度數(shù)(2)請寫出∠AOC在右圖中的所有補角____________________________________(3)射線OP從OB出發(fā)以20°/秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)至OC，設(shè)運動時間為t（0≤t≤13）．求t為何值時，∠COP＝∠AOE＋∠DOP1．已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD（本題中的角均為大于0°且小于等于180°的角）(1)如圖1，當(dāng)OB、OC重合時，求∠EOF的度數(shù)(2)當(dāng)∠COD從圖1所示位置繞點O順時針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜90）時，∠AOE－∠BOF的值是否為定值？若是定值，求出∠AOE－∠BOF的值；若不是，請說明理由(3)當(dāng)∠COD從圖1所示位置繞點O順時針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜180）時，滿足∠AOD＋∠EOF＝6∠COD，則n＝___________解：(1)∠EOF＝∠AOD＝(∠AOB＋∠COD)＝70°(2)設(shè)∠AOE＝∠COE＝x，∠BOF＝∠DOF＝y(tǒng)∴∠BOC＝2y－40°∴∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝2x－2y＋40°＝140°，x－y＝30°∴∠AOE－∠BOF＝x－y＝30°為定值(3)如圖1，∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝140°＋n°∠EOF＝∠AOD－∠AOE－∠FOD＝140°＋n°－∠AOC－∠BOD＝70°由140°＋n°＋70°＝6×40°，解得n＝30°如圖2，∠AOD＝360°－∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝220°－n°∠EOF＝360°－∠AOD－∠AOE－∠FOD＝70°由220°－n°＋70°＝6×40°，解得n＝50°綜上所述：n＝30°或50°2．已知∠AOB＝160°，∠COE＝80°，OF平分∠AOE(1)如圖1，若∠COF＝14°，求∠BOE的度數(shù)(2)當(dāng)射線OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，探究∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由(3)在(2)的條件下，如圖3，在∠BOE的內(nèi)部是否存在一條射線OD，使得∠BOD＝90°，且∠DOF＝3∠DOE？若存在，請求出∠COF的度數(shù)；若不存在，請說明理由解：(1)∵∠AOE＝∠AOB﹣∠BOE，而OF平分∠AOE∴∠AOE＝2∠EOF∴2∠EOF＝∠AOB﹣∠BOE∴2(∠COE﹣∠COF)＝∠AOB﹣∠BOE而∠AOB＝160°，∠COE＝80°∴160°﹣2∠COF＝160°﹣∠BOE∴∠BOE＝2∠COF當(dāng)∠COF＝14°時，∠BOE＝28°(2)∠BOE＝2∠COF仍然成立，理由如下：∵∠AOE＝∠AOB﹣∠BOE，而OF平分∠AOE∴∠AOE＝2∠EOF∴2∠EOF＝∠AOB﹣∠BOE∴2(∠COE﹣∠COF)＝∠AOB﹣∠BOE而∠AOB＝160°，∠COE＝80°∴160°﹣2∠COF＝160°﹣∠BOE∴∠BOE＝2∠COF(3)存在．設(shè)∠AOF＝∠EOF＝2x∵∠DOF＝3∠DOE∴∠DOE＝x，而∠BOD為直角∴2x＋2x＋x＋90°＝160°，解得x＝14°∴∠BOE＝90°＋x＝104°∴∠COF＝×104°＝52°3、已知：∠AOB、∠EOF、∠COD為共頂點三個角，（1）如圖1，∠A0B=100°，∠E0F=140°，若OM平分∠AOE,ON平分∠BOF.求∠M0N的大小；（3分）（2）∠AOB=100o,∠EOF=140°,將∠EOF逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖2,使得OF平分∠BOC,OE平分∠AOD(此時∠AOD大于180°)，求∠COD的大小；(4分)（3）當(dāng)∠AOB、∠EOF、∠C0D繞頂點O旋轉(zhuǎn)到如圖3所示位置時，剛好OD平分∠FOE, OC平分∠AOB,問此時∠COD、∠AOF、∠BOE之間有何數(shù)量關(guān)系？并證明。（5分）解（1）：因為∠AOB=100，∠EOF=140，所以∠AOE+∠BOF=360-∠AOB-∠EOF=120………（1分）又因為OM平分∠AOE,ON平分∠BOF所以∠BON=∠BOF,∠AOM=∠AOE所以∠BON+∠AOM=(∠AOE+∠BOF)=60………（2分）所以∠MON=∠AOM+∠AOB+∠BON=160.………（3分）(2)：因為OF平分∠BOC,OE平分∠AOD所以∠BOF=∠COF,∠AOE=∠DOE………（4分）因為∠AOB=100，∠EOF=140所以∠AOE+∠BOF=360-∠AOB-∠EOF=120所以∠DOE+∠COF=120………（5分）又因為∠EOF=140所以∠DOC=∠EOF-(∠DOE+∠COF)=20………（7分）(3)解：存在∠AOF+∠BOE=2∠COD………（8分）證明如下：因為OD平分∠FOE,所以∠DOF=∠EOF=(∠BOE+∠BOF)OC平分∠AOB∠AOC=∠AOB=(∠AOF+∠BOF)………（10分）∠COD=∠FOD+∠BOC-∠BOF………（11分）=(∠BOE+∠BOF)+(∠AOF+∠BOF)-∠BOF=∠BOE+∠AOF,即∠AOF+∠BOE=2∠COD.………（12分1．如圖1，點O是彈力墻MN上一點，魔法棒從OM的位置開始繞點O向ON的位置順時針旋轉(zhuǎn)．當(dāng)轉(zhuǎn)到ON位置時，則從ON位置彈回，繼續(xù)向OM位置旋轉(zhuǎn)；當(dāng)轉(zhuǎn)到OM位置時，再從OM的位置彈回，繼續(xù)轉(zhuǎn)向ON位置，……，如此反復(fù)．按照這種方式將魔法棒進(jìn)行如下步驟的旋轉(zhuǎn)：第1步，從OA0（OA0在OM上）開始旋轉(zhuǎn)α至OA1；第2步，從OA1開始繼續(xù)旋轉(zhuǎn)2α至OA2；第3步，從OA2開始繼續(xù)旋轉(zhuǎn)3α至OA3，……例如：當(dāng)α＝30°時，OA1、OA2、OA3、OA4的位置如圖2所示，其中OA1恰好落在ON上，∠A3OA4＝4α＝120°；當(dāng)α＝20°時，OA1、OA2、O3、OA4的位置如圖3所示，其中第4步旋轉(zhuǎn)到ON后彈回，即∠A3ON＋∠NOA4＝4α＝80°，而OA5恰好與OA2重合解決如下問題：(1)若α＝30°，直接寫出∠A3OA2的度數(shù)是___________(2)如圖，若α＜30°，且∠A2OA4＝35°，求對應(yīng)的α值(3)如圖，若α＜30°，且OA4所在的射線平分∠A2OA3，直接寫出α的值是___________度解：（1）解：