湖北省鄂北六校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考試題數(shù)學(xué)

宜城一中棗陽一中曾都一中襄陽六中南漳一中老河口一中2023—2024學(xué)年下學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)試題主命題學(xué)校：宜城一中命題老師：李細(xì)遷劉靜宮經(jīng)敏秦孔正試卷滿分：150分 考試用時(shí)：120分鐘注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)準(zhǔn)考證號(hào)條形碼上的信息，將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.函數(shù)，當(dāng)自變量x由1增加到時(shí)，函數(shù)的平均變化率為（）A.2 B. C. D.2.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.3.14名同學(xué)合影，站成前排5人后排9人，現(xiàn)攝影師要從后排9人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是（）A. B. C. D.4.的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則展開式的一次項(xiàng)為（）A. B. C. D.5.已知在處取極小值，則（）A.3或1 B.3 C.1 D.或6.已知圓錐的母線長(zhǎng)為定值R，當(dāng)圓錐的體積最大時(shí)，圓錐的底面半徑為（）A. B. C. D.7.對(duì)于數(shù)列，把它連續(xù)兩項(xiàng)與的差記為，得到一個(gè)新數(shù)列，稱數(shù)列為原數(shù)列的一階差數(shù)列.若，則數(shù)列是的二階差數(shù)列，以此類推，可得數(shù)列的p階差數(shù)列.如果某數(shù)列的p階差數(shù)列是一個(gè)非零的常數(shù)列，則稱此數(shù)列為p階等差數(shù)列，如數(shù)列1，3，6，10.它的前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4.新數(shù)列2，3，4的前后兩項(xiàng)之差再組成新數(shù)列1，1，1，新數(shù)列1，1，1為非零常數(shù)列，則數(shù)列1，3，6，10稱為二階等差數(shù)列.已知數(shù)列滿足，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的有（）A.為二階等差數(shù)列 B.為三階等差數(shù)列C. D.8.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法。商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，….設(shè)第n層有個(gè)球，從上往下n層球的總數(shù)為，則（）A. B.C. D.10.過拋物線上一點(diǎn)作兩條直線，，與E的另一個(gè)交點(diǎn)為A，與E的另一個(gè)交點(diǎn)為B，拋物線的焦點(diǎn)為F，則（）A.E的準(zhǔn)線方程為 B.過點(diǎn)M與E相切的直線方程為C.以為直徑的圓與y軸相切 D.若，則11.已知函數(shù)（a為常數(shù)），則下列結(jié)論正確的有（）A.時(shí)，恒成立B.若有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為C.時(shí).有唯一零點(diǎn)且D.時(shí)，是的極值點(diǎn)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.，則在處的切線方程為____________.13.暑假期間，有4名教師對(duì)5名學(xué)生進(jìn)行家訪活動(dòng)，若這4名教師每位至少到一名學(xué)生家中，又這5名學(xué)生都能且只能得到一名教師的家訪，則不同的家訪方案種數(shù)是____________.14.已知當(dāng)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）（1）求的展開式中含的項(xiàng)；（2）若，求：①；②.16.（本小題滿分15分）如圖，在三棱柱中，底面?zhèn)让?，，?（1）證明：；（2）若三棱錐的體積為，為銳角，求平面與平面的夾角.17.（本小題滿分15分）已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若記為滿足不等式，的正整數(shù)k的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18.（本小題滿分17分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為.（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）過點(diǎn)的直線與軌跡C交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為R，求面積的取值范圍.19.（本小題滿分17分）已知函數(shù)，.（1）記，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍.2023—2024學(xué)年下學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)題號(hào)1234567891011答案CBDACBAAACDBCDBCD12. 13.240 14.15，解：（1）展開式中含的項(xiàng)為：（2）①令得：①令得：②得：得：②等式兩邊分別求導(dǎo)得：令得：即：16.解：（1）∵平面平面，平面，平面平面，，∴平面，∵平面，∴，∵，∴，∵，∴四邊形為菱形，∴，∵，，平面，∴平面.又平面∴（2）由（1）知∴∴∴∴∵為銳角∴取中點(diǎn)，則以C為原點(diǎn)，以、、分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。如圖所示：則，，，設(shè)平面的法向量為則取由（1）知，為平面的法向量所以，平面與平面的夾角為30°17.（1）證明∵∴即∴∴為等差數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公差為∴∴（2）由得，∵∴滿足不等式的正整數(shù)k的個(gè)數(shù)為∴①②得：∴18.（1）設(shè)，由題意得：兩邊平方得：，化簡(jiǎn)得（2）由題意直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，則化簡(jiǎn)得：，且若Q在直線的右側(cè)，則若Q在直線的左側(cè)，則∴∵∴∵∴∴所以面積的取值范圍19.（1）其定義域?yàn)楫?dāng)即時(shí)，∴增區(qū)間為減區(qū)間為當(dāng)即時(shí)為增函數(shù)當(dāng)即時(shí)為增函數(shù)綜上時(shí)，的增區(qū)間減區(qū)間時(shí)，的增區(qū)間（2）∵恒成立，，令，則，所以當(dāng)時(shí)，等價(jià)于恒成立.由于，，（?。┊?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上恒成立，符合題意；