同步優(yōu)化設(shè)計(jì)2024年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課后篇鞏固提升含解析北師大版選擇性必修第一冊(cè)

其次章圓錐曲線§3拋物線3.2拋物線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)課后篇鞏固提升合格考達(dá)標(biāo)練1.拋物線y=ax2的準(zhǔn)線方程是y=1,則a的值為()A.14 B.-14 C.4 D.答案B解析由y=ax2,變形得x2=1ay,∵拋物線的準(zhǔn)線方程是y=∴-14a=1,解得a=-2.若拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到x軸的距離為23,則點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為()A.4 B.5 C.6 D.7答案A解析由題意,知拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1,∵拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到x軸的距離為23,則P(3,±23),∴點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為3+1=4,∴點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為4.故選A.3.已知點(diǎn)(x,y)在拋物線y2=4x上,則z=x2+12y2+3的最小值是(A.2 B.3 C.4 D.0答案B解析因?yàn)辄c(diǎn)(x,y)在拋物線y2=4x上,所以x≥0,因?yàn)閦=x2+12y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+所以當(dāng)x=0時(shí),z最小,其最小值為3.4.已知直線l過拋物線C的焦點(diǎn),且與C的對(duì)稱軸垂直,l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=12,P為C的準(zhǔn)線上的一點(diǎn),則△ABP的面積為()A.18 B.24 C.36 D.48答案C解析不妨設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),依題意,l⊥x軸,且焦點(diǎn)Fp2,0,∵當(dāng)x=p2時(shí),|y|=p∴|AB|=2p=12,∴p=6,又點(diǎn)P到直線AB的距離為p2+故S△ABP=12|AB|·p=12×12×6=5.拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F,則經(jīng)過點(diǎn)F與點(diǎn)M(2,2)且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.0 D.多數(shù)個(gè)答案B解析因?yàn)辄c(diǎn)M(2,2)在拋物線y2=2x上,又焦點(diǎn)F12,0,由拋物線的定義知,過點(diǎn)F,M且與l相切的圓的圓心即為線段FM的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn),這樣的交點(diǎn)共有2個(gè),故過點(diǎn)F,M且與l相切的圓有2個(gè).6.拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與雙曲線x23-y23=1相交于A,B兩點(diǎn),若△ABF為等邊三角形答案6解析拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F0,p2,準(zhǔn)線方程為y=-p2,代入x23-y23=1得|x|=3+p24.要使△ABF為等邊三角形,則tanπ7.拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F作斜率為33的直線l與拋物線在y軸右側(cè)的部分相交于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為H,則△AHF的面積是.答案43解析由拋物線的定義可得|AF|=|AH|,∵直線AF的斜率為33,∴AF的傾斜角為30°.∵直線AH垂直于準(zhǔn)線∴∠FAH=60°,故△AHF為等邊三角形.設(shè)Am,m24,m>0,過F作FM⊥AH于點(diǎn)M,則在△FAM中,|AM|=12|AF|,∴m24-1=12m24+1,解得m=23,故等邊三角形AHF的邊長(zhǎng)|AH|=4,∴△AHF的面積是12×4×4sin8.若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),開口向上,F為焦點(diǎn),M為準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn),A為拋物線上一點(diǎn),且|AM|=17,|AF|=3,求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2py(p>0),設(shè)A(x0,y0),由題意知M0,-p2,∵|AF|=3,∴y0+p2=∵|AM|=17,∴x02+y0+p22=∴x02=8,代入方程x02=28=2p3-p2,解得p=2或p=4.∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y或x2=8y.等級(jí)考提升練9.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3,則拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的取值范圍是()A.(6,+∞) B.[6,+∞)C.(3,+∞) D.[3,+∞)答案D解析∵拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3,∴p2=3,即p=6又拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的最小值為p2∴拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的取值范圍是[3,+∞).10.已知拋物線C的焦點(diǎn)是雙曲線x2-y2=1的焦點(diǎn)中的一個(gè),且頂點(diǎn)在原點(diǎn),則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.y2=±22x B.y2=±2xC.y2=±4x D.y2=±42x答案D解析由已知可知雙曲線的焦點(diǎn)為(-2,0),(2,0).設(shè)拋物線方程為y2=±2px(p>0),則p2所以p=22,所以拋物線方程為y2=±42x.故選D.11.設(shè)F為拋物線y2=2x的焦點(diǎn),A,B,C為拋物線上三點(diǎn),若F為△ABC的重心,則|FA|+|FB|+|FC|的值為()A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析依題意,設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又焦點(diǎn)F12,0,所以x1+x2+x3=3×12=32,則|FA|+|FB|+|FC|=x1+12+x2+12+x3+12=(x1+x2+x3)+32=312.過點(diǎn)F(0,3),且和直線y+3=0相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程是()A.y2=12x B.y2=-12xC.x2=-12y D.x2=12y答案D解析由已知條件,過點(diǎn)F(0,3),且和直線y+3=0相切的動(dòng)圓圓心軌跡是以點(diǎn)F(0,3)為焦點(diǎn),直線y=-3為準(zhǔn)線的拋物線,故其方程為x2=12y.13.已知拋物線的方程為y2=2px(p>0),O為坐標(biāo)原點(diǎn),A,B為拋物線上的點(diǎn),若△OAB為等邊三角形,且面積為483,則p的值為.

答案2解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).∵|OA|=|OB|,∴x12+y12=x22+y22∴x22-x12+2p(x即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.又x1,x2與p同號(hào),∴x1+x2+2p≠0.∴x2-x1=0,即x1=x2.依據(jù)拋物線對(duì)稱性可知點(diǎn)A,B關(guān)于x軸對(duì)稱,由△OAB為等邊三角形,不妨設(shè)直線OB的方程為y=33x由y=33x,y2=2∴|OB|=(6p)2+∵△OAB的面積為483,∴34(43p)2=483,解得p2=4,∴p=214.已知F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn),A,B是拋物線上兩點(diǎn),若△AFB是等邊三角形,則△AFB的邊長(zhǎng)為.

答案8+43或8-43解析由題意可知點(diǎn)A,B肯定關(guān)于x軸對(duì)稱,且AF,BF與x軸夾角均為30°,由于y2=4x的焦點(diǎn)為(1,0),由y=33(x-1),y2=4x,化簡(jiǎn)得y2-43y-4=0,解得y所以△AFB的邊長(zhǎng)為8+43或8-43.新情境創(chuàng)新練15.如圖,已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)P(2,0)的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),直線AF,BF分別與拋物線交于點(diǎn)M,N.(1)求y1y2的值;(2)連接MN,記直線MN的斜率為k1,直線AB的斜率為k2,證明:k1k(1)解依題意,設(shè)直線AB的方程為x=m