北師版九年級數(shù)學 第六章 反比例函數(shù)（壓軸專練）（六大題型）

第六章反比例函數(shù)（壓軸專練）（六大題型）題型1：存在性問題1．如圖，直線與雙曲線交于A，B兩點，點A的坐標為，點C是雙曲線第一象限分支上的一點，連接并延長交x軸于點D，且．(1)求的值并直接寫出點的坐標；(2)點、是軸上的動點(在上方)且滿足，連接，，求的最小值；(3)點是雙曲線上一個動點，是否存在點，使得，若存在，請直接寫出所有符合條件的點的橫坐標．2．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，兩點．(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)點是第一象限內一點，連接，，使軸，軸，連接，．若點在軸上，且的面積與四邊形的面積相等，求點的坐標；(3)在直線上有一動點M，過M點做y軸的平行線交反比例函數(shù)于點N，當以M、N、B、C四個點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求N點坐標；(4)在平面內是否存在兩點H、Q，使得四邊形是矩形，且該矩形面積為15？若存在，請直接寫出H點坐標；若不存在，請說明理由．3．如圖，一條直線與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點，與x軸交于D點，軸，垂足為C．(1)如圖甲，①求反比例函數(shù)的解析式；②求n的值及D點坐標；(2)如圖乙，若點E在線段上運動，連接，作，交于F點．①試說明；②當為等腰三角形時，直接寫出F點坐標．4．如圖1，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線交于兩點（點在點左邊），過兩點作直線，與雙曲線的另一交點為，過作直線的平行線交雙曲線于點．(1)則點坐標為，點坐標為，并求直線的解析式；(2)如圖2，點在軸負半軸上，連接，交直線于點，連接，且，將線段在軸上移動，得到線段（如圖3），請求出的最大值；(3)如圖4，點在軸上，在平面內是否存在一點，使以點為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的點坐標；若不存在，請說明理由．題型2：動點問題5．已知反比例函數(shù)，直線，直線與反比例函數(shù)交于點，與x軸交于點C．(1)求直線的解析式；(2)過點C作x軸的垂線，上有一動點M，過點M作y軸的垂線段與y軸交于點N，連接，求的最小值和此時M點的坐標；(3)在（2）問的前提下，當取得最小值時，作點M關于x軸的對稱點Q在坐標軸上有一動點P，若，求點P的坐標，并寫出其中一種情況的過程．6．如圖1，已知雙曲線經過的、兩點，且點，，．

(1)求雙曲線和直線對應的函數(shù)關系式；(2)如圖2，點在雙曲線上，點Q在y軸上，若以點、、、為頂點的四邊是平行四邊形，請直接寫出滿足要求的所有點的坐標；(3)如圖3，以線段為對角線作正方形，點是邊（不含點、）上一個動點，點是的中點，，交于點．當在上運動時，的度數(shù)是否會變化？若會的話，請給出你的證明過程．若不是的話，只要給出結論．7．已知：如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點A3,2．(1)試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；(2)根據圖象回答，在第一象限內，當取何值時，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值？(3)是反比例函數(shù)圖象上的一動點，其中，過點作直線軸，交軸于點；過點作直線軸，交軸于點，交直線于點．當四邊形的面積為時，請判斷線段與的大小關系，并說明理由．題型3：旋轉問題8．如圖①，一次函數(shù)的圖像交反比例函數(shù)圖像于點，，交軸于點，點為．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)如圖②，點為反比例函數(shù)在第一象限圖像上的一點，過點作軸垂線，交一次函數(shù)圖像于點，連接，若是以為底邊的等腰三角形，求的面積；(3)如圖③，將一次函數(shù)的圖像繞點順時針旋轉交反比例函數(shù)圖像于點，，求點的坐標．9．已知反比例函數(shù)的圖象經過點，且與一次函數(shù)的圖象在同一坐標系中．(1)如圖1，當反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象只有一個公共點時，求n的值；(2)如圖2，當直線經過點A時，它與反比例函數(shù)的另一個交點記為B，在y軸上找一點M，使的周長最小，求出M的坐標及周長的最小值；(3)如圖3，點P是反比例函數(shù)圖象上A點左側一點，連接，把線段繞點A逆時針旋轉，點P的對應點Q恰好也落在這個反比例函數(shù)的圖象上，求點P的坐標．題型4：新定義題10．在平面直角坐標系中，定義：橫坐標與縱坐標均為整數(shù)的點為整點如圖，已知雙曲線經過點，在第一象限內存在一點，滿足．(1)求的值；(2)如圖，過點分別作平行于軸，軸的直線，交雙曲線于點、，記線段、BD、雙曲線所圍成的區(qū)域為含邊界)，當時，區(qū)域的整點個數(shù)為______；當區(qū)域的整點個數(shù)為時，點橫坐標滿足，直接寫出縱坐標的取值范圍：______；直線過一個定點，若點為此定點，問題：______，______)；問題：這條直線將分成兩部分，直線上方(不包含直線)的區(qū)域記為，直線下方(不包含直線)的區(qū)域記為，當1的整點個數(shù)之差不超過時，求的取值范圍．11．如圖，直線與雙曲線相交于，兩點，點坐標為，點的坐標，點是軸負半軸上的一點．備用圖(1)分別求出直線和雙曲線的表達式；(2)連接，，，，若，求點的坐標；(3)我們把能被一條對角線分成兩個全等直角三角形的四邊形叫做"美麗四邊形"．在（2）的條件下，平面內是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是美麗四邊形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．題型5：情景探究題12．【發(fā)現(xiàn)問題】小明在學習過程中發(fā)現(xiàn)：周長為定值的矩形中面積最大的是正方形那么，面積為定值的矩形中，其周長的取值范圍如何呢？【解決問題】小明嘗試從函數(shù)圖象的角度進行探究：（1）建立函數(shù)模型設一矩形的面積為，周長為，相鄰的兩邊長為、，則，，即，，那么滿足要求的應該是函數(shù)與的圖象在第________象限內的公共點坐標．（2）畫出函數(shù)圖象①畫函數(shù)的圖象；②在同一直角坐標系中直接畫出的圖象，則的圖象可以看成是由的圖象向上平移________個單位長度得到．（3）研究函數(shù)圖象平移直線，觀察兩函數(shù)的圖象；①當直線平移到與函數(shù)的圖象有唯一公共點的位置時，公共點的坐標為________，周長的值為________；②在直線平移的過程中，兩函數(shù)圖象公共點的個數(shù)還有什么情況？請直接寫出公共點的個數(shù)及對應周長的取值范圍．【結論運用】（4）面積為的矩形的周長的取值范圍為________．13．探究函數(shù)性質時，我們經歷了列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質的過程．結合已有經驗，請畫出函數(shù)的圖象，并探究該函數(shù)性質．(1)繪制函數(shù)圖象①列表：下列是x與y的幾組對應值，其中_____；x……12345……y……155a……②描點：根據表中的數(shù)值描點，請在下圖中描出點；③連線：請用平滑的曲線順次連接各點，畫出函數(shù)圖象：(2)探究函數(shù)性質請寫出函數(shù)的兩條性質：___________________________________________；___________________________________________．(3)運用函數(shù)圖象及性質①寫出方程的解_________________；②寫出不等式的解集_________________；③寫出不等式與的解集_________________．14．在圖形的變換中，對稱是一種常見的全等變換，我們需要掌握如何畫對稱點以及對稱圖形，并能求出一些對稱點的坐標以便幫助我們解決相關問題?！境醪礁兄浚?）圖①中點關于軸的對稱點的坐標是______；圖②中點關于直線的對稱點的坐標是______．【理解運用】（2）如圖③所示，直線，直線，請畫出直線關于直線的對稱直線并求出該直線的關系式；【拓展提升】（3）①已知函數(shù)關于直線的對稱圖象為，直線與相交于點、點，點是直線下方圖象上一個動點，請求出面積的最大值：②若將第①問中的改成，已知點，點，點是函數(shù)圖象上的一點，當變化時，點關于直線的對稱點也在不斷變的運動路徑和直線圍城的區(qū)域記為，請畫出點到點的最短路徑并求出軌跡長．（說明：路徑只能在直線右上方畫，且不能穿過區(qū)域）題型6：反比例函數(shù)的實際應用15．綜合與實踐如圖1，某興趣小組計劃開墾一個面積為的矩形地塊種植農作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長為．

【問題提出】小組同學提出這樣一個問題：若，能否圍出矩形地塊？【問題探究】小穎嘗試從“函數(shù)圖象”的角度解決這個問題：設為，為．由矩形地塊面積為，得到，滿足條件的可看成是反比例函數(shù)的圖象在第一象限內點的坐標；木欄總長為，得到，滿足條件的可看成一次函數(shù)的圖象在第一象限內點的坐標，同時滿足這兩個條件的就可以看成兩個函數(shù)圖象交點的坐標．如圖2，反比例函數(shù)的圖象與直線：的交點坐標為和_________，因此，木欄總長為時，能圍出矩形地塊，分別為：，；或___________m，__________m．

（1）根據小穎的分析思路，完成上面的填空．【類比探究】（2）若，能否圍出矩形地塊？請仿照小穎的方法，在圖2中畫出一次函數(shù)圖象并說明理由．【問題延伸】當木欄總長為時，小穎建立了一次函數(shù)．發(fā)現(xiàn)直線可以看成是直線通過平移得到的，在平移過程中，當過點時，直線與反比例函數(shù)的圖象有唯一交點．（3）請在圖2中畫出直線過點時的圖象，并求出的值．【拓展應用】小穎從以上探究中發(fā)現(xiàn)“能否圍成矩形地塊問題”可以轉化為“與圖象在第一象限內交點的存在問題”．（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且和的長均不小于，請直接寫出的取值范圍．16．某果農今年試種了一種新品種的水果，5月份開始上市．根據其它相似產品的銷售經驗，若設該水果上市第t天的銷售單價為（元/千克），則與之間滿足如下關系：t123456…P（元/千克）1206040302420…而該水果每天的銷售量（千克）與t之間滿足的函數(shù)關系如下圖所示：

(1)猜想銷售單價P與t之間滿足我們學過的哪種函數(shù)關系？并直接寫出銷售單價P與t之間的函數(shù)關系式（不必寫出自變量取值范圍）；(2)求每天的銷售量s（千克）與t之間的函數(shù)關系式，并求上市第幾天銷售量最大，最大銷售量是多少千克？(3)當每天的銷售收入低于600元時，該水果將失去生產銷售的價值．該水果最只能上市銷售幾天？最低銷售單價是多少元？（銷售收入＝銷售單價P×銷售量S）(4)當每天的銷售量不低于200千克時，這種水果的最低售價是多少元？17．為了探索函數(shù)的圖象與性質，我們參照學習函數(shù)的過程與方法，列表：x…12345…y…2…描點：在平面直角坐標系中，以自變量x的取值為橫坐標，以相應的函數(shù)值y為縱坐標，描出相應的點，如圖1所示：(1)如圖1，觀察所描出點的分布，用一條光滑曲線將點順次連接起來，作出函數(shù)圖象；(2)已知點在函數(shù)圖象上，結合表格和函數(shù)圖象，回答下列問題：若，則_______；若，則_____；（填“＞”，“＝”，“＜”）．(3)某農戶積極響應廁所改造工程，要建造一個圖2所示的長方體形的化糞池，其底面積為1平方米，深為1米．已知下底面造價為1千元/平方米，上蓋的造價為1.5千元/平方米，側面造價為0.5千元/平方米，設水池底面一邊的長為x米，水池總造價為y千元．①請寫出y關于x的函數(shù)關系式；②若該農戶建造化糞池的預算不超過5千元，則池子底面一邊的長x應控制在什么范圍內？

第六章反比例函數(shù)（壓軸專練）（六大題型）題型1：存在性問題1．如圖，直線與雙曲線交于A，B兩點，點A的坐標為，點C是雙曲線第一象限分支上的一點，連接并延長交x軸于點D，且．(1)求的值并直接寫出點的坐標；(2)點、是軸上的動點(在上方)且滿足，連接，，求的最小值；(3)點是雙曲線上一個動點，是否存在點，使得，若存在，請直接寫出所有符合條件的點的橫坐標．【答案】(1)，；(2)；(3)點P的橫坐標為：，，【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點問題，相似三角形的性質與判定；（1）運用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標即可求解；（2）根據，求得點的坐標，再把將軍飲馬模型在坐標系中直接運用，根據勾股定理求解即可；（3）根據題意畫圖分析，根據平行求相關函數(shù)關系式，再求兩條線的交點解方程組，即可得解．【解析】（1）解：根據題意可知點，在直線和雙曲線的圖象上，，解得，點的坐標為，代入雙曲線得：，由圖象可知點與點關于原點對稱，∴；（2）過點、分別作軸的垂線，垂足分別為、，作點關于軸的對稱點點，并向下平移一個單位記為，連接，則，，，，，，，，，，，即點的縱坐標為，點在反比例函數(shù)的圖象上，，，的最小值即為；（3）當時，當在軸下方時，，設直線的解析式為，由（2）可知：，，解得，，當時，，解得，，，直線AB的解析式為，設直線DE的解析式為，把代入得：，，，由是直線DE與反比例函數(shù)的交點可得：解得，此時點在第三象限，不符合題意，當在軸上方時，則與下方的關于軸對稱，可得直線的解析式為：，聯(lián)立得，此時點在第一象限，兩個都符合題意，點的橫坐標為：．2．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，兩點．(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)點是第一象限內一點，連接，，使軸，軸，連接，．若點在軸上，且的面積與四邊形的面積相等，求點的坐標；(3)在直線上有一動點M，過M點做y軸的平行線交反比例函數(shù)于點N，當以M、N、B、C四個點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求N點坐標；(4)在平面內是否存在兩點H、Q，使得四邊形是矩形，且該矩形面積為15？若存在，請直接寫出H點坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)或(3)或(4)存在，或【分析】（1）根據點，在一次函數(shù)的圖象上求出、的值，得出、兩點的坐標，再運用待定系數(shù)法解答即可；（2）延長交軸于點，延長交軸于點，構建矩形，根據，設點，根據反比例函數(shù)的幾何意義解答即可；（3）先求出直線的函數(shù)關系式為，設，再分為當點M在線段延長線上時及當點M在線段上時，兩種情況進行分類討論求解即可；（4）分為當點H在直線的上方時及當點H在直線的下方時，兩種情況分類討論求解即可．【解析】（1）解：點，在一次函數(shù)的圖象上，，，，，點的坐標為，點的坐標為，又點在反比例函數(shù)的圖象上，，反比例函數(shù)的表達式為；（2）解：延長交軸于點，延長交軸于點，軸，軸，則有軸，軸，點的坐標為四邊形為矩形，且，，，設點的坐標為，則，，點的坐標為或．（3）解：設直線的函數(shù)關系式為，點的坐標為，，，直線的函數(shù)關系式為，設，如圖，當點M在線段延長線上時，以M、N、B、C四個點為頂點的四邊形是平行四邊形，且，由可得，點的坐標為，點的坐標為，，，解得：或（舍去），，當點M在線段上時，，解得：或（舍去），，綜上所述，或；（4）解：存在，如圖，當點H在直線的上方時，過點H作，交的延長線于點R，點的坐標為，點的坐標為，，，矩形面積為15，，即，，四邊形是矩形，，，，，，，，；當點H在直線的下方時，則點H與點關于點B對稱，設，，，；綜上所述，或．【點睛】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題及與幾何結合問題，涉及的知識有：直線與坐標軸的交點，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的性質，矩形的性質與判定及相似三角形的判定與性質，作出恰當?shù)妮o助線是解本題的關鍵．3．如圖，一條直線與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點，與x軸交于D點，軸，垂足為C．(1)如圖甲，①求反比例函數(shù)的解析式；②求n的值及D點坐標；(2)如圖乙，若點E在線段上運動，連接，作，交于F點．①試說明；②當為等腰三角形時，直接寫出F點坐標．【答案】(1)①，②，(2)①見解析；②或或【分析】（1）①把A的坐標代入反比例函數(shù)的解析式，即可求得函數(shù)的解析式，②根據反比例函數(shù)的解析式，求得B的坐標，即可得到n的值，然后利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式，進而求得與x軸的交點D的坐標；（2）①根據題意易證是等腰直角三角形，利用兩角對應相等的兩個三角形相似即可證得；②分三種情況，利用等腰三角形的性質，即可求得的長，則F的坐標可以求得．【解析】（1）解：①把代入得：，解得：，則反比例函數(shù)解析式是：；②把代入得：，∴，設直線的解析式為，把、代入，得：，解得：，則直線的解析式是：，令，解得：，則D的坐標是：；（2）解：①∵軸，，∴，∵，∴，又∵，∴，，∴，∴，②∵為等腰三角形分三種情況．如圖乙：當時，，又∵，∴A，F(xiàn)重合，則F的坐標是1,4；當時，，∴是等腰直角的角平分線，∴E是的中點，，∴，∴F是的中點，∴，∴F的坐標是：；③當時，∵，∴，∴，∴，∴F的坐標是：．綜上，點F的坐標為：或1,4或．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，三角形相似的判定條件坐標與圖形，等腰三角形的存在問題，綜合性性強．4．如圖1，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線交于兩點（點在點左邊），過兩點作直線，與雙曲線的另一交點為，過作直線的平行線交雙曲線于點．(1)則點坐標為，點坐標為，并求直線的解析式；(2)如圖2，點在軸負半軸上，連接，交直線于點，連接，且，將線段在軸上移動，得到線段（如圖3），請求出的最大值；(3)如圖4，點在軸上，在平面內是否存在一點，使以點為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的點坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，(2)(3)點的坐標為或或或【分析】（1）聯(lián)立方程組即可得出點的坐標，利用待定系數(shù)法先求出直線的解析式，再求出的解析式即可；（2）設，先表示出，再求出，結合，求出，從而得出，將點向上平移4個單位長度，得到點，設點、關于軸對稱，則，連接并延長交軸于點，即可得解；（3）設，，分三種情況：當為對角線時，當為邊時，菱形為時，當為邊時，菱形為時；分別利用菱形的性質結合勾股定理求解即可．【解析】（1）解：聯(lián)立方程組，解得：或，∵點在點左邊，∴，，設直線的解析式為y=kxk≠0，將代入解析式得：，解得：，∴直線的解析式為，∵，∴設直線的解析式為：，將代入解析式得：，解得：，∴直線的解析式為：；（2）解：∵點、關于原點對稱，，∴，∵點在軸負半軸上，∴設，令直線交軸于，，在中，當時，，即，∴，∴，聯(lián)立，解得：或，∴，∴，作于，連接、，則，，設，，由勾股定理得：，，∵，∴，解得：（負值舍去），∴，∵，∴，∵，∴，解得：，∴，則，如圖，將點向上平移4個單位長度，得到點，則，則為平行四邊形，∴，設點、關于軸對稱，則，連接并延長交軸于點，，∴的最大值為；（3）解：由（2）可得：，，設，，∵以點為頂點的四邊形是菱形，∴當為對角線時，，解得：，即，當為邊時，菱形為時，，解得：或，即或；當為邊時，菱形為時，，解得：或（不符合題意，舍去），即；綜上所述，點的坐標為或或或．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、求一次函數(shù)解析式、三角形面積公式、勾股定理、菱形的性質等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，采用數(shù)形結合與分類討論的思想是解此題的關鍵．題型2：動點問題5．已知反比例函數(shù)，直線，直線與反比例函數(shù)交于點，與x軸交于點C．(1)求直線的解析式；(2)過點C作x軸的垂線，上有一動點M，過點M作y軸的垂線段與y軸交于點N，連接，求的最小值和此時M點的坐標；(3)在（2）問的前提下，當取得最小值時，作點M關于x軸的對稱點Q在坐標軸上有一動點P，若，求點P的坐標，并寫出其中一種情況的過程．【答案】(1)(2)的最小值為；(3)或或【分析】（1）利用反比例函數(shù)解析式求出A、B坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式即可；（2）先求出點C的坐標，進而求出點M的橫坐標，則；如圖所示，過點B作，連接，則，證明四邊形是平行四邊形，得到，則當A、M、H三點共線時，有最小值，即此時有最小值，最小值為，利用勾股定理得到，則的最小值為；求出直線解析式為，進而可得；（3）根據關于x軸對稱的點橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)得到，如圖3-1所示，當點P在x軸上時，則，可得軸，則點P的坐標為；如圖3-2所示，在直線上且在點Q上方找一點K，連接使得，設，由勾股定理得到，解方程得到，同理可得直線解析式為，則直線與x軸，y軸分別交于，，由等邊對等角得到，則當點P在射線（不包括A）上時都滿足題意，再由P在坐標軸上，可得點P的坐標為或．【解析】（1）解：在中，當時，；當時，，∴，把代入中得：，解得，∴直線的解析式為；（2）解：在中，當時，，∴，∵直線軸，∴點M的橫坐標為1，∵軸，∴；如圖所示，過點B作，連接，則，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴當A、M、H三點共線時，有最小值，即此時有最小值，最小值為，∵，∴，∴的最小值為；設直線解析式為，把代入中得：，解得，∴直線解析式為，在中，當時，，∴；（3）解；由（2）知，∵點M與點Q關于原點對稱，∴，∵，∴軸，如圖3-1所示，當點P在x軸上時，∵，∴，∴軸，∵，∴點P的坐標為；如圖3-2所示，在直線上且在點Q上方找一點K，連接使得，設，∴，解得，∴，同理可得直線解析式為，在中，當時，；當時，，∴直線與x軸，y軸分別交于，，∵，∴，即，∴當點P在射線（不包括A）上時都滿足題意，又∵P在坐標軸上，∴點P的坐標為或；綜上所述，點P的坐標為或或．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，勾股定理，平行四邊形的性質與判定，等邊對等角，一次函數(shù)與幾何綜合，坐標與圖形變化—軸對稱等等，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．6．如圖1，已知雙曲線經過的、兩點，且點，，．

(1)求雙曲線和直線對應的函數(shù)關系式；(2)如圖2，點在雙曲線上，點Q在y軸上，若以點、、、為頂點的四邊是平行四邊形，請直接寫出滿足要求的所有點的坐標；(3)如圖3，以線段為對角線作正方形，點是邊（不含點、）上一個動點，點是的中點，，交于點．當在上運動時，的度數(shù)是否會變化？若會的話，請給出你的證明過程．若不是的話，只要給出結論．【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為；直線DC的函數(shù)關系式為(2)滿足要求的所有點的坐標為：、、(3)的度數(shù)不會變化，等于【分析】（1）把代入求出值，可得反比例函數(shù)解析式，根據平行四邊形的性質得出點坐標，利用待定系數(shù)法即可得出直線解析式；（2）可分兩種情況：為邊、AB為對角線討論，然后運用中點坐標公式即可解決問題；（3）過點作于，作于，連接、，根據正方形的性質及角平分線的性質可得，利用可證明，得出，由此可得，即可得到是等腰直角三角形，因而為定值．【解析】（1）解：∵雙曲線經過的、兩點，且點，，，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為：，∵四邊形是平行四邊形，，，，∴，設直線的函數(shù)關系式為：，則，解得：，∴直線DC的函數(shù)關系式為：．（2）解：由（1）知：反比例函數(shù)的解析式為：，∵點P在雙曲線上，點Q在y軸上，∴設，，①如圖1，當為邊時，

若四邊形為平行四邊形，則，解得：，∴，∴，∴中點坐標為，，∴，解得：，∴．如圖2，若四邊形為平行四邊形，

∵四邊形為平行四邊形，∴，，∵，∴，則，∴，∵，∴．②如圖3，當AB為對角線時，

∵四邊形為平行四邊形，∴，，∵，∴，則，∴，∴．綜上所述，滿足要求的所有點的坐標為：、、．（3）解：當在上運動時，的度數(shù)不會變化，等于，理由如下：過點作于，作于，連接，，如圖所示，

∵，∴，∵點是的中點，，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、平行四邊形的性質、正方形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、中點坐標公式等知識，運用分類討論是解決第（2）小題的關鍵，除用中點坐標公式外，也可通過構造全等三角形來解決第（1）題和第（2）題．7．已知：如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點A3,2．(1)試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；(2)根據圖象回答，在第一象限內，當取何值時，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值？(3)是反比例函數(shù)圖象上的一動點，其中，過點作直線軸，交軸于點；過點作直線軸，交軸于點，交直線于點．當四邊形的面積為時，請判斷線段與的大小關系，并說明理由．【答案】(1)；(2)(3)，理由見解析【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合：（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據函數(shù)圖象找到反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方時自變量的取值范圍即可；（3）先推出，則，由反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義得到，則，據此求出，則，再由，即可得到．【解析】（1）解：把A3,2代入中得：，解得，∴正比例函數(shù)解析式為；把A3,2代入中得：，解得，∴反比例函數(shù)解析式為；（2）解：由函數(shù)圖象可知，當時，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值；（3）解：，理由如下：∵軸，軸，∴，∵A3,2∴，∵點A和點M都在反比例函數(shù)圖象上，∴，∵四邊形的面積為，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴．題型3：旋轉問題8．如圖①，一次函數(shù)的圖像交反比例函數(shù)圖像于點，，交軸于點，點為．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)如圖②，點為反比例函數(shù)在第一象限圖像上的一點，過點作軸垂線，交一次函數(shù)圖像于點，連接，若是以為底邊的等腰三角形，求的面積；(3)如圖③，將一次函數(shù)的圖像繞點順時針旋轉交反比例函數(shù)圖像于點，，求點的坐標．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）首先確定點坐標，然后根據待定系數(shù)法求反比例解析式即可；（2）設點的坐標為，則點，根據題意，是以為底邊的等腰三角形，則點在的垂直平分線上，易得，解得的值，進而確定點，的坐標，然后根據三角形面積公式求解即可；（3）設一次函數(shù)的圖像與軸交于點，過點作于，過作軸于，過點作，交延長線于點，證明，由全等三角形的性質可得，，設，易得，求解即可確定點坐標，進而可利用待定系數(shù)法解得直線的解析式，聯(lián)立直線的解析式與反比例函數(shù)解析式，求解即可獲得答案．【解析】（1）解：對于一次函數(shù)，當時，可有，∴點，將點的坐標代入反比例函數(shù)表達式，可得，即反比例函數(shù)表達式為；（2）設點的坐標為，則點，若是以為底邊的等腰三角形，則點在的垂直平分線上，則有，解得（舍去）或，∴，，則；（3）設一次函數(shù)的圖像與軸交于點，過點作于，過作軸于，過點作，交延長線于點，如下圖，對于一次函數(shù)，令，可有，即的坐標為0,4，令，可有，解得，即的坐標為，由題意可知，一次函數(shù)的圖像繞點順時針旋轉交反比例函數(shù)圖像于點，，∴，∵，∴，∴，∵，，軸，∴，∴，又∵，∴，∴，，設，∵C?2,0，，∴，，，，∴可有，解得，∴，設直線的解析式為y=kx+bk≠0，將點，C?2,0代入，可得，解得，∴直線的解析式為，聯(lián)立直線的解析式與反比例函數(shù)解析式，可得，可得，整理可得，解得，（不合題意，舍去），∴，∴．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合應用、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、解一元二次方程等知識，綜合性強，難度較大，解題關鍵是綜合運用相關知識，并運用數(shù)形結合的思想分析問題．9．已知反比例函數(shù)的圖象經過點，且與一次函數(shù)的圖象在同一坐標系中．(1)如圖1，當反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象只有一個公共點時，求n的值；(2)如圖2，當直線經過點A時，它與反比例函數(shù)的另一個交點記為B，在y軸上找一點M，使的周長最小，求出M的坐標及周長的最小值；(3)如圖3，點P是反比例函數(shù)圖象上A點左側一點，連接，把線段繞點A逆時針旋轉，點P的對應點Q恰好也落在這個反比例函數(shù)的圖象上，求點P的坐標．【答案】(1)(2)周長的最小值為，點M的坐標為(3)【分析】（1）聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，根據一元二次方程根的判別式求解即可；（2）將代入反比例函數(shù)的解析式求得，再將代入，即可求解出n的值，聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，求出點B的坐標，作點A關于y軸的對稱點，連接，交y軸與點M，連接，此時的周長最小，為的長，利用兩點的距離公式解答即可，設直線解析式為，利用待定系數(shù)法求出解析式，令，即可求出點M的坐標；（3）過點作x軸的垂線，與過點作軸的平行線，分別交于點，設點，證明，根據，得到，進而得出，根據點在反比例函數(shù)上，代入解析式，求解即可．【解析】（1）解：根據題意，則，即，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象只有一個公共點，，即，；（2）解：反比例函數(shù)的圖象經過點，，，，將代入，則，，一次函數(shù)的解析式為：，聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式得，則，即，，當時，，根據題意得：，作點A關于y軸的對稱點，連接，交y軸與點M，連接，則，，，此時的周長最小，為的長，，；設直線解析式為，則，解得，直線解析式為，令，則，點M的坐標為；（3）解：過點作x軸的垂線，與過點的軸的平行線，分別交于點，設點，，，，由旋轉知：，，，，，，，點在反比例函數(shù)上，，即，解得或（舍去），∴．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，軸對稱求最短距離，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質．利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式；熟練掌握對稱的性質及等腰三角形的性質是解題的關鍵．題型4：新定義題10．在平面直角坐標系中，定義：橫坐標與縱坐標均為整數(shù)的點為整點如圖，已知雙曲線經過點，在第一象限內存在一點，滿足．(1)求的值；(2)如圖，過點分別作平行于軸，軸的直線，交雙曲線于點、，記線段、BD、雙曲線所圍成的區(qū)域為含邊界)，當時，區(qū)域的整點個數(shù)為______；當區(qū)域的整點個數(shù)為時，點橫坐標滿足，直接寫出縱坐標的取值范圍：______；直線過一個定點，若點為此定點，問題：______，______)；問題：這條直線將分成兩部分，直線上方(不包含直線)的區(qū)域記為，直線下方(不包含直線)的區(qū)域記為，當1的整點個數(shù)之差不超過時，求的取值范圍．【答案】(1)(2)①；②；③問題一：，問題二：【分析】本題考查反比例函數(shù)的性質，正確理解題目中所給出的新定義，結合圖形合理的分析是解題的關鍵．（1）根據點在的圖象上，可求出的值．（2）①標出區(qū)域，再統(tǒng)計區(qū)域內的整數(shù)點即可．②結合圖象可找出這4個整數(shù)點，便可得出的取值范圍．③問題一：過定點即表示與的取值無關，則有的系數(shù)等于0，便可解決問題．問題二：利用圖象，求出區(qū)域內的所有整數(shù)點，再分類討論即可．【解析】（1）因為雙曲線經過點，所以．即的值為4．（2）①當時，由圖1可知，上的整點有4個，上的整點有4個，雙曲線上段的整點有3個，區(qū)域內部的整點有3個，又點，，都被算了2次，所以區(qū)域的整點個數(shù)為：．故答案為：11．②因為區(qū)域的整點個數(shù)為4，如圖所示，又，則區(qū)域的4個整點如圖所示：，，，．故縱坐標的取值范圍是：．故答案為：．③問題一：由題知，，則不論為何值，時，，即直線過定點，所以．故答案為：5，4．問題二：如圖所示，當時，區(qū)域內的整點共有15個．又被分成的區(qū)域和的整點個數(shù)之差不超過2，則當直線經過點時，的整點個數(shù)是7，的整點個數(shù)是5，滿足要求．此時，得．當直線過點時，的整點個數(shù)是5，的整點個數(shù)是8，不滿足要求．故當點在直線上方時，即可．此時，得．故的取值范圍是：．11．如圖，直線與雙曲線相交于，兩點，點坐標為，點的坐標，點是軸負半軸上的一點．備用圖(1)分別求出直線和雙曲線的表達式；(2)連接，，，，若，求點的坐標；(3)我們把能被一條對角線分成兩個全等直角三角形的四邊形叫做"美麗四邊形"．在（2）的條件下，平面內是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是美麗四邊形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)(3)平面內存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是美麗四邊形，點的坐標為或或或【分析】此題屬于反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：勾股定理，坐標與圖形性質，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，面積問題，平行四邊形存在性問題，三角函數(shù)的性質，利用了分類討論的思想，理解新定義是解本題第三問的關鍵．（1）把分別代入兩個解析式計算即可；（2）設，表示出和的面積，再根據列方程計算即可；（3）設，分四種情況：當時，利用平移的性質可得；當時，運用平移的性質可得；當時，通過構造全等三角形建立方程即可得出；當時，利用平移的性質可得．【解析】（1）解：（1）直線經過點，，解得：，；雙曲線經過點，，解得：，；（2）如圖，設直線交軸于點，過點作軸于點，過點作軸于點，上點的坐標為，，又，，，在中，令，得，解得：，，，設，且，，，即，，，即，解得：，；（3）平面內存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是美麗四邊形．，，，，，，，，，是直角三角形，，設，當時，如圖，則，，．解得：，；當時，如圖，則，，，解得：，；當時，如圖，設直線交軸于點，過點作軸于，作軸，過點作于，則，，由（2）知：，，，，，，是等腰直角三角形，，軸，，，，即，，，，，，，，，，；當時，如圖，則，，，解得：，；綜上所述，平面內存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是美麗四邊形，點的坐標為或或或．題型5：情景探究題12．【發(fā)現(xiàn)問題】小明在學習過程中發(fā)現(xiàn)：周長為定值的矩形中面積最大的是正方形那么，面積為定值的矩形中，其周長的取值范圍如何呢？【解決問題】小明嘗試從函數(shù)圖象的角度進行探究：（1）建立函數(shù)模型設一矩形的面積為，周長為，相鄰的兩邊長為、，則，，即，，那么滿足要求的應該是函數(shù)與的圖象在第________象限內的公共點坐標．（2）畫出函數(shù)圖象①畫函數(shù)的圖象；②在同一直角坐標系中直接畫出的圖象，則的圖象可以看成是由的圖象向上平移________個單位長度得到．（3）研究函數(shù)圖象平移直線，觀察兩函數(shù)的圖象；①當直線平移到與函數(shù)的圖象有唯一公共點的位置時，公共點的坐標為________，周長的值為________；②在直線平移的過程中，兩函數(shù)圖象公共點的個數(shù)還有什么情況？請直接寫出公共點的個數(shù)及對應周長的取值范圍．【結論運用】（4）面積為的矩形的周長的取值范圍為________．【答案】（1）一；（2）①見解析；②；（3）①；；②見解析，個交點時，；個交點時，；個交點時，；（4）【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，涉及畫函數(shù)圖象、函數(shù)圖象的平移、解一元二次方程等知識，利用類比和數(shù)形結合思想求解是解答的關鍵．（1）根據x、y是邊長求解即可；（2）①利用描點法畫函數(shù)的圖象即可；②利用描點法畫函數(shù)的圖象，的圖象即可，根據圖象平移規(guī)則：上加下減求解即可；（3）①聯(lián)立方程組，根據一元二次方程根的判別式求解即可；②由①并結合圖象可求解；（4）仿照前面求解思路，聯(lián)立方程組，利用方程有實數(shù)根求解即可．【解析】解：（1），都是邊長，周長為，，，，滿足要求的應該是函數(shù)與的圖象在第一象限內的公共點坐標．故答案為：一；（2）①的圖象如圖所示：②的圖象如圖所示，與軸的交點為，的圖象可以看成是由的圖象向右平移個單位長度得到，故答案為：；（3）①聯(lián)立方程組可得：，整理得：，兩圖象有唯一交點，，，，解得：，交點坐標為，周長，故答案為：，；②由①知：個交點時，；個交點時，；個交點時，；（4）設相鄰的兩邊長為、，則，，即，，聯(lián)立方程組可得，整理得：，兩函數(shù)有交點，，，故答案為：．13．探究函數(shù)性質時，我們經歷了列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質的過程．結合已有經驗，請畫出函數(shù)的圖象，并探究該函數(shù)性質．(1)繪制函數(shù)圖象①列表：下列是x與y的幾組對應值，其中_____；x……12345……y……155a……②描點：根據表中的數(shù)值描點，請在下圖中描出點；③連線：請用平滑的曲線順次連接各點，畫出函數(shù)圖象：(2)探究函數(shù)性質請寫出函數(shù)的兩條性質：___________________________________________；___________________________________________．(3)運用函數(shù)圖象及性質①寫出方程的解_________________；②寫出不等式的解集_________________；③寫出不等式與的解集_________________．【答案】(1)①1；②見解析；③見②圖(2)的圖象關于y軸對稱；當時，y隨x的增大而增大（答案不唯一）；(3)①或；②或；③或．【分析】本題考查了列表描點畫函數(shù)圖象，根據函數(shù)圖象獲取信息，畫出函數(shù)圖象，從函數(shù)圖象獲取信息是解題的關鍵．（1）①把代入解析式即可得的值；②③按要求描點，連線即可；（2）觀察函數(shù)圖象，可得函數(shù)性質；（3）①由函數(shù)圖象可得答案；②觀察函數(shù)圖象即得答案；③觀察函數(shù)圖象即得答案．【解析】（1）解：①列表：當時，，故答案為：1；②描點，③連線如下：（2）觀察函數(shù)圖象可得：的圖象關于軸對稱，當時，y隨x的增大而增大；故答案為：的圖象關于軸對稱；當時，y隨x的增大而增大；（3）①觀察函數(shù)圖象可得：當時，或，∴方程的解是或，故答案為：或；②觀察函數(shù)圖象可得，當或時，，∴不等式的解集或，故答案為：或；③觀察函數(shù)圖象可得，當或時，，不等式與的解集或，故答案為：或．14．在圖形的變換中，對稱是一種常見的全等變換，我們需要掌握如何畫對稱點以及對稱圖形，并能求出一些對稱點的坐標以便幫助我們解決相關問題?！境醪礁兄浚?）圖①中點關于軸的對稱點的坐標是______；圖②中點關于直線的對稱點的坐標是______．【理解運用】（2）如圖③所示，直線，直線，請畫出直線關于直線的對稱直線并求出該直線的關系式；【拓展提升】（3）①已知函數(shù)關于直線的對稱圖象為，直線與相交于點、點，點是直線下方圖象上一個動點，請求出面積的最大值：②若將第①問中的改成，已知點，點，點是函數(shù)圖象上的一點，當變化時，點關于直線的對稱點也在不斷變的運動路徑和直線圍城的區(qū)域記為，請畫出點到點的最短路徑并求出軌跡長．（說明：路徑只能在直線右上方畫，且不能穿過區(qū)域）【答案】（1），；（2）圖見解析，；（3）①面積的最大值為；②點到點的最短路徑長為．【分析】（1）關于軸的對稱的點橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變，可求；連接，，過點作軸交于，過作軸交于，通過證明，求；（2）設直線與軸的交點為E0,2，點關于直線的對稱點為，連接交直線于點，連接，設，則，再由①，②，聯(lián)立①②可得，再聯(lián)立方程組，求出兩直線的交點D1,3，利用待定系數(shù)法求直線的解析式即可；（3）①取函數(shù)上的點M1,1，設點關于的對稱點為，由（2）可知，，，能求出對稱點，則函數(shù)的函數(shù)解析式為；聯(lián)立方程組，可求交點，，則，設經過點與平行的直線為，聯(lián)立方程組，當時，點到直線的距離最短，可求，再求直線與軸的交點為，過點作交于點，利用等腰直角三角形的性質求出，則，即可求面積的最大值為；②由題可知在以為圓心，為半徑的半圓上，在直線上，可求線段與半圓的交點為，，結合函數(shù)圖象可求點到點的最短路徑長為．【解析】解：（1），點關于軸的對稱點為?1,1；連接，，過點作軸交于，過作軸交于，點與關于對稱，，，，，，，，，；故答案為：）?1,1，；（2）設直線與軸的交點為E0,2，點關于直線的對稱點為，連接交直線于點，連接，由對稱性可知，，點是的中點，設，則，①，又②，聯(lián)立①②可得，，，聯(lián)立方程組，解得，，設直線的解析式為，，解得，；（3）①取函數(shù)上的點M1,1，設點關于的對稱點為，由（2）可知，，，，，，，函數(shù)的函數(shù)解析式為；聯(lián)立方程組，解得或，，，，設經過點與平行的直線為，聯(lián)立方程組，整理得，，當時，點到直線的距離最短，，解得或（舍），，解得，，與軸的交點為，過點作交于點，，，，，面積的最大值為；②由①可知，，在以為圓心，為半徑的圓上，，的軌跡為半圓，點，點，在直線上，線段與半圓的交點為，，，，點到點的最短路徑長為．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象及性質，熟練掌握函數(shù)的對稱性，利用點的對稱性求函數(shù)的解析式，數(shù)形結合是解題的關鍵．題型6：反比例函數(shù)的實際應用15．綜合與實踐如圖1，某興趣小組計劃開墾一個面積為的矩形地塊種植農作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長為．

【問題提出】小組同學提出這樣一個問題：若，能否圍出矩形地塊？【問題探究】小穎嘗試從“函數(shù)圖象”的角度解決這個問題：設為，為．由矩形地塊面積為，得到，滿足條件的可看成是反比例函數(shù)的圖象在第一象限內點的坐標；木欄總長為，得到，滿足條件的可看成一次函數(shù)的圖象在第一象限內點的坐標，同時滿足這兩個條件的就可以看成兩個函數(shù)圖象交點的坐標．如圖2，反比例函數(shù)的圖象與直線：的交點坐標為和_________，因此，木欄總長為時，能圍出矩形地塊，分別為：，；或___________m，__________m．

（1）根據小穎的分析思路，完成上面的填空．【類比探究】（2）若，能否圍出矩形地塊？請仿照小穎的方法，在圖2中畫出一次函數(shù)圖象并說明理由．【問題延伸】當木欄總長為時，小穎建立了一次函數(shù)．發(fā)現(xiàn)直線可以看成是直線通過平移得到的，在平移過程中，當過點時，直線與反比例函數(shù)的圖象有唯一交點．（3）請在圖2中畫出直線過點時的圖象，并求出的值．【拓展應用】小穎從以上探究中發(fā)現(xiàn)“能否圍成矩形地塊問題”可以轉化為“與圖象在第一象限內交點的存在問題”．（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且和的長均不小于，請直接寫出的取值范圍．【答案】（1）；4；2；（2）不能圍出，理由見解析；（3）圖見解析，；（4）【分析】（1）聯(lián)立反比例函數(shù)和一次函數(shù)表達式，求出交點坐標，即可解答；（2）根據得出，，在圖中畫出的圖象，觀察是否與反比例函數(shù)圖像有交點，若有交點，則能圍成，否則，不能圍成；（3）過點作的平行線，即可作出直線的圖象，將點代入，即可求出a的值；（4）根據存在交點，得出方程有實數(shù)根，根據根的判別式得出，再得出反比例函數(shù)圖象經過點，，則當與圖象在點左邊，點右邊存在交點時，滿足題意；根據圖象，即可寫出取值范圍．【解析】解：（1）∵反比例函數(shù)，直線：，∴聯(lián)立得：，解得：，，∴反比例函與直線：的交點坐標為和，當木欄總長為時，能圍出矩形地塊，分別為：，；或，．故答案為：4；2．（2）不能圍出．∵木欄總長為，∴，則，畫出直線的圖象，如圖中所示：∵與函數(shù)圖象沒有交點，∴不能圍出面積為的矩形；（3）如圖中直線所示，即為圖象，將點代入，得：，解得；

（4）根據題意可得∶若要圍出滿足條件的矩形地塊，與圖象在第一象限內交點的存在問題，即方程有實數(shù)根，整理得：，∴，解得：，把代入得：，∴反比例函數(shù)圖象經過點，把代