專題06有理數(shù)的加減（3大考點9種題型）

專題06有理數(shù)的加減（3大考點+9種題型）思維導(dǎo)圖核心考點與題型分類聚焦考點一：有理數(shù)加法法則考點二：有理數(shù)加法的運算律考點三：有理數(shù)減法法則題型一:有理數(shù)加法運算題型二：有理數(shù)加法中的符號問題題型三：有理數(shù)加法在生活中的應(yīng)用題型四：有理數(shù)加法運算律題型五：有理數(shù)的減法運算題型六：有理數(shù)減法的實際應(yīng)用題型七：有理數(shù)的加減混合運算題型八：有理數(shù)加減中的簡便運算題型九:有理數(shù)加減混合運算的應(yīng)用考點一：有理數(shù)加法法則（1）同號兩數(shù)相加：取原來的符號，并把絕對值相加．（2）異號兩數(shù)相加：絕對值相等時和為零；絕對值不相等時，其和的絕對值為較大的絕對值減去較小的絕對值所得的差，其和的符號取絕對值較大的加數(shù)的符號．（3）一個數(shù)同零相加：仍得這個數(shù)．考點二：有理數(shù)加法的運算律交換律：；結(jié)合律：．考點三：有理數(shù)減法法則減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)：．題型一:有理數(shù)加法運算【例1】．（2023下·上?！ち昙壣虾Ｊ羞M才實驗中學(xué)?？计谥校敬鸢浮?【分析】先將小數(shù)化分數(shù)，利用加法交換律將分母相同的放一起進行計算．【詳解】解：原式【點睛】本題考查有理數(shù)的加法運算，利用加法交換律將分母相同的數(shù)放一起進行計算是解題的關(guān)鍵．【變式1】．（2022下·上海楊浦·六年級?？计谥校┯嬎悖憨?.25+（﹣2）+2+0.125．【答案】0【分析】利用簡便運算方法及有理數(shù)的加法法則運算即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題主要考查有理數(shù)的加法運算，掌握有理數(shù)加法運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2022下·上海寶山·六年級?？茧A段練習）在﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4，m這9個數(shù)中，m代表一個數(shù)，你認為m是多少時，能夠使這9個數(shù)分別填入圖中的9個空格內(nèi)，使每行的3個數(shù)、每列3個數(shù)、斜對角3個數(shù)個數(shù)相加均為零．(1)我認為m＝_______．(2)按要求將這9個數(shù)填入如圖的空格內(nèi)．【答案】(1)0(2)見解析【分析】（1）根據(jù)題意以及已知數(shù)據(jù)，推測數(shù)m的值；（2）根據(jù)題意把表格補充完整，中間那個數(shù)為0．【詳解】（1）﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4，m這9個數(shù)的和為0，則，故答案為：0（2）填寫如下：【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，掌握互為相反的兩個數(shù)和為0是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2022上·上?！ち昙墝ｎ}練習）兩百年前，德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫發(fā)現(xiàn)：任何一個不小于6的偶數(shù)都可以寫成兩個奇素數(shù)（既是奇數(shù)又是素數(shù)）之和，簡稱：“1+1”．如，等等．眾多數(shù)學(xué)家用很多偶數(shù)進行檢驗，都說明是正確的，但至今仍無法從理論上加以證明，也沒找到一個反例．這就是世界上著名的哥德巴赫猜想．你能檢驗一下這個偉大的猜想嗎？請把偶數(shù)42寫成兩個奇素數(shù)之和．42=，或者42=．你是否有更大的發(fā)現(xiàn)：把42寫成4個奇素數(shù)之和？42=．【答案】5，37；11，31；5，5，13，19【分析】根據(jù)題意利用有理數(shù)加法計算即可；【詳解】解：根據(jù)題意得：或；；（答案不唯一）；故答案為：5，37；11，31；5，5，13，19．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的加法運算，準確計算是解題的關(guān)鍵．題型二：有理數(shù)加法中的符號問題【例2】．（2023上·新疆伊犁·七年級?？计谥校┤绻闹凳秦摂?shù)，則a與b的值（

）A．一定都是正數(shù) B．一定都是負數(shù)C．一定是一個正數(shù)，一個負數(shù) D．至少有一個是負數(shù)【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)的加法，根據(jù)理數(shù)的加法的法則判斷即可．【詳解】解：的值是負數(shù)，a與b的值中至少有一個是負數(shù)．故選：D．【變式1】．（2020上·北京海淀·七年級統(tǒng)考期中）有理數(shù)m，n，k在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，若，則A，B，C，D四個點中可能是原點的是（）

A．A點 B．B點 C．C點 D．D點【答案】B【分析】分四種情況討論，利用數(shù)形結(jié)合思想可解決問題．【詳解】解：若點A為原點，可得，則，與題意不符合，故選項A不符合題意；若點B為原點，可得，且，則，故選項B符合題意；若點C為原點，可得，且，則，與題意不符合，故選項C不符合題意；若點D為原點，可得，則，與題意不符合，故選項D不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了數(shù)軸．由于引進了數(shù)軸，我們把數(shù)和點對應(yīng)起來，也就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來，二者互相補充，相輔相成，把很多復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，在學(xué)習中要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．【變式2】．（2023上·山東濰坊·七年級統(tǒng)考期中）將寫成省略加號后的形式是()A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了對式子進行化簡，關(guān)鍵是正確理解加法的定義．注意：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反．注意：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)．即可把減法統(tǒng)一成加法．省略加號時，注意符號變化法則：得得得得．【詳解】解：原式故選：A．【變式3】．（2023上·浙江·七年級專題練習）用“”或“”填空：（1）如果，那么0；（2）如果，那么0；（3）如果，那么0；（4）如果，那么0．【答案】【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加法法則即可解答；（2）根據(jù)有理數(shù)的加法法則即可解答；（3）根據(jù)有理數(shù)的加法法則即可解答；（4）根據(jù)有理數(shù)的加法法則即可解答．【詳解】（1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，兩數(shù)都為正數(shù)，所以兩數(shù)的和為正．故答案為：；（2）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，兩數(shù)都為負數(shù)，所以兩數(shù)的和為負．故答案為：；（3）異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，由于，所以兩數(shù)的和取a的符號，即兩數(shù)和的符號為正．故答案為：；（4）異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，由于，所以兩數(shù)的和取b的符號，即兩數(shù)和的符號為負．故答案為：；【點睛】本題主要考查有理數(shù)的加法，熟練掌握有理數(shù)的加法法則是解題的關(guān)鍵．【變式4】．（2023上·上海浦東新·七年級上海中學(xué)東校校考階段練習）將式子寫成省略加號的和的形式．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)去括號法則直接計算即可得到結(jié)果．【詳解】，故答案為：．【點睛】此題考查了有理數(shù)的加減混合運算，熟練掌握去括號法則是解題的關(guān)鍵．【變式5】．（2023上·四川眉山·七年級?？计谥校┯嬎悖?1)，；(2)，．(3)___________．【答案】(1)，5，，(2)，1，，(3)0【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則：同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加，異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值，互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加的零．【詳解】（1）解：，；（2）解：，；（3）解：．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加法，熟練掌握有理數(shù)的加法法則是解題關(guān)鍵．【變式6】．（2020上·七年級課時練習）從，，，，，，，，這九個數(shù)字中各取一個數(shù)字作個位數(shù)字，再從這九個數(shù)字中各取一個數(shù)字作十位數(shù)字，隨意組成九個兩位數(shù)，且這九個兩位數(shù)都是負數(shù)，求這九個兩位數(shù)的和，并使你的算式能說明計算結(jié)果是唯一的道理．【答案】【分析】由于個數(shù)字剛好組成個兩位數(shù)，每個數(shù)字都用完且只用一次，那么十位之和就是，個位之和就是，前面加負號就是結(jié)果．【詳解】解：由于個數(shù)字剛好組成個兩位數(shù)，每個數(shù)字都用完且只用一次，那么十位之和就是，個位之和就是，前面加負號就是結(jié)果：故這九個兩位數(shù)的和為唯一值：【點睛】此題主要考查了有理數(shù)的加法，根據(jù)題意得出這九個兩位數(shù)的和分別將十位和個位分別相加得出是解題關(guān)鍵．【變式7】．（2020上·天津·七年級天津二十中?？茧A段練習）已知：，，且，求的值．【答案】或【分析】根據(jù)、的絕對值求出、的值，然后利用，求出、的值，計算出即可．【詳解】解：，，，，，，，或，，或．【點睛】題目考查了有理數(shù)的加法和絕對值的性質(zhì)，在計算過程中，不要出現(xiàn)漏解現(xiàn)象，題目整體難易程度適中，適合課后訓(xùn)練．題型三：有理數(shù)加法在生活中的應(yīng)用【例3】．（2021下·上海徐匯·六年級上海市第四中學(xué)校考期中）楊浦大橋橋面在黃埔江江面上方48米，江底在水面下方約10米，橋面與江底相距的米．【答案】58【分析】用橋面到江面的距離加上江底到江面的距離即可得到答案．【詳解】解：（米），∴橋面與江底相距的58米，故答案為：58．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)加法的實際應(yīng)用，正確計算是解題的關(guān)鍵．【變式1】．（2023上·吉林松原·七年級統(tǒng)考期末）如果某天的最低氣溫為，中午12點的氣溫比最低氣溫高了．那么中午12點的氣溫為．【答案】/【分析】本題主要考查了有理數(shù)加法的實際應(yīng)用，用最低氣溫加上升高的溫度即可得到答案．【詳解】解；，∴中午12點的氣溫為，故答案為：．【變式2】．（2023上·遼寧沈陽·七年級?？茧A段練習）出租車司機小李某天上午營運都是在東西走向的大街上進行的，如果規(guī)定向東為正，向西為負，他這天上午行車路程（單位：千米）如下：，，，，，．(1)將最后一位乘客送到目的地時，小李距出發(fā)地多遠？此時在出發(fā)地的東邊還是西邊？(2)若汽車耗油量為0.2升/千米，這天上午小李共耗油多少升？(3)若出租車起步價為8元，起步路程為3千米（即乘車路程不超過3千米都為8元），若乘車路程超過3千米，則超過部分每千米加收2元．問司機小李今天上午共收入多少元？【答案】(1)距出發(fā)地千米，此時在出發(fā)地的西邊(2)升(3)今天上午共收入元【分析】本題考查了有理數(shù)加減混合運算的應(yīng)用，正確理解題意是解決本題的關(guān)鍵．（1）依次把他這天上午行車里程相加得小李與出發(fā)地的距離，由正負判定是在東邊還是西邊；（2）先計算出小李這天上午共行進的里程，再乘以汽車耗油量升/千米得這天上午小李的耗油量；（3）由這天上午每次的行車里程計算出每次的出租款，再相加即可得出小李共得的收入．【詳解】（1）解：千米，答：小李距出發(fā)地千米，此時在出發(fā)地的西邊.（2）解：升，答：小李共耗油升.（3）第一次：元；第二次:元；第三次：元；第四次：元；第五次：元；第六次：元，則小李今天上午共得出租款為（元），答：司機小李今天上午共收入元.【變式3】．（2023上·浙江寧波·七年級統(tǒng)考期中）杭州亞運會已圓滿結(jié)束，這離不開亞運網(wǎng)約車司機們的辛勤付出．老姚某天上午的營運全是在一條筆直的東西走向的路上進行．如果規(guī)定向東為正，向西為負，那么他這天上午行車里程（單位：千米）記錄如下：，，，，，，，，，．(1)將第幾名乘客送到目的地時，老姚剛好回到上午的出發(fā)點？(2)將最后一名乘客送到目的地時，老姚距上午的出發(fā)點多遠？在出發(fā)點的東面還是西面？(3)若出租車的收費標準為：起步價8元（不超過3千米），超過3千米，超過部分每千米2元，則姚師傅在這天上午一共收入多少元？【答案】(1)將第7名乘客送到目的地時，老姚剛好回到上午的出發(fā)點(2)將最后一名乘客送到時，老姚距上午的出發(fā)點，在出發(fā)點的東面(3)姚師傅在這天上午一共收入120元【分析】本題考查正數(shù)與負數(shù)，有理數(shù)的運算等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．（1）根據(jù)正負數(shù)的意義，求出送走的乘客后的寫出里程是解答；（2）把行車里程相加，然后根據(jù)正數(shù)和負數(shù)的意義解答；（3）分別求出個乘客的收費，再求和即可．【詳解】（1）解：∵，∴將第7名乘客送到目的地時，老姚剛好回到上午的出發(fā)點．（2）解：∵，∴將最后一名乘客送到時，老姚距上午的出發(fā)點，在出發(fā)點的東面．（3）解：(元)．∴姚師傅在這天上午一共收入120元．【變式4】．（2023上·山東德州·七年級統(tǒng)考期中）某學(xué)校深入開展足球進校園活動，為了提高足球運動員快速轉(zhuǎn)身搶斷能力，體育老師設(shè)計了折返跑訓(xùn)練．在足球場上畫一條東西方向的直線，如果約定向東為正，向西為負，一運動員折返跑訓(xùn)練的記錄如下（單位：米）：＋15，－19，＋16，－18，＋21，－30，＋35，－25，＋25，－10．請解答下列問題：(1)該運動員最后到達的地方在出發(fā)點的哪個方向？距出發(fā)點多遠？(2)該運動員本次訓(xùn)練結(jié)束，共跑了多少米？【答案】(1)最后到達的地方在出發(fā)點的東邊，距出發(fā)點10米(2)該運動員本次訓(xùn)練結(jié)束，共跑了214米【分析】（1）根據(jù)加法法則，將正數(shù)與正數(shù)相加，負數(shù)與負數(shù)相加，進而得出計算得結(jié)果；（2）利用絕對值的性質(zhì)以及有理數(shù)加法法則求出即可．本題考查了有理數(shù)的加減混合運算以及絕對值的性質(zhì)和正負數(shù)的意義．解題的關(guān)鍵是熟練利用加法的運算法則進行運算．【詳解】（1）解：（米）答：最后到達的地方在出發(fā)點的東邊，距出發(fā)點10米．（2）解：=214（米）答：該運動員本次訓(xùn)練結(jié)束，共跑了214米．題型四：有理數(shù)加法運算律【例4】．（2023上·山東淄博·六年級統(tǒng)考期中），上面的計算所運用的運算律是（

）A．交換律 B．結(jié)合律C．先用結(jié)合律，再用交換律 D．先用交換律，再用結(jié)合律【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)加法交換律和結(jié)合律進行計算，即可解答．【詳解】解：，上面的計算所運用的運算律是先用交換律，再用結(jié)合律，故選：D．【變式1】．（2021下·上海楊浦·七年級?？计谥校┯嬎悖海敬鸢浮?【詳解】原式故答案為：0．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加法運算，熟練掌握有理數(shù)加法交換律和結(jié)合律是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】．（2023上·廣東惠州·七年級惠州市惠陽區(qū)崇雅中學(xué)?？计谥校┯嬎悖海敬鸢浮俊痉治觥拷猓罕绢}考查了有理數(shù)的加法運算，利用加法交換律和結(jié)合律進行運算即可得出結(jié)果，掌握有理數(shù)的運算法則和運算律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式．【變式3】．（2023上·河北邢臺·七年級校聯(lián)考階段練習）用適當方法計算：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)加法運算法則計算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)加法交換律和結(jié)合律計算即可；（3）根據(jù)有理數(shù)加法交換律和結(jié)合律計算即可．【詳解】（1）解：（2）解：（3）解：【點睛】本題考查有理數(shù)的加法運算，掌握運算法則是解題的關(guān)鍵，運用交換律和結(jié)合律可簡化計算．【變式4】．（2023上·河南鄭州·七年級鄭州市第八中學(xué)校考期中）閱讀下面文字：對于可以如下計算：原式__________________．上面這種方法叫拆項法．(1)請補全以上計算過程；(2)類比上面的方法計算：．【答案】(1)(2)，過程見詳解?！痉治觥勘绢}考查了有理數(shù)的加法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的加法運算法則．（1）根據(jù)有理數(shù)的加法法則計算；（2）參照（1）的解題思路解題即可．【詳解】（1）解：可以如下計算：原式，故答案為：（2）解：題型五：有理數(shù)的減法運算【例5】．（2021下·上海嘉定·六年級?？计谥校┯嬎悖?（0.5）2【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法法則計算即可．【詳解】解：1（0.5）2．【點睛】本題考查了有理數(shù)的減法，掌握減法法則進行計算是解題的關(guān)鍵．【變式1】．（2021下·上海松江·六年級?？计谀┯嬎悖海敬鸢浮俊痉治觥肯热ダㄌ枺龠M行減法運算即可．【詳解】解：．【點睛】此題主要考查了去括號法則、有理數(shù)的減法運算，熟練掌握有理數(shù)減法法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2023上·山東濱州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在數(shù)軸上的點，，，，分別表示，，，，，請回答下列問題：(1)在數(shù)軸上描出點，，，，，用“>”將它們連接起來；(2)，兩點之間的距離是多少？，兩點之間的距離是多少？【答案】(1)，數(shù)軸見解析(2)兩點之間的距離是；兩點之間的距離是．【分析】本題考查的是在數(shù)軸上表示有理數(shù)，利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，數(shù)軸上兩點之間的距離．（1）根據(jù)正數(shù)在原點的右邊，負數(shù)在原點的左邊，先在數(shù)軸上表示各數(shù)，再利用右邊的數(shù)大于左邊的數(shù)用“>”將它們連接起來即可；（2）利用數(shù)軸上兩點之間的距離公式進行計算即可．【詳解】（1）解：如圖所示：；（2）解：兩點之間的距離是：；兩點之間的距離是：．【變式3】．（2024上·陜西咸陽·七年級?？茧A段練習）如果，，求的值．【答案】或【分析】本題考查了絕對值的性質(zhì)，有理數(shù)的減法運算，先根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出、的值，再根據(jù)有理數(shù)的減法法則進行計算求解即可．【詳解】解：∵，，∴，，當，時，，當，時，，當，時，，當，時，，∴的值為或．【變式4】．（2023上·浙江杭州·七年級校考期中）如圖所示，數(shù)軸上從左到右的三個點，，所對應(yīng)數(shù)的分別為，，．其中點、點兩點間的距離的長是20，點、點兩點間的距離的長是8．(1)若以點C為原點，直接寫出點A，B所對應(yīng)的數(shù)；(2)若原點O在A，B兩點之間，求的值；(3)若O是原點，且點B到原點O的距離是6，求的值．【答案】(1)點所對應(yīng)的數(shù)是，點所對應(yīng)的數(shù)(2)28(3)或【分析】本題主要考查了數(shù)軸及絕對值，有理數(shù)的加減法，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)數(shù)軸的定義可求點，所對應(yīng)的數(shù)；（2）先根據(jù)絕對值的性質(zhì)求得，，再代入計算即可求解；（3）分兩種情況：原點在點的左邊；原點在點的右邊；進行討論即可求解．【詳解】（1）解：∵點C為原點，∴點所對應(yīng)的數(shù)是，點所對應(yīng)的數(shù)；（2）當原點在，兩點之間時，，，；（3）若原點在點的左邊，則點，，所對應(yīng)數(shù)分別是，，，則；若原點在點的右邊，則點，，所對應(yīng)數(shù)分別是，，，則．綜上，的值是或．【變式5】．（2023上·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）如圖，某中學(xué)購進5個新排球，并進行了質(zhì)量檢測，以每個270克作為質(zhì)量標準，超過的克數(shù)記作正數(shù)，不足的克數(shù)記作負數(shù)．(1)求這5個排球中最接近標準質(zhì)量的排球的克數(shù)．(2)這5個排球的總質(zhì)量是超過標準總質(zhì)量還是不足標準總質(zhì)量？并計算超過或不足的克數(shù)．(3)購買這5個排球時商家是通過快遞公司寄給這所中學(xué)，已知快遞首重不超過1千克運費為12元，如果超過1千克，按照每增加1千克運費增加2元，不足1千克按1千克計算，求商家支付的運費．【答案】(1)最接近標準質(zhì)量的排球是269.4克；(2)這5個排球的總質(zhì)量不足標準總質(zhì)量，不足0.9克；(3)商家支付的運費是14元．【分析】本題考查了絕對值、有理數(shù)的加減應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是注意單位換算．（1）根據(jù)絕對值越小，越接近標準，再讓標準克加上絕對值最小的數(shù)即可；（2）將各個球與標準質(zhì)量比較后所記的數(shù)值相加即可得解；（3）由實際重量1.3491千克可知為1千克和0.3491千克，根據(jù)快遞收費標準計算即可．【詳解】（1）解：∵，（克）．答：最接近標準質(zhì)量的排球是克．（2）解：（克），答：這5個排球的總質(zhì)量不足標準總質(zhì)量，不足克．（3）解：（克）（千克）．（元）．答：商家支付的運費是14元．題型六：有理數(shù)減法的實際應(yīng)用【例6】．（2023下·上?！ち昙墝ｎ}練習）在體育課的立定跳遠測試中，以為標準，若小明跳出了，可記作，則小亮跳出了，應(yīng)記作（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了正數(shù)和負數(shù)．明確什么是一對具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中超過標準的一個為正，則另一個不到標準的就用負表示，即可解決．【詳解】解：，故小亮跳出了，應(yīng)記作．故選：B．【變式1】．（2021下·上海松江·六年級?？茧A段練習）在某種蛋糕的包裝袋上標有，凈含量克那么這種蛋糕的質(zhì)量最小是克．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法即可求解．【詳解】解：因為在某種蛋糕的包裝袋上標有，凈含量克，所以這種蛋糕的質(zhì)量最小是克．故答案為：．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加減的實際應(yīng)用，正確理解題意、列出算式是關(guān)鍵．【變式2】．（2023上·遼寧葫蘆島·七年級統(tǒng)考期中）小明的媽媽的存折中有3500元，若把存入記為正，取出記為負，一段時間內(nèi)存入和取出情況依次如下（單位：元）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次1500600(1)在第幾次存取后，存折中的錢最少？在第幾次存取后，存折中的錢最多？(2)經(jīng)過這幾次的存取后，最終小明的媽媽的存折內(nèi)還有剩余多少元錢？【答案】(1)在第6次存取后，存折中的錢最少，在第1次存取后，存折中的錢最多(2)最終小明的媽媽的存折內(nèi)還有4600元錢【分析】此題考查了有理數(shù)的加法與減法，以及正數(shù)與負數(shù)的應(yīng)用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)存折中原來的錢，利用表格求出各次存入和取出后的錢數(shù)，即可做出判斷；（2）根據(jù)（1）的計算數(shù)據(jù)解答即可．【詳解】（1）第1次存取后，存折中的錢數(shù)為：（元）第2次存取后，存折中的錢數(shù)為：（元）第3次存取后，存折中的錢數(shù)為：（元）第4次存取后，存折中的錢數(shù)為：（元）第5次存取后，存折中的錢數(shù)為：（元）第6次存取后，存折中的錢數(shù)為：（元）第7次存取后，存折中的錢數(shù)為：（元）在第6次存取后，存折中的錢最少，在第1次存取后，存折中的錢最多．（2）由（1）的計算可知，最終小明的媽媽的存折內(nèi)還有4600元錢．【變式3】．（2023上·江西南昌·七年級?？茧A段練習）2022年國慶節(jié)放假八天，高速公路免費通行，各地風景區(qū)游人如織其中，其中聞名于世的北京故宮，在10月1日的游客人數(shù)就已經(jīng)達到了5萬人，接下來的七天中，每天的游客人數(shù)變化（單位：萬人）如下表（正數(shù)表示比前一天多的人數(shù)，負數(shù)表示比前一天少的人數(shù)）．日期10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日10月8日人數(shù)變化(1)10月3日的人數(shù)為萬人；(2)這八天，游客人數(shù)最多的是10月日，達到萬人；游客人數(shù)最少的是10月日，為萬人；(3)這8天參觀故宮的總?cè)藬?shù)為萬人．【答案】(1)(2)4，；8，(3)【分析】本題考查的是正數(shù)和負數(shù)的意義及有理數(shù)的運算，關(guān)鍵是正確理解表中數(shù)據(jù)的含義，正確計算出每天的人數(shù)．（1）根據(jù)題意10月1日的人數(shù)加上得10月2日的人數(shù)，10月2日的人數(shù)再加上即可得到答案；（2）分別計算出每天的人數(shù)，即可作出判斷；（3）根據(jù)（1）（2）把8天的人數(shù)相加即可．【詳解】（1）解：10月2日的人數(shù)為：（萬人），10月3日的人數(shù)為：（萬人）．故答案為：；（2）解：10月4日的人數(shù)為：（萬人），10月5日的人數(shù)為：（萬人），10月6日的人數(shù)為：（萬人），10月7日的人數(shù)為：（萬人），10月8日的人數(shù)為：（萬人），∴這八天，游客人數(shù)最多的是10月4日，達到萬人．游客人數(shù)最少的是10月8日，達到萬人．故答案為：4，；8，；（3）解：（萬人），∴這8天參觀故宮的總?cè)藬?shù)為萬人．故答案為：；【變式4】．（2023上·河南洛陽·七年級?？计谥校┮?guī)定

兩個有理數(shù)，若滿足，則稱是的“思念數(shù)”．判斷

下列表中各數(shù)對，是否滿足第二個數(shù)是第一個數(shù)的“思念數(shù)”，滿足的在相應(yīng)位置打“√”，不滿足的打“×”．數(shù)對5和1和10和是不是“思念數(shù)”應(yīng)用

有理數(shù)的“思念數(shù)”是，求的值；有理數(shù)滿足，求的“思念數(shù)”．【答案】判斷：√，×，√；應(yīng)用：；拓展：或【分析】本題主要考查有理數(shù)的減法和絕對值的意義：判斷：根據(jù)“思念數(shù)”定義進行判斷即可；應(yīng)用：“思念數(shù)”定義列式計算創(chuàng)新聲卡；拓展：先根據(jù)有理數(shù)的意義求出m的值，再利用“思念數(shù)”定義進行求解即可．【詳解】解：判斷：∵，∴1是5的“思念數(shù)”；∵，∴10不是的“思念數(shù)”；∵，∴是的“思念數(shù)”；故答案為：√，×，√．應(yīng)用：∵有理數(shù)的“思念數(shù)”是，∴解得，．拓展：因為，所以，當時，，當時，，所以的“思念數(shù)”為或．題型七：有理數(shù)的加減混合運算【例7】．（2023下·上海黃浦·六年級統(tǒng)考期中）計算：．【答案】1【分析】利用有理數(shù)的混合運算，先去括號再進行加減運算．【詳解】解：．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的加減運算和去括號法則．【變式1】．（2023下·上海寶山·六年級?？计谥校敬鸢浮俊痉治觥肯葘p法轉(zhuǎn)化為加法，然后再進行通分，最后依據(jù)同分母分數(shù)的加法法則計算即可．【詳解】解：【點睛】本題主要考查的是有理數(shù)的加減混合運算，熟練掌握有理數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2021下·上海金山·六年級?？计谥校┯嬎悖海敬鸢浮俊痉治觥渴紫热ダㄌ?，然后按照加法交換律將原式變?yōu)椋缓蟀凑沼欣頂?shù)加減運算法則求解即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的加減混合運算，熟練掌握相關(guān)運算法則和運算律是解題關(guān)鍵．【變式3】．（2021下·上海閔行·六年級校考期中）計算：【答案】【詳解】【點睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算，把減法統(tǒng)一成加法，然后按照加法法則計算．【變式4】．（2021下·上海靜安·六年級上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校?？计谥校┤?，求的值．【答案】1011【詳解】解：∵，∴【點睛】本題考查了化簡絕對值，有理數(shù)的加減混合運算，熟練掌握有理數(shù)的運算法則以及化簡絕對值是解題的關(guān)鍵．題型八：有理數(shù)加減中的簡便運算【例8】．（2021下·上海虹口·六年級上海市民辦新復(fù)興初級中學(xué)?？计谥校┯嬎悖海敬鸢浮俊痉治觥肯扔眉臃ń粨Q律將分母相同的分數(shù)移到一起，再用加法結(jié)合律將同分母分數(shù)相加，最后再將所得的結(jié)果相加．【詳解】原式【點睛】本題考查有有理數(shù)的加法運算，能夠用加法交換律，和加法結(jié)合律，進行簡便運算是解決本題的關(guān)鍵．【變式1】．（2023下·上海靜安·六年級上海市回民中學(xué)?？计谥校?；【答案】【分析】用乘法交換律和乘法結(jié)合律進行就算即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的加減混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握加法運算律在有理數(shù)范圍依舊適用．【變式2】．（2021下·上海閔行·六年級統(tǒng)考期中）計算：．【答案】5【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減混合運算法則計算即可．【詳解】解∶【點睛】本題考查的是有理數(shù)的加減混合運算，掌握有理數(shù)的加減混合運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2021下·上海長寧·六年級上海市延安初級中學(xué)校考期中）計算：．【答案】【分析】去括號，利用交換律進行計算即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查有理數(shù)的加減混合運算，正確的計算，是解題的關(guān)鍵．題型九:有理數(shù)加減混合運算的應(yīng)用【例9】．（2023下·上海·六年級專題練習）一出租車某天8：00～10：00以鐘樓為出發(fā)點在東西方向營運，向東走為正，向西走為負，行車里程（單位：km）依先后次序記錄如下：、、、、，試回答下列問題：(1)將最后一名乘客送到目的地后，出租車離出發(fā)點鐘樓有多遠？出租車在鐘樓的什么方向？(2)若每千米的價格為元，司機該天8：00～10：00的營業(yè)額是多少？【答案】(1)離出發(fā)點鐘樓10千米，出租車在鐘樓的東邊(2)他的營業(yè)額是30×2.4＝72元【分析】（1）根據(jù)題意把行車里程相加即可；（2）根據(jù)絕對值的意義求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：（千米）答：將最后一名乘客送到目的地后，出租車離出發(fā)點鐘樓10千米，出租車在鐘樓的東邊．（2）解：出租車共行駛：（千米）他的營業(yè)額是（元），答：司機當天的營業(yè)額是72元．【點睛】本題考查了有理數(shù)運算法則和絕對值的意義，熟練掌握所學(xué)知識是解題關(guān)鍵．【變式1】．（2023下·上海靜安·八年級上海市回民中學(xué)?？计谥校┠彻緦T工的一次性獎金方案如下：合同年限第一年第二年第三年…上半年下半年上半年下半年上半年下半年…甲方案元元元…乙方案元元元元元元…如果你是該公司的員工，選擇哪一種方案比較合算？【答案】見解析【分析】根據(jù)兩種方案分別計算出一年，兩年，三年的費用比較即可得到答案.【詳解】解：由題意可得，，，，∴若合同年限1年，則獎金收入甲方案元，乙方案元，選擇甲方案比較合算；若合同年限2年，則獎金收入甲方案元，乙方案元，選甲選乙都一樣；若合同年限3年，則獎金收入甲方案元，乙方案元，選擇乙方案比較合算；若合同時間超過3年，則選擇乙方案比較合算．【點睛】本題考查不等式擇優(yōu)方案問題，解題的關(guān)鍵是分類討論．【變式2】．（2021下·上海嘉定·六年級?？茧A段練習）小東的爸爸是出租車司機，為了計算汽車每千米的耗油量，某天上午，他從單位出發(fā)，在沿著南北方向行駛時詳細記錄了行車的路程情況．他規(guī)定向南為正，向北為負，下面是他這天上午行駛的路程記錄（單位：千米）：，(1)已知該出租車這天上午共耗油升，你能計算出小東爸爸的出租車每千米的耗油量是多少嗎？(2)上午運營結(jié)束后，小東的爸爸應(yīng)該向行駛千米返回單位．【答案】(1)升/千米(2)南，2【分析】（1）根據(jù)題意求出這天上午行駛的路程，再用耗油量升除以行駛的路程即可；（2）把他這天上午行駛的路程記錄的數(shù)相加即可解答．【詳解】（1）（千米），（升/千米），答：小東爸爸的出租車每千米的耗油量是升/千米；（2）（千米），故上午運營結(jié)束后，小東的爸爸應(yīng)該向南行駛2千米返回單位．故答案為：南；2．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算，解題的關(guān)鍵是注意理解相反意義的量的含義，耗油量＝行使的路程×單位耗油量．一、單選題1．（2021下·上海浦東新·六年級上海市浦東模范中學(xué)東校校考期末）已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置，可得，，可對A,B選項進行判斷，根據(jù)有理數(shù)的加減法法則可判斷C,D．【詳解】解：根據(jù)題意可得，，A.，故該選項正確，符合題意；，B.，故該選項不正確，不符合題意；C.，故該選項不正確，不符合題意；D.，，故該選項不正確，不符合題意；故選A【點睛】本題考查了有理數(shù)大小比較：正數(shù)大于0，負數(shù)小于0；負數(shù)的絕對值越大，這個數(shù)越小；也考查了數(shù)軸的認識，以及有理數(shù)的加法運算和絕對值的意義．2．（2021下·上海虹口·六年級?？计谥校?021年初寒潮來襲，全國各地氣溫驟降，如圖是2021年1月7日全國四個城市的天氣情況，這一天溫差最大的城是（

）A．上海 B．北京 C．廣州 D．蘇州【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法運算求解，然后比較大小即可．【詳解】解：由題意知，，，，，∵，∴廣州溫差最大，故選：C．【點睛】本題考查了有理數(shù)的減法運算，有理數(shù)的大小比較．解題的關(guān)鍵在于正確的運算．3．（2023上·山東棗莊·七年級?？茧A段練習）下列說法正確的是（

）A．兩個有理數(shù)的和一定大于任何一個加數(shù)B．若兩個有理數(shù)的和為0，則這兩個有理數(shù)一定互為相反數(shù)C．若兩個有理數(shù)的和為負數(shù)，則這兩個有理數(shù)一定都是負數(shù)D．若兩個有理數(shù)的和為正數(shù)，則這兩個有理數(shù)一定都是正數(shù)【答案】B【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加法運算．根據(jù)有理數(shù)的加法法則，逐項判斷，即可求解．【詳解】解：A、兩個有理數(shù)的和不一定大于任何一個加數(shù)，故本選項錯誤，不符合題意；B、若兩個有理數(shù)的和為0，則這兩個有理數(shù)一定互為相反數(shù)，故本選項正確，符合題意；C、若兩個有理數(shù)的和為負數(shù)，則這兩個有理數(shù)不一定都是負數(shù)，故本選項錯誤，不符合題意；D、若兩個有理數(shù)的和為正數(shù)，則這兩個有理數(shù)一定都是正數(shù)，故本選項錯誤，不符合題意；故選：B4．（2023上·廣西玉林·七年級?？茧A段練習）在數(shù)軸上表示和2023的兩點之間的距離是（

）A．2021 B．2023 C．2024 D．2025【答案】D【分析】本題主要考查了數(shù)軸．利用數(shù)軸上兩點之間的距離求法得出答案．【詳解】解：在數(shù)軸上表示和2023的點之間的距離是：．故選：D．5．（2023上·甘肅天水·七年級校考期末）如圖，方格中的任一行、任一列以及對角線上的數(shù)字之和相等，那么m的值為（

）A．13 B．10 C．9 D．無法確定【答案】C【分析】本題考查有理數(shù)的加減法，由第一行可得每一行的和為39，繼而可求出左邊及下面的數(shù)，即能得出的值．求出下面的空格里面的數(shù)是關(guān)鍵．【詳解】解：由題意，得每一行（列或?qū)蔷€）的和為，∴方格中心位置的空格里面的數(shù)為，下面的空格里面的數(shù)為，∴的值為，故選：C．6．（2021下·上海普陀·六年級?？计谥校┤?、，則的值為（

）．A．3 B． C． D．或【答案】D【分析】由進行化簡后，代值計算即可．【詳解】解：因為、，所以，，當，時，；當，時，；當，時，；當，時，；所以：的值為或；故選：D．【點睛】本題考查了絕對值化簡，有理數(shù)加法，掌握絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2023上·山東淄博·六年級統(tǒng)考期中）計算．【答案】【分析】本題考查有理數(shù)的加法運算,掌握加法交換律和結(jié)合律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式．故答案為：．8．（2023上·江蘇淮安·七年級校聯(lián)考期中）已知，則（填“”或“”或“”）．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的加法，減法，絕對值，有理數(shù)的大小比較，先把a，b，c進行通分，化成同分母的分數(shù)，然后分別代入每一個選項的式子中進行計算，比較即可解答．【詳解】解：，，，，，故答案為：．9．（2021下·上海·六年級?？茧A段練習）計算：．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)加法運算法則直接求解即可得到答案；【詳解】解：原式，∴答案為：；【點睛】本題考查有理數(shù)加法運算法則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：異號兩數(shù)相加符號取絕對值較大的符號，再用較大的絕對值減較小的絕對值．10．（2023上·山東淄博·六年級統(tǒng)考期中）如圖，小明將、、、0、1、2、3、4、5分別填入九個空格內(nèi)，使每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)字之和相等，則．【答案】0【分析】此題考查了有理數(shù)的加減運算能力，關(guān)鍵是能利用九宮格進行有理數(shù)加減運算．由可知，每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)字之和3，則可求得a、b、c的值，然后代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，，解得，，，∴，故答案為：0．11．（2020上·四川宜賓·七年級?？茧A段練習）某公司生產(chǎn)的一種小零食的包裝袋上印有的字樣，質(zhì)檢局隨機抽查了5袋該產(chǎn)品，質(zhì)量分別為，合格的共有袋．【答案】3【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加減法．根據(jù)有理數(shù)的加減法，可得合格范圍，根據(jù)合格范圍，可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，∴至是合格范圍，∴質(zhì)量分別為，合格的有，共3袋．故答案為：312．（2023上·廣東潮州·七年級?？计谥校?shù)軸上的A點與表示的點距離4個單位長度，則點A表示的數(shù)為．【答案】或【分析】本題主要考查了數(shù)軸上兩點的距離計算，分點A在數(shù)軸上表示的點左邊和點A在數(shù)軸上表示的點右邊兩種情況，根據(jù)數(shù)軸上兩點距離計算公式求解即可．【詳解】解：當點A在數(shù)軸上表示的點左邊時，則點A表示的數(shù)為；當點A在數(shù)軸上表示的點右邊時，則點A表示的數(shù)為；綜上所述，點A表示的數(shù)為或．故答案為：或．13．（2024上·甘肅定西·七年級統(tǒng)考期末）絕對值不大于3.14的所有整數(shù)之和等于．【答案】0【分析】本題考查絕對值的意義和有理數(shù)的加法運算，根據(jù)絕對值的意義找出絕對值不大于3.14的所有整數(shù)，相加求解即可．【詳解】解：絕對值不大于3.14的所有整數(shù)有3、2、1、0、、、，則，故答案為：0．14．（2021下·上海寶山·六年級統(tǒng)考期中）某市昨天的最高溫度是，另一城市的最高溫度是，則這兩個城市的最高溫度相差．【答案】【分析】根據(jù)題意列出算式，再進一步計算即可．【詳解】解：，即這兩個城市的最高溫度相差，故答案為：．【點睛】本題主要考查有理數(shù)的減法，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的減法法則．15．（2021下·上海寶山·六年級統(tǒng)考期中）數(shù)軸上到原點的距離小于個單位長度的點中，表示整數(shù)的點共有個，它們的和是．【答案】【分析】根據(jù)兩點間距離的定義，結(jié)合數(shù)軸，即可解答．【詳解】】解：數(shù)軸上到原點的距離小于個單位長度的點中，表示整數(shù)的點有：，，，，，，，，共有個，．故答案為：，．【點睛】本題考查了數(shù)軸，以及有理數(shù)的加法，解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合數(shù)軸解答．16．（2021下·上海徐匯·六年級上海市西南模范中學(xué)校考期中）已知有理數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖，則（用“<”、“=”或“>”填空）．

【答案】【分析】首先根據(jù)數(shù)軸判斷出a、b的符號和二者絕對值的大小，根據(jù)“異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值”來解答即可．【詳解】解：觀察數(shù)軸可知，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加法法則與數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸得出a、b的符號和二者絕對值的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．17．（2023上·河南南陽·七年級?？茧A段練習）我們知道：絕對值最小的數(shù)是0．現(xiàn)有個連續(xù)整數(shù)1，2，3，……，，請在這些數(shù)字前任意添加“+”或“”，然后將它們相加，使所得結(jié)果的絕對值最小，這個最小值是．【答案】1【分析】本題考查了有理數(shù)的加減混合，絕對值．熟練掌握有理數(shù)的運算，絕對值的意義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，可知相鄰四個數(shù)的和為0時，結(jié)果的絕對值最小，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：∵，∴相鄰四個數(shù)的和為0時，結(jié)果的絕對值最小，∴，故答案為：1．18．（2021下·上海徐匯·六年級上海市世界外國語中學(xué)校考期中）如下圖，讀出數(shù)軸上的點，并計算，其結(jié)果為.

【答案】【分析】觀察數(shù)軸得出A、B、C所表示的有理數(shù)分別為、、，再代入進行計算即可求解．【詳解】解：由數(shù)軸可得，A、B、C所表示的有理數(shù)分別為、、，∴，故答案為：．【點睛】本題考查有理數(shù)在數(shù)軸上的表示、有理數(shù)的加減混合運算，熟練掌握有理數(shù)在數(shù)軸上的表示得出A、B、C所表示的有理數(shù)是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2023上·湖北荊門·七年級?？茧A段練習）計算∶(1)；(2)；【答案】(1)3(2)【分析】本題考查了有理數(shù)加減混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)運算法則．（1）先去括號，然后根據(jù)理有理數(shù)的加減法則計算即可；（2）把各帶分數(shù)拆成整數(shù)與分數(shù)的和，然后計算整數(shù)部分的和，分數(shù)部分的和即可求解．【詳解】（1）解：（2）解：．20．（2023上·上海浦東新·七年級上海中學(xué)東校?？茧A段練習）計算:(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)；(2)(3)；(4)；(5)．【分析】()根據(jù)有理數(shù)的加法運算法則計算即可；()根據(jù)有理數(shù)的減法運算法則計算即可；()根據(jù)有理數(shù)加減混合運算法則計算即可；()根據(jù)有理數(shù)加減混合運算法則及加法運算律計算即可；()根據(jù)有理數(shù)加減混合運算法則、絕對值性質(zhì)及加法運算律計算即可．【詳解】（1）解：原式，；（2）解：原式，；（3）解：原式，，；（4）原式，，，；（5）原式，，，．【點睛】此題考查了有理數(shù)的加減混合運算，把加減混合運算是式子統(tǒng)一成加法，利用加法的運算律計算是解題的關(guān)鍵．21．（2023上·安徽六安·七年級?？茧A段練習）若，，且，求的值．【答案】2【分析】本題考查絕對值，有理數(shù)的減法，先根據(jù)絕對值的結(jié)果分別求出a，b的所有的值，再根據(jù)得出，，最后代入計算即可．【詳解】解：，，，，或，，，，．22．（2023上·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）在11月，榕榕利用某軟件投資“紙黃金”，其中10天的收益情況如下表所示．（上漲為正，下跌為負，每天的數(shù)據(jù)均是相對于前一天而言）日期20日21日22日23日24日收益情況（元）日期225日26日27日28日29日收益情況（元）00(1)觀察表格，在這段時間內(nèi)．收益為上漲的有___________天．(2)表格中的25日、26日為休息日，這兩天交易暫停．除這兩天外，收益變動最小的日期是_______．(3)假如榕榕在11月29日全部賣出，結(jié)束投資，試求她的收益是盈利還是虧損？盈利（或虧損）了多少錢？【答案】(1)4(2)24日(3)盈利元【分析】本題考查正負數(shù)的應(yīng)用和有理數(shù)加減混合運算的實際應(yīng)用；（1）根據(jù)“上漲為正”找到收益情況為正數(shù)的天數(shù)即可；（2）收益變動小即收益的絕對值小，據(jù)此求解即可；（3）將所有的數(shù)據(jù)相加，結(jié)果為正則盈利結(jié)果為負則虧損，據(jù)此解答即可．【詳解】（1）解：由題意，收益為上漲的有21日、27日、28日和29日，共4天，故