北師版九年級數(shù)學(xué) 第六章 反比例函數(shù)（壓軸專練）（六大題型）

第六章反比例函數(shù)（壓軸專練）（六大題型）題型1：存在性問題1．如圖，直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C是雙曲線第一象限分支上的一點(diǎn)，連接并延長交x軸于點(diǎn)D，且．(1)求的值并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)、是軸上的動點(diǎn)(在上方)且滿足，連接，，求的最小值；(3)點(diǎn)是雙曲線上一個動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得，若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，兩點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，連接，，使軸，軸，連接，．若點(diǎn)在軸上，且的面積與四邊形的面積相等，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在直線上有一動點(diǎn)M，過M點(diǎn)做y軸的平行線交反比例函數(shù)于點(diǎn)N，當(dāng)以M、N、B、C四個點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求N點(diǎn)坐標(biāo)；(4)在平面內(nèi)是否存在兩點(diǎn)H、Q，使得四邊形是矩形，且該矩形面積為15？若存在，請直接寫出H點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．如圖，一條直線與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，與x軸交于D點(diǎn)，軸，垂足為C．(1)如圖甲，①求反比例函數(shù)的解析式；②求n的值及D點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖乙，若點(diǎn)E在線段上運(yùn)動，連接，作，交于F點(diǎn)．①試說明；②當(dāng)為等腰三角形時(shí)，直接寫出F點(diǎn)坐標(biāo)．4．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左邊），過兩點(diǎn)作直線，與雙曲線的另一交點(diǎn)為，過作直線的平行線交雙曲線于點(diǎn)．(1)則點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，并求直線的解析式；(2)如圖2，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，連接，交直線于點(diǎn)，連接，且，將線段在軸上移動，得到線段（如圖3），請求出的最大值；(3)如圖4，點(diǎn)在軸上，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．題型2：動點(diǎn)問題5．已知反比例函數(shù)，直線，直線與反比例函數(shù)交于點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C．(1)求直線的解析式；(2)過點(diǎn)C作x軸的垂線，上有一動點(diǎn)M，過點(diǎn)M作y軸的垂線段與y軸交于點(diǎn)N，連接，求的最小值和此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）問的前提下，當(dāng)取得最小值時(shí)，作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)Q在坐標(biāo)軸上有一動點(diǎn)P，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并寫出其中一種情況的過程．6．如圖1，已知雙曲線經(jīng)過的、兩點(diǎn)，且點(diǎn)，，．

(1)求雙曲線和直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)如圖2，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)Q在y軸上，若以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊是平行四邊形，請直接寫出滿足要求的所有點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖3，以線段為對角線作正方形，點(diǎn)是邊（不含點(diǎn)、）上一個動點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)．當(dāng)在上運(yùn)動時(shí)，的度數(shù)是否會變化？若會的話，請給出你的證明過程．若不是的話，只要給出結(jié)論．7．已知：如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A3,2．(1)試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)根據(jù)圖象回答，在第一象限內(nèi)，當(dāng)取何值時(shí)，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值？(3)是反比例函數(shù)圖象上的一動點(diǎn)，其中，過點(diǎn)作直線軸，交軸于點(diǎn)；過點(diǎn)作直線軸，交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．當(dāng)四邊形的面積為時(shí)，請判斷線段與的大小關(guān)系，并說明理由．題型3：旋轉(zhuǎn)問題8．如圖①，一次函數(shù)的圖像交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)如圖②，點(diǎn)為反比例函數(shù)在第一象限圖像上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸垂線，交一次函數(shù)圖像于點(diǎn)，連接，若是以為底邊的等腰三角形，求的面積；(3)如圖③，將一次函數(shù)的圖像繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn)，，求點(diǎn)的坐標(biāo)．9．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且與一次函數(shù)的圖象在同一坐標(biāo)系中．(1)如圖1，當(dāng)反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象只有一個公共點(diǎn)時(shí)，求n的值；(2)如圖2，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，它與反比例函數(shù)的另一個交點(diǎn)記為B，在y軸上找一點(diǎn)M，使的周長最小，求出M的坐標(biāo)及周長的最小值；(3)如圖3，點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上A點(diǎn)左側(cè)一點(diǎn)，連接，把線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)Q恰好也落在這個反比例函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．題型4：新定義題10．在平面直角坐標(biāo)系中，定義：橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)為整點(diǎn)如圖，已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，在第一象限內(nèi)存在一點(diǎn)，滿足．(1)求的值；(2)如圖，過點(diǎn)分別作平行于軸，軸的直線，交雙曲線于點(diǎn)、，記線段、BD、雙曲線所圍成的區(qū)域?yàn)楹吔?，當(dāng)時(shí)，區(qū)域的整點(diǎn)個數(shù)為______；當(dāng)區(qū)域的整點(diǎn)個數(shù)為時(shí)，點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足，直接寫出縱坐標(biāo)的取值范圍：______；直線過一個定點(diǎn)，若點(diǎn)為此定點(diǎn)，問題：______，______)；問題：這條直線將分成兩部分，直線上方(不包含直線)的區(qū)域記為，直線下方(不包含直線)的區(qū)域記為，當(dāng)1的整點(diǎn)個數(shù)之差不超過時(shí)，求的取值范圍．11．如圖，直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)是軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)．備用圖(1)分別求出直線和雙曲線的表達(dá)式；(2)連接，，，，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)我們把能被一條對角線分成兩個全等直角三角形的四邊形叫做"美麗四邊形"．在（2）的條件下，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是美麗四邊形，若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．題型5：情景探究題12．【發(fā)現(xiàn)問題】小明在學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)：周長為定值的矩形中面積最大的是正方形那么，面積為定值的矩形中，其周長的取值范圍如何呢？【解決問題】小明嘗試從函數(shù)圖象的角度進(jìn)行探究：（1）建立函數(shù)模型設(shè)一矩形的面積為，周長為，相鄰的兩邊長為、，則，，即，，那么滿足要求的應(yīng)該是函數(shù)與的圖象在第________象限內(nèi)的公共點(diǎn)坐標(biāo)．（2）畫出函數(shù)圖象①畫函數(shù)的圖象；②在同一直角坐標(biāo)系中直接畫出的圖象，則的圖象可以看成是由的圖象向上平移________個單位長度得到．（3）研究函數(shù)圖象平移直線，觀察兩函數(shù)的圖象；①當(dāng)直線平移到與函數(shù)的圖象有唯一公共點(diǎn)的位置時(shí)，公共點(diǎn)的坐標(biāo)為________，周長的值為________；②在直線平移的過程中，兩函數(shù)圖象公共點(diǎn)的個數(shù)還有什么情況？請直接寫出公共點(diǎn)的個數(shù)及對應(yīng)周長的取值范圍．【結(jié)論運(yùn)用】（4）面積為的矩形的周長的取值范圍為________．13．探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程．結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，請畫出函數(shù)的圖象，并探究該函數(shù)性質(zhì)．(1)繪制函數(shù)圖象①列表：下列是x與y的幾組對應(yīng)值，其中_____；x……12345……y……155a……②描點(diǎn)：根據(jù)表中的數(shù)值描點(diǎn)，請?jiān)谙聢D中描出點(diǎn)；③連線：請用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象：(2)探究函數(shù)性質(zhì)請寫出函數(shù)的兩條性質(zhì)：___________________________________________；___________________________________________．(3)運(yùn)用函數(shù)圖象及性質(zhì)①寫出方程的解_________________；②寫出不等式的解集_________________；③寫出不等式與的解集_________________．14．在圖形的變換中，對稱是一種常見的全等變換，我們需要掌握如何畫對稱點(diǎn)以及對稱圖形，并能求出一些對稱點(diǎn)的坐標(biāo)以便幫助我們解決相關(guān)問題?！境醪礁兄浚?）圖①中點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是______；圖②中點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是______．【理解運(yùn)用】（2）如圖③所示，直線，直線，請畫出直線關(guān)于直線的對稱直線并求出該直線的關(guān)系式；【拓展提升】（3）①已知函數(shù)關(guān)于直線的對稱圖象為，直線與相交于點(diǎn)、點(diǎn)，點(diǎn)是直線下方圖象上一個動點(diǎn)，請求出面積的最大值：②若將第①問中的改成，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)也在不斷變的運(yùn)動路徑和直線圍城的區(qū)域記為，請畫出點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑并求出軌跡長．（說明：路徑只能在直線右上方畫，且不能穿過區(qū)域）題型6：反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用15．綜合與實(shí)踐如圖1，某興趣小組計(jì)劃開墾一個面積為的矩形地塊種植農(nóng)作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長為．

【問題提出】小組同學(xué)提出這樣一個問題：若，能否圍出矩形地塊？【問題探究】小穎嘗試從“函數(shù)圖象”的角度解決這個問題：設(shè)為，為．由矩形地塊面積為，得到，滿足條件的可看成是反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)；木欄總長為，得到，滿足條件的可看成一次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)滿足這兩個條件的就可以看成兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)．如圖2，反比例函數(shù)的圖象與直線：的交點(diǎn)坐標(biāo)為和_________，因此，木欄總長為時(shí)，能圍出矩形地塊，分別為：，；或___________m，__________m．

（1）根據(jù)小穎的分析思路，完成上面的填空．【類比探究】（2）若，能否圍出矩形地塊？請仿照小穎的方法，在圖2中畫出一次函數(shù)圖象并說明理由．【問題延伸】當(dāng)木欄總長為時(shí)，小穎建立了一次函數(shù)．發(fā)現(xiàn)直線可以看成是直線通過平移得到的，在平移過程中，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，直線與反比例函數(shù)的圖象有唯一交點(diǎn)．（3）請?jiān)趫D2中畫出直線過點(diǎn)時(shí)的圖象，并求出的值．【拓展應(yīng)用】小穎從以上探究中發(fā)現(xiàn)“能否圍成矩形地塊問題”可以轉(zhuǎn)化為“與圖象在第一象限內(nèi)交點(diǎn)的存在問題”．（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且和的長均不小于，請直接寫出的取值范圍．16．某果農(nóng)今年試種了一種新品種的水果，5月份開始上市．根據(jù)其它相似產(chǎn)品的銷售經(jīng)驗(yàn)，若設(shè)該水果上市第t天的銷售單價(jià)為（元/千克），則與之間滿足如下關(guān)系：t123456…P（元/千克）1206040302420…而該水果每天的銷售量（千克）與t之間滿足的函數(shù)關(guān)系如下圖所示：

(1)猜想銷售單價(jià)P與t之間滿足我們學(xué)過的哪種函數(shù)關(guān)系？并直接寫出銷售單價(jià)P與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出自變量取值范圍）；(2)求每天的銷售量s（千克）與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求上市第幾天銷售量最大，最大銷售量是多少千克？(3)當(dāng)每天的銷售收入低于600元時(shí)，該水果將失去生產(chǎn)銷售的價(jià)值．該水果最只能上市銷售幾天？最低銷售單價(jià)是多少元？（銷售收入＝銷售單價(jià)P×銷售量S）(4)當(dāng)每天的銷售量不低于200千克時(shí)，這種水果的最低售價(jià)是多少元？17．為了探索函數(shù)的圖象與性質(zhì)，我們參照學(xué)習(xí)函數(shù)的過程與方法，列表：x…12345…y…2…描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量x的取值為橫坐標(biāo)，以相應(yīng)的函數(shù)值y為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點(diǎn)，如圖1所示：(1)如圖1，觀察所描出點(diǎn)的分布，用一條光滑曲線將點(diǎn)順次連接起來，作出函數(shù)圖象；(2)已知點(diǎn)在函數(shù)圖象上，結(jié)合表格和函數(shù)圖象，回答下列問題：若，則_______；若，則_____；（填“＞”，“＝”，“＜”）．(3)某農(nóng)戶積極響應(yīng)廁所改造工程，要建造一個圖2所示的長方體形的化糞池，其底面積為1平方米，深為1米．已知下底面造價(jià)為1千元/平方米，上蓋的造價(jià)為1.5千元/平方米，側(cè)面造價(jià)為0.5千元/平方米，設(shè)水池底面一邊的長為x米，水池總造價(jià)為y千元．①請寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②若該農(nóng)戶建造化糞池的預(yù)算不超過5千元，則池子底面一邊的長x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

第六章反比例函數(shù)（壓軸專練）（六大題型）題型1：存在性問題1．如圖，直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C是雙曲線第一象限分支上的一點(diǎn)，連接并延長交x軸于點(diǎn)D，且．(1)求的值并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)、是軸上的動點(diǎn)(在上方)且滿足，連接，，求的最小值；(3)點(diǎn)是雙曲線上一個動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得，若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【答案】(1)，；(2)；(3)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：，，【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問題，相似三角形的性質(zhì)與判定；（1）運(yùn)用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；（2）根據(jù)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再把將軍飲馬模型在坐標(biāo)系中直接運(yùn)用，根據(jù)勾股定理求解即可；（3）根據(jù)題意畫圖分析，根據(jù)平行求相關(guān)函數(shù)關(guān)系式，再求兩條線的交點(diǎn)解方程組，即可得解．【解析】（1）解：根據(jù)題意可知點(diǎn)，在直線和雙曲線的圖象上，，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入雙曲線得：，由圖象可知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴；（2）過點(diǎn)、分別作軸的垂線，垂足分別為、，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)點(diǎn)，并向下平移一個單位記為，連接，則，，，，，，，，，，，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，，的最小值即為；（3）當(dāng)時(shí)，當(dāng)在軸下方時(shí)，，設(shè)直線的解析式為，由（2）可知：，，解得，，當(dāng)時(shí)，，解得，，，直線AB的解析式為，設(shè)直線DE的解析式為，把代入得：，，，由是直線DE與反比例函數(shù)的交點(diǎn)可得：解得，此時(shí)點(diǎn)在第三象限，不符合題意，當(dāng)在軸上方時(shí)，則與下方的關(guān)于軸對稱，可得直線的解析式為：，聯(lián)立得，此時(shí)點(diǎn)在第一象限，兩個都符合題意，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，兩點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，連接，，使軸，軸，連接，．若點(diǎn)在軸上，且的面積與四邊形的面積相等，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在直線上有一動點(diǎn)M，過M點(diǎn)做y軸的平行線交反比例函數(shù)于點(diǎn)N，當(dāng)以M、N、B、C四個點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求N點(diǎn)坐標(biāo)；(4)在平面內(nèi)是否存在兩點(diǎn)H、Q，使得四邊形是矩形，且該矩形面積為15？若存在，請直接寫出H點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)或(3)或(4)存在，或【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)，在一次函數(shù)的圖象上求出、的值，得出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再運(yùn)用待定系數(shù)法解答即可；（2）延長交軸于點(diǎn)，延長交軸于點(diǎn)，構(gòu)建矩形，根據(jù)，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義解答即可；（3）先求出直線的函數(shù)關(guān)系式為，設(shè)，再分為當(dāng)點(diǎn)M在線段延長線上時(shí)及當(dāng)點(diǎn)M在線段上時(shí)，兩種情況進(jìn)行分類討論求解即可；（4）分為當(dāng)點(diǎn)H在直線的上方時(shí)及當(dāng)點(diǎn)H在直線的下方時(shí)，兩種情況分類討論求解即可．【解析】（1）解：點(diǎn)，在一次函數(shù)的圖象上，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：延長交軸于點(diǎn)，延長交軸于點(diǎn)，軸，軸，則有軸，軸，點(diǎn)的坐標(biāo)為四邊形為矩形，且，，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．（3）解：設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，直線的函數(shù)關(guān)系式為，設(shè)，如圖，當(dāng)點(diǎn)M在線段延長線上時(shí)，以M、N、B、C四個點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，且，由可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，解得：或（舍去），，當(dāng)點(diǎn)M在線段上時(shí)，，解得：或（舍去），，綜上所述，或；（4）解：存在，如圖，當(dāng)點(diǎn)H在直線的上方時(shí)，過點(diǎn)H作，交的延長線于點(diǎn)R，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，矩形面積為15，，即，，四邊形是矩形，，，，，，，，；當(dāng)點(diǎn)H在直線的下方時(shí)，則點(diǎn)H與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)B對稱，設(shè)，，，；綜上所述，或．【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題及與幾何結(jié)合問題，涉及的知識有：直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定及相似三角形的判定與性質(zhì)，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解本題的關(guān)鍵．3．如圖，一條直線與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，與x軸交于D點(diǎn)，軸，垂足為C．(1)如圖甲，①求反比例函數(shù)的解析式；②求n的值及D點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖乙，若點(diǎn)E在線段上運(yùn)動，連接，作，交于F點(diǎn)．①試說明；②當(dāng)為等腰三角形時(shí)，直接寫出F點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)①，②，(2)①見解析；②或或【分析】（1）①把A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，即可求得函數(shù)的解析式，②根據(jù)反比例函數(shù)的解析式，求得B的坐標(biāo)，即可得到n的值，然后利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式，進(jìn)而求得與x軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）①根據(jù)題意易證是等腰直角三角形，利用兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似即可證得；②分三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)，即可求得的長，則F的坐標(biāo)可以求得．【解析】（1）解：①把代入得：，解得：，則反比例函數(shù)解析式是：；②把代入得：，∴，設(shè)直線的解析式為，把、代入，得：，解得：，則直線的解析式是：，令，解得：，則D的坐標(biāo)是：；（2）解：①∵軸，，∴，∵，∴，又∵，∴，，∴，∴，②∵為等腰三角形分三種情況．如圖乙：當(dāng)時(shí)，，又∵，∴A，F(xiàn)重合，則F的坐標(biāo)是1,4；當(dāng)時(shí)，，∴是等腰直角的角平分線，∴E是的中點(diǎn)，，∴，∴F是的中點(diǎn)，∴，∴F的坐標(biāo)是：；③當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，∴，∴F的坐標(biāo)是：．綜上，點(diǎn)F的坐標(biāo)為：或1,4或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，三角形相似的判定條件坐標(biāo)與圖形，等腰三角形的存在問題，綜合性性強(qiáng)．4．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左邊），過兩點(diǎn)作直線，與雙曲線的另一交點(diǎn)為，過作直線的平行線交雙曲線于點(diǎn)．(1)則點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，并求直線的解析式；(2)如圖2，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，連接，交直線于點(diǎn)，連接，且，將線段在軸上移動，得到線段（如圖3），請求出的最大值；(3)如圖4，點(diǎn)在軸上，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，(2)(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或【分析】（1）聯(lián)立方程組即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法先求出直線的解析式，再求出的解析式即可；（2）設(shè)，先表示出，再求出，結(jié)合，求出，從而得出，將點(diǎn)向上平移4個單位長度，得到點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、關(guān)于軸對稱，則，連接并延長交軸于點(diǎn)，即可得解；（3）設(shè)，，分三種情況：當(dāng)為對角線時(shí)，當(dāng)為邊時(shí)，菱形為時(shí)，當(dāng)為邊時(shí)，菱形為時(shí)；分別利用菱形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求解即可．【解析】（1）解：聯(lián)立方程組，解得：或，∵點(diǎn)在點(diǎn)左邊，∴，，設(shè)直線的解析式為y=kxk≠0，將代入解析式得：，解得：，∴直線的解析式為，∵，∴設(shè)直線的解析式為：，將代入解析式得：，解得：，∴直線的解析式為：；（2）解：∵點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對稱，，∴，∵點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，∴設(shè)，令直線交軸于，，在中，當(dāng)時(shí)，，即，∴，∴，聯(lián)立，解得：或，∴，∴，作于，連接、，則，，設(shè)，，由勾股定理得：，，∵，∴，解得：（負(fù)值舍去），∴，∵，∴，∵，∴，解得：，∴，則，如圖，將點(diǎn)向上平移4個單位長度，得到點(diǎn)，則，則為平行四邊形，∴，設(shè)點(diǎn)、關(guān)于軸對稱，則，連接并延長交軸于點(diǎn)，，∴的最大值為；（3）解：由（2）可得：，，設(shè)，，∵以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，∴當(dāng)為對角線時(shí)，，解得：，即，當(dāng)為邊時(shí)，菱形為時(shí)，，解得：或，即或；當(dāng)為邊時(shí)，菱形為時(shí)，，解得：或（不符合題意，舍去），即；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、求一次函數(shù)解析式、三角形面積公式、勾股定理、菱形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用，采用數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．題型2：動點(diǎn)問題5．已知反比例函數(shù)，直線，直線與反比例函數(shù)交于點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C．(1)求直線的解析式；(2)過點(diǎn)C作x軸的垂線，上有一動點(diǎn)M，過點(diǎn)M作y軸的垂線段與y軸交于點(diǎn)N，連接，求的最小值和此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）問的前提下，當(dāng)取得最小值時(shí)，作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)Q在坐標(biāo)軸上有一動點(diǎn)P，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并寫出其中一種情況的過程．【答案】(1)(2)的最小值為；(3)或或【分析】（1）利用反比例函數(shù)解析式求出A、B坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式即可；（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，則；如圖所示，過點(diǎn)B作，連接，則，證明四邊形是平行四邊形，得到，則當(dāng)A、M、H三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，最小值為，利用勾股定理得到，則的最小值為；求出直線解析式為，進(jìn)而可得；（3）根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)得到，如圖3-1所示，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，則，可得軸，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；如圖3-2所示，在直線上且在點(diǎn)Q上方找一點(diǎn)K，連接使得，設(shè)，由勾股定理得到，解方程得到，同理可得直線解析式為，則直線與x軸，y軸分別交于，，由等邊對等角得到，則當(dāng)點(diǎn)P在射線（不包括A）上時(shí)都滿足題意，再由P在坐標(biāo)軸上，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【解析】（1）解：在中，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴，把代入中得：，解得，∴直線的解析式為；（2）解：在中，當(dāng)時(shí)，，∴，∵直線軸，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，∵軸，∴；如圖所示，過點(diǎn)B作，連接，則，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴當(dāng)A、M、H三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，最小值為，∵，∴，∴的最小值為；設(shè)直線解析式為，把代入中得：，解得，∴直線解析式為，在中，當(dāng)時(shí)，，∴；（3）解；由（2）知，∵點(diǎn)M與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴，∵，∴軸，如圖3-1所示，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，∵，∴，∴軸，∵，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；如圖3-2所示，在直線上且在點(diǎn)Q上方找一點(diǎn)K，連接使得，設(shè)，∴，解得，∴，同理可得直線解析式為，在中，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴直線與x軸，y軸分別交于，，∵，∴，即，∴當(dāng)點(diǎn)P在射線（不包括A）上時(shí)都滿足題意，又∵P在坐標(biāo)軸上，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)與判定，等邊對等角，一次函數(shù)與幾何綜合，坐標(biāo)與圖形變化—軸對稱等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．6．如圖1，已知雙曲線經(jīng)過的、兩點(diǎn)，且點(diǎn)，，．

(1)求雙曲線和直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)如圖2，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)Q在y軸上，若以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊是平行四邊形，請直接寫出滿足要求的所有點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖3，以線段為對角線作正方形，點(diǎn)是邊（不含點(diǎn)、）上一個動點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)．當(dāng)在上運(yùn)動時(shí)，的度數(shù)是否會變化？若會的話，請給出你的證明過程．若不是的話，只要給出結(jié)論．【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為；直線DC的函數(shù)關(guān)系式為(2)滿足要求的所有點(diǎn)的坐標(biāo)為：、、(3)的度數(shù)不會變化，等于【分析】（1）把代入求出值，可得反比例函數(shù)解析式，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得出直線解析式；（2）可分兩種情況：為邊、AB為對角線討論，然后運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解決問題；（3）過點(diǎn)作于，作于，連接、，根據(jù)正方形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)可得，利用可證明，得出，由此可得，即可得到是等腰直角三角形，因而為定值．【解析】（1）解：∵雙曲線經(jīng)過的、兩點(diǎn)，且點(diǎn)，，，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為：，∵四邊形是平行四邊形，，，，∴，設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為：，則，解得：，∴直線DC的函數(shù)關(guān)系式為：．（2）解：由（1）知：反比例函數(shù)的解析式為：，∵點(diǎn)P在雙曲線上，點(diǎn)Q在y軸上，∴設(shè)，，①如圖1，當(dāng)為邊時(shí)，

若四邊形為平行四邊形，則，解得：，∴，∴，∴中點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴，解得：，∴．如圖2，若四邊形為平行四邊形，

∵四邊形為平行四邊形，∴，，∵，∴，則，∴，∵，∴．②如圖3，當(dāng)AB為對角線時(shí)，

∵四邊形為平行四邊形，∴，，∵，∴，則，∴，∴．綜上所述，滿足要求的所有點(diǎn)的坐標(biāo)為：、、．（3）解：當(dāng)在上運(yùn)動時(shí)，的度數(shù)不會變化，等于，理由如下：過點(diǎn)作于，作于，連接，，如圖所示，

∵，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、平行四邊形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識，運(yùn)用分類討論是解決第（2）小題的關(guān)鍵，除用中點(diǎn)坐標(biāo)公式外，也可通過構(gòu)造全等三角形來解決第（1）題和第（2）題．7．已知：如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A3,2．(1)試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)根據(jù)圖象回答，在第一象限內(nèi)，當(dāng)取何值時(shí)，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值？(3)是反比例函數(shù)圖象上的一動點(diǎn)，其中，過點(diǎn)作直線軸，交軸于點(diǎn)；過點(diǎn)作直線軸，交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．當(dāng)四邊形的面積為時(shí)，請判斷線段與的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)；(2)(3)，理由見解析【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合：（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖象找到反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方時(shí)自變量的取值范圍即可；（3）先推出，則，由反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義得到，則，據(jù)此求出，則，再由，即可得到．【解析】（1）解：把A3,2代入中得：，解得，∴正比例函數(shù)解析式為；把A3,2代入中得：，解得，∴反比例函數(shù)解析式為；（2）解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值；（3）解：，理由如下：∵軸，軸，∴，∵A3,2∴，∵點(diǎn)A和點(diǎn)M都在反比例函數(shù)圖象上，∴，∵四邊形的面積為，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴．題型3：旋轉(zhuǎn)問題8．如圖①，一次函數(shù)的圖像交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)如圖②，點(diǎn)為反比例函數(shù)在第一象限圖像上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸垂線，交一次函數(shù)圖像于點(diǎn)，連接，若是以為底邊的等腰三角形，求的面積；(3)如圖③，將一次函數(shù)的圖像繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn)，，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）首先確定點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求反比例解析式即可；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，根據(jù)題意，是以為底邊的等腰三角形，則點(diǎn)在的垂直平分線上，易得，解得的值，進(jìn)而確定點(diǎn)，的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可；（3）設(shè)一次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，過作軸于，過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，，設(shè)，易得，求解即可確定點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可利用待定系數(shù)法解得直線的解析式，聯(lián)立直線的解析式與反比例函數(shù)解析式，求解即可獲得答案．【解析】（1）解：對于一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，可有，∴點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式，可得，即反比例函數(shù)表達(dá)式為；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，若是以為底邊的等腰三角形，則點(diǎn)在的垂直平分線上，則有，解得（舍去）或，∴，，則；（3）設(shè)一次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，過作軸于，過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，如下圖，對于一次函數(shù)，令，可有，即的坐標(biāo)為0,4，令，可有，解得，即的坐標(biāo)為，由題意可知，一次函數(shù)的圖像繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn)，，∴，∵，∴，∴，∵，，軸，∴，∴，又∵，∴，∴，，設(shè)，∵C?2,0，，∴，，，，∴可有，解得，∴，設(shè)直線的解析式為y=kx+bk≠0，將點(diǎn)，C?2,0代入，可得，解得，∴直線的解析式為，聯(lián)立直線的解析式與反比例函數(shù)解析式，可得，可得，整理可得，解得，（不合題意，舍去），∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程等知識，綜合性強(qiáng)，難度較大，解題關(guān)鍵是綜合運(yùn)用相關(guān)知識，并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題．9．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且與一次函數(shù)的圖象在同一坐標(biāo)系中．(1)如圖1，當(dāng)反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象只有一個公共點(diǎn)時(shí)，求n的值；(2)如圖2，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，它與反比例函數(shù)的另一個交點(diǎn)記為B，在y軸上找一點(diǎn)M，使的周長最小，求出M的坐標(biāo)及周長的最小值；(3)如圖3，點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上A點(diǎn)左側(cè)一點(diǎn)，連接，把線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)Q恰好也落在這個反比例函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)周長的最小值為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3)【分析】（1）聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，根據(jù)一元二次方程根的判別式求解即可；（2）將代入反比例函數(shù)的解析式求得，再將代入，即可求解出n的值，聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，連接，交y軸與點(diǎn)M，連接，此時(shí)的周長最小，為的長，利用兩點(diǎn)的距離公式解答即可，設(shè)直線解析式為，利用待定系數(shù)法求出解析式，令，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）過點(diǎn)作x軸的垂線，與過點(diǎn)作軸的平行線，分別交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，證明，根據(jù)，得到，進(jìn)而得出，根據(jù)點(diǎn)在反比例函數(shù)上，代入解析式，求解即可．【解析】（1）解：根據(jù)題意，則，即，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象只有一個公共點(diǎn)，，即，；（2）解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，，將代入，則，，一次函數(shù)的解析式為：，聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式得，則，即，，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)題意得：，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，連接，交y軸與點(diǎn)M，連接，則，，，此時(shí)的周長最小，為的長，，；設(shè)直線解析式為，則，解得，直線解析式為，令，則，點(diǎn)M的坐標(biāo)為；（3）解：過點(diǎn)作x軸的垂線，與過點(diǎn)的軸的平行線，分別交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，，，由旋轉(zhuǎn)知：，，，，，，，點(diǎn)在反比例函數(shù)上，，即，解得或（舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，軸對稱求最短距離，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式；熟練掌握對稱的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型4：新定義題10．在平面直角坐標(biāo)系中，定義：橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)為整點(diǎn)如圖，已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，在第一象限內(nèi)存在一點(diǎn)，滿足．(1)求的值；(2)如圖，過點(diǎn)分別作平行于軸，軸的直線，交雙曲線于點(diǎn)、，記線段、BD、雙曲線所圍成的區(qū)域?yàn)楹吔?，當(dāng)時(shí)，區(qū)域的整點(diǎn)個數(shù)為______；當(dāng)區(qū)域的整點(diǎn)個數(shù)為時(shí)，點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足，直接寫出縱坐標(biāo)的取值范圍：______；直線過一個定點(diǎn)，若點(diǎn)為此定點(diǎn)，問題：______，______)；問題：這條直線將分成兩部分，直線上方(不包含直線)的區(qū)域記為，直線下方(不包含直線)的區(qū)域記為，當(dāng)1的整點(diǎn)個數(shù)之差不超過時(shí)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)①；②；③問題一：，問題二：【分析】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確理解題目中所給出的新定義，結(jié)合圖形合理的分析是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)點(diǎn)在的圖象上，可求出的值．（2）①標(biāo)出區(qū)域，再統(tǒng)計(jì)區(qū)域內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)即可．②結(jié)合圖象可找出這4個整數(shù)點(diǎn)，便可得出的取值范圍．③問題一：過定點(diǎn)即表示與的取值無關(guān)，則有的系數(shù)等于0，便可解決問題．問題二：利用圖象，求出區(qū)域內(nèi)的所有整數(shù)點(diǎn)，再分類討論即可．【解析】（1）因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，所以．即的值為4．（2）①當(dāng)時(shí)，由圖1可知，上的整點(diǎn)有4個，上的整點(diǎn)有4個，雙曲線上段的整點(diǎn)有3個，區(qū)域內(nèi)部的整點(diǎn)有3個，又點(diǎn)，，都被算了2次，所以區(qū)域的整點(diǎn)個數(shù)為：．故答案為：11．②因?yàn)閰^(qū)域的整點(diǎn)個數(shù)為4，如圖所示，又，則區(qū)域的4個整點(diǎn)如圖所示：，，，．故縱坐標(biāo)的取值范圍是：．故答案為：．③問題一：由題知，，則不論為何值，時(shí)，，即直線過定點(diǎn)，所以．故答案為：5，4．問題二：如圖所示，當(dāng)時(shí)，區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)共有15個．又被分成的區(qū)域和的整點(diǎn)個數(shù)之差不超過2，則當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，的整點(diǎn)個數(shù)是7，的整點(diǎn)個數(shù)是5，滿足要求．此時(shí)，得．當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，的整點(diǎn)個數(shù)是5，的整點(diǎn)個數(shù)是8，不滿足要求．故當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，即可．此時(shí)，得．故的取值范圍是：．11．如圖，直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)是軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)．備用圖(1)分別求出直線和雙曲線的表達(dá)式；(2)連接，，，，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)我們把能被一條對角線分成兩個全等直角三角形的四邊形叫做"美麗四邊形"．在（2）的條件下，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是美麗四邊形，若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)(3)平面內(nèi)存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是美麗四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或【分析】此題屬于反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，面積問題，平行四邊形存在性問題，三角函數(shù)的性質(zhì)，利用了分類討論的思想，理解新定義是解本題第三問的關(guān)鍵．（1）把分別代入兩個解析式計(jì)算即可；（2）設(shè)，表示出和的面積，再根據(jù)列方程計(jì)算即可；（3）設(shè)，分四種情況：當(dāng)時(shí)，利用平移的性質(zhì)可得；當(dāng)時(shí)，運(yùn)用平移的性質(zhì)可得；當(dāng)時(shí)，通過構(gòu)造全等三角形建立方程即可得出；當(dāng)時(shí)，利用平移的性質(zhì)可得．【解析】（1）解：（1）直線經(jīng)過點(diǎn)，，解得：，；雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，，解得：，；（2）如圖，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，上點(diǎn)的坐標(biāo)為，，又，，，在中，令，得，解得：，，，設(shè)，且，，，即，，，即，解得：，；（3）平面內(nèi)存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是美麗四邊形．，，，，，，，，，是直角三角形，，設(shè)，當(dāng)時(shí)，如圖，則，，．解得：，；當(dāng)時(shí)，如圖，則，，，解得：，；當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于，作軸，過點(diǎn)作于，則，，由（2）知：，，，，，，是等腰直角三角形，，軸，，，，即，，，，，，，，，，；當(dāng)時(shí)，如圖，則，，，解得：，；綜上所述，平面內(nèi)存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是美麗四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．題型5：情景探究題12．【發(fā)現(xiàn)問題】小明在學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)：周長為定值的矩形中面積最大的是正方形那么，面積為定值的矩形中，其周長的取值范圍如何呢？【解決問題】小明嘗試從函數(shù)圖象的角度進(jìn)行探究：（1）建立函數(shù)模型設(shè)一矩形的面積為，周長為，相鄰的兩邊長為、，則，，即，，那么滿足要求的應(yīng)該是函數(shù)與的圖象在第________象限內(nèi)的公共點(diǎn)坐標(biāo)．（2）畫出函數(shù)圖象①畫函數(shù)的圖象；②在同一直角坐標(biāo)系中直接畫出的圖象，則的圖象可以看成是由的圖象向上平移________個單位長度得到．（3）研究函數(shù)圖象平移直線，觀察兩函數(shù)的圖象；①當(dāng)直線平移到與函數(shù)的圖象有唯一公共點(diǎn)的位置時(shí)，公共點(diǎn)的坐標(biāo)為________，周長的值為________；②在直線平移的過程中，兩函數(shù)圖象公共點(diǎn)的個數(shù)還有什么情況？請直接寫出公共點(diǎn)的個數(shù)及對應(yīng)周長的取值范圍．【結(jié)論運(yùn)用】（4）面積為的矩形的周長的取值范圍為________．【答案】（1）一；（2）①見解析；②；（3）①；；②見解析，個交點(diǎn)時(shí)，；個交點(diǎn)時(shí)，；個交點(diǎn)時(shí)，；（4）【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，涉及畫函數(shù)圖象、函數(shù)圖象的平移、解一元二次方程等知識，利用類比和數(shù)形結(jié)合思想求解是解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)x、y是邊長求解即可；（2）①利用描點(diǎn)法畫函數(shù)的圖象即可；②利用描點(diǎn)法畫函數(shù)的圖象，的圖象即可，根據(jù)圖象平移規(guī)則：上加下減求解即可；（3）①聯(lián)立方程組，根據(jù)一元二次方程根的判別式求解即可；②由①并結(jié)合圖象可求解；（4）仿照前面求解思路，聯(lián)立方程組，利用方程有實(shí)數(shù)根求解即可．【解析】解：（1），都是邊長，周長為，，，，滿足要求的應(yīng)該是函數(shù)與的圖象在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)坐標(biāo)．故答案為：一；（2）①的圖象如圖所示：②的圖象如圖所示，與軸的交點(diǎn)為，的圖象可以看成是由的圖象向右平移個單位長度得到，故答案為：；（3）①聯(lián)立方程組可得：，整理得：，兩圖象有唯一交點(diǎn)，，，，解得：，交點(diǎn)坐標(biāo)為，周長，故答案為：，；②由①知：個交點(diǎn)時(shí)，；個交點(diǎn)時(shí)，；個交點(diǎn)時(shí)，；（4）設(shè)相鄰的兩邊長為、，則，，即，，聯(lián)立方程組可得，整理得：，兩函數(shù)有交點(diǎn)，，，故答案為：．13．探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程．結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，請畫出函數(shù)的圖象，并探究該函數(shù)性質(zhì)．(1)繪制函數(shù)圖象①列表：下列是x與y的幾組對應(yīng)值，其中_____；x……12345……y……155a……②描點(diǎn)：根據(jù)表中的數(shù)值描點(diǎn)，請?jiān)谙聢D中描出點(diǎn)；③連線：請用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象：(2)探究函數(shù)性質(zhì)請寫出函數(shù)的兩條性質(zhì)：___________________________________________；___________________________________________．(3)運(yùn)用函數(shù)圖象及性質(zhì)①寫出方程的解_________________；②寫出不等式的解集_________________；③寫出不等式與的解集_________________．【答案】(1)①1；②見解析；③見②圖(2)的圖象關(guān)于y軸對稱；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大（答案不唯一）；(3)①或；②或；③或．【分析】本題考查了列表描點(diǎn)畫函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象獲取信息，畫出函數(shù)圖象，從函數(shù)圖象獲取信息是解題的關(guān)鍵．（1）①把代入解析式即可得的值；②③按要求描點(diǎn)，連線即可；（2）觀察函數(shù)圖象，可得函數(shù)性質(zhì)；（3）①由函數(shù)圖象可得答案；②觀察函數(shù)圖象即得答案；③觀察函數(shù)圖象即得答案．【解析】（1）解：①列表：當(dāng)時(shí)，，故答案為：1；②描點(diǎn)，③連線如下：（2）觀察函數(shù)圖象可得：的圖象關(guān)于軸對稱，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；故答案為：的圖象關(guān)于軸對稱；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；（3）①觀察函數(shù)圖象可得：當(dāng)時(shí)，或，∴方程的解是或，故答案為：或；②觀察函數(shù)圖象可得，當(dāng)或時(shí)，，∴不等式的解集或，故答案為：或；③觀察函數(shù)圖象可得，當(dāng)或時(shí)，，不等式與的解集或，故答案為：或．14．在圖形的變換中，對稱是一種常見的全等變換，我們需要掌握如何畫對稱點(diǎn)以及對稱圖形，并能求出一些對稱點(diǎn)的坐標(biāo)以便幫助我們解決相關(guān)問題。【初步感知】（1）圖①中點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是______；圖②中點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是______．【理解運(yùn)用】（2）如圖③所示，直線，直線，請畫出直線關(guān)于直線的對稱直線并求出該直線的關(guān)系式；【拓展提升】（3）①已知函數(shù)關(guān)于直線的對稱圖象為，直線與相交于點(diǎn)、點(diǎn)，點(diǎn)是直線下方圖象上一個動點(diǎn)，請求出面積的最大值：②若將第①問中的改成，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)也在不斷變的運(yùn)動路徑和直線圍城的區(qū)域記為，請畫出點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑并求出軌跡長．（說明：路徑只能在直線右上方畫，且不能穿過區(qū)域）【答案】（1），；（2）圖見解析，；（3）①面積的最大值為；②點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑長為．【分析】（1）關(guān)于軸的對稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，可求；連接，，過點(diǎn)作軸交于，過作軸交于，通過證明，求；（2）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為E0,2，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，連接交直線于點(diǎn)，連接，設(shè)，則，再由①，②，聯(lián)立①②可得，再聯(lián)立方程組，求出兩直線的交點(diǎn)D1,3，利用待定系數(shù)法求直線的解析式即可；（3）①取函數(shù)上的點(diǎn)M1,1，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，由（2）可知，，，能求出對稱點(diǎn)，則函數(shù)的函數(shù)解析式為；聯(lián)立方程組，可求交點(diǎn)，，則，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與平行的直線為，聯(lián)立方程組，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最短，可求，再求直線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出，則，即可求面積的最大值為；②由題可知在以為圓心，為半徑的半圓上，在直線上，可求線段與半圓的交點(diǎn)為，，結(jié)合函數(shù)圖象可求點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑長為．【解析】解：（1），點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為?1,1；連接，，過點(diǎn)作軸交于，過作軸交于，點(diǎn)與關(guān)于對稱，，，，，，，，，；故答案為：）?1,1，；（2）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為E0,2，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，連接交直線于點(diǎn)，連接，由對稱性可知，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，設(shè)，則，①，又②，聯(lián)立①②可得，，，聯(lián)立方程組，解得，，設(shè)直線的解析式為，，解得，；（3）①取函數(shù)上的點(diǎn)M1,1，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，由（2）可知，，，，，，，函數(shù)的函數(shù)解析式為；聯(lián)立方程組，解得或，，，，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與平行的直線為，聯(lián)立方程組，整理得，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最短，，解得或（舍），，解得，，與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，，面積的最大值為；②由①可知，，在以為圓心，為半徑的圓上，，的軌跡為半圓，點(diǎn)，點(diǎn)，在直線上，線段與半圓的交點(diǎn)為，，，，點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑長為．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)的對稱性，利用點(diǎn)的對稱性求函數(shù)的解析式，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．題型6：反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用15．綜合與實(shí)踐如圖1，某興趣小組計(jì)劃開墾一個面積為的矩形地塊種植農(nóng)作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長為．

【問題提出】小組同學(xué)提出這樣一個問題：若，能否圍出矩形地塊？【問題探究】小穎嘗試從“函數(shù)圖象”的角度解決這個問題：設(shè)為，為．由矩形地塊面積為，得到，滿足條件的可看成是反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)；木欄總長為，得到，滿足條件的可看成一次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)滿足這兩個條件的就可以看成兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)．如圖2，反比例函數(shù)的圖象與直線：的交點(diǎn)坐標(biāo)為和_________，因此，木欄總長為時(shí)，能圍出矩形地塊，分別為：，；或___________m，__________m．

（1）根據(jù)小穎的分析思路，完成上面的填空．【類比探究】（2）若，能否圍出矩形地塊？請仿照小穎的方法，在圖2中畫出一次函數(shù)圖象并說明理由．【問題延伸】當(dāng)木欄總長為時(shí)，小穎建立了一次函數(shù)．發(fā)現(xiàn)直線可以看成是直線通過平移得到的，在平移過程中，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，直線與反比例函數(shù)的圖象有唯一交點(diǎn)．（3）請?jiān)趫D2中畫出直線過點(diǎn)時(shí)的圖象，并求出的值．【拓展應(yīng)用】小穎從以上探究中發(fā)現(xiàn)“能否圍成矩形地塊問題”可以轉(zhuǎn)化為“與圖象在第一象限內(nèi)交點(diǎn)的存在問題”．（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且和的長均不小于，請直接寫出的取值范圍．【答案】（1）；4；2；（2）不能圍出，理由見解析；（3）圖見解析，；（4）【分析】（1）聯(lián)立反比例函數(shù)和一次函數(shù)表達(dá)式，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可解答；（2）根據(jù)得出，，在圖中畫出的圖象，觀察是否與反比例函數(shù)圖像有交點(diǎn)，若有交點(diǎn)，則能圍成，否則，不能圍成；（3）過點(diǎn)作的平行線，即可作出直線的圖象，將點(diǎn)代入，即可求出a的值；（4）根據(jù)存在交點(diǎn)，得出方程有實(shí)數(shù)根，根據(jù)根的判別式得出，再得出反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，，則當(dāng)與圖象在點(diǎn)左邊，點(diǎn)右邊存在交點(diǎn)時(shí)，滿足題意；根據(jù)圖象，即可寫出取值范圍．【解析】解：（1）∵反比例函數(shù)，直線：，∴聯(lián)立得：，解得：，，∴反比例函與直線：的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，當(dāng)木欄總長為時(shí)，能圍出矩形地塊，分別為：，；或，．故答案為：4；2．（2）不能圍出．∵木欄總長為，∴，則，畫出直線的圖象，如圖中所示：∵與函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，∴不能圍出面積為的矩形；（3）如圖中直線所示，即為圖象，將點(diǎn)代入，得：，解得；

（4）根據(jù)題意可得∶若要圍出滿足條件的矩形地塊，與圖象在第一象限內(nèi)交點(diǎn)的存在問題，即方程有實(shí)數(shù)根，整理得：，∴，解得：，把代入得：，∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，把代